Find summen af ​​de første 19 tal i den aritmetiske progression. Summen af ​​de første n-led af en aritmetisk progression

Eller aritmetik er en type ordnet numerisk sekvens, hvis egenskaber studeres i et skolealgebrakursus. Denne artikel diskuterer i detaljer spørgsmålet om, hvordan man finder summen af ​​en aritmetisk progression.

Hvad er det for en progression?

Før du går videre til spørgsmålet (hvordan man finder summen af ​​en aritmetisk progression), er det værd at forstå, hvad vi taler om.

Enhver sekvens reelle tal, som fås ved at addere (fratrække) en eller anden værdi fra hvert tidligere tal, kaldes en algebraisk (aritmetisk) progression. Denne definition, når den oversættes til matematisk sprog, har formen:

Her er i serienummeret på elementet i rækken a i. Hvis du kun kender ét startnummer, kan du nemt gendanne hele serien. Parameteren d i formlen kaldes progressionsforskellen.

Det kan let påvises, at for rækken af ​​tal, der er under overvejelse, gælder følgende lighed:

a n = a1 + d * (n - 1).

Det vil sige, for at finde værdien af ​​det n'te element i rækkefølge, skal du lægge forskellen d til det første element a 1 n-1 gange.

Hvad er summen af ​​en aritmetisk progression: formel

Før du giver formlen for den angivne mængde, er det værd at overveje et simpelt specialtilfælde. Givet en progression af naturlige tal fra 1 til 10, skal du finde deres sum. Da der er få led i progressionen (10), er det muligt at løse problemet frontalt, det vil sige summere alle elementerne i rækkefølge.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

En ting der er værd at overveje interessant ting: da hvert led adskiller sig fra det næste med samme værdi d = 1, så vil den parvise summering af den første med den tiende, den anden med den niende og så videre give det samme resultat. Virkelig:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Som du kan se, er der kun 5 af disse summer, det vil sige nøjagtigt to gange mindre end antallet af elementer i serien. Hvis du derefter multiplicerer antallet af summer (5) med resultatet af hver sum (11), kommer du frem til resultatet opnået i det første eksempel.

Hvis vi generaliserer disse argumenter, kan vi skrive følgende udtryk:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Dette udtryk viser, at det slet ikke er nødvendigt at summere alle elementerne i en række, det er nok at kende værdien af ​​den første a 1 og den sidste a n , samt samlet antal n vilkår.

Det menes, at Gauss var den første, der tænkte på denne lighed, da han ledte efter en løsning på et givet problem. skolelærer opgave: summer de første 100 heltal.

Summen af ​​elementer fra m til n: formel

Formlen givet i det foregående afsnit besvarer spørgsmålet om, hvordan man finder summen af ​​en aritmetisk progression (de første elementer), men ofte i opgaver er det nødvendigt at summere en række tal i midten af ​​progressionen. Hvordan gør man dette?

Den nemmeste måde at besvare dette spørgsmål på er ved at overveje følgende eksempel: lad det være nødvendigt at finde summen af ​​led fra mth til nth. For at løse problemet bør du præsentere det givne segment fra m til n af progressionen i form af en ny talrække. I dette m-te repræsentation udtrykket a m vil være det første, og a n vil være nummereret n-(m-1). I dette tilfælde opnås følgende udtryk ved at anvende standardformlen for summen:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Eksempel på brug af formler

Ved at vide, hvordan man finder summen af ​​en aritmetisk progression, er det værd at overveje et simpelt eksempel på brug af ovenstående formler.

Nedenfor er en numerisk sekvens, du skal finde summen af ​​dens led, startende fra den 5. og slutter med den 12.:

De givne tal angiver, at forskellen d er lig med 3. Ved hjælp af udtrykket for det n'te element kan du finde værdierne af 5. og 12. led i progressionen. Det viser sig:

a5 = a1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

At kende værdierne af tallene i enderne af det givne algebraisk progression, og også ved, hvilke tal i rækken de optager, kan du bruge formlen for mængden opnået i det foregående afsnit. Det vil vise sig:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Det er værd at bemærke, at denne værdi kunne opnås anderledes: find først summen af ​​de første 12 elementer ved hjælp af standardformlen, beregn derefter summen af ​​de første 4 elementer ved hjælp af den samme formel, og træk derefter den anden fra den første sum.

Lektionstype: lære nyt stof.

Lektionens mål:

• udvide og uddybe elevernes forståelse af problemer løst ved hjælp af aritmetisk progression; organisering af elevernes søgeaktiviteter, når man udleder formlen for summen af ​​de første n led i en aritmetisk progression;
• at udvikle evnen til selvstændigt at tilegne sig ny viden og bruge allerede erhvervet viden til at udføre en given opgave;
• udvikle ønsket og behovet for at generalisere de opnåede fakta, udvikle uafhængighed.

Opgaver:

• opsummere og systematisere eksisterende viden om emnet "Aritmetisk progression";
• udlede formler til at beregne summen af ​​de første n led af en aritmetisk progression;
• lære at anvende de opnåede formler ved løsning forskellige opgaver;
• henlede elevernes opmærksomhed på fremgangsmåden for at finde værdien af ​​et numerisk udtryk.

