Første niveau

Aritmetisk progression. Detaljeret teori med eksempler (2019)

Nummerrækkefølge

Så lad os sætte os ned og begynde at skrive nogle tal. For eksempel:
Du kan skrive alle tal, og der kan være lige så mange af dem, som du vil (i vores tilfælde er der dem). Uanset hvor mange tal vi skriver, kan vi altid sige, hvilket der er først, hvilket der er andet, og så videre indtil det sidste, det vil sige, vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en talrække:

Nummerrækkefølge
For eksempel for vores sekvens:

Det tildelte nummer er specifikt for kun ét nummer i sekvensen. Med andre ord er der ingen tre sekunders tal i sekvensen. Det andet tal (som det th tal) er altid det samme.
Tallet med tal kaldes sekvensens th led.

Vi kalder normalt hele sekvensen med et bogstav (f.eks.), og hvert medlem af denne sekvens er det samme bogstav med et indeks svarende til tallet på dette medlem: .

I vores tilfælde:

Lad os sige, at vi har en talrække, hvor forskellen mellem tilstødende tal er den samme og ens.
For eksempel:

etc.
Denne talrække kaldes en aritmetisk progression.
Begrebet "progression" blev introduceret af den romerske forfatter Boethius tilbage i det 6. århundrede og blev i bredere forstand forstået som en uendelig numerisk rækkefølge. Navnet "aritmetik" blev overført fra teorien om kontinuerlige proportioner, som blev studeret af de gamle grækere.

Dette er en talrække, hvor hvert medlem er lig med den foregående tilføjet til det samme tal. Dette tal kaldes forskellen på en aritmetisk progression og betegnes.

Prøv at bestemme, hvilke talsekvenser der er en aritmetisk progression, og hvilke der ikke er:

en)
b)
c)
d)

Forstået? Lad os sammenligne vores svar:
Er aritmetisk progression - b, c.
Er ikke aritmetisk progression - a, d.

Lad os vende tilbage til den givne progression () og prøve at finde værdien af ​​dets th led. Eksisterer to måde at finde det på.

1. Metode

Vi kan føje progressionstallet til den forrige værdi, indtil vi når progressionens th term. Det er godt, at vi ikke har meget at opsummere - kun tre værdier:

Så det th led i den beskrevne aritmetiske progression er lig med.

2. Metode

Hvad hvis vi havde brug for at finde værdien af ​​progressionens tredje led? Summeringen ville tage os mere end en time, og det er ikke et faktum, at vi ikke ville lave fejl, når vi lægger tal sammen.
Selvfølgelig har matematikere fundet på en måde, hvorpå det ikke er nødvendigt at lægge forskellen på en aritmetisk progression til den tidligere værdi. Se nærmere på det tegnede billede... Du har sikkert allerede lagt mærke til et bestemt mønster, nemlig:

Lad os f.eks. se, hvad værdien af ​​det tredje led i denne aritmetiske progression består af:


Med andre ord:

Prøv selv at finde værdien af ​​et medlem af en given aritmetisk progression på denne måde.

Har du beregnet? Sammenlign dine noter med svaret:

Bemærk venligst, at du fik nøjagtig det samme tal som i den foregående metode, da vi sekventielt tilføjede vilkårene for den aritmetiske progression til den forrige værdi.
Lad os prøve at "depersonalisere" denne formel- lad os bringe hende til generel form og vi får:

Aritmetisk progressionsligning.

Aritmetiske progressioner kan være stigende eller faldende.

Stigende- progressioner, hvor hver efterfølgende værdi af vilkårene er større end den foregående.
For eksempel:

Aftagende- progressioner, hvor hver efterfølgende værdi af vilkårene er mindre end den foregående.
For eksempel:

Den afledte formel bruges i beregningen af ​​led i både stigende og faldende termer af en aritmetisk progression.
Lad os tjekke dette i praksis.
Vi får en aritmetisk progression, der består af følgende tal: Lad os tjekke, hvad det th tal i denne aritmetiske progression vil være, hvis vi bruger vores formel til at beregne det:

Siden da:

Vi er således overbevist om, at formlen fungerer i både faldende og stigende aritmetisk progression.
Prøv selv at finde de th og th led i denne aritmetiske progression.

Lad os sammenligne resultaterne:

Aritmetisk progressionsegenskab

Lad os komplicere problemet - vi vil udlede egenskaben for aritmetisk progression.
Lad os sige, at vi får følgende betingelse:
- aritmetisk progression, find værdien.
Nemt, siger du og begynder at tælle efter den formel, du allerede kender:

Lad, ah, så:

Fuldstændig ret. Det viser sig, at vi først finder, derefter tilføjer det til det første tal og får det, vi leder efter. Hvis progressionen er repræsenteret af små værdier, så er der ikke noget kompliceret ved det, men hvad nu hvis vi får tal i betingelsen? Enig, der er mulighed for at lave en fejl i beregningerne.
Tænk nu på, om det er muligt at løse dette problem i et trin ved hjælp af en formel? Selvfølgelig ja, og det er det, vi vil forsøge at få frem nu.

Lad os betegne det påkrævede led for den aritmetiske progression, da formlen for at finde den er kendt af os - dette er den samme formel, som vi udledte i begyndelsen:
, Derefter:

• den foregående periode af progressionen er:
• næste semester i progressionen er:

Lad os opsummere de foregående og efterfølgende vilkår for progressionen:

Det viser sig, at summen af ​​de foregående og efterfølgende led i progressionen er den dobbelte værdi af progressionsleddet placeret mellem dem. Med andre ord, for at finde værdien af ​​et progressionsled med kendte tidligere og successive værdier, skal du tilføje dem og dividere med.

Det er rigtigt, vi fik det samme nummer. Lad os sikre materialet. Beregn selv værdien for progressionen, det er slet ikke svært.

Godt klaret! Du ved næsten alt om progression! Det er tilbage kun at finde ud af én formel, som ifølge legenden let blev udledt af en af ​​de største matematikere gennem tidene, "matematikernes konge" - Karl Gauss...

Da Carl Gauss var 9 år gammel, tildelte en lærer, der havde travlt med at kontrollere elevernes arbejde i andre klasser, følgende opgave i klassen: "Tæl summen af ​​alle naturlige tal fra til (ifølge andre kilder til) inklusive." Forestil dig lærerens overraskelse, da en af ​​hans elever (dette var Karl Gauss) et minut senere gav det rigtige svar på opgaven, mens de fleste af vovehalsens klassekammerater efter lange udregninger fik det forkerte resultat...

Den unge Carl Gauss lagde mærke til et bestemt mønster, som du også nemt kan bemærke.
Lad os sige, at vi har en aritmetisk progression bestående af -th led: Vi skal finde summen af ​​disse led af den aritmetiske progression. Selvfølgelig kan vi manuelt summere alle værdierne, men hvad nu hvis opgaven kræver at finde summen af ​​dens vilkår, som Gauss ledte efter?

Lad os skildre den udvikling, vi har fået. Se nærmere på de fremhævede tal og prøv at udføre forskellige matematiske operationer med dem.


Har du prøvet det? Hvad lagde du mærke til? Højre! Deres beløb er lige store

Fortæl mig nu, hvor mange sådanne par er der i alt i den progression, vi har fået? Selvfølgelig præcis halvdelen af ​​alle tal, altså.
Baseret på det faktum, at summen af ​​to led i en aritmetisk progression er lig, og lignende par er lige, får vi, at den samlede sum er lig med:
.
Således vil formlen for summen af ​​de første led i enhver aritmetisk progression være:

I nogle problemer kender vi ikke det th led, men vi kender forskellen på progressionen. Prøv at erstatte formlen for det th led i sumformlen.
Hvad fik du?

