Bagaimana untuk mencari terbitan bagi fungsi kompleks. Derivatif kompleks. Terbitan logaritma. Terbitan fungsi eksponen kuasa

Plaster
29.09.2019

Derivatif kompleks. Terbitan logaritma.
Derivatif kuasa fungsi eksponen

Kami terus meningkatkan teknik pembezaan kami. Dalam pelajaran ini, kita akan menyatukan bahan yang telah kita bincangkan, melihat derivatif yang lebih kompleks, dan juga membiasakan diri dengan teknik dan helah baharu untuk mencari terbitan, khususnya, dengan terbitan logaritma.

Pembaca yang mempunyai tahap persediaan yang rendah harus merujuk kepada artikel tersebut Bagaimana untuk mencari derivatif? Contoh penyelesaian, yang akan membolehkan anda meningkatkan kemahiran anda hampir dari awal. Seterusnya, anda perlu mengkaji halaman dengan teliti Terbitan fungsi kompleks, fahami dan selesaikan Semua contoh yang saya berikan. pelajaran ini secara logik yang ketiga, dan selepas menguasainya anda dengan yakin akan membezakan fungsi yang agak kompleks. Adalah tidak diingini untuk mengambil jawatan “Di mana lagi? Ya, itu sudah cukup! ”, kerana semua contoh dan penyelesaian diambil dari sebenar ujian dan sering ditemui dalam amalan.

Mari kita mulakan dengan pengulangan. Pada pelajaran Terbitan fungsi kompleks Kami melihat beberapa contoh dengan ulasan terperinci. Semasa mempelajari kalkulus pembezaan dan cabang analisis matematik yang lain, anda perlu membezakan dengan kerap, dan tidak selalunya mudah (dan tidak semestinya perlu) untuk menerangkan contoh dengan terperinci. Oleh itu, kami akan berlatih mencari derivatif secara lisan. "Calon" yang paling sesuai untuk ini adalah derivatif daripada fungsi kompleks yang paling mudah, contohnya:

Mengikut peraturan pembezaan fungsi kompleks :

Apabila mengkaji topik matan lain pada masa hadapan, rekod terperinci sebegitu selalunya tidak diperlukan; diandaikan bahawa pelajar tahu cara mencari derivatif sedemikian secara autopilot. Cuba kita bayangkan pada pukul 3 pagi ada a panggilan telefon, dan suara yang menyenangkan bertanya: "Apakah terbitan tangen dua X?" Ini harus diikuti dengan respons yang hampir serta-merta dan sopan: .

Contoh pertama akan segera ditujukan untuk penyelesaian bebas.

Contoh 1

Cari derivatif berikut secara lisan, dalam satu tindakan, contohnya: . Untuk menyelesaikan tugas anda hanya perlu menggunakan jadual terbitan bagi fungsi asas(jika anda belum ingat lagi). Jika anda menghadapi sebarang kesulitan, saya cadangkan anda membaca semula pelajaran Terbitan fungsi kompleks.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Jawapan di akhir pelajaran

Derivatif kompleks

Selepas penyediaan artileri awal, contoh dengan 3-4-5 fungsi sarang akan menjadi kurang menakutkan. Mungkin dua contoh berikut akan kelihatan rumit kepada sesetengah orang, tetapi jika anda memahaminya (seseorang akan menderita), maka hampir semua perkara lain dalam kalkulus pembezaan Ia akan kelihatan seperti jenaka kanak-kanak.

Contoh 2

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Seperti yang telah dinyatakan, apabila mencari derivatif fungsi kompleks, pertama sekali, adalah perlu Betul FAHAM pelaburan anda. Dalam kes di mana terdapat keraguan, saya mengingatkan anda helah yang berguna: kami mengambil nilai percubaan "x", sebagai contoh, dan cuba (secara mental atau dalam draf) untuk menggantikan nilai yang diberi menjadi "ungkapan yang mengerikan".

1) Mula-mula kita perlu mengira ungkapan, yang bermaksud jumlahnya ialah pembenaman terdalam.

2) Kemudian anda perlu mengira logaritma:

4) Kemudian kubus kosinus:

5) Pada langkah kelima perbezaannya:

6) Dan akhirnya, fungsi yang paling luaran ialah Punca kuasa dua:

Formula untuk membezakan fungsi kompleks akan digunakan dalam susunan terbalik, daripada fungsi paling luar kepada paling dalam. Kami membuat keputusan:

Nampaknya tiada kesilapan...

