Antiderivatet af funktionen y f x kaldes. Antiderivat af funktion. Antiderivatets hovedegenskab

27.09.2019

Vi har set, at den afledte har talrige anvendelser: den afledte er bevægelseshastigheden (eller mere generelt hastigheden af enhver proces); afledt er hældning tangent til grafen for en funktion; ved hjælp af den afledede kan du undersøge en funktion for monotonicitet og ekstrema; derivatet hjælper med at løse optimeringsproblemer.

Men i I virkeligheden Omvendte problemer skal også løses: For eksempel, sammen med problemet med at finde hastigheden ifølge en kendt bevægelseslov, er der også problemet med at genoprette bevægelsesloven i henhold til en kendt hastighed. Lad os overveje et af disse problemer.

Eksempel 1. Et materialepunkt bevæger sig i en ret linje, dets hastighed på tidspunktet t er givet ved formlen u = tg. Find bevægelsesloven.

Løsning. Lad s = s(t) være den ønskede bevægelseslov. Det er kendt, at s"(t) = u"(t). Det betyder, at du skal vælge for at løse problemet fungere s = s(t), hvis afledte er lig med tg. Det er ikke svært at gætte det

Lad os straks bemærke, at eksemplet er løst korrekt, men ufuldstændigt. Vi fandt ud af, at problemet faktisk har uendeligt mange løsninger: enhver funktion af formen en vilkårlig konstant kan tjene som en bevægelseslov, da

For at gøre opgaven mere specifik, var vi nødt til at rette den indledende situation: Angiv koordinaten for et bevægende punkt på et tidspunkt, for eksempel ved t=0. Hvis f.eks. s(0) = s 0, så får vi fra ligheden s(0) = 0 + C, dvs. S 0 = C. Nu er bevægelsesloven entydigt defineret:
I matematik får gensidigt inverse operationer forskellige navne, og der opfindes specielle notationer: for eksempel kvadrering (x 2) og udtrækning kvadrat rod sine(sinх) og arcsine(arcsin x) osv. Processen med at finde den afledede af en given funktion kaldes differentiering, og den inverse operation, dvs. processen med at finde en funktion ud fra en given afledt - integration.
Selve begrebet "afledt" kan retfærdiggøres "i hverdagen": funktionen y - f(x) "føder" en ny funktion y"= f"(x). Funktionen y = f(x) fungerer som en "forælder" , men matematikere kalder det naturligvis ikke en "forælder" eller "producent"; de siger, at dette i forhold til funktionen y"=f"(x) er det primære billede, eller i kort, antiderivatet.

Definition 1. Funktionen y = F(x) kaldes antiderivat for funktionen y = f(x) på et givet interval X, hvis ligheden F"(x)=f(x) gælder for alle x fra X.

I praksis er intervallet X normalt ikke specificeret, men underforstået (som det naturlige definitionsdomæne for funktionen).

Her er nogle eksempler:

1) Funktionen y = x 2 er antiafledt for funktionen y = 2x, da for alle x er ligheden (x 2)" = 2x sand.
2) funktionen y - x 3 er antiafledt for funktionen y-3x 2, da for alle x er ligheden (x 3)" = 3x 2 sand.
3) Funktionen y-sinх er antiderivativ for funktionen y = cosx, da for alle x er ligheden (sinx)" = cosx sand.
4) Funktionen er antiderivativ for en funktion på intervallet, da for alle x > 0 er ligheden sand
Generelt er det, når man kender formlerne til at finde derivater, ikke svært at udarbejde en tabel med formler til at finde antiderivater.

Vi håber, du forstår, hvordan denne tabel er kompileret: den afledede af funktionen, som er skrevet i anden kolonne, er lig med den funktion, der er skrevet i den tilsvarende række i den første kolonne (tjek det, vær ikke doven, det er meget nyttigt). For eksempel, for funktionen y = x 5, er antiderivatet, som du vil fastslå, funktionen (se den fjerde række i tabellen).