Godt klaret! Lad os nu vende tilbage til problemet, som blev stillet til Carl Gauss: beregn selv, hvad summen af ​​tal, der starter fra th, er lig med og summen af ​​numre, der starter fra th.

Hvor meget fik du?
Gauss fandt ud af, at summen af ​​vilkårene er lig, og summen af ​​vilkårene. Var det det du besluttede?

Faktisk blev formlen for summen af ​​vilkårene for en aritmetisk progression bevist af den antikke græske videnskabsmand Diophantus tilbage i det 3. århundrede, og gennem hele denne tid gjorde vittige mennesker fuld brug af egenskaberne ved den aritmetiske progression.
Forestil dig for eksempel det gamle Egypten og datidens største byggeprojekt - opførelsen af ​​en pyramide... Billedet viser den ene side af det.

Hvor er progressionen her, siger du? Se godt efter og find et mønster i antallet af sandblokke i hver række af pyramidevæggen.


Hvorfor ikke en aritmetisk progression? Beregn, hvor mange blokke der er nødvendige for at bygge én væg, hvis der er placeret blokke i bunden. Jeg håber ikke, du vil tælle, mens du flytter fingeren hen over skærmen, husker du den sidste formel og alt, hvad vi sagde om aritmetisk progression?

I dette tilfælde ser forløbet således ud: .
Aritmetisk progressionsforskel.
Antallet af led i en aritmetisk progression.
Lad os erstatte vores data med de sidste formler (beregn antallet af blokke på 2 måder).

Metode 1.

Metode 2.

Og nu kan du beregne på skærmen: sammenlign de opnåede værdier med antallet af blokke, der er i vores pyramide. Forstået? Godt gået, du har mestret summen af ​​de n'te led i en aritmetisk progression.
Selvfølgelig kan du ikke bygge en pyramide fra blokke ved basen, men fra? Prøv at beregne, hvor mange sandsten der er nødvendige for at bygge en mur med denne tilstand.
Klarede du dig?
Det rigtige svar er blokke:

Uddannelse

Opgaver:

1. Masha er ved at komme i form til sommer. Hver dag øger hun antallet af squats med. Hvor mange gange vil Masha lave squats på en uge, hvis hun lavede squats ved den første træning?
2. Hvad er summen af ​​alle ulige tal indeholdt i.
3. Ved opbevaring af kævler stabler loggere dem på en sådan måde, at hver øverste lag indeholder en log mindre end den forrige. Hvor mange træstammer er der i ét murværk, hvis murværkets fundament er træstammer?

Svar:

1. Lad os definere parametrene for den aritmetiske progression. I dette tilfælde
   (uger = dage).

   Svar: Om to uger skal Masha lave squats en gang om dagen.

2. Første ulige tal, sidste tal.
   Aritmetisk progressionsforskel.
   Antallet af ulige tal i er det halve, men lad os kontrollere dette faktum ved at bruge formlen til at finde det te led i en aritmetisk progression:

   Tal indeholder ulige tal.
   Lad os erstatte de tilgængelige data i formlen:

   Svar: Summen af ​​alle ulige tal indeholdt i er lig.

3. Lad os huske problemet med pyramider. For vores tilfælde, a, da hvert øverste lag er reduceret med en log, så er der i alt en masse lag, dvs.
   Lad os erstatte dataene med formlen:

   Svar: Der er bjælker i murværket.

Lad os opsummere det

1. - en talrække, hvor forskellen mellem tilstødende tal er den samme og ens. Det kan være stigende eller faldende.
2. At finde formel Det th led i en aritmetisk progression er skrevet med formlen - , hvor er antallet af tal i progressionen.
3. Ejendom tilhørende medlemmer af en aritmetisk progression- - hvor er antallet af tal i progression.
4. Summen af ​​vilkårene for en aritmetisk progression kan findes på to måder:
   
   , hvor er antallet af værdier.

ARITMETISK PROGRESSION. GENNEMSNIVEAU

Nummerrækkefølge

Lad os sætte os ned og begynde at skrive nogle tal. For eksempel:

Du kan skrive alle tal, og der kan være lige så mange af dem, som du vil. Men vi kan altid sige, hvilken der er først, hvilken der er anden, og så videre, det vil sige, at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en talrække.

Nummerrækkefølge er et sæt numre, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tal associeres med et bestemt naturligt tal og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummer til noget andet nummer fra dette sæt.

Tallet med nummer kaldes det th medlem af sekvensen.

Vi kalder normalt hele sekvensen med et bogstav (f.eks.), og hvert medlem af denne sekvens er det samme bogstav med et indeks svarende til tallet på dette medlem: .

Det er meget praktisk, hvis det th led i sekvensen kan specificeres med en formel. For eksempel formlen

indstiller rækkefølgen:

Og formlen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progression en sekvens (det første led her er lig, og forskellen er det). Eller (, forskel).

formel for n. led

Vi kalder en formel tilbagevendende, hvor du, for at finde ud af det te led, skal kende de foregående eller flere foregående:

For at finde f.eks. det th led af progressionen ved hjælp af denne formel, bliver vi nødt til at beregne de foregående ni. Lad det f.eks. Derefter:

Nå, er det klart nu, hvad formlen er?

I hver linje lægger vi til, ganget med et eller andet tal. Hvilken en? Meget simpelt: dette er nummeret på det nuværende medlem minus:

Meget mere bekvemt nu, ikke? Vi tjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progression skal du finde formlen for det n. led og finde det hundrede led.

Løsning:

Det første led er lige. Hvad er forskellen? Her er hvad:

(Dette er grunden til, at det kaldes forskel, fordi det er lig med forskellen mellem successive led i progressionen).

Så formlen:

Så er det hundrede led lig med:

Hvad er summen af ​​alle naturlige tal fra til?

Ifølge legenden, stor matematiker Karl Gauss, som en 9-årig dreng, beregnede dette beløb på få minutter. Han bemærkede, at summen af ​​det første og det sidste tal er lig, summen af ​​det andet og næstsidste tal er det samme, summen af ​​det tredje og det tredje fra slutningen er det samme, og så videre. Hvor mange sådanne par er der i alt? Det er rigtigt, præcis halvdelen af ​​antallet af alle tal, altså. Så,

Den generelle formel for summen af ​​de første led i enhver aritmetisk progression vil være:

Eksempel:
Find summen af ​​alle tocifrede multipla.

Løsning:

Det første sådan nummer er dette. Hvert efterfølgende tal opnås ved at lægge til det foregående tal. De tal, vi er interesserede i, danner således en aritmetisk progression med det første led og forskellen.

Formel for th term for denne progression:

Hvor mange led er der i forløbet, hvis de alle skal være tocifrede?

Meget let: .

Den sidste periode af progressionen vil være lige. Så summen:

Svar: .

Bestem nu selv:

1. Hver dag løber atleten flere meter end den foregående dag. Hvor mange kilometer vil han i alt løbe på en uge, hvis han løb km m på den første dag?
2. En cyklist rejser flere kilometer hver dag end den foregående dag. Den første dag rejste han km. Hvor mange dage skal han rejse for at tilbagelægge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han rejse i løbet af den sidste dag af sin rejse?
3. Prisen på et køleskab i en butik falder med samme beløb hvert år. Bestem, hvor meget prisen på et køleskab faldt hvert år, hvis det seks år senere blev solgt for rubler, der blev sat til salg for rubler.

