Formel for en tangent til grafen for en funktion. Vinkelkoefficient for en tangent som tangenten til hældningsvinklen

Overvej følgende figur:

Den afbilder en bestemt funktion y = f(x), som er differentierbar i punkt a. Punkt M med koordinater (a; f(a)) er markeret. En sekant MR tegnes gennem et vilkårligt punkt P(a + ∆x; f(a + ∆x)) på grafen.

Hvis nu punktet P forskydes langs grafen til punktet M, så vil den lige linje MR rotere omkring punktet M. I dette tilfælde vil ∆x vende mod nul. Herfra kan vi formulere definitionen af ​​en tangent til grafen for en funktion.

Tangent til grafen for en funktion

Tangenten til grafen for en funktion er sekantens grænseposition, da stigningen af ​​argumentet har en tendens til nul. Det skal forstås, at eksistensen af ​​den afledede af funktionen f i punktet x0 betyder, at der på dette punkt af grafen er tangent til ham.

Hvori hældning tangenten vil være lig med den afledede af denne funktion i dette punkt f'(x0). Dette er geometrisk betydning afledte. Tangenten til grafen for en funktion f, der kan differentieres i punktet x0, er en bestemt ret linje, der går gennem punktet (x0;f(x0)) og har en vinkelkoefficient f'(x0).

Tangentligning

Lad os prøve at få ligningen for tangenten til grafen for en funktion f i punktet A(x0; f(x0)). Ligningen for en ret linje med hældning k har følgende form:

Da vores hældningskoefficient er lig med den afledte f'(x0), så vil ligningen have følgende form: y = f'(x0)*x + b.

Lad os nu beregne værdien af ​​b. For at gøre dette bruger vi det faktum, at funktionen går gennem punkt A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, herfra udtrykker vi b og får b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Vi erstatter den resulterende værdi i tangentligningen:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Overvej følgende eksempel: find ligningen for tangenten til grafen for funktionen f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 i punktet x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Erstat de opnåede værdier i tangentformlen, vi får: y = 1 + 4*(x - 2). Åbning af beslagene og medbringelse lignende vilkår vi får: y = 4*x - 7.

Svar: y = 4*x - 7.

Generelt skema til at sammensætte tangentligningen til grafen for funktionen y = f(x):

1. Bestem x0.

2. Beregn f(x0).

3. Beregn f'(x)

Du er allerede bekendt med begrebet en tangent til grafen for en funktion. Grafen for funktionen f, der kan differentieres i punktet x 0 nær x 0, adskiller sig praktisk talt ikke fra tangentsegmentet, hvilket betyder, at den er tæt på sekantsegmentet l, der passerer gennem punkterne (x 0 ; f (x 0)) og ( x 0 + Δx; f ( x 0 + Δx)). Enhver af disse sekanter passerer gennem punkt A (x 0 ; f (x 0)) på grafen (fig. 1). For entydigt at definere en linje, der går gennem et givet punkt A, er det nok at angive dens hældning. Vinkelkoefficienten Δy/Δx for sekanten som Δх→0 har en tendens til tallet f '(x 0) (vi vil tage det som vinkelkoefficienten for tangenten) De siger, at tangenten er sekantens grænseposition ved Δх→0.

Hvis f'(x 0) ikke eksisterer, så eksisterer tangenten enten ikke (som funktionen y = |x| i punktet (0; 0), se figur) eller er lodret (som grafen for funktionen ved punktet (0 ; 0), fig. 2).

Så eksistensen af ​​en afledt af funktionen f i punktet xo svarer til eksistensen af ​​en (ikke-lodret) tangent i punktet (x 0, f (x 0)) af grafen, mens tangenthældning er lig med f" (x 0). Dette er geometrisk betydning af afledt

Tangenten til grafen for en funktion f, der kan differentieres i punktet xo, er en ret linje, der går gennem punktet (x 0 ; f (x 0)) og har en vinkelkoefficient f '(x 0).