Bemærkninger: 1. Nedenfor vil vi bevise sætningen, at hvis y = F(x) er en antiafledt for funktionen y = f(x), så har funktionen y = f(x) uendeligt mange antiderivater, og de har alle formen y = F(x ) + C. Derfor ville det være mere korrekt at tilføje udtrykket C overalt i tabellens anden kolonne, hvor C er et vilkårligt reelt tal.
2. For korthedens skyld siger de nogle gange i stedet for sætningen "funktionen y = F(x) er en antiafledning af funktionen y = f(x)", at F(x) er en antiafledt af f(x) ."

2. Regler for at finde antiderivater

Ved søgning af antiderivater, såvel som ved søgning af derivater, bruges ikke kun formler (de er anført i tabellen på s. 196), men også nogle regler. De er direkte relateret til de tilsvarende regler for beregning af derivater.

Vi ved, at den afledte sum er lig med summen af dens afledte. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.

Regel 1. Antiderivatet af en sum er lig med summen af antiderivaterne.

Vi henleder din opmærksomhed på den noget "lethed" i denne formulering. Faktisk bør man formulere sætningen: hvis funktionerne y = f(x) og y = g(x) har antiderivater på intervallet X, henholdsvis y-F(x) og y-G(x), så er summen af funktionerne y = f(x)+g(x) har en antiderivativ på intervallet X, og denne antiderivativ er funktionen y = F(x)+G(x). Men normalt, når regler formuleres (ikke sætninger), er der kun nøgleord tilbage - dette er mere bekvemt for at anvende reglerne i praksis

Eksempel 2. Find antiafledet for funktionen y = 2x + cos x.

Løsning. Antiderivatet for 2x er x"; antiderivatet for cox er sin x. Det betyder, at antiderivatet for funktionen y = 2x + cos x vil være funktionen y = x 2 + sin x (og generelt enhver funktion af formen Y = x 1 + sinx + C).
Vi ved, at konstantfaktoren kan tages ud af den afledte fortegn. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.

Regel 2. Den konstante faktor kan tages ud af tegnet for antiderivatet.

Eksempel 3.

Løsning. a) Antiderivatet for sin x er -soz x; Det betyder, at for funktionen y = 5 sin x vil den antiafledte funktion være funktionen y = -5 cos x.

b) Antiderivatet for cos x er sin x; Det betyder, at antiderivatet af en funktion er funktionen
c) Antiderivatet for x 3 er antiderivatet for x, antiderivatet for funktionen y = 1 er funktionen y = x. Ved at bruge den første og anden regel for at finde antiderivater finder vi, at antiderivaten for funktionen y = 12x 3 + 8x-1 er funktionen
Kommentar. Som det er kendt, er derivatet af et produkt ikke lig med produktet af derivater (reglen for at differentiere et produkt er mere kompleks), og derivatet af en kvotient er ikke lig med kvotienten af derivater. Derfor er der ingen regler for at finde produktets antiderivat eller antiderivatet af kvotienten af to funktioner. Vær forsigtig!
Lad os få en anden regel for at finde antiderivater. Vi ved, at den afledede af funktionen y = f(kx+m) beregnes af formlen

Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.
Regel 3. Hvis y = F(x) er en antiafledt for funktionen y = f(x), så er den antiafledede for funktionen y=f(kx+m) funktionen

Ja,

Det betyder, at det er en antiderivat for funktionen y = f(kx+m).
Betydningen af den tredje regel er som følger. Hvis du ved, at antiafledningen af funktionen y = f(x) er funktionen y = F(x), og du skal finde antiafledningen af funktionen y = f(kx+m), så fortsæt således: tag den samme funktion F, men i stedet for argumentet x, erstatte udtrykket kx+m; desuden, glem ikke at skrive "korrektionsfaktor" før funktionstegnet
Eksempel 4. Find antiderivater for givne funktioner:

Løsning, a) Antiderivatet for sin x er -soz x; Det betyder, at for funktionen y = sin2x vil antiderivatet være funktionen
b) Antiderivatet for cos x er sin x; Det betyder, at antiderivatet af en funktion er funktionen

c) Antiderivatet for x 7 betyder, at for funktionen y = (4-5x) 7 vil antiderivatet være funktionen

3. Ubestemt integral

Vi har allerede bemærket ovenfor, at problemet med at finde en antiderivat for en given funktion y = f(x) har mere end én løsning. Lad os diskutere dette spørgsmål mere detaljeret.