Svar:

1. Det vigtigste her er at genkende den aritmetiske progression og bestemme dens parametre. I dette tilfælde (uger = dage). Du skal bestemme summen af ​​de første led i denne progression:
   .
   Svar:
2. Her er angivet: , skal findes.
   Du skal selvfølgelig bruge den samme sumformel som i det forrige problem:
   .
   Erstat værdierne:

   Roden passer åbenbart ikke, så svaret er.
   Lad os beregne stien tilbagelagt i løbet af den sidste dag ved hjælp af formlen for det th led:
   (km).
   Svar:

3. Givet:. Find: .
   Det kunne ikke være nemmere:
   (gnide).
   Svar:

ARITMETISK PROGRESSION. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

Dette er en talrække, hvor forskellen mellem tilstødende tal er den samme og ens.

Aritmetisk progression kan være stigende () og faldende ().

For eksempel:

Formel til at finde det n'te led i en aritmetisk progression

er skrevet af formlen, hvor er antallet af tal i progression.

Ejendom tilhørende medlemmer af en aritmetisk progression

Det giver dig mulighed for nemt at finde et led i en progression, hvis dets naboled er kendt - hvor er antallet af tal i progressionen.

Summen af ​​led i en aritmetisk progression

Der er to måder at finde beløbet på:

Hvor er antallet af værdier.

Hvor er antallet af værdier.

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, betyder det, at du er meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i disse 5%!

Nu det vigtigste.

Du har forstået teorien om dette emne. Og jeg gentager, det her... det her er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For succes bestå Unified State-eksamenen, for optagelse på college på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige én ting...

Folk der modtog en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke modtog det. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi mange flere muligheder åbner sig foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre på Unified State-eksamenen og i sidste ende være... lykkeligere?

FÅ DIN HÅND VED LØSNING AF PROBLEMER OM DETTE EMNE.

Du bliver ikke bedt om teori under eksamen.

Du får brug for løse problemer mod tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MEGET!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke have tid.

Det er ligesom i sport – du skal gentage det mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find kollektionen, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For at blive bedre til at bruge vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, du er i gang med at læse.

Hvordan? Der er to muligheder:

1. Lås op for alle skjulte opgaver i denne artikel - 299 gnid.
2. Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - 999 gnid.

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

I det andet tilfælde vi vil give dig simulator "6000 problemer med løsninger og svar, for hvert emne, på alle niveauer af kompleksitet." Det vil helt sikkert være nok til at få dine hænder på at løse problemer om ethvert emne.

Faktisk er dette meget mere end blot en simulator – et helt træningsprogram. Hvis det er nødvendigt, kan du også bruge det GRATIS.

Adgang til alle tekster og programmer er givet i HELE perioden af ​​sidens eksistens.

Afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke ved teorien.

"Forstået" og "Jeg kan løse" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs dem!

Inden vi begynder at beslutte os aritmetiske progressionsproblemer, lad os overveje, hvad en talrække er, da en aritmetisk progression er et specialtilfælde af en talrække.

En talrække er et talsæt, hvor hvert element har sit eget serienummer . Elementerne i dette sæt kaldes medlemmer af sekvensen. Serienummeret på et sekvenselement er angivet med et indeks:

Det første element i sekvensen;

Det femte element i sekvensen;

- det "nte" element i sekvensen, dvs. element "stående i kø" ved nummer n.

Der er en sammenhæng mellem værdien af ​​et sekvenselement og dets sekvensnummer. Derfor kan vi betragte en sekvens som en funktion, hvis argument er ordenstallet for elementet i sekvensen. Det kan vi med andre ord sige rækkefølgen er en funktion af det naturlige argument:

Rækkefølgen kan indstilles på tre måder:

1 . Rækkefølgen kan angives ved hjælp af en tabel. I dette tilfælde indstiller vi blot værdien af ​​hvert medlem af sekvensen.

For eksempel besluttede nogen at tage personlig tidsstyring og til at begynde med tælle, hvor meget tid han bruger på VKontakte i løbet af ugen. Ved at registrere tiden i tabellen vil han modtage en sekvens bestående af syv elementer:

Den første linje i tabellen angiver nummeret på ugedagen, den anden - tiden i minutter. Vi ser det, det vil sige om mandagen, nogen brugte 125 minutter på VKontakte, det vil sige torsdag - 248 minutter, og det vil sige fredag ​​kun 15.

2 . Sekvensen kan specificeres ved hjælp af den n'te ledformel.

I dette tilfælde udtrykkes afhængigheden af ​​værdien af ​​et sekvenselement på dets nummer direkte i form af en formel.

For eksempel, hvis , så

For at finde værdien af ​​et sekvenselement med et givet tal, erstatter vi elementnummeret i formlen for det n'te led.

Vi gør det samme, hvis vi skal finde værdien af ​​en funktion, hvis værdien af ​​argumentet er kendt. Vi erstatter værdien af ​​argumentet i funktionsligningen:

Hvis der f.eks. , At

Lad mig endnu en gang bemærke, at i en sekvens, i modsætning til en vilkårlig numerisk funktion, kan argumentet kun være et naturligt tal.

3 . Sekvensen kan specificeres ved hjælp af en formel, der udtrykker afhængigheden af ​​værdien af ​​sekvensmedlemsnummeret n af værdierne af de tidligere medlemmer. I dette tilfælde er det ikke nok for os kun at kende nummeret på sekvensmedlemmet for at finde dets værdi. Vi skal angive det første medlem eller de første par medlemmer af sekvensen.

Overvej f.eks. rækkefølgen ,

Vi kan finde værdierne for sekvensmedlemmer i rækkefølge, startende fra den tredje:

Det vil sige, at hver gang, for at finde værdien af ​​det n'te led i sekvensen, vender vi tilbage til de to foregående. Denne metode til at specificere en sekvens kaldes tilbagevendende, fra det latinske ord recurro- kom tilbage.

Nu kan vi definere en aritmetisk progression. En aritmetisk progression er et simpelt specialtilfælde af en talrække.

Aritmetisk progression er en numerisk sekvens, hvor hvert medlem, startende fra det andet, er lig med det foregående tilføjet til det samme tal.

Nummeret ringes op forskel i aritmetisk progression. Forskellen på en aritmetisk progression kan være positiv, negativ eller lig med nul.

Hvis title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} stigende.

For eksempel, 2; 5; 8; elleve;...

Hvis , så er hvert led i en aritmetisk progression mindre end den foregående, og progressionen er faldende.

For eksempel, 2; -1; -4; -7;...

Hvis , så er alle led i progressionen lig med det samme tal, og progressionen er stationær.

For eksempel, 2;2;2;2;...

Hovedegenskaben ved en aritmetisk progression:

Lad os se på tegningen.

Det ser vi

, og på samme tid

Tilføjer vi disse to ligheder får vi:

.

Lad os dividere begge sider af ligheden med 2:

Så hvert medlem af den aritmetiske progression, startende fra den anden, er lig med det aritmetiske middelværdi af de to tilstødende:

Desuden siden

, og på samme tid

, At

, og derfor

Hvert led i en aritmetisk progression, startende med title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Udtrykkets formel.

Vi ser, at vilkårene for den aritmetiske progression opfylder følgende relationer:

og endelig

Vi fik formel for det n'te led.

VIGTIG! Ethvert medlem af en aritmetisk progression kan udtrykkes gennem og. Når du kender det første led og forskellen på en aritmetisk progression, kan du finde et hvilket som helst af dets udtryk.

Summen af ​​n led af en aritmetisk progression.

I en vilkårlig aritmetisk progression er summen af ​​termer med lige stor afstand fra de ekstreme lig med hinanden:

Overvej en aritmetisk progression med n led. Lad summen af ​​n vilkår af denne progression være lig med .