Lad os tegne tangenter til grafen for funktionen f i punkterne x 1, x 2, x 3 (fig. 3) og notere de vinkler, de danner med abscisseaksen. (Dette er vinklen målt i positiv retning fra aksens positive retning til den rette linje.) Vi ser, at vinklen α 1 er spids, vinklen α 3 er stump, og vinklen α 2 er nul, da lige linje l er parallelt med Ox-aksen. Tangent Spids vinkel er positiv, stump er negativ, tg 0 = 0. Derfor

F"(x 1)>0, f'(x 2)=0, f'(x 3)
Konstruktion af tangenter ved individuelle punkter giver dig mulighed for mere præcist at skitsere grafer. Så for for eksempel at konstruere en skitse af en graf for sinusfunktionen, finder vi først, at i punkterne 0; π/2 og π afledt af sinus er lig med 1; henholdsvis 0 og -1. Lad os konstruere lige linjer, der går gennem punkterne (0; 0), (π/2,1) og (π, 0) med vinkelkoefficienter på henholdsvis 1, 0 og -1 (fig. 4). Det er tilbage at passe ind i den resulterende trapezform dannet af disse rette linjer og lige linje Ox, graf af sinus, således at for x lig med 0, π/2 og π, rører den de tilsvarende rette linjer.

Bemærk, at grafen for sinus i nærheden af ​​nul praktisk talt ikke kan skelnes fra den rette linje y = x. Lad for eksempel skalaerne langs akserne vælges, så en enhed svarer til et segment på 1 cm. Vi har sin 0,5 ≈ 0,479425, dvs. |sin 0,5 - 0,5| ≈ 0,02, og på den valgte skala svarer dette til et segment på 0,2 mm. Derfor vil grafen for funktionen y = sin x i intervallet (-0,5; 0,5) afvige (i lodret retning) fra den rette linie y = x med højst 0,2 mm, hvilket tilnærmelsesvis svarer til tykkelsen af tegnet streg.

Emnet "En tangents vinkelkoefficient som tangens af hældningsvinklen" får flere opgaver i certificeringseksamenen. Afhængigt af deres tilstand kan kandidaten blive bedt om at give enten et fuldt svar eller et kort svar. Som forberedelse til bestå Unified State-eksamenen I matematik skal eleven bestemt gentage opgaver, hvor det er nødvendigt at beregne vinkelkoefficienten for en tangent.

Det vil hjælpe dig med at gøre dette uddannelsesportal"Shkolkovo". Vores specialister udarbejdede og præsenterede teoretisk og praktisk materiale på den mest tilgængelige måde. Efter at være blevet bekendt med det, vil kandidater med ethvert træningsniveau være i stand til med succes at løse problemer relateret til derivater, hvor det er nødvendigt at finde tangenten til tangentvinklen.

Grundlæggende øjeblikke

For at finde den rigtige og rationel beslutning For lignende opgaver i Unified State Exam skal du huske den grundlæggende definition: den afledte repræsenterer ændringshastigheden for en funktion; den er lig med tangenten af ​​tangentvinklen tegnet til grafen for funktionen i et bestemt punkt. Det er lige så vigtigt at færdiggøre tegningen. Det vil give dig mulighed for at finde rigtige løsning Unified State Examination problemer på den afledede, hvor det er nødvendigt at beregne tangenten af ​​tangentens hældningsvinkel. For klarhedens skyld er det bedst at plotte grafen på OXY-planet.

Hvis du allerede har sat dig ind i grundmaterialet om emnet afledte og er klar til at begynde at løse problemer med at beregne tangentens tangens, som f.eks. Unified State Exam-opgaver, kan du gøre dette online. For hver opgave, for eksempel problemer om emnet "Forholdet mellem et derivat og en krops hastighed og acceleration", skrev vi det korrekte svar og løsningsalgoritme ned. Samtidig kan eleverne øve sig i at løse opgaver forskellige niveauer vanskeligheder. Øvelsen kan eventuelt gemmes i afsnittet "Favoritter", så du senere kan diskutere løsningen med læreren.

