Berita bintang
Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri yang tidak rasional. Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah dan mengenal pasti kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri
Kementerian Pendidikan Republik Belarus
Institusi pendidikan
"Universiti Negeri Gomel
dinamakan sempena Francysk Skaryna"
Fakulti Matematik
Jabatan Algebra dan Geometri
Diterima untuk pertahanan
kepala Jabatan Shemetkov L.A.
Persamaan trigonometri dan ketidaksamaan
Kerja kursus
Pelaksana:
pelajar kumpulan M-51
CM. Gorsky
Penyelia saintifik Ph.D.-M.Sc.,
Pensyarah senior
V.G. Safonov
Gomel 2008
PENGENALAN
KAEDAH ASAS PENYELESAIAN PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Pemfaktoran
Menyelesaikan persamaan dengan menukar hasil darab fungsi trigonometri kepada jumlah
Menyelesaikan persamaan menggunakan formula hujah tiga kali ganda
Mendarab dengan beberapa fungsi trigonometri
PERSAMAAN TRIGONOMETRI BUKAN STANDARD
KETIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
PEMILIHAN AKAR
TUGASAN UNTUK PENYELESAIAN BEBAS
KESIMPULAN
SENARAI SUMBER YANG DIGUNAKAN
Pada zaman dahulu, trigonometri timbul berkaitan dengan keperluan astronomi, ukur tanah dan pembinaan, iaitu, ia bersifat geometri semata-mata dan diwakili terutamanya<<исчисление хорд>>. Lama kelamaan, beberapa detik analisis mula menyelit ke dalamnya. Pada separuh pertama abad ke-18 berlaku perubahan mendadak, selepas itu trigonometri mengambil arah baru dan beralih ke arah analisis matematik. Pada masa inilah hubungan trigonometri mula dianggap sebagai fungsi.
Persamaan trigonometri adalah salah satu topik yang paling sukar dalam kursus matematik sekolah. Persamaan trigonometri timbul apabila menyelesaikan masalah dalam planimetri, stereometri, astronomi, fizik dan bidang lain. Persamaan trigonometri dan ketaksamaan ditemui di kalangan tugas ujian terpusat tahun demi tahun.
Perbezaan paling penting antara persamaan trigonometri dan persamaan algebra ialah persamaan algebra mempunyai bilangan punca terhingga, manakala persamaan trigonometri --- tak terhingga, yang sangat merumitkan pemilihan akar. Satu lagi ciri khusus persamaan trigonometri ialah bentuk bukan unik untuk menulis jawapan.
Tesis ini ditumpukan kepada kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dan ketaksamaan.
Tesis ini mengandungi 6 bahagian.
Bahagian pertama menyediakan maklumat teori asas: definisi dan sifat fungsi trigonometri dan songsang; jadual nilai fungsi trigonometri untuk beberapa hujah; ungkapan fungsi trigonometri dari segi fungsi trigonometri yang lain, yang sangat penting untuk mengubah ungkapan trigonometri, terutamanya yang mengandungi songsang fungsi trigonometri; Sebagai tambahan kepada formula trigonometri asas, yang terkenal dari kursus sekolah, formula diberikan yang memudahkan ungkapan yang mengandungi fungsi trigonometri songsang.
Bahagian kedua menggariskan kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Penyelesaian persamaan trigonometri asas, kaedah pemfaktoran, dan kaedah untuk mengurangkan persamaan trigonometri kepada persamaan algebra dipertimbangkan. Disebabkan fakta bahawa penyelesaian kepada persamaan trigonometri boleh ditulis dalam beberapa cara, dan bentuk penyelesaian ini tidak membenarkan seseorang untuk segera menentukan sama ada penyelesaian ini adalah sama atau berbeza, yang mungkin<<сбить с толку>> semasa menyelesaikan ujian, skema umum untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dipertimbangkan dan transformasi kumpulan penyelesaian umum persamaan trigonometri dipertimbangkan secara terperinci.
Bahagian ketiga mengkaji persamaan trigonometri bukan piawai, penyelesaiannya adalah berdasarkan pendekatan berfungsi.
Bahagian keempat membincangkan ketaksamaan trigonometri. Kaedah untuk menyelesaikan masalah asas dibincangkan secara terperinci. ketaksamaan trigonometri, pada bulatan unit dan secara grafik. Proses menyelesaikan ketaksamaan trigonometri bukan asas melalui ketaksamaan asas dan kaedah selang, yang sudah diketahui oleh pelajar sekolah, diterangkan.
Bahagian kelima membentangkan tugas yang paling sukar: apabila perlu bukan sahaja untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, tetapi juga untuk memilih akar daripada akar yang ditemui yang memenuhi beberapa syarat. Bahagian ini menyediakan penyelesaian kepada tugas pemilihan akar biasa. Maklumat teori yang diperlukan untuk memilih punca diberikan: membahagikan satu set integer kepada subset bercapah, menyelesaikan persamaan dalam integer (diaphantine).
Bahagian keenam membentangkan tugasan untuk keputusan bebas, direka bentuk dalam bentuk ujian. 20 tugas ujian mengandungi tugas paling sukar yang boleh dihadapi semasa ujian berpusat.
Persamaan trigonometri asas
Persamaan trigonometri asas ialah persamaan dalam bentuk , di mana --- salah satu fungsi trigonometri: , , , .
Persamaan trigonometri asas mempunyai bilangan punca yang tidak terhingga. Sebagai contoh, nilai berikut memenuhi persamaan: , , , dsb. Formula am di mana semua punca persamaan ditemui, di mana , ialah:
Di sini ia boleh mengambil sebarang nilai integer, setiap daripadanya sepadan dengan punca persamaan tertentu; dalam formula ini (serta dalam formula lain yang mana persamaan trigonometri asas diselesaikan) dipanggil parameter. Mereka biasanya menulis , dengan itu menekankan bahawa parameter boleh menerima sebarang nilai integer.
Penyelesaian persamaan , di mana , ditemui oleh formula
Persamaan diselesaikan menggunakan formula
dan persamaan adalah dengan formula
Mari kita perhatikan terutamanya beberapa kes khas persamaan trigonometri asas, apabila penyelesaian boleh ditulis tanpa menggunakan formula am:
Apabila menyelesaikan persamaan trigonometri peranan penting memainkan tempoh fungsi trigonometri. Oleh itu, kami membentangkan dua teorem yang berguna:
Teorem Jika --- tempoh utama fungsi, maka nombor adalah tempoh utama fungsi.
Tempoh fungsi dan dikatakan boleh dibandingkan jika wujud integer Jadi apa.
Teorem Jika fungsi berkala dan , mempunyai setara dan , maka mereka mempunyai tempoh yang sama, iaitu tempoh fungsi , , .
Teorem menyatakan bahawa tempoh fungsi , , , ialah, dan tidak semestinya tempoh utama. Contohnya, tempoh utama fungsi dan --- , dan tempoh utama produknya --- .
Memperkenalkan hujah bantu
Dengan cara standard mengubah ungkapan bentuk 
ialah teknik berikut: biarkan --- sudut, diberikan oleh persamaan 
, 
. Untuk mana-mana, sudut sedemikian wujud. Justeru . Jika , atau , , , dalam kes lain.
Skema untuk menyelesaikan persamaan trigonometri
Skema asas yang akan kita ikuti semasa menyelesaikan persamaan trigonometri adalah seperti berikut:
menyelesaikan persamaan yang diberikan dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan asas. Penyelesaian --- penukaran, pemfaktoran, penggantian yang tidak diketahui. Prinsip panduan adalah tidak kehilangan akar anda. Ini bermakna bahawa apabila beralih ke persamaan seterusnya, kita tidak takut dengan kemunculan akar tambahan (luar), tetapi hanya mengambil berat bahawa setiap persamaan berikutnya "rantai" kita (atau satu set persamaan dalam kes percabangan. ) adalah akibat daripada yang sebelumnya. Satu daripada kaedah yang mungkin pemilihan akar adalah semakan. Marilah kita segera ambil perhatian bahawa dalam kes persamaan trigonometri, kesukaran yang berkaitan dengan memilih akar dan menyemak, sebagai peraturan, meningkat secara mendadak berbanding dengan persamaan algebra. Lagipun, kita perlu menyemak siri yang terdiri daripada bilangan sebutan yang tidak terhingga.
Sebutan khusus harus dibuat tentang penggantian yang tidak diketahui semasa menyelesaikan persamaan trigonometri. Dalam kebanyakan kes, selepas penggantian yang diperlukan, persamaan algebra diperoleh. Selain itu, persamaan tidak begitu jarang, walaupun ia adalah trigonometri dalam penampilan, pada dasarnya mereka tidak, sejak selepas langkah pertama --- pengganti pembolehubah --- bertukar menjadi algebra, dan kembali kepada trigonometri berlaku hanya pada peringkat menyelesaikan persamaan trigonometri asas.
Marilah kami mengingatkan anda sekali lagi: penggantian yang tidak diketahui harus dilakukan pada peluang pertama; persamaan yang terhasil selepas penggantian mesti diselesaikan hingga akhir, termasuk peringkat memilih akar, dan hanya kemudian dikembalikan kepada yang tidak diketahui asal.
Salah satu ciri persamaan trigonometri ialah jawapan dalam banyak kes boleh ditulis cara yang berbeza. Malah untuk menyelesaikan persamaan 
jawapan boleh ditulis seperti berikut:
1) dalam bentuk dua siri: 
, , ;
2) dalam bentuk piawai, iaitu gabungan siri di atas: , ;
3) kerana 
, maka jawapan boleh ditulis dalam borang 
, . (Dalam perkara berikut, kehadiran , , atau parameter dalam rekod respons secara automatik bermakna parameter ini menerima semua nilai integer yang mungkin. Pengecualian akan ditentukan.)
Jelas sekali, tiga kes yang disenaraikan tidak menghabiskan semua kemungkinan untuk menulis jawapan kepada persamaan yang sedang dipertimbangkan (terdapat banyak daripada mereka).
Contohnya, apabila persamaan itu benar 
. Oleh itu, dalam dua kes pertama, jika , kita boleh menggantikan dengan .