Lad os arrangere vilkårene for progressionen først i stigende rækkefølge af tal og derefter i faldende rækkefølge:

Lad os tilføje i par:

Summen i hver parentes er , antallet af par er n.

Vi får:

Så, summen af ​​n led af en aritmetisk progression kan findes ved hjælp af formlerne:

Lad os overveje løsning af aritmetiske progressionsproblemer.

1 . Rækkefølgen er givet ved formlen for det n'te led: . Bevis, at denne sekvens er en aritmetisk progression.

Lad os bevise, at forskellen mellem to tilstødende led i sekvensen er lig med det samme tal.

Vi fandt ud af, at forskellen mellem to tilstødende medlemmer af sekvensen ikke afhænger af deres antal og er en konstant. Derfor er denne sekvens per definition en aritmetisk progression.

2 . Givet en aritmetisk progression -31; -27;...

a) Find 31 led i progressionen.

b) Bestem, om tallet 41 er inkluderet i denne progression.

EN) Det ser vi;

Lad os nedskrive formlen for det n'te led for vores progression.

Generelt

I vores tilfælde , Derfor

Summen af ​​en aritmetisk progression.

Summen af ​​en aritmetisk progression er en simpel ting. Både i betydning og formel. Men der er alle mulige opgaver om dette emne. Fra basal til ganske solid.

Lad os først forstå betydningen og formlen for beløbet. Og så bestemmer vi. Til din egen fornøjelse.) Betydningen af ​​beløbet er så simpel som en moo. For at finde summen af ​​en aritmetisk progression skal du blot tilføje alle dens led omhyggeligt. Hvis disse udtryk er få, kan du tilføje uden formler. Men hvis der er meget, eller meget... tilføjelse er irriterende.) I dette tilfælde kommer formlen til undsætning.

Formlen for mængden er enkel:

Lad os finde ud af, hvilken slags bogstaver der er inkluderet i formlen. Dette vil opklare meget.

S n - summen af ​​en aritmetisk progression. Tilføjelsesresultat alle sammen medlemmer, med først Ved sidst. Det er vigtigt. De tæller nøjagtigt Alle medlemmer i træk, uden at springe eller springe over. Og netop startende fra først. I problemer som at finde summen af ​​det tredje og ottende led eller summen af ​​det femte til det tyvende led, vil direkte anvendelse af formlen skuffe.)

en 1 - først medlem af progressionen. Alt er klart her, det er enkelt først rækkenummer.

en n- sidst medlem af progressionen. Seriens sidste nummer. Ikke et meget kendt navn, men når det anvendes på mængden, er det meget passende. Så vil du selv se.

n - nummer på det sidste medlem. Det er vigtigt at forstå, at i formlen dette tal falder sammen med antallet af tilføjede udtryk.

Lad os definere konceptet sidst medlem en n. Et vanskeligt spørgsmål: hvilket medlem bliver den sidste hvis givet endeløs aritmetisk progression?)

For at svare sikkert skal du forstå den elementære betydning af aritmetisk progression og... læse opgaven omhyggeligt!)

I opgaven med at finde summen af ​​en aritmetisk progression optræder det sidste led altid (direkte eller indirekte), som bør begrænses. Ellers et endeligt bestemt beløb eksisterer simpelthen ikke. For løsningen er det lige meget, om progressionen er givet: endelig eller uendelig. Det er lige meget, hvordan det er givet: en række tal eller en formel for det n'te led.

Det vigtigste er at forstå, at formlen virker fra det første led i progressionen til det led med tal n. Faktisk ser formlens fulde navn sådan ud: summen af ​​de første n led i en aritmetisk progression. Antallet af disse allerførste medlemmer, dvs. n, er udelukkende bestemt af opgaven. I en opgave er al denne værdifulde information ofte krypteret, ja... Men pyt med det, i eksemplerne nedenfor afslører vi disse hemmeligheder.)

Eksempler på opgaver på summen af ​​en aritmetisk progression.

Først og fremmest, nyttige oplysninger:

Den største vanskelighed ved opgaver, der involverer summen af ​​en aritmetisk progression, ligger i den korrekte bestemmelse af elementerne i formlen.

Opgaveskriverne krypterer de samme elementer med grænseløs fantasi.) Det vigtigste her er ikke at være bange. For at forstå essensen af ​​elementerne er det nok blot at dechifrere dem. Lad os se på et par eksempler i detaljer. Lad os starte med en opgave baseret på en rigtig GIA.

1. Den aritmetiske progression er givet af betingelsen: a n = 2n-3,5. Find summen af ​​de første 10 led.

Godt arbejde. Nemt.) Hvad skal vi vide for at bestemme mængden ved hjælp af formlen? Første medlem en 1, sidste semester en n, ja nummeret på det sidste medlem n.

Hvor kan jeg få det sidste medlems nummer? n? Ja, lige der, på betingelse! Der står: find summen første 10 medlemmer. Nå, hvilket nummer bliver det med? sidst, tiende medlem?) Du vil ikke tro det, hans nummer er tiende!) Derfor i stedet for en n Vi vil erstatte i formlen en 10, og i stedet n- ti. Jeg gentager, antallet af det sidste medlem falder sammen med antallet af medlemmer.

Det er tilbage at bestemme en 1 Og en 10. Dette beregnes nemt ved hjælp af formlen for det n'te led, som er givet i problemformuleringen. Ved du ikke, hvordan man gør dette? Deltag i forrige lektion, uden dette er der ingen vej.

en 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

en 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Vi har fundet ud af betydningen af ​​alle elementer i formlen for summen af ​​en aritmetisk progression. Det eneste, der er tilbage, er at erstatte dem og tælle:

Det er det. Svar: 75.

En anden opgave baseret på GIA. Lidt mere kompliceret:

2. Givet en aritmetisk progression (a n), hvis forskel er 3,7; a1 = 2,3. Find summen af ​​de første 15 led.

Vi skriver straks sumformlen:

Denne formel giver os mulighed for at finde værdien af ​​ethvert led ved dets tal. Vi leder efter en simpel erstatning:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Det er tilbage at erstatte alle elementerne i formlen for summen af ​​en aritmetisk progression og beregne svaret:

Svar: 423.

Af den måde, hvis i sumformlen i stedet for en n Vi erstatter blot formlen for det n'te led og får:

Lad os præsentere lignende og få en ny formel for summen af ​​led i en aritmetisk progression:

Som du kan se, er det ikke påkrævet her n'te termin en n. I nogle problemer hjælper denne formel meget, ja... Du kan huske denne formel. Eller du kan blot vise det på det rigtige tidspunkt, som her. Når alt kommer til alt, skal du altid huske formlen for summen og formlen for det n'te led.)

Nu opgaven i form af en kort kryptering):

3. Find summen af ​​alle positive tocifrede tal, der er multipla af tre.

Wow! Hverken dit første medlem, eller dit sidste, eller progression overhovedet... Hvordan lever man!?

Du bliver nødt til at tænke med hovedet og trække alle elementerne i summen af ​​den aritmetiske progression ud fra betingelsen. Vi ved, hvad tocifrede tal er. De består af to tal.) Hvilket tocifret tal vil være først? 10, formentlig.) A sidste ting tocifret tal? 99, selvfølgelig! De trecifrede vil følge ham...

Multipler af tre... Hm... Det er tal, der er delelige med tre, her! Ti er ikke deleligt med tre, 11 er ikke deleligt... 12... er deleligt! Så noget er ved at dukke op. Du kan allerede nedskrive en serie i henhold til betingelserne for problemet:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Vil denne serie være en aritmetisk progression? Sikkert! Hvert udtryk adskiller sig fra det foregående med strengt tre. Hvis du lægger 2 eller 4 til et led, f.eks. resultatet, dvs. det nye tal er ikke længere deleligt med 3. Du kan straks bestemme forskellen på den aritmetiske progression: d = 3. Det vil komme til nytte!)