Udstyr:

• kort med opgaver til at arbejde i grupper og par;
• resultatark;
• præsentation “Aritmetisk progression”.

I. Opdatering af grundlæggende viden.

1. Selvstændigt arbejde i par.

1. mulighed:

Definer aritmetisk progression. Skriv en gentagelsesformel ned, der definerer en aritmetisk progression. Giv venligst et eksempel på en aritmetisk progression og angiv dens forskel.

2. mulighed:

Skriv formlen ned for det n. led i en aritmetisk progression. Find det 100. led i den aritmetiske progression ( en n}: 2, 5, 8 …
På dette tidspunkt to studerende bagsiden bestyrelser forbereder svar på de samme spørgsmål.
Eleverne evaluerer deres partners arbejde ved at tjekke dem på tavlen. (Ark med svar afleveres.)

2. Spilmoment.

Opgave 1.

Lærer. Jeg tænkte på noget aritmetisk progression. Stil mig kun to spørgsmål, så du efter svarene hurtigt kan navngive det 7. semester i denne progression. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Spørgsmål fra studerende.

1. Hvad er det sjette led i progressionen, og hvad er forskellen?
2. Hvad er det ottende led i progressionen, og hvad er forskellen?

Hvis der ikke er flere spørgsmål, kan læreren stimulere dem - et "forbud" mod d (forskel), det vil sige, det er ikke tilladt at spørge, hvad forskellen er lig. Du kan stille spørgsmål: hvad er 6. led i progressionen lig med, og hvad er progressionens 8. led lig med?

Opgave 2.

Der er skrevet 20 tal på tavlen: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Læreren står med ryggen mod tavlen. Eleverne ringer nummeret op, og læreren ringer med det samme selve nummeret. Forklar hvordan jeg kan gøre dette?

Læreren husker formlen for n. semester a n = 3n – 2 og ved at erstatte de angivne værdier n, finder de tilsvarende værdier en n.

II. Opstilling af en læringsopgave.

Jeg foreslår at løse et gammelt problem, der går tilbage til det 2. årtusinde f.Kr., fundet i egyptiske papyrus.

Opgave:"Lad det siges til jer: Del 10 mål byg mellem 10 personer, forskellen mellem hver person og hans nabo er 1/8 af målet."

• Hvordan er dette problem relateret til emnet aritmetisk progression? (Hver næste person modtager 1/8 af målingen mere, hvilket betyder, at forskellen er d=1/8, 10 personer, hvilket betyder n=10.)
• Hvad tror du, tallet 10-mål betyder? (Summen af ​​alle vilkår for progressionen.)
• Hvad skal du ellers vide for at gøre det nemt og enkelt at dele byggen efter problemets forhold? (Første periode af progression.)

Lektionens mål– at opnå afhængigheden af ​​summen af ​​vilkårene for progressionen af ​​deres antal, det første led og forskellen og kontrollere, om problemet blev løst korrekt i oldtiden.

Før vi udleder formlen, lad os se, hvordan de gamle egyptere løste problemet.

Og de løste det som følger:

1) 10 mål: 10 = 1 mål – gennemsnitlig andel;
2) 1 mål ∙ = 2 mål – fordoblet gennemsnit dele.
Fordoblet gennemsnit aktie er summen af ​​5. og 6. persons andele.
3) 2 mål – 1/8 mål = 1 7/8 mål – dobbelt andel af den femte person.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – brøkdel af en femtedel; og så videre, kan du finde andelen af ​​hver tidligere og efterfølgende person.

Vi får sekvensen:

III. Løsning af problemet.

1. Arbejd i grupper

Gruppe I: Find summen af ​​20 på hinanden følgende naturlige tal: S20 =(20+1)∙10 =210.

I generel opfattelse

II gruppe: Find summen af ​​naturlige tal fra 1 til 100 (The Legend of Little Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Konklusion:

III gruppe: Find summen af ​​naturlige tal fra 1 til 21.

Løsning: 1+21=2+20=3+19=4+18...

Konklusion:

IV gruppe: Find summen af ​​naturlige tal fra 1 til 101.

Konklusion:

Denne metode til at løse de overvejede problemer kaldes "Gauss-metoden".

2. Hver gruppe præsenterer løsningen på problemet på tavlen.

3. Generalisering af de foreslåede løsninger for en vilkårlig aritmetisk progression:

a 1, a 2, a 3,..., a n-2, en n-1, en n.
Sn =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +...+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Lad os finde denne sum ved hjælp af lignende ræsonnement:

4. Har vi løst problemet?(Ja.)

IV. Primær forståelse og anvendelse af de opnåede formler ved problemløsning.

1. Tjek løsningen på et gammelt problem ved hjælp af formlen.

2. Anvendelse af formlen til løsning af forskellige problemer.

3. Øvelser til at udvikle evnen til at anvende formler ved problemløsning.

