Find den mindste rod af en trigonometrisk ligning. Trigonometriske ligninger

Ganske ofte støder vi på problemer med øget kompleksitet trigonometriske ligninger, der indeholder modul. De fleste af dem kræver en heuristisk tilgang til løsning, som er helt ukendt for de fleste skolebørn.

Nedenstående problemer har til formål at introducere dig til de mest typiske teknikker til løsning af trigonometriske ligninger, der indeholder et modul.

Opgave 1. Find forskellen (i grader) af de mindste positive og største negative rødder af ligningen 1 + 2sin x |cos x| = 0.

Løsning.

Lad os udvide modulet:

1) Hvis cos x ≥ 0, vil den oprindelige ligning have formen 1 + 2sin x cos x = 0.

Ved at bruge sinusformlen med dobbelt vinkel får vi:

1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Da cos x ≥ 0, så er x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Hvis cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:

1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Siden cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Den største negative rod af ligningen: -π/4; mindste positive rod af ligningen: 5π/4.

Den nødvendige forskel: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.

Svar: 270°.

Opgave 2. Find (i grader) den mindste positive rod af ligningen |tg x| + 1/cos x = tan x.

Løsning.

Lad os udvide modulet:

1) Hvis tan x ≥ 0, så

tan x + 1/cos x = tan x;

Den resulterende ligning har ingen rødder.

2) Hvis tg x< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x – 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 og cos x ≠ 0.

Ved at bruge figur 1 og betingelsen tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Den mindste positive rod af ligningen er 5π/6. Lad os konvertere denne værdi til grader:

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.

Svar: 150°.

Opgave 3. Find antallet af forskellige rødder af ligningen sin |2x| = cos 2x på intervallet [-π/2; π/2].

Løsning.

Lad os skrive ligningen på formen sin|2x| – cos 2x = 0 og overvej funktionen y = sin |2x| – det koster 2x. Da funktionen er lige, vil vi finde dens nuller for x ≥ 0.

sin 2x – cos 2x = 0; Lad os dividere begge sider af ligningen med cos 2x ≠ 0, vi får:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n € Z;

x = π/8 + πn/2, n € Z.

Ved at bruge funktionens paritet finder vi ud af, at rødderne af den oprindelige ligning er tal på formen

± (π/8 + πn/2), hvor n € Z.

Interval [-π/2; π/2] hører til tallene: -π/8; π/8.

Så to rødder af ligningen hører til det givne interval.

Svar: 2.

Denne ligning kunne også løses ved at åbne modulet.

Opgave 4. Find antallet af rødder af ligningen sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x på intervallet [-π; 2π].

Løsning.

1) Overvej tilfældet, når 2cos x – 1 > 0, dvs. cos x > 1/2, så har ligningen formen:

sin x – sin 2 x = sin 2 x;

sin x – 2sin 2 x = 0;

sin x(1 – 2sin x) = 0;

sin x = 0 eller 1 – 2sin x = 0;

sin x = 0 eller sin x = 1/2.

Ved at bruge figur 2 og betingelsen cos x > 1/2 finder vi rødderne til ligningen:

x = π/6 + 2πn eller x = 2πn, n € Z.

2) Overvej tilfældet, når 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

sin x + sin 2 x = sin 2 x;

x = 2πn, n € Z.

Brug af figur 2 og cos x-tilstanden< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Ved at kombinere de to sager får vi:

x = π/6 + 2πn eller x = πn.

3) Interval [-π; 2π] hører til rødderne: π/6; -π; 0; π; 2π.

Det givne interval indeholder således fem rødder af ligningen.

Svar: 5.

Opgave 5. Find antallet af rødder af ligningen (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 på intervallet [-π; 2π].

Løsning.

1) Hvis sin x ≥ 0, så har den oprindelige ligning formen (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Efter at have taget den fælles faktor sin x ud af parentes, får vi:

sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; da (x – 0,7) 2 + 1 > 0 for alle reelle x, så er sinx = 0, dvs. x = πn, n € Z.

2) Hvis synd x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;

sinx = 0 eller (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Siden sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем Kvadrat rod fra venstre og højre side af den sidste ligning får vi:

x – 0,7 = 1 eller x – 0,7 = -1, hvilket betyder x = 1,7 eller x = -0,3.

Under hensyntagen til tilstanden sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, hvilket betyder, at kun tallet -0,3 er roden af ​​den oprindelige ligning.

3) Interval [-π; 2π] hører til tallene: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Således har ligningen fem rødder på et givet interval.

Svar: 5.

Du kan forberede dig til lektioner eller eksamener ved hjælp af forskellige pædagogiske ressourcer, der er tilgængelige på internettet. I øjeblikket hvem som helst en person har simpelthen brug for at bruge nye informationsteknologier, fordi deres korrekte, og vigtigst af alt passende, brug vil hjælpe med at øge motivationen til at studere emnet, øge interessen og hjælpe med at forstå bedre påkrævet materiale. Men glem ikke, at computeren ikke lærer dig at tænke, den modtagne information skal behandles, forstås og huskes. Derfor kan du henvende dig til vores online-vejledere for at få hjælp, som vil hjælpe dig med at finde ud af, hvordan du løser de problemer, der interesserer dig.