Biasanya jawapan ditulis berdasarkan point 2. Sedap untuk diingati cadangan berikut: jika kerja tidak berakhir dengan menyelesaikan persamaan, ia masih perlu untuk menjalankan penyelidikan dan memilih punca, maka bentuk rakaman yang paling mudah ditunjukkan dalam perenggan 1. (Cadangan yang sama harus diberikan untuk persamaan.)
Mari kita pertimbangkan contoh yang menggambarkan apa yang telah diperkatakan.
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Cara yang paling jelas adalah seperti berikut. Persamaan ini terbahagi kepada dua: dan . Menyelesaikan setiap daripada mereka dan menggabungkan jawapan yang diperolehi, kami dapati .
Cara lain. Sejak , kemudian, menggantikan dan menggunakan formula untuk mengurangkan darjah. Selepas transformasi kecil kita dapat , dari mana 
.
Pada pandangan pertama, formula kedua tidak mempunyai kelebihan istimewa berbanding yang pertama. Walau bagaimanapun, jika kita mengambil, sebagai contoh, maka ternyata, i.e. persamaan mempunyai penyelesaian, manakala kaedah pertama membawa kita kepada jawapan 
. "Lihat" dan buktikan kesaksamaan 
tidak begitu mudah.
Jawab. .
Menukar dan menggabungkan kumpulan penyelesaian umum persamaan trigonometri
Kami akan pertimbangkan janjang aritmetik, memanjang tanpa henti di kedua-dua arah. Ahli janjang ini boleh dibahagikan kepada dua kumpulan ahli, terletak di sebelah kanan dan kiri ahli tertentu yang dipanggil ahli tengah atau sifar bagi janjang tersebut.
Dengan menetapkan salah satu sebutan janjang tak terhingga dengan nombor sifar, kita perlu menjalankan penomboran berganda untuk semua sebutan yang tinggal: positif untuk sebutan yang terletak di sebelah kanan, dan negatif untuk sebutan yang terletak di sebelah kiri sifar.
Secara umum, jika perbezaan janjang itu ialah sebutan sifar, formula untuk sebarang sebutan (th) bagi janjang aritmetik tak terhingga ialah:
Penjelmaan formula untuk sebarang sebutan janjang aritmetik tak terhingga
1. Jika anda menambah atau menolak perbezaan janjang kepada sebutan sifar, maka janjang itu tidak akan berubah, tetapi hanya sebutan sifar akan bergerak, i.e. Nombor ahli akan berubah.
2. Jika pekali bagi nilai pembolehubah didarab dengan , maka ini hanya akan menghasilkan penyusunan semula kumpulan ahli kanan dan kiri.
3. Jika sebutan berturut-turut bagi janjang tak terhingga
contohnya, , , ..., , jadikan sebutan pusat janjang dengan perbezaan yang sama sama dengan:
maka satu janjang dan satu siri janjang menyatakan nombor yang sama.
Contoh Baris boleh digantikan dengan tiga baris berikut: , , .
4. Jika janjang tak terhingga dengan perbezaan yang sama mempunyai nombor sebutan pusat yang membentuk janjang aritmetik dengan perbezaan , maka siri ini boleh digantikan dengan satu janjang dengan beza, dan dengan sebutan pusat sama dengan mana-mana sebutan pusat janjang ini, i.e. Jika
maka perkembangan ini digabungkan menjadi satu:
Contoh
... kedua-duanya digabungkan menjadi satu kumpulan, kerana 
.
Untuk mengubah kumpulan yang mempunyai penyelesaian biasa kepada kumpulan yang tidak mempunyai penyelesaian biasa, kumpulan ini diuraikan kepada kumpulan dengan tempoh yang sama, dan kemudian cuba menyatukan kumpulan yang terhasil, tidak termasuk kumpulan yang berulang.
Pemfaktoran
Kaedah pemfaktoran adalah seperti berikut: jika
maka setiap penyelesaian persamaan
ialah penyelesaian kepada satu set persamaan
Pernyataan sebaliknya adalah, secara amnya, palsu: tidak setiap penyelesaian kepada populasi adalah penyelesaian kepada persamaan. Ini dijelaskan oleh fakta bahawa penyelesaian kepada persamaan individu mungkin tidak termasuk dalam domain definisi fungsi.
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Menggunakan asas identiti trigonometri, mari kita wakili persamaan dalam bentuk
Jawab.
; 
.
Menukar hasil tambah fungsi trigonometri kepada hasil darab
Contoh
Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian. Menggunakan formula, kita memperoleh persamaan yang setara
Jawab. .
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. DALAM dalam kes ini, sebelum menggunakan formula untuk jumlah fungsi trigonometri, anda harus menggunakan formula pengurangan 
. Akibatnya, kita memperoleh persamaan yang setara
Jawab.
, 
.
Menyelesaikan persamaan dengan menukar hasil darab fungsi trigonometri kepada jumlah
Apabila menyelesaikan beberapa persamaan, formula digunakan.
Contoh Selesaikan persamaan
Penyelesaian.
Jawab. , .
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Menggunakan formula, kita memperoleh persamaan yang setara:
Jawab. .
Menyelesaikan persamaan menggunakan formula pengurangan
Apabila menyelesaikan pelbagai persamaan trigonometri, formula memainkan peranan penting.
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Menggunakan formula, kita memperoleh persamaan yang setara.
Jawab. ; .
Menyelesaikan persamaan menggunakan formula hujah tiga kali ganda
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Menggunakan formula, kita mendapat persamaan
Jawab. ; .
Contoh
Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian. Menggunakan formula untuk mengurangkan darjah yang kita dapat: 
. Memohon kami mendapat:
Jawab. ; .
Kesamaan fungsi trigonometri dengan nama yang sama
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian.
Jawab. , .
Contoh
Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian. Mari kita ubah persamaan.
Jawab. .
Contoh Adalah diketahui bahawa dan memenuhi persamaan
Cari jumlahnya.
Penyelesaian. Daripada persamaan ia mengikuti itu
Jawab. .
Mari kita pertimbangkan jumlah borang
Jumlah ini boleh ditukar kepada produk dengan mendarab dan membahagikannya dengan, kemudian kita dapat
Teknik ini boleh digunakan untuk menyelesaikan beberapa persamaan trigonometri, tetapi perlu diingat bahawa akibatnya, akar luar mungkin muncul. Mari kita ringkaskan formula ini:
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Dapat dilihat bahawa set adalah penyelesaian kepada persamaan asal. Oleh itu, mendarabkan sisi kiri dan kanan persamaan dengan tidak akan membawa kepada kemunculan punca tambahan.
Kami ada 
.
Jawab. ; .
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Mari kita darabkan sisi kiri dan kanan persamaan dengan dan gunakan formula untuk menukar hasil darab fungsi trigonometri kepada jumlah, kita dapat
Persamaan ini bersamaan dengan gabungan dua persamaan dan , dari mana dan .
Oleh kerana punca-punca persamaan bukan punca-punca persamaan, kita harus mengecualikan . Ini bermakna bahawa dalam set adalah perlu untuk mengecualikan .
Jawab. Dan , .
Contoh
Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian. Mari kita ubah ungkapan:
Persamaan akan ditulis sebagai:
Jawab. .
Mengurangkan persamaan trigonometri kepada persamaan algebra
Boleh dikurangkan kepada persegi
Jika persamaan adalah dalam bentuk
maka penggantian membawanya ke segi empat sama, kerana 
() Dan.
Jika sebaliknya istilah ada , maka penggantian yang diperlukan akan .
Persamaan
turun ke persamaan kuadratik
pembentangan sebagai 
. Adalah mudah untuk menyemak yang mana , bukan punca persamaan, dan dengan membuat penggantian , persamaan dikurangkan kepada satu kuadratik.
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Mari kita alihkannya ke sebelah kiri, gantikan dengan , dan nyatakannya melalui dan .
Selepas dipermudahkan kita dapat: . Bahagikan istilah dengan istilah dan buat penggantian:
Kembali ke , kita dapati 
.
Persamaan homogen berkenaan dengan ,
Pertimbangkan persamaan bentuk
Di mana , , , ..., , --- sah nombor. Dalam setiap sebutan di sebelah kiri persamaan, darjah monomial adalah sama, iaitu, jumlah darjah sinus dan kosinus adalah sama dan sama. Persamaan ini dipanggil homogen relatif kepada dan , dan nombor itu dipanggil penunjuk kehomogenan .
Adalah jelas bahawa jika , maka persamaan akan mengambil bentuk:
penyelesaiannya ialah nilai di mana , iaitu, nombor , . Persamaan kedua yang ditulis dalam kurungan juga homogen, tetapi darjahnya adalah 1 lebih rendah.
Jika , maka nombor ini bukan punca persamaan.
Apabila kita mendapat: , dan bahagian kiri persamaan (1) mengambil nilai .
Jadi, untuk , dan , oleh itu kita boleh membahagi kedua-dua belah persamaan dengan . Akibatnya, kita mendapat persamaan:
yang, dengan penggantian, boleh dengan mudah dikurangkan kepada algebra:
Persamaan homogen dengan indeks kehomogenan 1. Apabila kita mempunyai persamaan .
Jika , maka persamaan ini bersamaan dengan persamaan , , dari mana , .
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Persamaan ini adalah homogen bagi darjah pertama. Bahagikan kedua-dua bahagian dengan kita mendapat: , , , .
Jawab. .
Contoh Apabila kita memperoleh persamaan homogen bentuk
Penyelesaian.
Jika , kemudian bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan , kita mendapat persamaan 
, yang boleh dengan mudah dikurangkan kepada kuasa dua dengan penggantian: 
. Jika 
, maka persamaan tersebut mempunyai punca sebenar , . Persamaan asal akan mempunyai dua kumpulan penyelesaian: , , .
Jika 
, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian.
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Persamaan ini adalah homogen bagi darjah kedua. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan , kita dapat: . Biarlah , , . , , ; .
Jawab.
.
Persamaan dikurangkan kepada persamaan bentuk
Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk menggunakan identiti 
Khususnya, persamaan dikurangkan kepada homogen jika kita menggantikannya dengan 
, maka kita mendapat persamaan yang setara:
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Mari kita tukar persamaan kepada persamaan:
Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 
, kita mendapat persamaan:
Mari , maka kita sampai ke persamaan kuadratik: , , 
, 
, .