A) Nr. 613

Givet: ( a n) – aritmetisk progression;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Finde: S 1500

Løsning: , a 1 = 1 og 1500 = 1500,

B) Givet: ( a n) – aritmetisk progression;
(a n): 1, 2, 3, …
Sn = 210

Finde: n
Løsning:

V. Selvstændigt arbejde med gensidig verifikation.

Denis begyndte at arbejde som kurer. I den første måned var hans løn 200 rubler, i hver efterfølgende måned steg den med 30 rubler. Hvor meget tjente han i alt på et år?

Givet: ( a n) – aritmetisk progression;
a1 = 200, d=30, n=12
Finde: S 12
Løsning:

Svar: Denis modtog 4380 rubler for året.

VI. Lektieundervisning.

1. Afsnit 4.3 – lær udledningen af ​​formlen.
2. №№ 585, 623 .
3. Lav et problem, der kan løses ved hjælp af formlen for summen af ​​de første n led i en aritmetisk progression.

VII. Opsummering af lektionen.

1. Resultatark

2. Fortsæt sætningerne

• I dag i klassen lærte jeg...
• Lærte formler...
• Jeg tror, ​​at...

3. Kan du finde summen af ​​tal fra 1 til 500? Hvilken metode vil du bruge til at løse dette problem?

Referencer.

1. Algebra, 9. klasse. Tutorial til uddannelsesinstitutioner. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Enlightenment", 2009.

Aritmetiske og geometriske progressioner

Teoretisk information

Teoretisk information

	Aritmetisk progression	Geometrisk progression
Definition	Aritmetisk progression en n er en sekvens, hvor hvert medlem, startende fra det andet, er lig med det forrige medlem tilføjet til det samme tal d (d- progressionsforskel)	Geometrisk progression b n er en sekvens af ikke-nul tal, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående led ganget med det samme tal q (q- nævner for progression)
Formel for gentagelse	Til enhver naturlig n a n + 1 = a n + d	Til enhver naturlig n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formel n. sigt	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Karakteristisk egenskab
Summen af ​​de første n led

Eksempler på opgaver med kommentarer

Opgave 1

I aritmetisk progression ( en n) en 1 = -6, en 2

Ifølge formlen for det n'te led:

en 22 = en 1+ d (22 - 1) = en 1+ 21 d

Ifølge betingelsen:

en 1= -6, så en 22= -6 + 21 d.

Det er nødvendigt at finde forskellen på progressioner:

d = en 2 - en 1 = -8 – (-6) = -2

en 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Svar: en 22 = -48.

Opgave 2

Find det femte led i den geometriske progression: -3; 6;....

1. metode (ved hjælp af n-term formlen)

Ifølge formlen for det n. led i en geometrisk progression:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Fordi b 1 = -3,

2. metode (ved hjælp af tilbagevendende formel)

Da nævneren for progressionen er -2 (q = -2), så:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Svar: b 5 = -48.

Opgave 3

I aritmetisk progression ( a n ) a 74 = 34; en 76= 156. Find det femoghalvfjerdsende led i denne progression.

For en aritmetisk progression har den karakteristiske egenskab formen .

Heraf følger:

.

Lad os erstatte dataene med formlen:

Svar: 95.

Opgave 4

I aritmetisk progression ( a n ) a n= 3n - 4. Find summen af ​​de første sytten led.

For at finde summen af ​​de første n led af en aritmetisk progression, bruges to formler:

.

Hvilken af ​​dem er mere praktisk at bruge i dette tilfælde?

Som betingelse er formlen for det n'te led i den oprindelige progression kendt ( en n) en n= 3n - 4. Du kan finde straks og en 1, Og en 16 uden at finde d. Derfor vil vi bruge den første formel.

Svar: 368.

Opgave 5

I aritmetisk progression( en n) en 1 = -6; en 2= -8. Find det 22. led af progressionen.

Ifølge formlen for det n'te led:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = en 1+ 21d.

Efter betingelse, hvis en 1= -6, så en 22= -6 + 21d. Det er nødvendigt at finde forskellen på progressioner:

d = en 2 - en 1 = -8 – (-6) = -2

en 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Svar: en 22 = -48.

Opgave 6

Flere på hinanden følgende led af den geometriske progression er skrevet:

Find leddet for progressionen mærket x.

Når vi løser, vil vi bruge formlen for det n'te led b n = b 1 ∙ q n - 1 For geometriske forløb. Det første semester i progressionen. For at finde nævneren for progressionen q skal du tage en af ​​de givne led i progressionen og dividere med den foregående. I vores eksempel kan vi tage og dividere med. Vi får, at q = 3. I stedet for n erstatter vi 3 i formlen, da det er nødvendigt at finde det tredje led i en given geometrisk progression.

Ved at erstatte de fundne værdier i formlen får vi:

.

Svar:.

Opgave 7

Fra de aritmetiske progressioner givet af formlen for det n'te led, vælg den, for hvilken betingelsen er opfyldt en 27 > 9:

Da den givne betingelse skal være opfyldt for det 27. led af progressionen, erstatter vi 27 i stedet for n i hver af de fire progressioner. I 4. progression får vi:

.

Svar: 4.

Opgave 8

I aritmetisk progression en 1= 3, d = -1,5. Angiv højeste værdi n som uligheden gælder for en n > -6.