(1) Ambil terbitan punca kuasa dua.

(2) Kami mengambil terbitan perbezaan menggunakan peraturan

(3) Terbitan bagi rangkap tiga ialah sifar. Dalam istilah kedua kita mengambil terbitan darjah (kubus).

(4) Ambil terbitan bagi kosinus.

(5) Ambil terbitan logaritma.

(6) Dan akhirnya, kami mengambil terbitan daripada pembenaman terdalam.

Ia mungkin kelihatan terlalu sukar, tetapi ini bukanlah contoh yang paling kejam. Ambil, sebagai contoh, koleksi Kuznetsov dan anda akan menghargai semua keindahan dan kesederhanaan terbitan yang dianalisis. Saya perasan bahawa mereka suka memberikan perkara yang sama dalam peperiksaan untuk menyemak sama ada pelajar memahami cara mencari terbitan fungsi kompleks atau tidak faham.

Contoh berikut adalah untuk anda selesaikan sendiri.

Contoh 3

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Petunjuk: Mula-mula kita menggunakan peraturan lineariti dan peraturan pembezaan produk

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Sudah tiba masanya untuk beralih kepada sesuatu yang lebih kecil dan lebih bagus.
Ia bukan sesuatu yang luar biasa untuk contoh untuk menunjukkan produk bukan dua, tetapi tiga fungsi. Bagaimana untuk mencari terbitan hasil darab tiga faktor?

Contoh 4

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Mula-mula kita lihat, adakah mungkin untuk menukar hasil darab tiga fungsi kepada hasil darab dua fungsi? Sebagai contoh, jika kita mempunyai dua polinomial dalam produk, maka kita boleh membuka kurungan. Tetapi dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, semua fungsi adalah berbeza: darjah, eksponen dan logaritma.

Dalam kes sedemikian adalah perlu secara berurutan gunakan peraturan pembezaan produk dua kali

Caranya ialah dengan "y" kita menandakan hasil darab dua fungsi: , dan dengan "ve" kita menandakan logaritma: . Mengapa ini boleh dilakukan? Adakah mungkin – ini bukan hasil dua faktor dan peraturan itu tidak berkesan?! Tidak ada yang rumit:

Kini ia kekal untuk menggunakan peraturan untuk kali kedua untuk kurungan:

Anda masih boleh terpesong dan mengeluarkan sesuatu daripada kurungan, tetapi masuk dalam kes ini Adalah lebih baik untuk meninggalkan jawapan dalam borang ini - ia akan menjadi lebih mudah untuk menyemak.

Contoh yang dipertimbangkan boleh diselesaikan dengan cara kedua:

Kedua-dua penyelesaian adalah benar-benar setara.

Contoh 5

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas; dalam sampel ia diselesaikan menggunakan kaedah pertama.

Mari kita lihat contoh serupa dengan pecahan.

Contoh 6

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Terdapat beberapa cara yang anda boleh pergi di sini:

Atau seperti ini:

Tetapi penyelesaiannya akan ditulis dengan lebih padat jika kita mula-mula menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi , mengambil untuk keseluruhan pengangka:

Pada prinsipnya, contoh itu diselesaikan, dan jika dibiarkan begitu, ia tidak akan menjadi ralat. Tetapi jika anda mempunyai masa, anda dinasihatkan untuk menyemak draf untuk melihat sama ada jawapannya boleh dipermudahkan? Mari kita kurangkan ungkapan pengangka kepada penyebut biasa Dan mari kita singkirkan pecahan tiga tingkat:

Kelemahan penyederhanaan tambahan ialah terdapat risiko membuat kesilapan bukan apabila mencari derivatif, tetapi semasa transformasi sekolah cetek. Sebaliknya, guru sering menolak tugasan dan meminta untuk "mengingatkannya" terbitan.

Contoh yang lebih mudah untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 7

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Kami terus menguasai kaedah mencari derivatif, dan kini kami akan mempertimbangkan kes biasa apabila logaritma "mengerikan" dicadangkan untuk pembezaan

Contoh 8

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Di sini anda boleh pergi jauh, menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks:

Tetapi langkah pertama serta-merta menjerumuskan anda ke dalam keputusasaan - anda perlu mengambil derivatif yang tidak menyenangkan kuasa pecahan, dan kemudian juga daripada pecahan.

sebab tu sebelum ini bagaimana untuk mengambil terbitan logaritma "canggih", ia mula-mula dipermudahkan menggunakan sifat sekolah yang terkenal:



! Jika anda mempunyai buku nota latihan di tangan, salin formula ini terus di sana. Jika anda tidak mempunyai buku nota, salinnya pada sekeping kertas, kerana contoh-contoh pelajaran yang tinggal akan berkisar pada formula ini.