Tangent er en ret linje, der går gennem et punkt på kurven og falder sammen med det på dette punkt op til første orden (fig. 1).

En anden definition: dette er sekantens grænseposition ved Δ x→0.

Forklaring: Tag en lige linje, der skærer kurven i to punkter: EN Og b(se billedet). Dette er en sekant. Vi vil rotere den med uret, indtil den kun finder ét fælles punkt med kurven. Dette vil give os en tangent.

Strenge definition af tangent:

Tangent til grafen for en funktion f, differentierbar på punktet xO, er en ret linje, der går gennem punktet ( xO; f(xO)) og har en hældning f′( xO).

Skråningen har en lige linje af formen y =kx +b. Koefficient k og er hældning denne lige linje.

Vinkelkoefficienten er lig med tangenten af ​​den spidse vinkel dannet af denne rette linje med abscisseaksen:

Her er vinkel α vinklen mellem den rette linje y =kx +b og positiv (det vil sige mod uret) retning af x-aksen. Det kaldes hældningsvinkel for en ret linje(Fig. 1 og 2).

Hvis hældningsvinklen er lige y =kx +b akut, så er hældningen positivt tal. Grafen er stigende (fig. 1).

Hvis hældningsvinklen er lige y =kx +b er stump, så er hældningen negativt tal. Grafen er aftagende (fig. 2).

Hvis den rette linje er parallel med x-aksen, så er hældningsvinklen på den rette linje nul. I dette tilfælde er linjens hældning også nul (da tangenten til nul er nul). Ligningen for den rette linje vil se ud som y = b (fig. 3).

Hvis hældningsvinklen for en ret linje er 90º (π/2), dvs. den er vinkelret på abscisseaksen, så er den rette linje givet af ligheden x =c, Hvor c– nogle reelle tal(Fig. 4).

Ligning for tangenten til grafen for en funktiony = f(x) på et tidspunkt xO:

Eksempel: Find ligningen for tangenten til grafen for funktionen f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 på punktet med abscisse 2.

Løsning .

Vi følger algoritmen.

1) Berøringspunkt xO er lig med 2. Beregn f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Find f′( x). For at gøre dette anvender vi differentieringsformlerne skitseret i det foregående afsnit. Ifølge disse formler, x 2 = 2x, A x 3 = 3x 2. Midler:

f′( x) = 3x 2 – 2 ∙ 2x = 3x 2 – 4x.

Brug nu den resulterende værdi f′( x), Beregn f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Så vi har alle de nødvendige data: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Indsæt disse tal i tangentligningen og find den endelige løsning:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Svar: y = 4x – 7.

Lær at tage afledte funktioner. Den afledte karakteriserer ændringshastigheden af ​​en funktion på et bestemt punkt, der ligger på grafen for denne funktion. I I dette tilfælde Grafen kan enten være en lige eller buet linje. Det vil sige, at den afledede karakteriserer ændringshastigheden af ​​en funktion på et bestemt tidspunkt. Husk almindelige regler, hvorved derivater tages, og først derefter gå videre til næste trin.

• Læs artiklen.
• Hvordan man tager de enkleste derivater, for eksempel derivater eksponentiel ligning, beskrevet. Beregningerne præsenteret i de følgende trin vil være baseret på metoderne beskrevet deri.

Lær at skelne problemer, hvor hældningskoefficienten skal beregnes gennem den afledede af en funktion. Problemer beder dig ikke altid om at finde hældningen eller afledet af en funktion. For eksempel kan du blive bedt om at finde ændringshastigheden for en funktion i punkt A(x,y). Du kan også blive bedt om at finde hældningen af ​​tangenten i punktet A(x,y). I begge tilfælde er det nødvendigt at tage den afledede af funktionen.