Instruktioner

En aritmetisk progression er en sekvens af formen a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Nummer d trin progression.Det er indlysende, at den generelle af en vilkårlig n-te led i aritmetikken progression har formen: An = A1+(n-1)d. Så kender man et af medlemmerne progression, medlem progression og trin progression, kan du, det vil sige nummeret på fremskridtsmedlemmet. Det vil naturligvis være bestemt af formlen n = (An-A1+d)/d.

Lad nu det månedlige udtryk være kendt progression og et andet medlem progression- nth, men n , som i det foregående tilfælde, men det er kendt, at n og m ikke falder sammen Trin progression kan beregnes ved hjælp af formlen: d = (An-Am)/(n-m). Så er n = (An-Am+md)/d.

Hvis summen af ​​flere elementer i en aritmetisk ligning er kendt progression, såvel som dens første og sidste, så kan antallet af disse elementer også bestemmes progression vil være lig med: S = ((A1+An)/2)n. Så er n = 2S/(A1+An) - chdenov progression. Ved at bruge det faktum, at An = A1+(n-1)d, kan denne formel omskrives som: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Ud fra dette kan vi udtrykke n ved at løse andengradsligning.

En aritmetisk rækkefølge er et ordnet sæt tal, hvor hvert medlem, undtagen det første, adskiller sig fra det foregående med samme mængde. Denne konstante værdi kaldes forskellen på progressionen eller dens trin og kan beregnes ud fra de kendte termer for den aritmetiske progression.

Instruktioner

Hvis værdierne af det første og andet eller et hvilket som helst andet par af tilstødende udtryk er kendt fra betingelserne for problemet, for at beregne forskellen (d) skal du blot trække det forrige fra det efterfølgende udtryk. Den resulterende værdi kan enten være positiv eller negativt tal- det afhænger af, om progressionen er stigende. I generel form skal du skrive løsningen for et vilkårligt par (aᵢ og aᵢ₊₁) af naboled af progressionen som følger: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

For et par termer i en sådan progression, hvoraf den ene er den første (a₁), og den anden er en hvilken som helst anden vilkårligt valgt, er det også muligt at oprette en formel til at finde forskellen (d). Men i dette tilfælde skal serienummeret (i) på et vilkårligt udvalgt medlem af sekvensen være kendt. For at beregne forskellen skal du tilføje begge tal og dividere det resulterende resultat med ordenstallet for et vilkårligt led reduceret med én. Generelt skal du skrive denne formel som følger: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Hvis der ud over et vilkårligt medlem af en aritmetisk progression med ordenstal i kendes et andet led med ordenstal u, skal du ændre formlen fra det foregående trin tilsvarende. I dette tilfælde vil forskellen (d) af progressionen være summen af ​​disse to led divideret med forskellen mellem dem serienumre: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formlen til beregning af forskellen (d) bliver noget mere kompliceret, hvis problembetingelserne giver værdien af ​​dets første led (a₁) og summen (Sᵢ) af et givet tal (i) af de første led i den aritmetiske rækkefølge. For at opnå den ønskede værdi skal du dividere summen med antallet af led, der udgør den, trække værdien af ​​det første tal i rækkefølgen fra og fordoble resultatet. Divider den resulterende værdi med antallet af led, der udgør summen reduceret med én. Generelt skal du skrive formlen til beregning af diskriminanten som følger: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Ja, ja: aritmetisk progression er ikke et stykke legetøj for dig :)

Nå, venner, hvis du læser denne tekst, så fortæller de interne cap-beviser mig, at du endnu ikke ved, hvad en aritmetisk progression er, men du vil virkelig (nej, sådan her: SÅÅÅÅ!) vide det. Derfor vil jeg ikke plage dig med lange introduktioner og kommer lige til sagen.

Først et par eksempler. Lad os se på flere sæt tal:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Hvad har alle disse sæt til fælles? Ved første øjekast ingenting. Men faktisk er der noget. Nemlig: hver næste element adskiller sig fra den foregående med samme tal.

Døm selv. Det første sæt er simpelthen fortløbende tal, hvor hver næste er et mere end det foregående. I det andet tilfælde er forskellen mellem tilstødende tal allerede fem, men denne forskel er stadig konstant. I det tredje tilfælde er der slet ingen rødder. Dog $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, og $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dvs. og i dette tilfælde stiger hvert næste element simpelthen med $\sqrt(2)$ (og vær ikke bange for, at dette tal er irrationelt).

Altså: alle sådanne sekvenser kaldes aritmetiske progressioner. Lad os give en streng definition:

Definition. En talfølge, hvor hver næste adskiller sig fra den foregående med nøjagtig samme mængde, kaldes en aritmetisk progression. Selve mængden, som tallene adskiller sig med, kaldes progressionsforskellen og betegnes oftest med bogstavet $d$.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ er selve progressionen, $d$ er dens forskel.

Og lige et par vigtige bemærkninger. For det første overvejes kun progression bestilt talrække: de må læses strengt i den rækkefølge, de er skrevet i - og intet andet. Numre kan ikke omarrangeres eller ombyttes.