Penyelesaian itu sendiri boleh ditulis seperti ini:

Mari kita ubah fungsi:

Mencari terbitan:

Pra-penukaran fungsi itu sendiri sangat memudahkan penyelesaian. Oleh itu, apabila logaritma yang serupa dicadangkan untuk pembezaan, ia sentiasa dinasihatkan untuk "memecahkannya".

Dan kini beberapa contoh mudah untuk anda selesaikan sendiri:

Contoh 9

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Contoh 10

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Semua transformasi dan jawapan berada di akhir pelajaran.

Terbitan logaritma

Jika terbitan logaritma adalah muzik yang begitu manis, maka persoalan timbul: adakah mungkin dalam beberapa kes untuk menyusun logaritma secara buatan? Boleh! Dan juga perlu.

Contoh 11

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Kami baru-baru ini melihat contoh yang serupa. Apa nak buat? Anda boleh menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi secara berurutan, dan kemudian peraturan pembezaan produk. Kelemahan kaedah ini ialah anda mempunyai pecahan tiga tingkat yang besar, yang anda tidak mahu berurusan sama sekali.

Tetapi dalam teori dan amalan terdapat satu perkara yang mengagumkan seperti terbitan logaritma. Logaritma boleh disusun secara buatan dengan "menggantung" mereka pada kedua-dua belah:

Sekarang anda perlu "menghancurkan" logaritma sebelah kanan sebanyak mungkin (formula di hadapan mata anda?). Saya akan menerangkan proses ini dengan terperinci:

Mari kita mulakan dengan pembezaan.
Kami menyimpulkan kedua-dua bahagian di bawah perdana:

Terbitan sebelah kanan agak mudah; Saya tidak akan mengulas mengenainya, kerana jika anda membaca teks ini, anda sepatutnya dapat mengendalikannya dengan yakin.

Bagaimana dengan sebelah kiri?

Di sebelah kiri kita ada fungsi kompleks. Saya meramalkan soalan: "Mengapa, adakah terdapat satu huruf "Y" di bawah logaritma?"

Hakikatnya ialah "permainan satu huruf" ini - ADAKAH SENDIRI SATU FUNGSI(jika tidak begitu jelas, rujuk artikel Derivatif bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat). Oleh itu, logaritma ialah fungsi luaran, dan "y" ialah fungsi dalaman. Dan kami menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks :

Di sebelah kiri, seolah-olah dengan sihir tongkat sihir kita mempunyai derivatif. Seterusnya, mengikut peraturan perkadaran, kami memindahkan "y" dari penyebut sebelah kiri ke bahagian atas sebelah kanan:

Dan sekarang mari kita ingat apakah jenis fungsi "pemain" yang kita bincangkan semasa pembezaan? Jom tengok syaratnya:

Jawapan akhir:

Contoh 12

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Contoh reka bentuk contoh jenis ini terdapat pada akhir pelajaran.

Menggunakan terbitan logaritma adalah mungkin untuk menyelesaikan mana-mana contoh No. 4-7, perkara lain ialah fungsi di sana lebih mudah, dan, mungkin, penggunaan derivatif logaritma tidak begitu wajar.

Terbitan fungsi eksponen kuasa

Kami belum mempertimbangkan fungsi ini lagi. Fungsi eksponen kuasa ialah fungsi yang kedua-dua darjah dan asas bergantung pada "x". Contoh klasik, yang akan diberikan kepada anda dalam mana-mana buku teks atau di mana-mana kuliah:

Bagaimana untuk mencari terbitan fungsi eksponen kuasa?

Ia adalah perlu untuk menggunakan teknik yang baru dibincangkan - terbitan logaritma. Kami menggantung logaritma pada kedua-dua belah:

Sebagai peraturan, di sebelah kanan darjah diambil dari bawah logaritma:

Akibatnya, di sebelah kanan kita mempunyai produk dua fungsi, yang akan dibezakan mengikut formula standard .