Bevis. 1. Lad y = F(x) være antiafledet for funktionen y = f(x) på intervallet X. Det betyder, at for alle x fra X gælder ligheden x"(x) = f(x). Lad os find den afledede af enhver funktion på formen y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Altså (F(x)+C) = f(x). Det betyder, at y = F(x) + C er en antiderivat for funktionen y = f(x).
Vi har således bevist, at hvis funktionen y = f(x) har en antiafledning y=F(x), så har funktionen (f = f(x) uendeligt mange antiderivater, f.eks. enhver funktion af formen y = F(x)+C er et antiderivat.
2. Lad os nu bevise, at den angivne type funktioner udtømmer hele sættet af antiderivater.

Lad y=F 1 (x) og y=F(x) være to antiderivater for funktionen Y = f(x) på intervallet X. Det betyder, at for alle x fra intervallet X gælder følgende relationer: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Lad os betragte funktionen y = F 1 (x) -.F(x) og finde dens afledede: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Det er kendt, at hvis den afledede af en funktion på et interval X er identisk lig nul, så er funktionen konstant på intervallet X (se sætning 3 fra § 35). Det betyder, at F 1 (x) - F (x) = C, dvs. Fx) = F(x)+C.

Sætningen er blevet bevist.

Eksempel 5. Loven om hastighedsændring med tiden er givet: v = -5sin2t. Find bevægelsesloven s = s(t), hvis det er kendt, at på tidspunktet t=0 var punktets koordinat lig med tallet 1,5 (dvs. s(t) = 1,5).

Løsning. Da hastighed er en afledt af koordinaten som funktion af tid, skal vi først finde den antiafledede af hastigheden, dvs. antiderivat for funktionen v = -5sin2t. En af sådanne antiderivater er funktionen , og sættet af alle antiderivater har formen:

For at finde den specifikke værdi af konstanten C, bruger vi startbetingelserne, ifølge hvilke s(0) = 1,5. Ved at erstatte værdierne t=0, S = 1,5 i formel (1), får vi:

Ved at erstatte den fundne værdi af C i formel (1), opnår vi den bevægelseslov, der interesserer os:

Definition 2. Hvis en funktion y = f(x) har en antiderivat y = F(x) på et interval X, så er mængden af alle antiderivater, dvs. sættet af funktioner på formen y = F(x) + C kaldes det ubestemte integral af funktionen y = f(x) og betegnes med:

(læs: "ubestemt integral ef fra x de x").
I det næste afsnit vil vi finde ud af, hvad den skjulte betydning af denne betegnelse er.
Baseret på tabellen over tilgængelige antiderivater i dette afsnit vil vi kompilere en tabel over de vigtigste ubestemte integraler:

Ud fra ovenstående tre regler for at finde antiderivater kan vi formulere de tilsvarende integrationsregler.

Regel 1. Integral af summen af funktioner lig med summen integraler af disse funktioner:

Regel 2. Konstantfaktoren kan tages ud af integraletegnet:

Regel 3. Hvis

Eksempel 6. Find ubestemte integraler:

Løsning, a) Ved at bruge den første og anden integrationsregler får vi:

Lad os nu bruge 3. og 4. integrationsformler:

Som et resultat får vi:

b) Ved at bruge den tredje regel for integration og formel 8 får vi:

c) For direkte at finde et givet integral har vi hverken den tilsvarende formel eller den tilsvarende regel. I sådanne tilfælde hjælper tidligere udførte identiske transformationer af udtrykket indeholdt under integraltegn nogle gange.

Lad os drage fordel trigonometrisk formel Gradreduktion:

Så finder vi sekventielt:

A.G. Mordkovich Algebra 10 klasse

Kalendertematisk planlægning i matematik, video i matematik online, Matematik i skolen

Mål:

Dannelse af begrebet antiderivat.
Forberedelse til opfattelsen af integralet.
Dannelse af computerfærdigheder.
At dyrke en følelse af skønhed (evnen til at se skønhed i det usædvanlige).

Matematisk analyse er et sæt grene af matematik, der er viet til studiet af funktioner og deres generaliseringer ved hjælp af metoderne til differential- og integralregning.

Indtil nu har vi studeret en gren af matematisk analyse kaldet differentialregning, hvis essens er studiet af en funktion i det "små".