Jawab.
.
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Mari kita kuasa duakan kedua-dua belah persamaan, memandangkan ia mempunyai nilai positif: , ,
Biarlah, baru kita dapat 
, , .
Jawab. .
Persamaan diselesaikan menggunakan identiti 
Adalah berguna untuk mengetahui formula berikut:
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Menggunakan, kita dapat
Jawab.
Kami tidak menawarkan formula itu sendiri, tetapi kaedah untuk mendapatkannya:
oleh itu,
Begitu juga, .
Contoh
Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian. Mari kita ubah ungkapan:
Persamaan akan ditulis sebagai:
Dengan menerima, kita menerima. , . Oleh itu
Jawab. .
Penggantian trigonometri sejagat
Persamaan trigonometri bentuk
di mana --- rasional fungsi dengan bantuan formula - , serta dengan bantuan formula - boleh dikurangkan kepada persamaan rasional berkenaan dengan hujah , , , , selepas itu persamaan boleh dikurangkan kepada persamaan rasional algebra berkenaan dengan menggunakan formula penggantian trigonometri universal
Perlu diingatkan bahawa penggunaan formula boleh membawa kepada penyempitan OD persamaan asal, kerana ia tidak ditakrifkan pada titik, jadi dalam kes sedemikian adalah perlu untuk memeriksa sama ada sudut adalah punca persamaan asal. .
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Mengikut syarat tugas. Menggunakan formula dan membuat penggantian, kita dapat
dari mana dan oleh itu .
Persamaan bentuk
Persamaan bentuk , di mana --- polinomial, diselesaikan menggunakan penggantian yang tidak diketahui
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Membuat penggantian dan mengambil kira itu, kita dapat
mana , . --- orang luar akar, kerana . Punca-punca persamaan 
adalah .
Menggunakan batasan ciri
Dalam amalan ujian berpusat, tidak jarang ditemui persamaan yang penyelesaiannya berdasarkan fungsi terhad dan . Sebagai contoh:
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Oleh kerana , , maka bahagian kiri tidak melebihi dan sama dengan , jika
Untuk mencari nilai yang memenuhi kedua-dua persamaan, kami meneruskan seperti berikut. Mari kita selesaikan salah satu daripada mereka, maka antara nilai yang dijumpai kita akan memilih yang memuaskan yang lain.
Mari kita mulakan dengan yang kedua: , . Kemudian, 
.
Adalah jelas bahawa hanya untuk nombor genap akan ada.
Jawab. .
Idea lain direalisasikan dengan menyelesaikan persamaan berikut:
Contoh
Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian. Jom guna harta fungsi eksponen: , 
.
Menambah ketaksamaan istilah demi istilah kita ada:
Oleh itu, bahagian kiri persamaan ini adalah sama jika dan hanya jika dua kesamaan dipenuhi:
iaitu, ia boleh mengambil nilai, , , atau ia boleh mengambil nilai, .
Jawab. , .
Contoh
Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian., . Oleh itu, 
.
Jawab. .
Contoh Selesaikan persamaan
Penyelesaian. Mari kita nyatakan , kemudian dari takrifan fungsi trigonometri songsang yang kita ada 
Dan 
.
Oleh kerana, maka ketaksamaan mengikuti daripada persamaan, i.e. . Sejak dan , kemudian dan . Namun, itulah sebabnya.
Jika dan, maka. Oleh kerana ia telah ditubuhkan sebelum ini, maka .
Jawab. , .
Contoh Selesaikan persamaan
Penyelesaian. Wilayah nilai yang boleh diterima persamaannya ialah .
Mula-mula kita tunjukkan bahawa fungsi
Untuk mana-mana, ia hanya boleh mengambil nilai positif.
Cuba bayangkan fungsinya seperti berikut: .
Sejak , maka ia berlaku, i.e. 
.
Oleh itu, untuk membuktikan ketidaksamaan, adalah perlu untuk menunjukkannya 
. Untuk tujuan ini, mari kita kiub kedua-dua belah ketaksamaan ini, kemudian
Ketaksamaan berangka yang terhasil menunjukkan bahawa . Jika kita juga mengambil kira bahawa , maka bahagian kiri persamaan adalah bukan negatif.
Sekarang mari kita lihat di sebelah kanan persamaan.
Kerana 
, Itu
Walau bagaimanapun, diketahui bahawa 
. Ia berikutan bahawa , i.e. sebelah kanan persamaan tidak melebihi . Sebelum ini telah terbukti bahawa bahagian kiri persamaan adalah bukan negatif, jadi kesamaan dalam hanya boleh berlaku jika kedua-dua belah adalah sama, dan ini hanya mungkin jika .
Jawab. .
Contoh Selesaikan persamaan
Penyelesaian. Mari kita nyatakan dan 
. Menggunakan ketidaksamaan Cauchy-Bunyakovsky, kami memperoleh . Ia berikutan itu 
. Sebaliknya, ada 
. Oleh itu, persamaan tidak mempunyai punca.
Jawab. .
Contoh Selesaikan persamaan:
Penyelesaian. Mari kita tulis semula persamaan sebagai:
Jawab. .
Kaedah berfungsi untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dan gabungan
Tidak setiap persamaan hasil daripada transformasi boleh dikurangkan kepada persamaan satu atau yang lain pandangan standard, yang mana terdapat kaedah penyelesaian khusus. Dalam kes sedemikian, ternyata berguna untuk menggunakan sifat fungsi tersebut dan sebagai monotonicity, boundedness, pariti, periodicity, dsb. Jadi, jika salah satu fungsi berkurangan dan yang kedua meningkat pada selang, maka jika persamaan mempunyai akar pada selang ini, akar ini adalah unik, dan kemudian, sebagai contoh, ia boleh didapati dengan pemilihan. Jika fungsi itu bersempadan di atas, dan , dan fungsi itu bersempadan di bawah, dan , maka persamaan itu bersamaan dengan sistem persamaan
Contoh Selesaikan persamaan
Penyelesaian. Mari tukarkan persamaan asal kepada bentuk
dan selesaikannya sebagai kuadratik relatif kepada . Kemudian kita dapat,
Mari kita selesaikan persamaan pertama populasi. Dengan mengambil kira sifat terhad fungsi, kami sampai pada kesimpulan bahawa persamaan hanya boleh mempunyai punca pada segmen. Pada selang ini fungsi meningkat, dan fungsi 
berkurangan. Oleh itu, jika persamaan ini mempunyai punca, maka ia adalah unik. Kami mencari melalui pemilihan.
Jawab. .
Contoh Selesaikan persamaan
Penyelesaian. Biar dan 
, maka persamaan asal boleh ditulis sebagai persamaan berfungsi. Oleh kerana fungsinya ganjil, maka . Dalam kes ini, kita mendapat persamaan.
Oleh kerana , dan adalah monotonik pada , persamaan adalah bersamaan dengan persamaan, i.e. 
, yang mempunyai satu punca.
Jawab. .
Contoh
Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian. Berdasarkan teorem terbitan fungsi kompleks jelas bahawa fungsi 
berkurangan (fungsi menurun, meningkat, menurun). Daripada ini jelas bahawa fungsi 
ditakrifkan pada , menurun. Oleh itu, persamaan ini mempunyai paling banyak satu punca. Kerana 
, Itu
Jawab. .
Contoh Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Mari kita pertimbangkan persamaan pada tiga selang.
a) Biarkan . Kemudian pada set ini persamaan asal adalah bersamaan dengan persamaan . Yang tidak mempunyai penyelesaian pada selang, kerana 
, , A . Pada selang, persamaan asal juga tidak mempunyai punca, kerana 
, A .
b) Biarkan . Kemudian pada set ini persamaan asal adalah bersamaan dengan persamaan
yang punca pada selang ialah nombor , , , .
c) Biarkan . Kemudian pada set ini persamaan asal adalah bersamaan dengan persamaan
Yang tidak mempunyai penyelesaian pada selang, kerana , dan . Pada selang, persamaan juga tidak mempunyai penyelesaian, kerana , , A .
Jawab. , , , .
Kaedah simetri
Kaedah simetri mudah digunakan apabila perumusan tugas memerlukan penyelesaian unik persamaan, ketaksamaan, sistem, dsb. atau petunjuk tepat bilangan penyelesaian. Dalam kes ini, sebarang simetri bagi ungkapan yang diberikan harus dikesan.
Ia juga perlu mengambil kira pelbagai yang berbeza jenis yang mungkin simetri.
Sama pentingnya ialah pematuhan ketat kepada peringkat logik dalam penaakulan dengan simetri.
Biasanya, simetri membenarkan seseorang untuk menubuhkan sahaja syarat yang diperlukan, dan kemudian menyemak kecukupan mereka diperlukan.
Contoh Cari semua nilai parameter yang persamaan mempunyai penyelesaian unik.
Penyelesaian. Perhatikan bahawa dan --- malah berfungsi, jadi bahagian kiri persamaan ialah fungsi genap.
Jadi kalau --- penyelesaian persamaan, iaitu, juga penyelesaian persamaan. Jika --- satu-satu nya penyelesaian kepada persamaan, maka perlu , .
Kami akan pilih mungkin nilai, memerlukan ia menjadi punca persamaan.
Marilah kita segera ambil perhatian bahawa nilai lain tidak dapat memenuhi syarat masalah.
Tetapi masih belum diketahui sama ada semua yang dipilih benar-benar memenuhi syarat tugas.
Kecukupan.
1), persamaan akan mengambil bentuk 
.
2), persamaan akan mengambil bentuk:
Adalah jelas bahawa, untuk semua orang dan 
. Oleh itu, persamaan terakhir adalah bersamaan dengan sistem:
Oleh itu, kami telah membuktikan bahawa untuk , persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.
Jawab. .
Penyelesaian dengan penerokaan fungsi
Contoh Buktikan bahawa semua penyelesaian persamaan
Nombor bulat.
Penyelesaian. Tempoh utama persamaan asal ialah . Oleh itu, kita mula-mula memeriksa persamaan ini pada selang.
Mari tukar persamaan kepada bentuk:
Menggunakan mikrokalkulator kita dapat:
Jika , maka daripada persamaan sebelumnya kita perolehi:
Setelah menyelesaikan persamaan yang terhasil, kita dapat: .