Så vi kan roligt nedskrive nogle progressionsparametre:

Hvad bliver tallet? n sidste medlem? Enhver, der tror, ​​at 99 tager fatalt fejl... Tallene går altid på række, men vores medlemmer springer over tre. De matcher ikke.

Der er to løsninger her. En måde er for de super hårdtarbejdende. Du kan skrive forløbet, hele talrækken ned og tælle antallet af medlemmer med fingeren.) Den anden måde er for den tankevækkende. Du skal huske formlen for det n'te led. Hvis vi anvender formlen på vores problem, finder vi ud af, at 99 er det tredivte led i progressionen. De der. n = 30.

Lad os se på formlen for summen af ​​en aritmetisk progression:

Vi kigger og glæder os.) Vi trak alt det nødvendige ud af problemformuleringen for at beregne beløbet:

en 1= 12.

en 30= 99.

S n = S 30.

Tilbage er blot elementær aritmetik. Vi erstatter tallene i formlen og beregner:

Svar: 1665

En anden type populær puslespil:

4. Givet en aritmetisk progression:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Find summen af ​​led fra tyvende til fireogtredive.

Vi ser på formlen for beløbet og... vi bliver sure.) Formlen, lad mig minde dig om, beregner beløbet fra den første medlem. Og i opgaven skal du beregne summen siden det tyvende... Formlen virker ikke.

Du kan selvfølgelig skrive hele progressionen ud i en serie og tilføje termer fra 20 til 34. Men... det er på en eller anden måde dumt og tager lang tid, ikke?)

Der er en mere elegant løsning. Lad os dele vores serie op i to dele. Den første del bliver fra første semester til det nittende. Anden del - fra tyve til fireogtredive. Det er klart, at hvis vi beregner summen af ​​vilkårene i den første del S 1-19, lad os tilføje det med summen af ​​vilkårene i anden del S 20-34, får vi summen af ​​progressionen fra den første term til den fireogtredive S 1-34. Sådan her:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ud fra dette kan vi se, at finde summen S 20-34 kan gøres ved simpel subtraktion

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Begge beløb på højre side tages i betragtning fra den første medlem, dvs. standardsumformlen er ret anvendelig for dem. Lad os komme igang?

Vi uddrager progressionsparametrene fra problemformuleringen:

d = 1,5.

en 1= -21,5.

For at beregne summen af ​​de første 19 og de første 34 led, skal vi bruge de 19. og 34. led. Vi beregner dem ved at bruge formlen for det n. led, som i opgave 2:

en 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

en 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Der er intet tilbage. Fra summen af ​​34 led trækkes summen af ​​19 led fra:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Svar: 262,5

En vigtig bemærkning! Der er et meget nyttigt trick til at løse dette problem. I stedet for direkte beregning hvad du har brug for (S 20-34), vi talte noget, der tilsyneladende ikke er nødvendigt - S 1-19. Og så bestemte de sig S 20-34, kasserer det unødvendige fra det komplette resultat. Denne form for "finte med dine ører" sparer dig ofte for slemme problemer.)

I denne lektion så vi på problemer, hvor det er nok at forstå betydningen af ​​summen af ​​en aritmetisk progression. Nå, du skal kende et par formler.)

Praktiske råd:

Når du løser ethvert problem, der involverer summen af ​​en aritmetisk progression, anbefaler jeg straks at skrive de to hovedformler fra dette emne ud.

Formel for n'te sigt:

Disse formler vil straks fortælle dig, hvad du skal kigge efter, og i hvilken retning du skal tænke for at løse problemet. Hjælper.

Og nu opgaverne til selvstændig løsning.

5. Find summen af ​​alle to-cifrede tal, der ikke er delelige med tre.

Fedt?) Hintet er gemt i noten til opgave 4. Nå, opgave 3 vil hjælpe.

6. Den aritmetiske progression er givet af betingelsen: a 1 = -5,5; a n+1 = an+0,5. Find summen af ​​de første 24 led.

Usædvanligt?) Dette er en tilbagevendende formel. Du kan læse om det i forrige lektion. Ignorer ikke linket, sådanne problemer findes ofte i State Academy of Sciences.

7. Vasya sparede penge op til ferien. Så meget som 4550 rubler! Og jeg besluttede at give min yndlingsperson (mig selv) et par dage med lykke). Lev smukt uden at nægte dig selv noget. Brug 500 rubler på den første dag, og brug på hver efterfølgende dag 50 rubler mere end den foregående! Indtil pengene slipper op. Hvor mange dage med lykke havde Vasya?

Er det svært?) Vil det hjælpe? yderligere formel fra opgave 2.

Svar (i uorden): 7, 3240, 6.

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Ja, ja: aritmetisk progression er ikke et stykke legetøj for dig :)

Nå, venner, hvis du læser denne tekst, så fortæller de interne cap-beviser mig, at du endnu ikke ved, hvad en aritmetisk progression er, men du vil virkelig (nej, sådan: SÅÅÅÅ!) vide det. Derfor vil jeg ikke plage dig med lange introduktioner og kommer lige til sagen.

Først et par eksempler. Lad os se på flere sæt tal:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Hvad har alle disse sæt til fælles? Ved første øjekast ingenting. Men faktisk er der noget. Nemlig: hver næste element adskiller sig fra den foregående med samme tal.

Døm selv. Det første sæt er simpelthen fortløbende tal, hvor hver næste er et mere end det foregående. I det andet tilfælde er forskellen mellem tilstødende tal allerede fem, men denne forskel er stadig konstant. I det tredje tilfælde er der rødder helt. Dog $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, og $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dvs. og i dette tilfælde stiger hvert næste element simpelthen med $\sqrt(2)$ (og vær ikke bange for, at dette tal er irrationelt).

Altså: alle sådanne sekvenser kaldes aritmetiske progressioner. Lad os give en streng definition:

Definition. En talfølge, hvor hver næste adskiller sig fra den foregående med nøjagtig samme mængde, kaldes en aritmetisk progression. Selve mængden, som tallene adskiller sig med, kaldes progressionsforskellen og betegnes oftest med bogstavet $d$.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ er selve progressionen, $d$ er dens forskel.

Og lige et par vigtige bemærkninger. For det første overvejes kun progression bestilt talrække: de må læses strengt i den rækkefølge, de er skrevet i - og intet andet. Numre kan ikke omarrangeres eller ombyttes.

For det andet kan sekvensen i sig selv enten være endelig eller uendelig. For eksempel er mængden (1; 2; 3) åbenbart en finit aritmetisk progression. Men hvis du skriver noget i ånden (1; 2; 3; 4; ...) - er dette allerede en uendelig progression. Ellipsen efter de fire synes at antyde, at der er en del flere numre på vej. Uendeligt mange f.eks. :)

Jeg vil også gerne bemærke, at progressioner kan være stigende eller faldende. Vi har allerede set stigende - det samme sæt (1; 2; 3; 4; ...). Her er eksempler på faldende progressioner:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: Det sidste eksempel kan virke alt for kompliceret. Men resten, tror jeg, du forstår. Derfor introducerer vi nye definitioner:

Definition. En aritmetisk progression kaldes:

1. stigende, hvis hvert næste element er større end det foregående;
2. faldende, hvis hvert efterfølgende element derimod er mindre end det foregående.

Derudover er der såkaldte "stationære" sekvenser - de består af det samme gentagne nummer. For eksempel (3; 3; 3; ...).