De der. undersøgelse af en funktion i tilstrækkeligt små kvarterer af hvert definitionspunkt. En af operationerne differentiering - at finde afledt (differentiel) og anvendelse til studiet af funktioner.

Det omvendte problem er ikke mindre vigtigt. Hvis adfærden af en funktion i nærheden af hvert punkt i dens definition er kendt, hvordan kan man så rekonstruere funktionen som helhed, dvs. gennem hele dens definition. Dette problem er genstand for undersøgelse af den såkaldte integralregning.

Integration er den omvendte handling af differentiering. Eller gendannelse af funktionen f(x) fra en given afledt f`(x). Det latinske ord "integro" betyder restaurering.

Eksempel nr. 1.

Lad (x)`=3x2.
Lad os finde f(x).

Løsning:

Ud fra differentieringsreglen er det ikke svært at gætte, at f(x) = x 3, fordi (x 3)` = 3x 2
Du kan dog nemt bemærke, at f(x) ikke findes entydigt.
Som f(x) kan vi tage
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 osv.

Fordi den afledede af hver af dem er lig med 3x2. (Den afledte af en konstant er 0). Alle disse funktioner adskiller sig fra hinanden ved et konstant led. Derfor kan den generelle løsning på problemet skrives som f(x) = x 3 + C, hvor C er et hvilket som helst konstant reelt tal.

Enhver af de fundne funktioner f(x) kaldes PRIMODIUM for funktionen F`(x)= 3x 2

Definition. En funktion F(x) kaldes antiderivat for en funktion f(x) på et givet interval J hvis for alle x fra dette interval F`(x)= f(x). Så funktionen F(x)=x 3 er antiderivativ for f(x)=3x 2 på (- ∞ ; ∞).
Da for alle x ~R er ligheden sand: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Som vi allerede har bemærket, har denne funktion et uendeligt antal antiderivater (se eksempel nr. 1).

Eksempel nr. 2. Funktionen F(x)=x er antiafledt for alle f(x)= 1/x i intervallet (0; +), fordi for alle x fra dette interval gælder lighed.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Eksempel nr. 3. Funktionen F(x)=tg3x er en antiderivat for f(x)=3/cos3x i intervallet (-n/ 2; P/ 2),
fordi F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Eksempel nr. 4. Funktionen F(x)=3sin4x+1/x-2 er antiderivativ for f(x)=12cos4x-1/x 2 i intervallet (0;∞)
fordi F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Foredrag 2.

Emne: Antiderivat. Hovedegenskaben ved en antiderivatfunktion.

Når vi studerer antiderivatet, vil vi stole på følgende erklæring. Tegn for en funktions konstantitet: Hvis på intervallet J den afledede Ψ(x) af funktionen er lig med 0, så er funktionen Ψ(x) på dette interval konstant.

Dette udsagn kan demonstreres geometrisk.

Det er kendt, at Ψ`(x)=tgα, γde α er hældningsvinklen for tangenten til grafen for funktionen Ψ(x) i punktet med abscisse x 0. Hvis Ψ`(υ)=0 på et hvilket som helst punkt i intervallet J, så tanα=0 δfor enhver tangent til grafen for funktionen Ψ(x). Det betyder, at tangenten til funktionens graf i ethvert punkt er parallel med abscisseaksen. Derfor falder grafen for funktionen Ψ(x) på det angivne interval sammen med det rette linjestykke y=C.

Så funktionen f(x)=c er konstant på intervallet J, hvis f`(x)=0 på dette interval.

Faktisk, for en vilkårlig x 1 og x 2 fra intervallet J, ved at bruge sætningen om middelværdien af en funktion, kan vi skrive:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), fordi f`(c)=0, derefter f(x 2)= f(x 1)

Sætning: (Hovedegenskaben ved den antiderivative funktion)

Hvis F(x) er en af antiderivaterne for funktionen f(x) på intervallet J, så har mængden af alle antiderivater af denne funktion formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tal.