Har du stadig spørgsmål? Ved du ikke, hvordan man løser trigonometriske ligninger?
For at få hjælp fra en vejleder -.
Den første lektion er gratis!

blog.site, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til den originale kilde.

Trigonometriske ligninger. Som en del af matematikprøven i første del er der en opgave relateret til at løse en ligning - denne simple ligninger, som løses på få minutter, kan mange typer løses mundtligt. Inkluderer: lineære, kvadratiske, rationelle, irrationelle, eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske ligninger.

I denne artikel vil vi se på trigonometriske ligninger. Deres løsning adskiller sig både i mængden af ​​beregninger og i kompleksitet fra de andre problemer i denne del. Bliv ikke foruroliget, ordet "besvær" refererer til deres relative sværhedsgrad sammenlignet med andre opgaver.

Udover selv at finde rødderne til ligningen, er det nødvendigt at bestemme den største negative eller mindste positive rod. Sandsynligheden for, at du får en trigonometrisk ligning til eksamen, er selvfølgelig lille.

Der er mindre end 7 % af dem i denne del af Unified State Examination. Men det betyder ikke, at de skal ignoreres. I del C skal du også løse en trigonometrisk ligning, så en god forståelse af løsningsteknikken og forståelse af teorien er simpelthen nødvendig.

Forståelse af trigonometridelen af ​​matematik vil i høj grad bestemme din succes med at løse mange problemer. Jeg minder dig om, at svaret er et heltal eller et endeligt tal decimal. Når du har fået rødderne til ligningen, SKAL du kontrollere. Det vil ikke tage meget tid, og det vil redde dig fra at lave fejl.

Vi vil også se på andre ligninger i fremtiden, gå ikke glip af det! Lad os huske formlerne for rødderne af trigonometriske ligninger, du skal kende dem:

Kendskab til disse værdier er nødvendigt; dette er "ABC", uden hvilken det vil være umuligt at klare mange opgaver. Fantastisk, hvis din hukommelse er god, har du nemt lært og husket disse værdier. Hvad skal du gøre, hvis du ikke kan gøre dette, der er forvirring i dit hoved, men du blev bare forvirret, da du tog eksamen. Det ville være en skam at miste et point, fordi du skrev den forkerte værdi ned i dine beregninger.

Disse værdier er enkle, de er også angivet i teorien, du modtog i det andet brev efter at have tilmeldt dig nyhedsbrevet. Hvis du ikke har abonneret endnu, så gør det! I fremtiden vil vi også se på, hvordan disse værdier kan bestemmes ud fra en trigonometrisk cirkel. Det er ikke for ingenting, at det kaldes "trigonometriens gyldne hjerte."

Lad mig straks forklare, for at undgå forvirring, at i de ligninger, der betragtes nedenfor, er definitionerne af arcsine, arccosine, arctangens givet ved hjælp af vinklen x for de tilsvarende ligninger: cosx=a, sinx=a, tgx=a, hvor x kan også være et udtryk. I eksemplerne nedenfor er vores argument præciseret ved et udtryk.

Så lad os overveje følgende opgaver:

Find roden til ligningen:

Skriv den største negative rod ned i dit svar.

Løsningen til ligningen cos x = a er to rødder:

Definition: Lad tallet a i modul ikke overstige en. Buecosinus af et tal er vinklen x, der ligger i området fra 0 til Pi, hvis cosinus er lig med a.

Midler

Lad os udtrykke x:

Lad os finde den største negative rod. Hvordan gør man det? Lad os erstatte forskellige betydninger n ind i de resulterende rødder, beregn og vælg den største negative.

Vi beregner:

Med n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

Med n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

Med n = 0 x 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5

Med n = 1 x 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5

Med n = 2 x 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5

Vi fandt, at den største negative rod er –1,5

Svar: –1,5

Bestem selv:

Løs ligningen:

Løsningen til ligningen sin x = a er to rødder:

Enten (den kombinerer begge ovenstående):

Definition: Lad tallet a i modul ikke overstige en. Et tals bue er en vinkel x, der ligger i området fra – 90° til 90°, hvis sinus er lig med a.

Midler

Udtryk x (multiplicer begge sider af ligningen med 4 og divider med Pi):

Lad os finde den mindste positive rod. Her er det umiddelbart tydeligt, at ved udskiftning negative værdier n får vi negative rødder. Derfor vil vi erstatte n = 0,1,2...

Når n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

Når n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

Når n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Lad os tjekke med n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Så den mindste positive rod er 4.

Svar: 4

Bestem selv:

Løs ligningen:

Skriv den mindste positive rod i dit svar.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.