For det andet kan sekvensen i sig selv enten være endelig eller uendelig. For eksempel er mængden (1; 2; 3) åbenbart en finit aritmetisk progression. Men hvis du skriver noget i ånden (1; 2; 3; 4; ...) - er dette allerede en uendelig progression. Ellipsen efter de fire synes at antyde, at der er en del flere numre på vej. Uendeligt mange f.eks. :)

Jeg vil også gerne bemærke, at progression kan være stigende eller faldende. Vi har allerede set stigende - det samme sæt (1; 2; 3; 4; ...). Her er eksempler på faldende progressioner:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: Det sidste eksempel kan virke alt for kompliceret. Men resten, tror jeg, du forstår. Derfor introducerer vi nye definitioner:

Definition. En aritmetisk progression kaldes:

1. stigende, hvis hvert næste element er større end det foregående;
2. faldende, hvis hvert efterfølgende element derimod er mindre end det foregående.

Derudover er der såkaldte "stationære" sekvenser - de består af det samme gentagne nummer. For eksempel (3; 3; 3; ...).

Der er kun ét spørgsmål tilbage: hvordan skelner man en stigende progression fra en aftagende? Heldigvis afhænger alt her kun af tegnet for tallet $d$, dvs. progressionsforskelle:

1. Hvis $d \gt 0$, så stiger progressionen;
2. Hvis $d \lt 0$, så er progressionen åbenbart faldende;
3. Endelig er der tilfældet $d=0$ - i dette tilfælde er hele progressionen reduceret til en stationær sekvens identiske tal: (1; 1; 1; 1; ...), osv.

Lad os prøve at beregne forskellen $d$ for de tre faldende progressioner givet ovenfor. For at gøre dette er det nok at tage to tilstødende elementer (for eksempel den første og anden) og trække tallet til venstre fra tallet til højre. Det vil se sådan ud:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Som vi ser, i alt tre sager forskellen viste sig faktisk at være negativ. Og nu hvor vi mere eller mindre har fundet ud af definitionerne, er det tid til at finde ud af, hvordan progressioner beskrives, og hvilke egenskaber de har.

Progressionsvilkår og gentagelsesformel

Da elementerne i vores sekvenser ikke kan ombyttes, kan de nummereres:

\[\venstre(((a)_(n)) \højre)=\venstre\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \right\)\]

De enkelte elementer i dette sæt kaldes medlemmer af en progression. De er angivet med et nummer: første medlem, andet medlem osv.

Derudover, som vi allerede ved, er tilstødende vilkår for progressionen forbundet med formlen:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Højrepil ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kort sagt, for at finde $n$th led af en progression, skal du kende $n-1$th led og forskellen $d$. Denne formel kaldes tilbagevendende, fordi du med dens hjælp kun kan finde et hvilket som helst tal ved at kende den forrige (og faktisk alle de foregående). Dette er meget ubelejligt, så der er en mere snedig formel, der reducerer eventuelle beregninger til det første led og forskellen:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \højre)d\]

Du har sikkert allerede stødt på denne formel. De giver det gerne i alle mulige opslagsbøger og løsningsbøger. Og i enhver fornuftig matematik lærebog er den en af ​​de første.

Jeg foreslår dog, at du øver dig lidt.

Opgave nr. 1. Skriv de første tre led ned i regneforløbet $\left(((a)_(n)) \right)$ hvis $((a)_(1))=8,d=-5$.

Løsning. Så vi kender det første led $((a)_(1))=8$ og forskellen på progressionen $d=-5$. Lad os bruge den netop angivne formel og erstatte $n=1$, $n=2$ og $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\venstre(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\venstre(2-1 \højre)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\venstre(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Svar: (8; 3; −2)

Det er det! Bemærk venligst: vores progression er faldende.

Selvfølgelig kunne $n=1$ ikke erstattes - det første led er allerede kendt af os. Men ved at erstatte enhed, var vi overbevist om, at selv i den første periode virker vores formel. I andre tilfælde faldt alt til banal aritmetik.

Opgave nr. 2. Skriv de første tre led i en aritmetisk progression ned, hvis dens syvende led er lig med -40 og dens syttende led er lig med -50.

Løsning. Lad os skrive problemtilstanden i velkendte termer:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \højre.\]

Jeg sætter systemtegnet, fordi disse krav skal opfyldes samtidigt. Lad os nu bemærke, at hvis vi trækker den første fra den anden ligning (vi har ret til at gøre dette, da vi har et system), får vi dette:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\venstre(((a)_(1))+6d \right)=-50-\venstre(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Så nemt er det at finde progressionsforskellen! Tilbage er blot at erstatte det fundne tal i en hvilken som helst af systemets ligninger. For eksempel i den første:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Nu, når man kender det første led og forskellen, er det tilbage at finde det andet og tredje udtryk:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Parat! Problemet er løst.