Bevis:

Lad F`(x) = f (x), derefter (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), for x Є J.
Antag, at der findes Φ(x) - en anden antiderivat for f (x) på intervallet J, dvs. Φ`(x) = f (x),
derefter (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, for x Є J.
Det betyder, at Φ(x) - F(x) er konstant på intervallet J.
Derfor er Φ(x) - F(x) = C.
Fra hvor Φ(x)= F(x)+C.
Det betyder, at hvis F(x) er en antiafledning for en funktion f (x) i intervallet J, så har mængden af alle antiderivater af denne funktion formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tal.
Følgelig adskiller to antiderivater af en given funktion sig fra hinanden med et konstant led.

Eksempel: Find mængden af antiderivater af funktionen f (x) = cos x. Tegn grafer over de første tre.

Løsning: Sin x er en af antiderivaterne for funktionen f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – mængden af alle antiderivater.

Fi (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F3 (x) = Sin x+1

Geometrisk illustration: Grafen for ethvert antiderivat F(x)+C kan fås fra grafen for antiderivatet F(x) under anvendelse af parallel overførsel af r (0;c).

Eksempel: For funktionen f (x) = 2x, find en antiderivativ, hvis graf går gennem t.M (1;4)

Løsning: F(x)=x 2 +C – mængden af alle antiderivater, F(1)=4 – i henhold til problemets betingelser.
Derfor er 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Der er tre grundlæggende regler for at finde antiderivative funktioner. De minder meget om de tilsvarende differentieringsregler.

Regel 1

Hvis F er et antiderivat for en eller anden funktion f, og G er et antiderivat for en funktion g, så vil F + G være et antiderivat for f + g.

Ved definition af et antiderivat er F' = f. G' = g. Og da disse betingelser er opfyldt, vil vi ifølge reglen for beregning af den afledte for summen af funktioner have:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Regel 2

Hvis F er en antiderivat for en eller anden funktion f, og k er en konstant. Så er k*F antiderivatet af funktionen k*f. Denne regel følger af reglen for beregning af den afledede af en kompleks funktion.

Vi har: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Regel 3

Hvis F(x) er en antiafledt for funktionen f(x), og k og b er nogle konstanter, og k ikke er lig med nul, så vil (1/k)*F*(k*x+b) være en antiderivat for funktionen f (k*x+b).

Denne regel følger af reglen for beregning af den afledede af en kompleks funktion:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Lad os se på et par eksempler på, hvordan disse regler gælder:

Eksempel 1. Find generel form antiderivater for funktionen f(x) = x^3 +1/x^2. For funktionen x^3 vil en af antiderivaterne være funktionen (x^4)/4, og for funktionen 1/x^2 vil en af antiderivaterne være funktionen -1/x. Ved at bruge den første regel har vi:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Eksempel 2. Lad os finde den generelle form for antiderivater for funktionen f(x) = 5*cos(x). For funktionen cos(x) vil en af antiderivaterne være funktionen sin(x). Hvis vi nu bruger den anden regel, vil vi have:

F(x) = 5*sin(x).

Eksempel 3. Find en af antiderivaterne for funktionen y = sin(3*x-2). For funktionen sin(x) vil en af antiderivaterne være funktionen -cos(x). Hvis vi nu bruger den tredje regel, får vi et udtryk for antiderivatet:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Eksempel 4. Find antiafledningen for funktionen f(x) = 1/(7-3*x)^5

Antiderivatet for funktionen 1/x^5 vil være funktionen (-1/(4*x^4)). Nu, ved at bruge den tredje regel, får vi.

Tidligere, ifølge en given funktion, styret af forskellige formler og regler, fandt sin afledte. Afledten har adskillige anvendelser: det er bevægelseshastigheden (eller mere generelt hastigheden af enhver proces); vinkelkoefficienten for tangenten til grafen for funktionen; ved hjælp af den afledede kan du undersøge en funktion for monotonicitet og ekstrema; det hjælper med at løse optimeringsproblemer.

Men sammen med problemet med at finde hastigheden efter en kendt bevægelseslov, er der også et omvendt problem - problemet med at genoprette bevægelsesloven i henhold til en kendt hastighed. Lad os overveje et af disse problemer.