Kami mencari derivatif; untuk melakukan ini, kami melampirkan kedua-dua bahagian di bawah pukulan:

Tindakan selanjutnya adalah mudah:

Akhirnya:

Jika sebarang penukaran tidak jelas sepenuhnya, sila baca semula penjelasan Contoh #11 dengan teliti.

DALAM tugas amali Fungsi eksponen kuasa akan sentiasa lebih kompleks daripada contoh yang dibincangkan dalam kuliah.

Contoh 13

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Kami menggunakan terbitan logaritma.

Di sebelah kanan kita mempunyai pemalar dan hasil darab dua faktor - "x" dan "logaritma logaritma x" (logaritma lain bersarang di bawah logaritma). Apabila membezakan, seperti yang kita ingat, adalah lebih baik untuk segera memindahkan pemalar keluar dari tanda terbitan supaya ia tidak menghalangnya; dan, sudah tentu, kami menggunakan peraturan biasa :


Seperti yang anda lihat, algoritma untuk menggunakan derivatif logaritma tidak mengandungi sebarang helah atau helah khas, dan mencari terbitan fungsi eksponen kuasa biasanya tidak dikaitkan dengan "siksaan."

Definisi. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) ditakrifkan dalam selang tertentu yang mengandungi titik \(x_0\). Mari kita berikan hujah kenaikan \(\Delta x \) supaya ia tidak meninggalkan selang ini. Mari cari kenaikan yang sepadan bagi fungsi \(\Delta y \) (apabila bergerak dari titik \(x_0 \) ke titik \(x_0 + \Delta x \)) dan gubah hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jika terdapat had kepada nisbah ini pada \(\Delta x \rightarrow 0\), maka had yang ditentukan dipanggil terbitan bagi suatu fungsi\(y=f(x) \) pada titik \(x_0 \) dan menandakan \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y sering digunakan untuk menandakan terbitan. Perhatikan bahawa y" = f(x) ialah fungsi baharu, tetapi secara semula jadi berkaitan dengan fungsi y = f(x), ditakrifkan pada semua titik x di mana had di atas wujud . Fungsi ini dipanggil seperti ini: terbitan bagi fungsi y = f(x).

Makna geometri terbitan adalah seperti berikut. Jika boleh melukis tangen pada graf fungsi y = f(x) pada titik dengan absis x=a, yang tidak selari dengan paksi-y, maka f(a) menyatakan kecerunan tangen. :
\(k = f"(a)\)

Oleh kerana \(k = tg(a) \), maka kesamaan \(f"(a) = tan(a) \) adalah benar.

Sekarang mari kita tafsirkan takrifan terbitan dari sudut kesamaan anggaran. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) mempunyai terbitan pada titik tertentu \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini bermakna berhampiran titik x kesamaan anggaran \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \lebih kurang f"(x)\), iaitu \(\Delta y \lebih kurang f"(x) \cdot\ Delta x\). Maksud bermakna kesamaan anggaran yang terhasil adalah seperti berikut: kenaikan fungsi adalah "hampir berkadar" dengan kenaikan hujah, dan pekali kekadaran ialah nilai terbitan pada titik x tertentu. Sebagai contoh, untuk fungsi \(y = x^2\) anggaran kesamaan \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) adalah sah. Jika kita menganalisis dengan teliti definisi derivatif, kita akan mendapati bahawa ia mengandungi algoritma untuk mencarinya.

Mari kita rumuskan.

Bagaimana untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x)?

1. Betulkan nilai \(x\), cari \(f(x)\)
2. Berikan hujah \(x\) kenaikan \(\Delta x\), pergi ke titik baharu \(x+ \Delta x \), cari \(f(x+ \Delta x) \)
3. Cari kenaikan fungsi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Cipta hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kira $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Had ini ialah terbitan bagi fungsi pada titik x.

Jika fungsi y = f(x) mempunyai terbitan pada titik x, maka ia dipanggil boleh dibezakan pada titik x. Prosedur untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x) dipanggil pembezaan fungsi y = f(x).

Mari kita bincangkan soalan berikut: bagaimanakah kesinambungan dan kebolehbezaan fungsi pada satu titik berkaitan antara satu sama lain?

Biarkan fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x. Kemudian tangen boleh dilukis pada graf fungsi pada titik M(x; f(x)), dan, ingat, pekali sudut tangen adalah sama dengan f "(x). Graf sedemikian tidak boleh "pecah" pada titik M, iaitu fungsi mesti selanjar pada titik x.