Pengiraan yang dilakukan memungkinkan untuk mengandaikan bahawa punca-punca persamaan kepunyaan segmen ialah , dan .
Ujian langsung mengesahkan hipotesis ini. Oleh itu, telah terbukti bahawa punca-punca persamaan hanyalah integer , .
Contoh
Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian. Mari cari tempoh utama persamaan. Fungsi mempunyai tempoh asas yang sama dengan . Tempoh utama fungsi ialah . Gandaan sepunya terkecil dan bersamaan dengan . Oleh itu, tempoh utama persamaan ialah . biarlah .
Jelas sekali, ia adalah penyelesaian kepada persamaan. Pada selang waktu. Fungsinya negatif. Oleh itu, punca-punca lain bagi persamaan hendaklah dicari hanya pada selang x dan .
Menggunakan kalkulator mikro, kita mula-mula mencari nilai anggaran punca persamaan. Untuk melakukan ini, kami menyusun jadual nilai fungsi 
pada selang dan ; iaitu pada selang dan .
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 |
Daripada jadual, hipotesis berikut mudah dilihat: punca-punca persamaan kepunyaan segmen ialah nombor: ; ; . Ujian langsung mengesahkan hipotesis ini.
Jawab.
; 
; .
Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri menggunakan bulatan unit
Apabila menyelesaikan ketaksamaan trigonometri dalam bentuk , di manakah salah satu fungsi trigonometri, adalah mudah untuk menggunakan bulatan trigonometri untuk mewakili penyelesaian kepada ketaksamaan dengan paling jelas dan menulis jawapannya. Kaedah utama untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri ialah mengurangkannya kepada ketaksamaan jenis yang paling mudah. Mari kita lihat contoh bagaimana untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut.
Contoh Selesaikan ketidaksamaan.
Penyelesaian. Mari kita lukis bulatan trigonometri dan tandakan padanya titik yang melebihi ordinat .
Penyelesaian kepada ketidaksamaan ini ialah . Ia juga jelas bahawa jika nombor tertentu berbeza daripada sebarang nombor daripada selang yang ditentukan oleh , maka ia juga akan menjadi tidak kurang daripada . Oleh itu, anda hanya perlu menambah pada hujung segmen penyelesaian yang ditemui. Akhirnya, kami mendapati bahawa penyelesaian kepada ketidaksamaan asal adalah semuanya 
.
Jawab.
.
Untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan tangen dan kotangen, konsep garis tangen dan kotangen adalah berguna. Ini ialah garis lurus dan, masing-masing (dalam Rajah (1) dan (2)), tangen kepada bulatan trigonometri.
Adalah mudah untuk melihat bahawa jika kita membina sinar dengan asalnya pada asal koordinat, membuat sudut dengan arah positif paksi absis, maka panjang segmen dari titik ke titik persilangan sinar ini dengan garis tangen adalah betul-betul sama dengan tangen sudut yang dibuat oleh sinar ini dengan paksi absis. Pemerhatian yang serupa berlaku untuk kotangen.
Contoh Selesaikan ketidaksamaan.
Penyelesaian. Mari kita nyatakan , maka ketidaksamaan akan mengambil bentuk yang paling mudah: . Mari kita pertimbangkan selang panjang yang sama dengan tempoh positif terkecil (LPP) tangen. Pada segmen ini, menggunakan garis tangen, kami menetapkan bahawa . Sekarang mari kita ingat apa yang perlu ditambah sejak RFN berfungsi. Jadi, 
. Kembali kepada pembolehubah, kami memperolehnya.
Jawab.
.
Adalah mudah untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan fungsi trigonometri songsang menggunakan graf fungsi trigonometri songsang. Mari tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan contoh.
Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri secara grafik
Perhatikan bahawa jika ialah fungsi berkala, maka untuk menyelesaikan ketaksamaan adalah perlu untuk mencari penyelesaiannya pada segmen yang panjangnya sama dengan tempoh fungsi itu. Semua penyelesaian kepada ketaksamaan asal akan terdiri daripada nilai yang ditemui, serta semua yang berbeza daripada yang ditemui oleh sebarang nombor integer tempoh fungsi.
Mari kita pertimbangkan penyelesaian kepada ketidaksamaan ().
Sejak , maka ketidaksamaan tidak mempunyai penyelesaian. Jika , maka set penyelesaian kepada ketaksamaan --- sekumpulan semua nombor nyata.
biarlah . Fungsi sinus mempunyai tempoh positif terkecil, jadi ketaksamaan boleh diselesaikan terlebih dahulu pada segmen panjang, contohnya, pada segmen. Kami membina graf fungsi dan (). diberikan oleh ketaksamaan bentuk: dan, dari mana,
Dalam kerja ini, kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dan ketaksamaan, kedua-dua peringkat mudah dan Olympiad, telah dipertimbangkan. Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dan ketaksamaan telah dipertimbangkan, dan, lebih-lebih lagi, sebagai khusus --- ciri hanya untuk persamaan dan ketaksamaan trigonometri, dan kaedah kefungsian am untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan seperti yang digunakan pada persamaan trigonometri.
Tesis ini menyediakan maklumat teori asas: definisi dan sifat fungsi trigonometri dan songsang; menyatakan fungsi trigonometri dari segi fungsi trigonometri yang lain, yang sangat penting untuk mengubah ungkapan trigonometri, terutamanya yang mengandungi fungsi trigonometri songsang; Sebagai tambahan kepada formula trigonometri asas, yang terkenal dari kursus sekolah, formula diberikan yang memudahkan ungkapan yang mengandungi fungsi trigonometri songsang. Penyelesaian persamaan trigonometri asas, kaedah pemfaktoran, dan kaedah untuk mengurangkan persamaan trigonometri kepada persamaan algebra dipertimbangkan. Disebabkan fakta bahawa penyelesaian kepada persamaan trigonometri boleh ditulis dalam beberapa cara, dan bentuk penyelesaian ini tidak membenarkan seseorang untuk segera menentukan sama ada penyelesaian ini sama atau berbeza, satu skema umum untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dipertimbangkan dan transformasi kumpulan penyelesaian umum persamaan trigonometri dipertimbangkan secara terperinci. Kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri asas, kedua-duanya pada bulatan unit dan dengan kaedah grafik, dibincangkan secara terperinci. Proses menyelesaikan ketaksamaan trigonometri bukan asas melalui ketaksamaan asas dan kaedah selang, yang sudah diketahui oleh pelajar sekolah, diterangkan. Penyelesaian kepada tugas biasa untuk memilih akar diberikan. Maklumat teori yang diperlukan untuk memilih punca diberikan: membahagikan satu set integer kepada subset bercapah, menyelesaikan persamaan dalam integer (diaphantine).
Hasil tesis ini boleh dijadikan bahan pendidikan dalam penyediaan kerja kursus dan tesis, apabila menyusun elektif untuk pelajar sekolah, kerja itu juga boleh digunakan dalam menyediakan pelajar untuk peperiksaan kemasukan dan ujian berpusat.
Vygodsky Ya.Ya., Buku Panduan matematik asas. /Vygodsky Ya.Ya. --- M.: Nauka, 1970.
Igudisman O., Matematik dalam peperiksaan lisan / Igudisman O. --- M.: Iris Press, Rolf, 2001.
Azarov A.I., persamaan/Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Mn.: Trivium, 1994.
Litvinenko V.N., Bengkel matematik asas / Litvinenko V.N. --- M.: Pendidikan, 1991.
Sharygin I.F., Kursus pilihan dalam matematik: penyelesaian masalah / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- M.: Pendidikan, 1991.
Bardushkin V., Persamaan trigonometri. Pemilihan akar/B. Bardushkin, A. Prokofiev.// Matematik, No. 12, 2005 p. 23--27.
Vasilevsky A.B., Tugasan untuk kerja ekstrakurikuler dalam matematik/Vasilevsky A.B. --- Mn.: Asveta Rakyat. 1988. --- 176 hlm.
Sapunov P. I., Transformasi dan penyatuan kumpulan penyelesaian umum persamaan trigonometri / Sapunov P. I. // Pendidikan matematik, isu No. 3, 1935.
Borodin P., Trigonometri. Bahan peperiksaan kemasukan di Moscow State University [teks]/P. Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // Matematik No. 1, 2005 p. 36--48.
Samusenko A.V., Matematik: Kesalahan biasa pemohon: Manual rujukan/Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Mn.: Sekolah Tinggi, 1991.
Azarov A.I., Kaedah fungsional dan grafik untuk menyelesaikan masalah peperiksaan / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Mn.: Aversev, 2004.
Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah dan mengenali kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri.
Guru-guru pengajian tinggi kategori kelayakan:
Shirko F.M. hlm Kemajuan, MOBU-sekolah menengah No
Sankina L.S. Armavir, sekolah menengah swasta " Cara baru»
Tiada kaedah universal untuk mengajar disiplin sains dan matematik. Setiap guru mencari cara pengajarannya sendiri yang hanya boleh diterima olehnya.
Pengalaman mengajar kami selama bertahun-tahun menunjukkan bahawa pelajar mempelajari lebih mudah bahan yang memerlukan penumpuan dan pengekalan sejumlah besar maklumat dalam ingatan jika mereka diajar menggunakan algoritma dalam aktiviti mereka pada peringkat awal pembelajaran. topik yang kompleks. Pada pendapat kami, topik sedemikian adalah topik menyelesaikan ketaksamaan trigonometri.
Jadi, sebelum kita mulakan dengan pelajar untuk mengenal pasti teknik dan kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, kita berlatih dan menyatukan algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri yang paling mudah.
Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah
Tandakan titik pada paksi yang sepadan ( Untuk dosa x– paksi OA, untukcos x– paksi OX)
Kami memulihkan serenjang dengan paksi yang akan bersilang bulatan pada dua titik.
Titik pertama pada bulatan ialah titik yang tergolong dalam selang julat fungsi arka mengikut definisi.
Bermula dari titik berlabel, lorekkan lengkok bulatan yang sepadan dengan bahagian paksi yang berlorek.