Eksempel 1. Et materialepunkt bevæger sig i en ret linje, hastigheden af dets bevægelse på tidspunktet t er givet af formlen v=gt. Find bevægelsesloven.
Løsning. Lad s = s(t) være den ønskede bevægelseslov. Det er kendt, at s"(t) = v(t). Det betyder, at for at løse problemet skal du vælge en funktion s = s(t), hvis afledte er lig med gt. Det er ikke svært at gætte at $s(t) = \frac(gt^ 2)(2) $.Faktisk
$s"(t) = \venstre(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Svar: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Lad os straks bemærke, at eksemplet er løst korrekt, men ufuldstændigt. Vi fik $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Faktisk har problemet uendeligt mange løsninger: enhver funktion af formen $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$, hvor C er en vilkårlig konstant, kan tjene som en lov for bevægelse, da $\venstre (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

For at gøre problemet mere specifikt var vi nødt til at rette op på startsituationen: Angiv koordinaten for et bevægende punkt på et tidspunkt, for eksempel ved t = 0. Hvis f.eks. s(0) = s 0, så fra lighed s(t) = (gt 2)/2 + C får vi: s(0) = 0 + C, dvs. C = s 0. Nu er bevægelsesloven entydigt defineret: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

I matematik får gensidigt inverse operationer forskellige navne, specielle notationer opfindes, for eksempel: kvadratur (x 2) og kvadratrod ($\sqrt(x) $), sinus (sin x) og arcsinus (arcsin x) og osv. Processen med at finde den afledede af en given funktion kaldes differentiering, og den omvendte operation, altså processen med at finde en funktion fra en given afledet, er integration.

Selve udtrykket "afledt" kan retfærdiggøres "i dagligdags termer": funktionen y = f(x) "føder" en ny funktion y" = f"(x). Funktionen y = f(x) fungerer som en "forælder", men matematikere kalder den naturligvis ikke en "forælder" eller "producent", de siger, at den er det i forhold til funktionen y" = f"( x) , primært billede eller primitivt.

Definition. Funktionen y = F(x) kaldes antiderivat for funktionen y = f(x) på intervallet X, hvis ligheden F"(x) = f(x) gælder for $x \i X$

I praksis er intervallet X normalt ikke specificeret, men underforstået (som det naturlige definitionsdomæne for funktionen).

Lad os give eksempler.
1) Funktionen y = x 2 er antiafledt for funktionen y = 2x, da for enhver x er ligheden (x 2)" = 2x sand
2) Funktionen y = x 3 er antiafledt for funktionen y = 3x 2, da for enhver x er ligheden (x 3)" = 3x 2 sand
3) Funktionen y = sin(x) er antiafledt for funktionen y = cos(x), da for enhver x er ligheden (sin(x))" = cos(x) sand

Når man finder antiderivater, såvel som derivater, bruges ikke kun formler, men også nogle regler. De er direkte relateret til de tilsvarende regler for beregning af derivater.

Vi ved, at den afledte sum er lig med summen af dens afledte. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.

Regel 1. Antiderivatet af en sum er lig med summen af antiderivaterne.

Vi ved, at konstantfaktoren kan tages ud af den afledte fortegn. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.

Regel 2. Hvis F(x) er et antiderivat for f(x), så er kF(x) et antiderivat for kf(x).

Sætning 1. Hvis y = F(x) er en antiafledt for funktionen y = f(x), så er den antiafledede for funktionen y = f(kx + m) funktionen $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

Sætning 2. Hvis y = F(x) er en antiafledning for funktionen y = f(x) på intervallet X, så har funktionen y = f(x) uendeligt mange antiderivater, og de har alle formen y = F(x) + C.

Integrationsmetoder

Variabel erstatningsmetode (substitutionsmetode)

Metoden til integration ved substitution involverer at indføre en ny integrationsvariabel (det vil sige substitution). I dette tilfælde reduceres det givne integral til et nyt integral, som er tabelformet eller kan reduceres til det. Almindelige metoder der er intet udvalg af erstatninger. Evnen til korrekt at bestemme substitution opnås gennem praksis.
Lad det være nødvendigt at beregne integralet $\tekststil \int F(x)dx $. Lad os lave substitutionen $x= \varphi(t) $ hvor $\varphi(t) $ er en funktion, der har en kontinuert afledet.
Derefter $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ og baseret på invariansegenskaben for integrationsformlen for det ubestemte integral, får vi integrationsformlen ved substitution:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Integration af udtryk af formen $\tekststil \int \sin^n x \cos^m x dx $

Hvis m er ulige, m > 0, så er det mere bekvemt at foretage substitutionen sin x = t.
Hvis n er ulige, n > 0, så er det mere bekvemt at foretage substitutionen cos x = t.
Hvis n og m er lige, så er det mere bekvemt at foretage substitutionen tg x = t.