Der er kun ét spørgsmål tilbage: hvordan skelner man en stigende progression fra en aftagende? Heldigvis afhænger alt her kun af tegnet for tallet $d$, dvs. progressionsforskelle:

1. Hvis $d \gt 0$, så stiger progressionen;
2. Hvis $d \lt 0$, så er progressionen åbenbart faldende;
3. Endelig er der tilfældet $d=0$ - i dette tilfælde er hele progressionen reduceret til en stationær sekvens identiske tal: (1; 1; 1; 1; ...), osv.

Lad os prøve at beregne forskellen $d$ for de tre faldende progressioner givet ovenfor. For at gøre dette er det nok at tage to tilstødende elementer (for eksempel den første og anden) og trække tallet til venstre fra tallet til højre. Det vil se sådan ud:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Som vi kan se, viste forskellen sig faktisk at være negativ i alle tre tilfælde. Og nu hvor vi mere eller mindre har fundet ud af definitionerne, er det tid til at finde ud af, hvordan progressioner beskrives, og hvilke egenskaber de har.

Progressionsvilkår og gentagelsesformel

Da elementerne i vores sekvenser ikke kan ombyttes, kan de nummereres:

\[\venstre(((a)_(n)) \højre)=\venstre\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \højre\)\]

De enkelte elementer i dette sæt kaldes medlemmer af en progression. De er angivet med et nummer: første medlem, andet medlem osv.

Derudover, som vi allerede ved, er tilstødende vilkår for progressionen forbundet med formlen:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Højrepil ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kort sagt, for at finde $n$th led af en progression, skal du kende $n-1$th led og forskellen $d$. Denne formel kaldes tilbagevendende, fordi du med dens hjælp kun kan finde et hvilket som helst tal ved at kende den forrige (og faktisk alle de foregående). Dette er meget ubelejligt, så der er en mere snedig formel, der reducerer eventuelle beregninger til det første led og forskellen:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \højre)d\]

Du har sikkert allerede stødt på denne formel. De giver det gerne i alle mulige opslagsbøger og løsningsbøger. Og i enhver fornuftig matematik lærebog er den en af ​​de første.

Jeg foreslår dog, at du øver dig lidt.

Opgave nr. 1. Skriv de første tre led ned i regneforløbet $\left(((a)_(n)) \right)$ hvis $((a)_(1))=8,d=-5$.

Løsning. Så vi kender det første led $((a)_(1))=8$ og forskellen på progressionen $d=-5$. Lad os bruge den netop angivne formel og erstatte $n=1$, $n=2$ og $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\venstre(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\venstre(2-1 \højre)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\venstre(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Svar: (8; 3; −2)

Det er alt! Bemærk venligst: vores progression er faldende.

Selvfølgelig kunne $n=1$ ikke erstattes - det første led er allerede kendt af os. Men ved at erstatte enhed, var vi overbevist om, at selv i den første periode virker vores formel. I andre tilfælde faldt alt til banal aritmetik.

Opgave nr. 2. Skriv de første tre led i en aritmetisk progression ned, hvis dens syvende led er lig med -40 og dens syttende led er lig med -50.

Løsning. Lad os skrive problemtilstanden i velkendte termer:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \højre.\]

Jeg sætter systemtegnet, fordi disse krav skal opfyldes samtidigt. Lad os nu bemærke, at hvis vi trækker den første fra den anden ligning (vi har ret til at gøre dette, da vi har et system), får vi dette:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\venstre(((a)_(1))+6d \right)=-50-\venstre(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Så nemt er det at finde progressionsforskellen! Tilbage er blot at erstatte det fundne tal i en hvilken som helst af systemets ligninger. For eksempel i den første:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Nu, når man kender det første led og forskellen, er det tilbage at finde det andet og tredje udtryk:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Parat! Problemet er løst.

Svar: (−34; −35; −36)

Læg mærke til den interessante egenskab ved progression, som vi opdagede: hvis vi tager $n$th og $m$th led og trækker dem fra hinanden, får vi forskellen på progressionen ganget med $n-m$ tallet:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \venstre(n-m \højre)\]

Simpelt men meget nyttig ejendom, som du helt sikkert har brug for at vide - med dens hjælp kan du markant fremskynde løsningen af ​​mange progressionsproblemer. Her er et tydeligt eksempel på dette:

Opgave nr. 3. Det femte led i en aritmetisk progression er 8,4, og dets tiende led er 14,4. Find det femtende led i denne progression.

Løsning. Da $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, og vi skal finde $((a)_(15))$, bemærker vi følgende:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Men efter betingelse $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, derfor $5d=6$, hvorfra vi har:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Svar: 20.4

Det er alt! Vi behøvede ikke oprette nogen ligningssystemer og beregne det første led og forskellen - alt blev løst på blot et par linjer.

Lad os nu se på en anden type problem – at søge efter negative og positive udtryk for en progression. Det er ingen hemmelighed, at hvis en progression stiger, og dens første term er negativ, så vil der før eller senere vises positive udtryk i den. Og omvendt: Vilkårene for en faldende progression vil før eller siden blive negative.

Samtidig er det ikke altid muligt at finde dette øjeblik "head-on" ved sekventielt at gennemgå elementerne. Ofte er problemer skrevet på en sådan måde, at uden at kende formlerne, ville beregningerne tage flere ark papir – vi ville simpelthen falde i søvn, mens vi fandt svaret. Lad os derfor prøve at løse disse problemer på en hurtigere måde.

Opgave nr. 4. Hvor mange negative led er der i den aritmetiske progression −38,5; −35,8; ...?

Løsning. Så $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, hvorfra vi straks finder forskellen:

Bemærk, at forskellen er positiv, så progressionen øges. Det første led er negativt, så på et tidspunkt vil vi faktisk støde på positive tal. Spørgsmålet er bare, hvornår det sker.

Lad os prøve at finde ud af: indtil hvornår (dvs. indtil hvad naturligt tal$n$) negativiteten af ​​vilkårene bevares:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Højrepil ((a)_(1))+\venstre(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\venstre(n-1 \højre)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \venstre| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \venstre(n-1 \højre) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Højrepil ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Den sidste linje kræver lidt forklaring. Så vi ved, at $n \lt 15\frac(7)(27)$. På den anden side er vi kun tilfredse med heltalsværdier af tallet (i øvrigt: $n\in \mathbb(N)$), så det største tilladte tal er netop $n=15$, og i intet tilfælde 16 .

Opgave nr. 5. I aritmetisk progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Find tallet på det første positive led i denne progression.

Dette ville være nøjagtig det samme problem som det forrige, men vi kender ikke $((a)_(1))$. Men naboleddene er kendt: $((a)_(5))$ og $((a)_(6))$, så vi kan nemt finde forskellen på progressionen:

Lad os desuden prøve at udtrykke det femte led gennem det første og forskellen ved hjælp af standardformlen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nu fortsætter vi analogt med den foregående opgave. Lad os finde ud af, på hvilket tidspunkt i vores rækkefølge positive tal vises:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\venstre(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Højrepil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Minimumsheltalsløsningen til denne ulighed er tallet 56.

Bemærk venligst: i den sidste opgave kom alt ned til streng ulighed, så muligheden $n=55$ vil ikke passe os.

Nu hvor vi har lært at løse simple problemer, lad os gå videre til mere komplekse. Men lad os først studere en anden meget nyttig egenskab ved aritmetiske progressioner, som vil spare os for en masse tid og ulige celler i fremtiden. :)

Aritmetisk middelværdi og lige store fordybninger

Lad os betragte flere på hinanden følgende led i den stigende aritmetiske progression $\left(((a)_(n)) \right)$. Lad os prøve at markere dem på tallinjen:

Vilkår for en aritmetisk progression på tallinjen

Jeg markerede specifikt vilkårlige udtryk $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, og ikke nogle $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ osv. Fordi reglen, som jeg vil fortælle dig om nu, fungerer på samme måde for alle "segmenter".