Svar: (−34; −35; −36)

Læg mærke til den interessante egenskab ved progression, som vi opdagede: hvis vi tager $n$th og $m$th led og trækker dem fra hinanden, får vi forskellen på progressionen ganget med $n-m$ tallet:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \venstre(n-m \højre)\]

Simpelt men meget nyttig ejendom, som du helt sikkert har brug for at vide - med dens hjælp kan du markant fremskynde løsningen af ​​mange progressionsproblemer. Her er et tydeligt eksempel på dette:

Opgave nr. 3. Det femte led i en aritmetisk progression er 8,4, og dets tiende led er 14,4. Find det femtende led i denne progression.

Løsning. Da $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, og vi skal finde $((a)_(15))$, bemærker vi følgende:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Men efter betingelse $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, derfor $5d=6$, hvorfra vi har:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Svar: 20.4

Det er det! Vi behøvede ikke oprette nogen ligningssystemer og beregne det første led og forskellen - alt blev løst på blot et par linjer.

Lad os nu se på en anden type problem – at søge efter negative og positive udtryk for en progression. Det er ingen hemmelighed, at hvis en progression stiger, og dens første term er negativ, så vil der før eller senere vises positive udtryk i den. Og omvendt: Vilkårene for en faldende progression vil før eller siden blive negative.

Samtidig er det ikke altid muligt at finde dette øjeblik "head-on" ved sekventielt at gennemgå elementerne. Ofte er problemer skrevet på en sådan måde, at uden at kende formlerne, ville beregningerne tage flere ark papir – vi ville simpelthen falde i søvn, mens vi fandt svaret. Lad os derfor prøve at løse disse problemer på en hurtigere måde.

Opgave nr. 4. Hvor mange negative led er der i den aritmetiske progression −38,5; −35,8; ...?

Løsning. Så $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, hvorfra vi straks finder forskellen:

Bemærk, at forskellen er positiv, så progressionen øges. Det første led er negativt, så på et tidspunkt vil vi faktisk støde på positive tal. Spørgsmålet er bare, hvornår det sker.

Lad os prøve at finde ud af: indtil hvornår (dvs. indtil hvad naturligt tal$n$) negativiteten af ​​vilkårene bevares:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Højrepil ((a)_(1))+\venstre(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\venstre(n-1 \højre)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \venstre| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \venstre(n-1 \højre) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Højrepil ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Den sidste linje kræver lidt forklaring. Så vi ved, at $n \lt 15\frac(7)(27)$. På den anden side er vi kun tilfredse med heltalsværdier af tallet (i øvrigt: $n\in \mathbb(N)$), så det største tilladte tal er netop $n=15$, og i intet tilfælde 16 .

Opgave nr. 5. I aritmetisk progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Find tallet på det første positive led i denne progression.

Dette ville være nøjagtig det samme problem som det forrige, men vi kender ikke $((a)_(1))$. Men naboleddene er kendt: $((a)_(5))$ og $((a)_(6))$, så vi kan nemt finde forskellen på progressionen:

Lad os desuden prøve at udtrykke det femte led gennem det første og forskellen ved hjælp af standardformlen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nu fortsætter vi analogt med den foregående opgave. Lad os finde ud af, på hvilket tidspunkt i vores rækkefølge positive tal vises:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\venstre(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Højrepil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Minimumsheltalsløsningen til denne ulighed er tallet 56.

Bemærk venligst: i den sidste opgave kom alt ned til streng ulighed, så muligheden $n=55$ vil ikke passe os.

Nu hvor vi har lært at løse simple problemer, lad os gå videre til mere komplekse. Men lad os først studere en anden meget nyttig egenskab ved aritmetiske progressioner, som vil spare os for en masse tid og ulige celler i fremtiden :)

Aritmetisk middelværdi og lige store fordybninger

Lad os betragte flere på hinanden følgende led i den stigende aritmetiske progression $\left(((a)_(n)) \right)$. Lad os prøve at markere dem på tallinjen:

Vilkår for en aritmetisk progression på tallinjen

Jeg markerede specifikt vilkårlige udtryk $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, og ikke nogle $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ osv. Fordi reglen, som jeg vil fortælle dig om nu, fungerer på samme måde for alle "segmenter".

Og reglen er meget enkel. Lad os huske den tilbagevendende formel og skrive den for alle markerede udtryk:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Disse ligheder kan dog omskrives anderledes:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Hvad så? Og det faktum, at termerne $((a)_(n-1))$ og $((a)_(n+1))$ ligger i samme afstand fra $((a)_(n)) $ . Og denne afstand er lig med $d$. Det samme kan siges om begreberne $((a)_(n-2))$ og $((a)_(n+2))$ - de er også fjernet fra $((a)_(n) )$ i samme afstand lig med $2d$. Vi kan fortsætte i det uendelige, men betydningen illustreres godt af billedet

Vilkårene for progressionen ligger i samme afstand fra centrum

Hvad betyder det for os? Det betyder, at $((a)_(n))$ kan findes, hvis nabotallene er kendt:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vi har udledt et fremragende udsagn: hvert led i en aritmetisk progression er lig med det aritmetiske middelværdi af dens naboled! Desuden: vi kan træde tilbage fra vores $((a)_(n))$ til venstre og til højre ikke med et trin, men med $k$ trin - og formlen vil stadig være korrekt:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]

Dem. vi kan nemt finde nogle $((a)_(150))$, hvis vi kender $((a)_(100))$ og $((a)_(200))$, fordi $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Ved første øjekast kan det se ud til, at dette faktum ikke giver os noget nyttigt. Men i praksis er mange problemer specielt skræddersyet til at bruge det aritmetiske gennemsnit. Tag et kig:

Opgave nr. 6. Find alle værdier af $x$, for hvilke tallene $-6((x)^(2))$, $x+1$ og $14+4((x)^(2))$ er på hinanden følgende led af en aritmetisk progression (i den angivne rækkefølge).