Sila ambil perhatian Perhatian istimewa ke arah lencongan. Jika traversal dilakukan mengikut arah jam (iaitu terdapat peralihan melalui 0), maka titik kedua pada bulatan akan menjadi negatif, jika lawan jam ia akan menjadi positif.
Kami menulis jawapan dalam bentuk selang, dengan mengambil kira periodicity fungsi.
Mari kita lihat operasi algoritma menggunakan contoh.
1) dosa ≥ 1/2;
Penyelesaian:
Kami menggambarkan bulatan unit.;
Kami menandakan titik ½ pada paksi OU.
Kami memulihkan serenjang dengan paksi,
yang memotong bulatan pada dua titik.
Dengan definisi arcsine, kita mula-mula perhatikan
titik π/6.
Lorekkan bahagian paksi yang sepadan dengannya
diberi ketaksamaan, di atas titik ½.
Lorekkan lengkok bulatan yang sepadan dengan bahagian berlorek paksi.
Traversal dilakukan mengikut arah lawan jam, kita mendapat titik 5π/6.
Kami menulis jawapan dalam bentuk selang, dengan mengambil kira periodicity fungsi;
Jawapan:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.
Ketaksamaan termudah diselesaikan menggunakan algoritma yang sama jika rekod jawapan tidak mengandungi nilai jadual.
Pelajar, apabila menyelesaikan ketaksamaan di papan dalam pelajaran pertama mereka, menyebut setiap langkah algoritma dengan kuat.
2) 5 cos x – 1 ≥ 0;
R 
penyelesaian:di
5 cos x – 1 ≥ 0;
cos x ≥ 1/5;
Lukis bulatan unit.
Kami menandakan titik dengan koordinat 1/5 pada paksi OX.
Kami memulihkan serenjang dengan paksi, yang
memotong bulatan pada dua titik.
Titik pertama pada bulatan ialah titik yang tergolong dalam selang julat kosinus lengkok mengikut takrifan (0;π).
Kami menaungi bahagian paksi yang sepadan dengan ketaksamaan ini.
Bermula dari titik yang ditandatangani arccos 1/5, lorekkan lengkok bulatan yang sepadan dengan bahagian berlorek paksi.
Traversal dilakukan mengikut arah jam (iaitu terdapat peralihan melalui 0), yang bermaksud bahawa titik kedua pada bulatan akan menjadi negatif - arccos 1/5.
Kami menulis jawapan dalam bentuk selang, dengan mengambil kira periodicity fungsi, dari nilai yang lebih kecil kepada yang lebih besar.
Jawapan: x [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.
Meningkatkan keupayaan untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri difasilitasi oleh soalan berikut: "Bagaimana kita akan menyelesaikan sekumpulan ketaksamaan?"; “Bagaimanakah satu ketidaksamaan berbeza dengan yang lain?”; “Bagaimana satu ketidaksamaan serupa dengan yang lain?”; Bagaimanakah jawapan akan berubah jika ketidaksamaan yang ketat diberikan?"; Bagaimanakah jawapan akan berubah jika bukannya tanda "" terdapat tanda "
Tugas menganalisis senarai ketidaksamaan dari sudut pandangan kaedah untuk menyelesaikannya membolehkan anda mempraktikkan pengiktirafannya.
Pelajar diberikan ketidaksamaan yang perlu diselesaikan dalam kelas.
soalan: Serlahkan ketaksamaan yang memerlukan penggunaan penjelmaan setara apabila mengurangkan ketaksamaan trigonometri kepada bentuk termudahnya?
Jawab 1, 3, 5.
soalan: Apakah ketaksamaan yang anda perlukan untuk menganggap hujah yang kompleks sebagai hujah yang mudah?
Jawapan: 1, 2, 3, 5, 6.
soalan: Namakan ketaksamaan di mana ia boleh digunakan rumus trigonometri?
Jawapan: 2, 3, 6.
soalan: Namakan ketaksamaan di mana kaedah memperkenalkan pembolehubah baharu boleh digunakan?
Jawapan: 6.
Tugas menganalisis senarai ketidaksamaan dari sudut pandangan kaedah untuk menyelesaikannya membolehkan anda mempraktikkan pengiktirafannya. Apabila membangunkan kemahiran, adalah penting untuk mengenal pasti peringkat pelaksanaannya dan merumuskannya Pandangan umum, yang dibentangkan dalam algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri termudah.
Projek algebra "Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri" Disiapkan oleh pelajar kelas 10 "B" Kazachkova Yulia Penyelia: guru matematik Kochakova N.N.
Matlamat Untuk menyatukan bahan mengenai topik "Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri" dan membuat peringatan untuk pelajar bersedia untuk peperiksaan yang akan datang.
Objektif: Merumuskan bahan mengenai topik ini. Sistemakan maklumat yang diterima. Pertimbangkan topik ini dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu.
Perkaitan Kaitan topik yang saya pilih terletak pada fakta bahawa tugasan mengenai topik "Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri" dimasukkan ke dalam tugasan Peperiksaan Negeri Bersepadu.
Ketaksamaan trigonometri Ketaksamaan ialah hubungan yang menghubungkan dua nombor atau ungkapan melalui salah satu tanda: (lebih besar daripada); ≥ (lebih besar daripada atau sama dengan). Ketaksamaan trigonometri ialah ketaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri.
Ketaksamaan trigonometri Penyelesaian ketaksamaan yang mengandungi fungsi trigonometri dikurangkan, sebagai peraturan, kepada penyelesaian ketaksamaan termudah dalam bentuk: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a,ctg x
Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri Pada paksi yang sepadan dengan fungsi trigonometri yang diberikan, tandakan ini nilai angka fungsi ini. Lukis garisan melalui titik bertanda yang bersilang dengan bulatan unit. Pilih titik persilangan garis dan bulatan, dengan mengambil kira tanda ketidaksamaan yang ketat atau tidak ketat. Pilih lengkok bulatan di mana penyelesaian kepada ketaksamaan terletak. Tentukan nilai sudut pada titik permulaan dan penamat lengkok bulat. Tuliskan penyelesaian kepada ketaksamaan dengan mengambil kira keberkalaan fungsi trigonometri yang diberikan.
Formula untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Penyelesaian grafik ketaksamaan trigonometri asas sinx >a
Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan trigonometri asas sinx Penyelesaian grafik ketaksamaan trigonometri asas cosx >a Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan trigonometri asas cosx Penyelesaian grafik ketaksamaan trigonometri asas tgx >a Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan trigonometri asas tgx Penyelesaian grafik ketaksamaan trigonometri asas ctgx >a
Apabila menyelesaikan ketaksamaan yang mengandungi fungsi trigonometri, ia dikurangkan kepada ketaksamaan termudah dalam bentuk cos(t)>a, sint(t)=a dan yang serupa. Dan sudah pun ketidaksamaan yang paling mudah diselesaikan. Jom tengok pelbagai contoh cara untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah.
Contoh 1. Selesaikan ketaksamaan sin(t) > = -1/2.
Lukis bulatan unit. Oleh kerana sin(t) mengikut takrifan ialah koordinat y, kita menandakan titik y = -1/2 pada paksi Oy. Kami melukis garis lurus melaluinya selari dengan paksi Lembu. Pada persilangan garis lurus dengan graf bulatan unit, tandakan titik Pt1 dan Pt2. Kami menyambungkan asal koordinat dengan titik Pt1 dan Pt2 dengan dua segmen.
Penyelesaian kepada ketidaksamaan ini ialah semua titik bulatan unit yang terletak di atas titik ini. Dalam erti kata lain, penyelesaiannya ialah lengkok l. Sekarang adalah perlu untuk menunjukkan keadaan di mana titik sewenang-wenangnya akan menjadi milik lengkok l.
Pt1 terletak pada separuh bulatan kanan, ordinatnya ialah -1/2, kemudian t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Untuk menerangkan titik Pt1, anda boleh menulis formula berikut:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Akibatnya, kita memperoleh ketaksamaan berikut untuk t:
Kami mengekalkan ketidaksamaan. Dan kerana fungsi sinus adalah berkala, ini bermakna bahawa penyelesaian akan diulang setiap 2*pi. Kami menambah syarat ini kepada ketaksamaan yang terhasil untuk t dan menulis jawapannya.
Jawapan: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Contoh 2. Selesaikan ketaksamaan cos(t).<1/2.
Mari lukis bulatan unit. Oleh kerana, mengikut takrifan, cos(t) ialah koordinat x, kita tandakan titik x = 1/2 pada graf pada paksi Lembu.
Kami melukis garis lurus melalui titik ini selari dengan paksi Oy. Pada persilangan garis lurus dengan graf bulatan unit, tandakan titik Pt1 dan Pt2. Kami menyambungkan asal koordinat dengan titik Pt1 dan Pt2 dengan dua segmen.
Penyelesaiannya ialah semua titik bagi bulatan unit yang tergolong dalam lengkok l. Mari cari titik t1 dan t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Kami mendapat ketaksamaan untuk t: pi/3 Oleh kerana kosinus ialah fungsi berkala, penyelesaian akan diulang setiap 2*pi. Kami menambah syarat ini kepada ketaksamaan yang terhasil untuk t dan menulis jawapannya. Jawapan: pi/3+2*pi*n Contoh 3. Selesaikan ketaksamaan tg(t)< = 1. Tempoh tangen adalah sama dengan pi. Mari cari penyelesaian yang tergolong dalam selang (-pi/2;pi/2) separuh bulatan kanan. Seterusnya, dengan menggunakan keberkalaan tangen, kami menulis semua penyelesaian kepada ketaksamaan ini. Mari kita lukis bulatan unit dan tandakan garis tangen di atasnya. Jika t ialah penyelesaian kepada ketaksamaan, maka ordinat bagi titik T = tg(t) mestilah kurang daripada atau sama dengan 1. Set titik tersebut akan membentuk sinar AT. Set titik Pt yang akan sepadan dengan titik sinar ini ialah lengkok l. Selain itu, titik P(-pi/2) tidak tergolong dalam lengkok ini. KAEDAH PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
Perkaitan.