Integration af dele

Integration af dele - anvendelse af følgende formel for integration:
$\tekststil \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
eller:
$\tekststil \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Tabel over ubestemte integraler (antiderivater) af nogle funktioner

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Antiderivat funktion f(x) ind i mellem (a; b) denne funktion kaldes F(x), at ligestillingen gælder for evt x fra et givet interval.

Hvis vi tager højde for det faktum, at den afledede af en konstant MED er lig nul, så er ligheden sand. Altså funktionen f(x) har mange primitiver F(x)+C, for en vilkårlig konstant MED, og disse antiderivater adskiller sig fra hinanden ved en vilkårlig konstant værdi.

Definition af et ubestemt integral.

Hele sættet af antiderivatfunktioner f(x) kaldes det ubestemte integral af denne funktion og betegnes .

Udtrykket hedder integrand, A f(x) – integrand funktion. Integranden repræsenterer funktionens differentiale f(x).

Handlingen med at finde en ukendt funktion givet dens differentiale kaldes usikker integration, fordi resultatet af integration er mere end én funktion F(x), og sættet af dets primitiver F(x)+C.

Geometrisk betydning af det ubestemte integral. Grafen for antiderivatet D(x) kaldes integralkurven. I x0y-koordinatsystemet repræsenterer graferne for alle antiderivater af en given funktion en familie af kurver, der afhænger af værdien af konstanten C og opnås fra hinanden ved et parallelskift langs 0y-aksen. For eksemplet diskuteret ovenfor har vi:

J 2 x^x = x2 + C.

Familien af antiderivater (x + C) fortolkes geometrisk af et sæt parabler.

Hvis du skal finde en fra en familie af antiderivater, så er der sat yderligere betingelser, der giver dig mulighed for at bestemme konstanten C. Normalt, til dette formål, sættes startbetingelser: når argumentet x = x0, har funktionen værdien D (x0) = y0.

Eksempel. Det er nødvendigt at finde ud af, at en af antiderivaterne af funktionen y = 2 x, der tager værdien 3 ved x0 = 1.

Det påkrævede antiderivat: D(x) = x2 + 2.

Løsning. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Grundlæggende egenskaber ved det ubestemte integral

1. Den afledede af det ubestemte integral er lig med integrandfunktionen:

2. Differentialet af det ubestemte integral er lig med integrandudtrykket:

3. Det ubestemte integral af differentialet af en bestemt funktion er lig med summen af denne funktion selv og en vilkårlig konstant:

4. Konstantfaktoren kan tages ud af integraletegnet:

5. Integralet af summen (forskel) er lig med summen (forskel) af integralerne:

6. Ejendom er en kombination af ejendomme 4 og 5:

7. Invariansegenskab for det ubestemte integral:

Hvis , At

8. Ejendom:

Hvis , At

Faktisk er denne egenskab et særligt tilfælde af integration ved hjælp af variabelændringsmetoden, som diskuteres mere detaljeret i næste afsnit.

Lad os se på et eksempel:

3. Integrationsmetode hvor et givet integral reduceres til et eller flere tabelintegraler ved hjælp af identiske transformationer af integraden (eller udtrykket) og anvendelsen af egenskaberne for det ubestemte integral, kaldes direkte integration. Når man reducerer dette integral til et tabelformet, bruges ofte følgende differentialtransformationer (operation " abonnere på differentialtegnet»):

Overhovedet, f’(u)du = d(f(u)). Denne (formel bruges meget ofte ved beregning af integraler.

Find integralet

Løsning. Lad os bruge integralets egenskaber og reducere dette integral til flere tabelformede.

4. Integration ved substitutionsmetode.

Essensen af metoden er, at vi introducerer en ny variabel, udtrykker integranden gennem denne variabel, og som et resultat kommer vi frem til en tabelformet (eller enklere) form af integralet.

Meget ofte kommer substitutionsmetoden til undsætning, når trigonometriske funktioner og funktioner integreres med radikaler.

Eksempel.

Find det ubestemte integral .