Og reglen er meget enkel. Lad os huske den tilbagevendende formel og skrive den ned for alle markerede udtryk:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Disse ligheder kan dog omskrives anderledes:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Nå, hvad så? Og det faktum, at termerne $((a)_(n-1))$ og $((a)_(n+1))$ ligger i samme afstand fra $((a)_(n)) $ . Og denne afstand er lig med $d$. Det samme kan siges om begreberne $((a)_(n-2))$ og $((a)_(n+2))$ - de er også fjernet fra $((a)_(n) )$ i samme afstand lig med $2d$. Vi kan fortsætte i det uendelige, men betydningen illustreres godt af billedet

Vilkårene for progressionen ligger i samme afstand fra centrum

Hvad betyder det for os? Det betyder, at $((a)_(n))$ kan findes, hvis nabotallene er kendt:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vi har udledt et fremragende udsagn: hvert led i en aritmetisk progression er lig med det aritmetiske middelværdi af dens naboled! Desuden: vi kan træde tilbage fra vores $((a)_(n))$ til venstre og til højre ikke med et trin, men med $k$ trin - og formlen vil stadig være korrekt:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]

De der. vi kan nemt finde nogle $((a)_(150))$, hvis vi kender $((a)_(100))$ og $((a)_(200))$, fordi $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Ved første øjekast kan det se ud til, at dette faktum ikke giver os noget nyttigt. Men i praksis er mange problemer specielt skræddersyet til at bruge det aritmetiske gennemsnit. Tag et kig:

Opgave nr. 6. Find alle værdier af $x$, for hvilke tallene $-6((x)^(2))$, $x+1$ og $14+4((x)^(2))$ er på hinanden følgende led af en aritmetisk progression (i den angivne rækkefølge).

Løsning. Da disse tal er medlemmer af en progression, er den aritmetiske middel-betingelse opfyldt for dem: det centrale element $x+1$ kan udtrykkes i form af naboelementer:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Det blev klassisk andengradsligning. Dens rødder: $x=2$ og $x=-3$ er svarene.

Svar: −3; 2.

Opgave nr. 7. Find værdierne af $$, for hvilke tallene $-1;4-3;(()^(2))+1$ danner en aritmetisk progression (i nævnte rækkefølge).

Løsning. Lad os igen udtrykke mellemleddet gennem det aritmetiske middelværdi af naboled:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \venstre| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Andengradsligning igen. Og igen er der to rødder: $x=6$ og $x=1$.

Svar: 1; 6.

Hvis du i færd med at løse et problem kommer med nogle brutale tal, eller du ikke er helt sikker på rigtigheden af ​​de fundne svar, så er der en vidunderlig teknik, der giver dig mulighed for at tjekke: har vi løst problemet korrekt?

Lad os sige, at vi i opgave nr. 6 modtog svar −3 og 2. Hvordan kan vi kontrollere, at disse svar er rigtige? Lad os bare sætte dem i den originale tilstand og se, hvad der sker. Lad mig minde dig om, at vi har tre tal ($-6(()^(2))$, $+1$ og $14+4(()^(2))$), som skal danne en aritmetisk progression. Lad os erstatte $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Højrepil \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Vi fik tallene -54; −2; 50, der adskiller sig med 52, er uden tvivl en aritmetisk progression. Det samme sker for $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Højrepil \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Igen en progression, men med en forskel på 27. Dermed var problemet løst korrekt. De, der ønsker det, kan kontrollere det andet problem på egen hånd, men jeg vil sige med det samme: alt er også korrekt der.

Generelt, mens vi løste de sidste problemer, stødte vi på et andet interessant fakta, som også skal huskes:

Hvis tre tal er sådan, at det andet er det aritmetiske middelværdi af det første og det sidste, danner disse tal en aritmetisk progression.

I fremtiden vil forståelsen af ​​denne erklæring give os mulighed for bogstaveligt talt at "konstruere" de nødvendige progressioner baseret på betingelserne for problemet. Men før vi engagerer os i en sådan "konstruktion", bør vi være opmærksomme på endnu et faktum, som direkte følger af det, der allerede er blevet diskuteret.

Gruppering og summering af elementer

Lad os vende tilbage til talaksen igen. Lad os der bemærke flere medlemmer af progressionen, mellem hvilke evt. er værd for mange andre medlemmer:

Der er 6 elementer markeret på tallinjen

Lad os prøve at udtrykke "venstre hale" gennem $((a)_(n))$ og $d$, og den "højre hale" gennem $((a)_(k))$ og $d$. Det er meget enkelt:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Bemærk nu, at følgende beløb er ens:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Kort sagt, hvis vi som en start betragter to elementer af progressionen, som i alt er lig med et eller andet tal $S$, og derefter begynder at træde fra disse elementer ind i modsatte sider(mod hinanden eller omvendt for at bevæge sig væk), så summen af ​​de elementer, som vi vil snuble over, vil også være lige store$S$. Dette kan tydeligst repræsenteres grafisk:

Lige fordybninger giver lige store mængder

Forståelse dette faktum vil give os mulighed for at løse problemer i en grundlæggende mere højt niveau vanskeligheder end dem, vi betragtede ovenfor. For eksempel disse:

Opgave nr. 8. Bestem forskellen på en aritmetisk progression, hvor det første led er 66, og produktet af det andet og tolvte led er det mindst mulige.

Løsning. Lad os skrive alt, hvad vi ved:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(align)\]

Så vi kender ikke progressionsforskellen $d$. Faktisk vil hele løsningen være bygget op omkring forskellen, da produktet $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ kan omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \venstre(d+66 \højre)\cdot \venstre(d+6 \højre). \end(align)\]

For dem i tanken: Jeg tog den samlede multiplikator på 11 ud af den anden beslag. Det ønskede produkt er således en kvadratisk funktion i forhold til variablen $d$. Overvej derfor funktionen $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - dens graf vil være en parabel med forgreninger op, fordi hvis vi udvider parenteserne, får vi:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Som du kan se, er koefficienten for det højeste led 11 - det er positivt tal, så vi har virkelig at gøre med en parabel med forgreninger op:

tidsplan kvadratisk funktion- parabel

Bemærk venligst: denne parabel tager sin minimumsværdi ved sit toppunkt med abscissen $((d)_(0))$. Selvfølgelig kan vi beregne denne abscisse ved hjælp af standardskemaet (der er formlen $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), men det ville være meget mere rimeligt at bemærke at det ønskede toppunkt ligger på parablens aksesymmetri, derfor er punktet $((d)_(0))$ ækvidistant fra rødderne af ligningen $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Derfor havde jeg ikke særlig travlt med at åbne beslagene: i deres oprindelige form var rødderne meget, meget nemme at finde. Derfor er abscissen lig med middelværdien aritmetiske tal−66 og −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Hvad giver det opdagede tal os? Med det tager det nødvendige produkt mindste værdi(vi har i øvrigt aldrig beregnet $((y)_(\min ))$ - det kræves ikke af os). Samtidig er dette tal forskellen på den oprindelige progression, dvs. vi fandt svaret :)

Svar: -36

Opgave nr. 9. Mellem tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac(1)(6)$ indsættes tre tal, så de sammen med disse tal danner en aritmetisk progression.