Dari segi sejarah, persamaan trigonometri dan ketaksamaan telah diberi tempat yang istimewa dalam kurikulum sekolah. Kita boleh mengatakan bahawa trigonometri adalah salah satu bahagian terpenting dalam kursus sekolah dan keseluruhan sains matematik secara umum. Persamaan trigonometri dan ketaksamaan menduduki salah satu tempat utama dalam kursus matematik sekolah menengah, baik dari segi kandungan bahan pendidikan dan kaedah aktiviti pendidikan dan kognitif yang boleh dan harus dibentuk semasa pengajian mereka dan digunakan untuk menyelesaikan sejumlah besar. masalah yang bersifat teori dan gunaan. Menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan trigonometri mewujudkan prasyarat untuk mensistematikkan pengetahuan pelajar yang berkaitan dengan semua bahan pendidikan dalam trigonometri (contohnya, sifat fungsi trigonometri, kaedah mengubah ungkapan trigonometri, dll.) dan memungkinkan untuk mewujudkan hubungan yang berkesan dengan bahan yang dipelajari dalam algebra (persamaan, kesetaraan persamaan, ketaksamaan, transformasi serupa ungkapan algebra, dll.). Dalam erti kata lain, pertimbangan teknik untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dan ketaksamaan melibatkan sejenis pemindahan kemahiran ini kepada kandungan baharu. Kepentingan teori dan banyak aplikasinya adalah bukti perkaitan topik yang dipilih. Ini seterusnya membolehkan anda menentukan matlamat, objektif dan subjek penyelidikan kerja kursus. Tujuan kajian:
umumkan jenis ketaksamaan trigonometri yang ada, kaedah asas dan khas untuk menyelesaikannya, pilih satu set masalah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri oleh murid sekolah. Objektif kajian:
1. Berdasarkan analisis literatur yang ada mengenai topik kajian, sistematikkan bahan tersebut. 2. Sediakan satu set tugas yang diperlukan untuk menyatukan topik "Ketaksamaan trigonometri." Objek kajian
adalah ketaksamaan trigonometri dalam kursus matematik sekolah. Subjek kajian:
jenis ketaksamaan trigonometri dan kaedah untuk menyelesaikannya. Kepentingan teori
adalah untuk mensistemkan bahan. Kepentingan praktikal:
aplikasi pengetahuan teori dalam menyelesaikan masalah; analisis kaedah biasa utama untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri. Kaedah penyelidikan
: analisis kesusasteraan saintifik, sintesis dan generalisasi pengetahuan yang diperoleh, analisis penyelesaian masalah, mencari kaedah optimum untuk menyelesaikan ketaksamaan. §1.
Jenis ketaksamaan trigonometri dan kaedah asas untuk menyelesaikannya
1.1. Ketaksamaan trigonometri termudah
Dua ungkapan trigonometri yang dihubungkan dengan tanda atau > dipanggil ketaksamaan trigonometri. Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri bermakna mencari set nilai yang tidak diketahui termasuk dalam ketaksamaan yang mana ketaksamaan itu dipenuhi. Bahagian utama ketaksamaan trigonometri diselesaikan dengan mengurangkannya kepada penyelesaian yang paling mudah: Ini mungkin kaedah pemfaktoran, perubahan pembolehubah ( Ketaksamaan yang paling mudah boleh diselesaikan dengan dua cara: menggunakan bulatan unit atau secara grafik. biarlahf(x
– salah satu fungsi trigonometri asas. Untuk menyelesaikan ketidaksamaan Mari kita berikan contoh algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan 1. Merumus definisi sinus bagi suatu nomborx
pada bulatan unit. 3. Pada paksi ordinat, tandakan titik dengan koordinata
.
4. Lukis garis selari dengan paksi OX melalui titik ini dan tandakan titik persilangannya dengan bulatan. 5. Pilih lengkok bulatan, semua titik yang mempunyai ordinat kurang daripadaa
.
6. Tunjukkan arah pusingan (lawan arah jam) dan tulis jawapan dengan menambah tempoh fungsi pada hujung selang2πn
,
Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan 1. Merumus definisi tangen bagi suatu nomborx
pada bulatan unit. 2. Lukiskan bulatan unit. 3. Lukiskan garis tangen dan tanda satu titik dengan ordinat di atasnyaa
.
4. Sambungkan titik ini dengan asalan dan tandakan titik persilangan segmen yang terhasil dengan bulatan unit. 5. Pilih lengkok bulatan, semua titik yang mempunyai ordinat pada garis tangen kurang daripadaa
.
6. Tunjukkan arah lintasan dan tulis jawapan dengan mengambil kira domain takrifan fungsi, menambah noktahπn
,
Tafsiran grafik penyelesaian kepada persamaan dan formula termudah untuk menyelesaikan ketaksamaan dalam bentuk umum ditunjukkan dalam lampiran (Lampiran 1 dan 2). Contoh 1.
Selesaikan ketidaksamaan Lukis garis lurus pada bulatan unit Semua maknay
pada selang NM adalah lebih besar
, semua titik lengkok AMB memenuhi ketidaksamaan ini. Pada semua sudut putaran, besar Rajah 1 Oleh itu, penyelesaian kepada ketidaksamaan adalah semua nilai dalam selang mereka. Jawapan: 1.2. Kaedah grafik
Dalam amalan, kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri sering ternyata berguna. Mari kita pertimbangkan intipati kaedah menggunakan contoh ketidaksamaan 1. Jika hujahnya rumit (berbeza denganX
), kemudian gantikannya dengant
.
2. Kami membina dalam satu satah koordinattoOy
graf fungsi 3. Kami dapati sedemikiandua titik persilangan graf yang bersebelahan, antara yanggelombang sinusterletaklebih tinggi
lurus 4. Tulis ketaksamaan berganda untuk hujaht
, dengan mengambil kira tempoh kosinus (t
akan berada di antara abscissas yang ditemui). 5. Buat penggantian terbalik (kembali kepada hujah asal) dan nyatakan nilainyaX
daripada ketaksamaan berganda, kita tulis jawapan dalam bentuk selang berangka. Contoh 2.
Selesaikan ketaksamaan: . Apabila menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah grafik, adalah perlu untuk membina graf fungsi setepat mungkin. Mari kita ubah ketidaksamaan kepada bentuk: Mari bina graf fungsi dalam satu sistem koordinat Rajah.2 Graf fungsi bersilang pada titikA
dengan koordinat Jawapan: 1.3. Kaedah algebra
Selalunya, ketaksamaan trigonometri asal boleh dikurangkan kepada ketaksamaan algebra (rasional atau tidak rasional) melalui penggantian yang dipilih dengan baik. Kaedah ini melibatkan mengubah ketaksamaan, memperkenalkan penggantian atau menggantikan pembolehubah. Mari kita lihat contoh khusus penggunaan kaedah ini. Contoh 3.
Pengurangan kepada bentuk termudah Rajah.3 Jawapan: Contoh 4.
Selesaikan ketaksamaan: ODZ: Menggunakan formula: Mari kita tulis ketaksamaan dalam bentuk: Atau, percaya Menyelesaikan ketaksamaan terakhir menggunakan kaedah selang, kami memperoleh: Rajah.4 Rajah.5 Jawapan: 1.4. Kaedah selang waktu
Skim umum untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri menggunakan kaedah selang: Faktorkan menggunakan formula trigonometri. Cari titik ketakselanjaran dan sifar bagi fungsi dan letakkannya pada bulatan. Ambil apa-apa perkaraKEPADA
(tetapi tidak ditemui lebih awal) dan ketahui tanda produk. Jika hasil darab adalah positif, maka letakkan satu titik di luar bulatan unit pada sinar yang sepadan dengan sudut. Jika tidak, letakkan titik di dalam bulatan. Jika satu titik berlaku bilangan kali genap, kami memanggilnya titik gandaan genap; jika bilangan kali ganjil, kami memanggilnya titik gandaan ganjil. Lukis lengkok seperti berikut: mulakan dari satu titikKEPADA
, jika titik seterusnya ialah kepelbagaian ganjil, maka lengkok itu bersilang dengan bulatan pada titik ini, tetapi jika titik itu ialah kepelbagaian genap, maka ia tidak bersilang. Lengkok di belakang bulatan adalah selang positif; di dalam bulatan terdapat ruang negatif. Contoh 5.
Selesaikan ketidaksamaan Mata siri pertama: Mata siri kedua: Setiap titik berlaku beberapa kali ganjil, iaitu, semua titik adalah berbilang ganjil. Mari kita ketahui tanda produk di nasi. 6 Jawapan: Contoh 6
. Selesaikan ketidaksamaan.
Penyelesaian:
Mari cari sifar bagi ungkapan itu .
terimaaem :
Pada nilai siri bulatan unitX
1
diwakili oleh titik Biar sekarang nombornya Jadi, noktahA
hendaklah dipilih pada sinar yang membentuk sudut Sekarang dari titikA
lukis garis berterusan beralun secara berurutan ke semua titik yang ditanda. Dan pada titik Rajah.7 Jawapan akhir: Catatan.
Jika garisan beralun, selepas melintasi semua titik yang ditanda pada bulatan unit, tidak boleh dikembalikan ke titikA
,
tanpa melintasi bulatan di tempat yang "haram", ini bermakna ralat telah dibuat dalam penyelesaian, iaitu, bilangan akar ganjil telah terlepas. Jawab:
.
§2. Satu set masalah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri
Dalam proses membangunkan keupayaan murid sekolah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, 3 peringkat juga boleh dibezakan. 1. persediaan, 2. membangunkan keupayaan untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah; 3. pengenalan ketaksamaan trigonometri jenis lain. Tujuan peringkat persediaan adalah perlu untuk membangunkan kanak-kanak sekolah keupayaan untuk menggunakan bulatan atau graf trigonometri untuk menyelesaikan ketaksamaan, iaitu: Keupayaan untuk menyelesaikan ketaksamaan mudah bentuk Keupayaan untuk membina ketaksamaan berganda untuk lengkok bulatan nombor atau untuk lengkok graf fungsi; Keupayaan untuk melakukan pelbagai transformasi ungkapan trigonometri. Adalah disyorkan untuk melaksanakan peringkat ini dalam proses sistematik pengetahuan murid sekolah tentang sifat-sifat fungsi trigonometri. Cara utama boleh menjadi tugas yang ditawarkan kepada pelajar dan dilakukan sama ada di bawah bimbingan guru atau secara bebas, serta kemahiran yang dibangunkan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri. Berikut adalah contoh tugas tersebut: 1
. Tandakan satu titik pada bulatan unit .