Løsning. Da disse tal er medlemmer af en progression, er den aritmetiske middel-betingelse opfyldt for dem: det centrale element $x+1$ kan udtrykkes i form af naboelementer:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Resultatet er en klassisk andengradsligning. Dens rødder: $x=2$ og $x=-3$ er svarene.

Svar: −3; 2.

Opgave nr. 7. Find værdierne af $$, for hvilke tallene $-1;4-3;(()^(2))+1$ danner en aritmetisk progression (i nævnte rækkefølge).

Løsning. Lad os igen udtrykke mellemleddet gennem det aritmetiske middelværdi af naboled:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \venstre| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Kvadratisk ligning igen. Og igen er der to rødder: $x=6$ og $x=1$.

Svar: 1; 6.

Hvis du i færd med at løse et problem kommer med nogle brutale tal, eller du ikke er helt sikker på rigtigheden af ​​de fundne svar, så er der en vidunderlig teknik, der giver dig mulighed for at tjekke: har vi løst problemet korrekt?

Lad os sige, at vi i opgave nr. 6 modtog svar −3 og 2. Hvordan kontrollerer man, at disse svar er rigtige? Lad os bare sætte dem i den originale tilstand og se, hvad der sker. Lad mig minde dig om, at vi har tre tal ($-6(()^(2))$, $+1$ og $14+4(()^(2))$), som skal danne en aritmetisk progression. Lad os erstatte $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Højrepil \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Vi fik tallene -54; −2; 50, der adskiller sig med 52, er uden tvivl en aritmetisk progression. Det samme sker for $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Højrepil \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Igen en progression, men med en forskel på 27. Dermed var problemet løst korrekt. De, der ønsker det, kan kontrollere det andet problem på egen hånd, men jeg vil sige med det samme: alt er også korrekt der.

Generelt, mens vi løste de sidste problemer, stødte vi på et andet interessant faktum, som også skal huskes:

Hvis tre tal er sådan, at det andet er det midterste aritmetik først og sidst, så danner disse tal en aritmetisk progression.

I fremtiden vil forståelsen af ​​denne erklæring give os mulighed for bogstaveligt talt at "konstruere" de nødvendige progressioner baseret på betingelserne for problemet. Men før vi engagerer os i en sådan "konstruktion", bør vi være opmærksomme på endnu et faktum, som direkte følger af det, der allerede er blevet diskuteret.

Gruppering og summering af elementer

Lad os vende tilbage til talaksen igen. Lad os der bemærke flere medlemmer af progressionen, mellem hvilke evt. er værd for mange andre medlemmer:

Der er 6 elementer markeret på tallinjen

Lad os prøve at udtrykke "venstre hale" gennem $((a)_(n))$ og $d$, og den "højre hale" gennem $((a)_(k))$ og $d$. Det er meget enkelt:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Bemærk nu, at følgende beløb er ens:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Kort sagt, hvis vi som en start betragter to elementer af progressionen, som i alt er lig med et eller andet tal $S$, og derefter begynder at træde fra disse elementer ind i modsatte sider(mod hinanden eller omvendt for at bevæge sig væk), så summen af ​​de elementer, som vi vil snuble over, vil også være lige store$S$. Dette kan tydeligst repræsenteres grafisk:

Lige fordybninger giver lige store mængder

Forståelse dette faktum vil give os mulighed for at løse problemer i en grundlæggende mere højt niveau vanskeligheder end dem, vi betragtede ovenfor. For eksempel disse:

Opgave nr. 8. Bestem forskellen på en aritmetisk progression, hvor det første led er 66, og produktet af det andet og tolvte led er det mindst mulige.

Løsning. Lad os skrive alt, hvad vi ved:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(align)\]

Så vi kender ikke progressionsforskellen $d$. Faktisk vil hele løsningen være bygget op omkring forskellen, da produktet $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ kan omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \venstre(d+66 \højre)\cdot \venstre(d+6 \højre). \end(align)\]