Løsning. Grundlæggende skal vi lave en sekvens af fem tal, hvor det første og sidste tal allerede er kendt. Lad os betegne de manglende tal med variablerne $x$, $y$ og $z$:

\[\venstre(((a)_(n)) \right)=\venstre\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Bemærk, at tallet $y$ er "midten" af vores sekvens - det er lige langt fra tallene $x$ og $z$, og fra tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac (1)(6)$. Og hvis vi fra tallene $x$ og $z$ er i dette øjeblik vi kan ikke få $y$, så er situationen anderledes med enderne af progressionen. Lad os huske det aritmetiske middelværdi:

Nu, ved at kende $y$, vil vi finde de resterende tal. Bemærk, at $x$ ligger mellem tallene $-\frac(1)(2)$ og $y=-\frac(1)(3)$ vi lige har fundet. Derfor

Ved at bruge lignende ræsonnement finder vi det resterende tal:

Parat! Vi fandt alle tre numre. Lad os skrive dem i svaret i den rækkefølge, de skal indsættes mellem de oprindelige tal.

Svar: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Opgave nr. 10. Mellem tallene 2 og 42 skal du indsætte flere tal, der sammen med disse tal danner en aritmetisk progression, hvis du ved, at summen af ​​det første, andet og sidste af de indsatte tal er 56.

Løsning. Et endnu mere komplekst problem, som dog løses efter samme skema som de foregående - gennem det aritmetiske middelværdi. Problemet er, at vi ikke ved præcis, hvor mange tal der skal indsættes. Lad os derfor antage, at efter at have indsat alt, vil der være nøjagtige $n$-tal, og det første af dem er 2, og det sidste er 42. I dette tilfælde kan den nødvendige aritmetiske progression repræsenteres i formen:

\[\venstre(((a)_(n)) \højre)=\venstre\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Bemærk dog, at tallene $((a)_(2))$ og $((a)_(n-1))$ fås fra tallene 2 og 42 ved kanterne med et skridt mod hinanden, dvs. til midten af ​​sekvensen. Og det betyder det

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Men så kan udtrykket skrevet ovenfor omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \venstre(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Når vi kender $((a)_(3))$ og $((a)_(1))$, kan vi nemt finde forskellen på progressionen:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\venstre(3-1 \højre)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Højrepil d=5. \\ \end(align)\]

Tilbage er blot at finde de resterende udtryk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Således vil vi allerede på 9. trin ankomme til venstre ende af sekvensen - tallet 42. I alt skulle der kun indsættes 7 tal: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Svar: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Ordproblemer med progressioner

Afslutningsvis vil jeg gerne overveje et par relativt simple opgaver. Nå, så simpelt er det: For de fleste elever, der læser matematik i skolen og ikke har læst det, der står ovenfor, kan disse problemer virke svære. Ikke desto mindre er disse typer problemer, der optræder i OGE og Unified State Examen i matematik, så jeg anbefaler, at du sætter dig ind i dem.

Opgave nr. 11. Holdet producerede 62 dele i januar, og i hver næste måned produceret 14 flere dele end den forrige. Hvor mange dele producerede holdet i november?

Løsning. Det er klart, at antallet af dele opført efter måned vil repræsentere en stigende aritmetisk progression. I øvrigt:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\venstre(n-1 \højre)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November er den 11. måned i året, så vi skal finde $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Derfor bliver der produceret 202 dele i november.

Opgave nr. 12. Bogbinderværkstedet indbundede i januar 216 bøger, og i hver efterfølgende måned indbundede det 4 flere bøger end den foregående måned. Hvor mange bøger bandt workshoppen i december?

Løsning. Alt det samme:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\venstre(n-1 \højre)\cdot 4. \\ \end(align)$

December er årets sidste 12. måned, så vi leder efter $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Dette er svaret - 260 bøger bliver indbundet i december.

Nå, hvis du har læst så langt, skynder jeg mig at lykønske dig: du har gennemført "unge kæmperkurset" i aritmetiske progressioner. Du kan roligt gå videre til næste lektion, hvor vi vil studere formlen for summen af ​​progression, samt vigtige og meget nyttige konsekvenser af den.

Problemer med aritmetisk progression eksisterede allerede i oldtiden. De dukkede op og krævede en løsning, fordi de havde et praktisk behov.

Altså i en af ​​papyrierne Det gamle Egypten", som har et matematisk indhold - Rhind-papyrusen (1800-tallet f.Kr.) - indeholder følgende opgave: del ti mål brød på ti personer, forudsat at forskellen mellem hver af dem er en ottendedel af målet."

Og i de gamle grækeres matematiske værker er der elegante teoremer relateret til aritmetisk progression. Således formulerede Hypsicles of Alexandria (2. århundrede, som kompilerede mange interessante problemer og føjede den fjortende bog til Euclid's Elements), ideen: "I en aritmetisk progression, der har et lige antal led, summen af ​​vilkårene i 2. halvdel er større end summen af ​​vilkårene for den 1. på kvadratet 1/2 antal medlemmer."

Rækkefølgen er betegnet med en. Numrene på en sekvens kaldes dens medlemmer og er normalt betegnet med bogstaver med indeks, der angiver serienummeret på dette medlem (a1, a2, a3 ... læs: "en 1.", "en 2.", "en 3." og så videre ).

Rækkefølgen kan være uendelig eller endelig.

Hvad er en aritmetisk progression? Med det mener vi den, der opnås ved at tilføje det foregående led (n) med det samme tal d, som er forskellen på progressionen.

Hvis d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, så anses denne progression for at være stigende.

En aritmetisk progression kaldes finit, hvis kun dens første par led tages i betragtning. På meget store mængder medlemmer er allerede en endeløs udvikling.

Enhver aritmetisk progression er defineret af følgende formel:

an =kn+b, mens b og k er nogle tal.

Det modsatte udsagn er absolut sandt: hvis en sekvens er givet ved en lignende formel, så er det præcis en aritmetisk progression, der har egenskaberne:

1. Hvert led i progressionen er det aritmetiske gennemsnit af det foregående led og det efterfølgende.
2. Omvendt: hvis, startende fra 2., hvert led er det aritmetiske middelværdi af det foregående led og det efterfølgende, dvs. hvis betingelsen er opfyldt, er denne sekvens en aritmetisk progression. Denne lighed er også et tegn på progression, hvorfor det normalt kaldes en karakteristisk egenskab ved progression.
   På samme måde er sætningen, der afspejler denne egenskab, sand: en sekvens er kun en aritmetisk progression, hvis denne lighed er sand for nogen af ​​sekvensens led, begyndende med 2.

Den karakteristiske egenskab for alle fire tal i en aritmetisk progression kan udtrykkes med formlen an + am = ak + al, hvis n + m = k + l (m, n, k er progressionstal).

I en aritmetisk progression kan ethvert nødvendigt (N.) led findes ved hjælp af følgende formel:

For eksempel: det første led (a1) i en aritmetisk progression er givet og lig med tre, og forskellen (d) er lig med fire. Du skal finde det femogfyrre led i denne progression. a45 = 1+4(45-1)=177

Formlen an = ak + d(n - k) giver dig mulighed for at bestemme det n'te led i en aritmetisk progression gennem et hvilket som helst af dets k'te led, forudsat at det er kendt.

Summen af ​​vilkårene for en aritmetisk progression (hvilket betyder de første n led af en endelig progression) beregnes som følger:

Sn = (a1+an) n/2.

Hvis det første led også er kendt, er en anden formel praktisk til beregning:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Summen af ​​en aritmetisk progression, der indeholder n led, beregnes som følger:

Valget af formler til beregninger afhænger af problemernes betingelser og de indledende data.

Naturlige rækker af alle tal, såsom 1,2,3,...,n,...- enkleste eksempel aritmetisk progression.

Ud over den aritmetiske progression er der også en geometrisk progression, som har sine egne egenskaber og karakteristika.