2.
Pada suku satah koordinat yang manakah titik itu terletak? 3.
Tandakan titik-titik pada bulatan trigonometri 4.
Tukarkan ungkapan tersebut kepada fungsi trigonometrisayakuarters. A) 5.
Arc MR diberikan.M
– tengahsaya-suku tahun,R
– tengahIIsuku tahun ke. Hadkan nilai pembolehubaht
untuk: (membuat ketaksamaan berganda) a) arka MR; b) RM arka. 6.
Tuliskan ketaksamaan berganda bagi bahagian graf yang dipilih: nasi. 1 7.
Selesaikan ketaksamaan 8.
Tukar Ungkapan
.
Pada peringkat kedua pembelajaran untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, kami boleh menawarkan cadangan berikut yang berkaitan dengan metodologi untuk mengatur aktiviti pelajar. Dalam kes ini, adalah perlu untuk memberi tumpuan kepada kemahiran sedia ada pelajar dalam bekerja dengan bulatan atau graf trigonometri, yang dibentuk semasa menyelesaikan persamaan trigonometri yang paling mudah. Pertama, seseorang boleh memotivasikan kesesuaian mendapatkan kaedah umum untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri termudah dengan mengubah, sebagai contoh, kepada ketaksamaan bentuk Kedua, guru harus menarik perhatian pelajar kepada cara yang berbeza untuk menyelesaikan tugasan, memberikan contoh yang sesuai untuk menyelesaikan ketaksamaan secara grafik dan menggunakan bulatan trigonometri. Mari kita pertimbangkan penyelesaian berikut untuk ketaksamaan 1. Menyelesaikan ketaksamaan menggunakan bulatan unit. Dalam pelajaran pertama tentang menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, kami akan menawarkan pelajar algoritma penyelesaian terperinci, yang dalam pembentangan langkah demi langkah mencerminkan semua kemahiran asas yang diperlukan untuk menyelesaikan ketidaksamaan. Langkah 1.Mari kita lukis bulatan unit dan tanda satu titik pada paksi ordinat Langkah 2.Garis lurus ini membahagikan bulatan kepada dua lengkok. Mari kita pilih yang menggambarkan nombor yang mempunyai sinus lebih besar daripada nasi. 2 Langkah 3.Pilih salah satu hujung arka yang ditanda. Mari tuliskan salah satu nombor yang diwakili oleh titik bulatan unit ini Langkah 4.Untuk memilih nombor yang sepadan dengan hujung kedua arka yang dipilih, kami "berjalan" di sepanjang arka ini dari hujung yang dinamakan ke yang lain. Pada masa yang sama, ingat bahawa apabila bergerak lawan jam, nombor yang akan kita lalui meningkat (apabila bergerak ke arah yang bertentangan, nombor akan berkurangan). Mari tuliskan nombor yang digambarkan pada bulatan unit pada hujung kedua lengkok yang ditanda Oleh itu, kita melihat ketidaksamaan itu Pelajar harus diminta untuk memeriksa dengan teliti lukisan itu dan memikirkan mengapa semua penyelesaian kepada ketidaksamaan nasi. 3 Adalah perlu untuk menarik perhatian pelajar kepada fakta bahawa apabila menyelesaikan ketaksamaan untuk fungsi kosinus, kita melukis garis lurus selari dengan paksi ordinat. Kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan. Kami membina graf nasi. 4 Kemudian kita tulis persamaan (Memberin
nilai 0, 1, 2, kita dapati tiga punca persamaan yang disusun). Nilai nasi. 5 ringkaskan. Untuk menyelesaikan ketidaksamaan Ketiga, fakta tentang set punca ketaksamaan trigonometri yang sepadan sangat jelas disahkan apabila menyelesaikannya secara grafik. nasi. 6 Adalah perlu untuk menunjukkan kepada pelajar bahawa giliran, yang merupakan penyelesaian kepada ketaksamaan, diulang melalui selang yang sama, sama dengan tempoh fungsi trigonometri. Anda juga boleh mempertimbangkan ilustrasi yang serupa untuk graf fungsi sinus. Keempat, adalah dinasihatkan untuk menjalankan kerja mengemas kini teknik pelajar untuk menukar jumlah (perbezaan) fungsi trigonometri kepada produk, dan untuk menarik perhatian pelajar kepada peranan teknik ini dalam menyelesaikan ketaksamaan trigonometri. Kerja sedemikian boleh dianjurkan melalui penyelesaian bebas tugas yang dicadangkan oleh guru oleh pelajar, antaranya kami menyerlahkan perkara berikut: Kelima, pelajar mesti dikehendaki untuk menggambarkan penyelesaian bagi setiap ketaksamaan trigonometri mudah menggunakan graf atau bulatan trigonometri. Anda pasti perlu memberi perhatian kepada kesesuaiannya, terutamanya penggunaan bulatan, kerana apabila menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, ilustrasi yang sepadan berfungsi sebagai cara yang sangat mudah untuk merekodkan set penyelesaian kepada ketidaksamaan tertentu. Adalah dinasihatkan untuk memperkenalkan pelajar kepada kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri yang bukan yang paling mudah mengikut skema berikut: beralih kepada ketaksamaan trigonometri tertentu beralih kepada carian bersama persamaan trigonometri yang sepadan (guru - pelajar) untuk pemindahan bebas penyelesaian bagi kaedah yang ditemui untuk ketaksamaan lain daripada jenis yang sama. Untuk mensistematikkan pengetahuan pelajar tentang trigonometri, kami mengesyorkan agar memilih ketaksamaan tersebut secara khusus, penyelesaiannya memerlukan pelbagai transformasi yang boleh dilaksanakan dalam proses menyelesaikannya, dan menumpukan perhatian pelajar pada ciri-ciri mereka. Oleh sebab ketidaksamaan yang produktif, kita boleh mencadangkan, sebagai contoh, perkara berikut: Sebagai kesimpulan, kami memberi contoh satu set masalah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri. 1. Selesaikan ketaksamaan: A) b) 5. Cari semua penyelesaian kepada ketaksamaan: A) ;
b) ;
V) G) d) 6. Selesaikan ketaksamaan: A) ;
b) ;
V); G) d); e); dan) 7. Selesaikan ketaksamaan: A) b) ;
V); G). 8. Selesaikan ketaksamaan: A) ;
b) ;
V); G) d) e); dan) h). Adalah dinasihatkan untuk menawarkan tugasan 6 dan 7 kepada pelajar yang mempelajari matematik di peringkat lanjutan, tugasan 8 kepada pelajar dalam kelas dengan pengajian lanjutan matematik. §3. Kaedah khas untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri
Kaedah khas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri - iaitu kaedah yang hanya boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Kaedah ini adalah berdasarkan penggunaan sifat-sifat fungsi trigonometri, serta penggunaan pelbagai formula dan identiti trigonometri. 3.1. Kaedah sektor
Mari kita pertimbangkan kaedah sektor untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri. Menyelesaikan ketaksamaan bentuk Dalam kaedah selang, setiap faktor linear pengangka dan penyebut bentuk Perkara berikut mesti diingat: a) Faktor bentuk b) Faktor bentuk Contoh 1.
Selesaikan ketaksamaan: a) 3.2. Kaedah bulatan sepusat
Kaedah ini adalah analog kaedah paksi nombor selari untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan rasional. Mari kita pertimbangkan contoh sistem ketaksamaan. Contoh 5.
Selesaikan sistem ketaksamaan trigonometri mudah Pertama, kami menyelesaikan setiap ketidaksamaan secara berasingan (Rajah 5). Di penjuru kanan sebelah atas rajah kami akan menunjukkan hujah mana bulatan trigonometri sedang dipertimbangkan. Rajah.5 Seterusnya, kami membina sistem bulatan sepusat untuk hujahX
. Kami melukis bulatan dan lorekkannya mengikut penyelesaian ketaksamaan pertama, kemudian kami melukis bulatan jejari yang lebih besar dan lorekkannya mengikut penyelesaian kedua, kemudian kami membina bulatan untuk ketaksamaan ketiga dan bulatan asas. Kami melukis sinar dari pusat sistem melalui hujung lengkok supaya ia bersilang dengan semua bulatan. Kami membentuk penyelesaian pada bulatan asas (Rajah 6). Rajah.6 Jawapan:
Kesimpulan
Semua objektif penyelidikan kursus telah selesai. Bahan teori disusun secara sistematik: jenis utama ketaksamaan trigonometri dan kaedah utama untuk menyelesaikannya diberikan (grafik, algebra, kaedah selang, sektor dan kaedah bulatan sepusat). Contoh penyelesaian ketaksamaan telah diberikan untuk setiap kaedah. Bahagian teori diikuti dengan bahagian praktikal. Ia mengandungi satu set tugas untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri. Kerja kursus ini boleh digunakan oleh pelajar untuk kerja bebas. Murid sekolah boleh menyemak tahap penguasaan topik ini dan berlatih menyelesaikan tugasan dengan kerumitan yang berbeza-beza. Setelah mengkaji kesusasteraan yang berkaitan mengenai isu ini, kita dapat dengan jelas menyimpulkan bahawa keupayaan dan kemahiran untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri dalam kursus sekolah algebra dan analisis asas adalah sangat penting, pembangunan yang memerlukan usaha yang besar di pihak guru matematik. Oleh itu, kerja ini akan berguna untuk guru matematik, kerana ia memungkinkan untuk mengatur latihan pelajar dengan berkesan mengenai topik "Ketaksamaan trigonometri." Penyelidikan boleh diteruskan dengan mengembangkannya kepada kerja kelayakan akhir.