For dem i tanken: Jeg tog den samlede multiplikator på 11 ud af den anden parentes. Det påkrævede produkt er således en kvadratisk funktion i forhold til variablen $d$. Overvej derfor funktionen $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - dens graf vil være en parabel med forgreninger op, fordi hvis vi udvider parenteserne, får vi:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Som du kan se, er koefficienten for det højeste led 11 - det er positivt tal, så vi har virkelig at gøre med en parabel med forgreninger op:

skema kvadratisk funktion- parabel

Bemærk venligst: denne parabel tager sin minimumsværdi ved sit toppunkt med abscissen $((d)_(0))$. Selvfølgelig kan vi beregne denne abscisse ved hjælp af standardskemaet (der er formlen $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), men det ville være meget mere rimeligt at bemærke at det ønskede toppunkt ligger på parablens aksesymmetri, derfor er punktet $((d)_(0))$ lige langt fra rødderne af ligningen $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Derfor havde jeg ikke særlig travlt med at åbne beslagene: i deres oprindelige form var rødderne meget, meget nemme at finde. Derfor er abscissen lig med middelværdien aritmetiske tal−66 og −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Hvad giver det opdagede tal os? Med det tager det nødvendige produkt mindste værdi(i øvrigt har vi aldrig beregnet $((y)_(\min ))$ - dette kræves ikke af os). Samtidig er dette tal forskellen på den oprindelige progression, dvs. vi fandt svaret :)

Svar: -36

Opgave nr. 9. Mellem tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac(1)(6)$ indsættes tre tal, så de sammen med disse tal danner en aritmetisk progression.

Løsning. I det væsentlige skal vi lave en sekvens af fem tal, hvor det første og sidste tal allerede er kendt. Lad os betegne de manglende tal med variablerne $x$, $y$ og $z$:

\[\venstre(((a)_(n)) \right)=\venstre\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Bemærk, at tallet $y$ er "midten" af vores sekvens - det er lige langt fra tallene $x$ og $z$, og fra tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac (1)(6)$. Og hvis vi fra tallene $x$ og $z$ er i i øjeblikket vi kan ikke få $y$, så er situationen anderledes med enderne af progressionen. Lad os huske det aritmetiske middelværdi:

Nu, ved at kende $y$, vil vi finde de resterende tal. Bemærk, at $x$ ligger mellem tallene $-\frac(1)(2)$ og $y=-\frac(1)(3)$ vi lige har fundet. Det er derfor

Ved at bruge lignende ræsonnement finder vi det resterende tal:

Parat! Vi fandt alle tre numre. Lad os skrive dem i svaret i den rækkefølge, de skal indsættes mellem de oprindelige tal.

Svar: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Opgave nr. 10. Mellem tallene 2 og 42 skal du indsætte flere tal, der sammen med disse tal danner en aritmetisk progression, hvis du ved, at summen af ​​det første, andet og sidste af de indsatte tal er 56.

Løsning. Endnu mere svær opgave, som dog løses efter samme skema som de foregående - gennem det aritmetiske middelværdi. Problemet er, at vi ikke ved præcis, hvor mange tal der skal indsættes. Lad os derfor antage, at efter at have indsat alt, vil der være nøjagtige $n$-tal, og det første af dem er 2, og det sidste er 42. I dette tilfælde kan den nødvendige aritmetiske progression repræsenteres i formen:

\[\venstre(((a)_(n)) \højre)=\venstre\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Bemærk dog, at tallene $((a)_(2))$ og $((a)_(n-1))$ fås fra tallene 2 og 42 ved kanterne med et skridt mod hinanden, dvs. til midten af ​​sekvensen. Og det betyder det

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Men så kan udtrykket skrevet ovenfor omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \venstre(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Når vi kender $((a)_(3))$ og $((a)_(1))$, kan vi nemt finde forskellen på progressionen:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\venstre(3-1 \højre)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Højrepil d=5. \\ \end(align)\]

Tilbage er blot at finde de resterende udtryk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Således vil vi allerede på 9. trin ankomme til venstre ende af sekvensen - tallet 42. I alt skulle der kun indsættes 7 tal: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Svar: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Ordproblemer med progressioner

Afslutningsvis vil jeg gerne overveje et par relativt simple problemer. Nå, så simpelt er det: For de fleste elever, der læser matematik i skolen og ikke har læst det, der står ovenfor, kan disse problemer virke svære. Ikke desto mindre er disse typer problemer, der optræder i OGE og Unified State Examen i matematik, så jeg anbefaler, at du sætter dig ind i dem.

Opgave nr. 11. Holdet producerede 62 dele i januar, og i hver næste måned produceret 14 flere dele end den forrige. Hvor mange dele producerede holdet i november?

Løsning. Det er klart, at antallet af dele opført efter måned vil repræsentere en stigende aritmetisk progression. Desuden:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\venstre(n-1 \højre)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November er den 11. måned i året, så vi skal finde $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Derfor bliver der produceret 202 dele i november.

Opgave nr. 12. Bogbinderværkstedet indbundede i januar 216 bøger, og i hver efterfølgende måned indbundede det 4 flere bøger end i den foregående. Hvor mange bøger bandt workshoppen i december?

Løsning. Alt er det samme:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\venstre(n-1 \højre)\cdot 4. \\ \end(align)$

December er årets sidste 12. måned, så vi leder efter $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Dette er svaret - 260 bøger bliver indbundet i december.

Nå, hvis du har læst så langt, skynder jeg mig at lykønske dig: du har gennemført "unge kæmperkurset" i aritmetiske progressioner. Du kan roligt gå videre til næste lektion, hvor vi vil studere formlen for summen af ​​progression, samt vigtige og meget nyttige konsekvenser af den.