Senarai sastera terpakai
Bogomolov, N.V. Koleksi masalah dalam matematik [Teks] / N.V. Bogomolov. – M.: Bustard, 2009. – 206 p. Vygodsky, M.Ya. Buku panduan matematik asas [Teks] / M.Ya. Vygodsky. – M.: Bustard, 2006. – 509 p. Zhurbenko, L.N. Matematik dalam contoh dan masalah [Teks] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p. Ivanov, O.A. Matematik asas untuk pelajar sekolah, pelajar dan guru [Teks] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p. Karp, A.P. Tugasan mengenai algebra dan permulaan analisis untuk menganjurkan ulangan dan pensijilan akhir dalam gred 11 [Teks] / A.P. ikan mas. – M.: Pendidikan, 2005. – 79 p. Kulanin, E.D. 3000 masalah persaingan dalam matematik [Teks] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p. Leibson, K.L. Koleksi tugas amali dalam matematik [Teks] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 p. Siku, V.V. Masalah dengan parameter dan penyelesaiannya. Trigonometri: persamaan, ketaksamaan, sistem. gred 10 [Teks] / V.V. siku. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p. Manova, A.N. Matematik. Tutor ekspres untuk persediaan menghadapi Peperiksaan Negeri Bersatu: pelajar. manual [Teks] / A.N. Manova. – Rostov-on-Don: Phoenix, 2012. – 541 p. Mordkovich, A.G. Algebra dan permulaan analisis matematik. 10-11 darjah. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am [Teks] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 p. Novikov, A.I. Fungsi trigonometri, persamaan dan ketaksamaan [Teks] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 p. Oganesyan, V.A. Kaedah pengajaran matematik di sekolah menengah: Metodologi am. Buku teks manual untuk pelajar fizik - tikar. fak. ped. Inst. [Teks] / V.A. Oganesyan. – M.: Pendidikan, 2006. – 368 p. Olehnik, S.N. Persamaan dan ketaksamaan. Kaedah penyelesaian bukan standard [Teks] / S.N. Olehnik. – M.: Faktorial Publishing House, 1997. – 219 hlm. Sevryukov, P.F. Persamaan dan ketaksamaan trigonometri, eksponen dan logaritma [Teks] / P.F. Sevryukov. – M.: Pendidikan Awam, 2008. – 352 p. Sergeev, I.N. Peperiksaan Negeri Bersatu: 1000 masalah dengan jawapan dan penyelesaian dalam matematik. Semua tugas kumpulan C [Teks] / I.N. Sergeev. – M.: Peperiksaan, 2012. – 301 p. Sobolev, A.B. Matematik asas [Teks] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Institusi Pendidikan Pendidikan Profesional Tinggi Negeri USTU-UPI, 2005. – 81 p. Fenko, L.M. Kaedah selang dalam menyelesaikan ketaksamaan dan mengkaji fungsi [Teks] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 p. Friedman, L.M. Asas teori kaedah pengajaran matematik [Teks] / L.M. Friedman. – M.: Rumah buku “LIBROKOM”, 2009. – 248 p. Lampiran 1 Tafsiran grafik penyelesaian kepada ketaksamaan mudah nasi. 1 nasi. 2 Rajah.3 Rajah.4 Rajah.5 Rajah.6 Rajah.7 Rajah 8 Lampiran 2 Penyelesaian kepada ketidaksamaan mudah
, 
dsb.), di mana ketidaksamaan biasa pertama kali diselesaikan, dan kemudian ketidaksamaan bentuk 
dan lain-lain, atau kaedah lain.
ia cukup untuk mencari penyelesaiannya pada satu tempoh, i.e. pada mana-mana bahagian yang panjangnya sama dengan tempoh fungsif
x
. Kemudian penyelesaian kepada ketidaksamaan asal akan ditemuix
, serta nilai-nilai yang berbeza daripada yang ditemui oleh mana-mana nombor integer tempoh fungsi. Dalam kes ini, adalah mudah untuk menggunakan kaedah grafik.
(
) Dan 
.
(
).
.
.
(nombor di sebelah kiri entri sentiasa kurang daripada nombor di sebelah kanan).
.
, yang memotong bulatan pada titik A dan B.
, tetapi lebih kecil 
,
akan mengambil nilai yang lebih tinggi
(tetapi tidak lebih daripada satu).
, iaitu 
. Untuk mendapatkan semua penyelesaian kepada ketidaksamaan ini, cukup untuk menambah pada hujung selang ini 
, Di mana 
, iaitu 
,
.
Perhatikan bahawa nilai 
Dan 
adalah punca-punca persamaan 
,
;
.
, .
:
Dan 
.
. Kami dapati abscissas mata ini.
Dan 
(Gamb. 2).
; 
. Di antara 
titik graf 
di bawah titik graf 
. Dan bila nilai fungsi adalah sama. sebab tu di 
.
.
.
(Gamb. 3)
, 
.
, 
, 
.
, 
.
selepas transformasi mudah kita dapat
,
,
.
, masing-masing 
. Kemudian daripada Rajah. 4 mengikut 
, Di mana 
.
, 
.
, 
.
.
.
: . Mari kita tandai semua titik pada bulatan unit (Gamb. 6):
, 
; 
, 
; 
, 
.
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
. SiriX
2
memberikan mata 
. SiriX
3
kita dapat dua mata 
. Akhirnya, siriX
4
akan mewakili mata 
. Mari kita plot semua titik ini pada bulatan unit, menunjukkan kepelbagaiannya dalam kurungan di sebelah setiap satu daripadanya.
akan sama. Mari buat anggaran berdasarkan tanda:
dengan rasukOh,
di luar bulatan unit. (Perhatikan bahawa rasuk tambahanTENTANG
A
Ia sama sekali tidak perlu untuk menggambarkannya dalam gambar. titikA
dipilih lebih kurang.)garisan kami pergi dari satu kawasan ke kawasan lain: jika ia berada di luar bulatan unit, maka ia akan masuk ke dalamnya. Mendekati titik 
, garisan kembali ke kawasan dalam, kerana kepelbagaian titik ini adalah genap. Begitu juga pada titik 
(dengan kepelbagaian genap) garisan perlu dipusingkan ke kawasan luar. Jadi, kami melukis gambar tertentu yang ditunjukkan dalam Rajah. 7. Ia membantu untuk menyerlahkan kawasan yang dikehendaki pada bulatan unit. Mereka ditandakan dengan tanda "+".
,
, ,
,
menggunakan sifat-sifat fungsi sinus dan kosinus;
, Jika, Jika 
sama dengan: 
, Jika:
,
b) 
,
V) 
, 
, 
, 
.
.
Menggunakan pengetahuan dan kemahiran yang diperoleh pada peringkat persediaan, pelajar akan membawa ketidaksamaan yang dicadangkan ke borang 
, tetapi mungkin sukar untuk mencari satu set penyelesaian kepada ketidaksamaan yang terhasil, kerana Tidak mustahil untuk menyelesaikannya hanya menggunakan sifat-sifat fungsi sinus. Kesukaran ini boleh dielakkan dengan beralih kepada ilustrasi yang sesuai (menyelesaikan persamaan secara grafik atau menggunakan bulatan unit)..
dan lukis garis lurus melaluinya selari dengan paksi-x. Garis ini akan memotong bulatan unit pada dua titik. Setiap titik ini mewakili nombor yang sinusnya sama dengan .
. Sememangnya, lengkok ini terletak di atas garis lurus yang dilukis.
.
.
memenuhi nombor yang mana ketaksamaan adalah benar 
. Kami menyelesaikan ketaksamaan untuk nombor yang terletak pada tempoh yang sama bagi fungsi sinus. Oleh itu, semua penyelesaian kepada ketidaksamaan boleh ditulis dalam borang 
boleh ditulis dalam bentuk 
, 
.
Dan 
, memandangkan itu 
.
dan keputusannya 
, 
, 
, didapati menggunakan formula 
, 
, 
.
ialah tiga absis berturut-turut bagi titik persilangan graf Dan . Jelas sekali, sentiasa dalam selang waktu 
ketidaksamaan berlaku 
, dan pada selang waktu 
– ketidaksamaan 
. Kami berminat dengan kes pertama, dan kemudian menambah pada hujung selang ini nombor yang merupakan gandaan tempoh sinus, kami memperoleh penyelesaian kepada ketaksamaan sebagai: 
, .
, anda perlu mencipta persamaan yang sepadan dan menyelesaikannya. Cari punca daripada formula yang terhasil 
Dan 
, dan tulis jawapan kepada ketaksamaan dalam borang: , .
, memenuhi syarat 
;
, memenuhi syarat 
.
;
;
.
;
.
;
;
;
;
, Di manaP
(
x
)
DanQ
(
x
)
– fungsi trigonometri rasional (sinus, kosinus, tangen dan kotangen dimasukkan ke dalamnya secara rasional), serupa dengan menyelesaikan ketaksamaan rasional. Adalah mudah untuk menyelesaikan ketaksamaan rasional menggunakan kaedah selang pada garis nombor. Analognya untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri rasional ialah kaedah sektor dalam bulatan trigonometri, untuksinx
Dancosx
(
) atau separuh bulatan trigonometri untuktgx
Danctgx
(
).
pada paksi nombor sepadan dengan titik 
, dan apabila melalui titik ini perubahan tanda. Dalam kaedah sektor, setiap faktor bentuk 
, Di mana 
- salah satu fungsisinx
ataucosx
Dan 
, dalam bulatan trigonometri terdapat dua sudut yang sepadan 
Dan 
, yang membahagikan bulatan kepada dua sektor. Apabila melalui Dan fungsi perubahan tanda.
Dan 
, Di mana 
, kekalkan tanda untuk semua nilai 
. Faktor pengangka dan penyebut sedemikian dibuang dengan menukar (jika 
) dengan setiap penolakan sedemikian, tanda ketidaksamaan diterbalikkan.
Dan 
juga dibuang. Selain itu, jika ini adalah faktor penyebut, maka ketaksamaan bentuk ditambah kepada sistem ketaksamaan yang setara. 
Dan 
. Jika ini adalah faktor pengangka, maka dalam sistem sekatan yang setara ia sepadan dengan ketaksamaan Dan dalam kes ketidaksamaan awal yang ketat, dan kesaksamaan 
Dan 
dalam kes ketidaksamaan awal yang tidak ketat. Apabila membuang pengganda 
atau 
tanda ketidaksamaan diterbalikkan.
, b) 
.
kita mempunyai fungsi b) . Selesaikan ketidaksamaan yang kita ada,
, 
.