Ini adalah hujah "hands-on". Mari kita berikan alasan yang lebih tegas. Jika fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x, maka kesamaan anggaran \(\Delta y \anggaran f"(x) \cdot \Delta x \) dipegang. Jika dalam kesamaan ini \(\Delta x \) cenderung kepada sifar, maka \(\Delta y \) akan cenderung kepada sifar, dan ini adalah syarat untuk kesinambungan fungsi pada satu titik.

Jadi, jika fungsi boleh dibezakan pada titik x, maka ia berterusan pada titik itu.

Pernyataan sebaliknya adalah tidak benar. Contohnya: fungsi y = |x| adalah selanjar di mana-mana, khususnya pada titik x = 0, tetapi tangen kepada graf fungsi pada "titik simpang" (0; 0) tidak wujud. Jika pada satu ketika tangen tidak boleh ditarik ke graf fungsi, maka terbitan tidak wujud pada titik itu.

Satu lagi contoh. Fungsi \(y=\sqrt(x)\) adalah selanjar pada keseluruhan garis nombor, termasuk pada titik x = 0. Dan tangen kepada graf fungsi wujud pada mana-mana titik, termasuk pada titik x = 0 . Tetapi pada ketika ini tangen bertepatan dengan paksi-y, iaitu, ia berserenjang dengan paksi absis, persamaannya mempunyai bentuk x = 0. Pekali cerun baris sedemikian tidak mempunyai, yang bermaksud bahawa \(f"(0) \) tidak wujud sama ada

Jadi, kami berkenalan dengan sifat baharu sesuatu fungsi - kebolehbezaan. Bagaimanakah seseorang boleh membuat kesimpulan daripada graf fungsi bahawa ia boleh dibezakan?

Jawapannya sebenarnya diberikan di atas. Jika pada satu ketika adalah mungkin untuk melukis tangen pada graf fungsi yang tidak berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu boleh dibezakan. Jika pada satu ketika tangen kepada graf fungsi tidak wujud atau ia berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu tidak boleh dibezakan.

Peraturan pembezaan

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan. Apabila melakukan operasi ini, anda selalunya perlu bekerja dengan hasil bagi, jumlah, hasil darab fungsi, serta "fungsi fungsi," iaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi derivatif, kita boleh memperoleh peraturan pembezaan yang memudahkan kerja ini. Jika C ialah nombor tetap dan f=f(x), g=g(x) ialah beberapa fungsi boleh dibezakan, maka yang berikut adalah benar peraturan pembezaan:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \kanan) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Terbitan bagi fungsi kompleks:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Jadual terbitan beberapa fungsi

$$ \kiri(\frac(1)(x) \kanan) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \kiri(x^a \kanan) " = a x^(a-1) $$ $$ \kiri(a^x \kanan) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kiri(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Dan teorem pada terbitan fungsi kompleks, rumusannya adalah seperti berikut:

Biarkan 1) fungsi $u=\varphi (x)$ mempunyai pada satu ketika $x_0$ terbitan $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) fungsi $y=f(u)$ mempunyai pada titik yang sepadan $u_0=\varphi (x_0)$ terbitan $y_(u)"=f"(u)$. Kemudian fungsi kompleks $y=f\left(\varphi (x) \right)$ pada titik yang disebutkan juga akan mempunyai derivatif yang sama dengan hasil darab derivatif bagi fungsi $f(u)$ dan $\varphi ( x)$:

$$ \kiri(f(\varphi (x))\kanan)"=f_(u)"\kiri(\varphi (x_0) \kanan)\cdot \varphi"(x_0) $$

atau, dalam tatatanda yang lebih pendek: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Dalam contoh dalam bahagian ini, semua fungsi mempunyai bentuk $y=f(x)$ (iaitu, kami menganggap hanya fungsi satu pembolehubah $x$). Oleh itu, dalam semua contoh derivatif $y"$ diambil berkenaan dengan pembolehubah $x$. Untuk menekankan bahawa terbitan diambil berkenaan dengan pembolehubah $x$, $y"_x$ selalunya ditulis dan bukannya $y "$.

Contoh No. 1, No. 2 dan No. 3 garis besar proses terperinci mencari terbitan bagi fungsi kompleks. Contoh No. 4 bertujuan untuk pemahaman yang lebih lengkap tentang jadual terbitan dan masuk akal untuk membiasakan diri dengannya.

Adalah dinasihatkan selepas mempelajari bahan dalam contoh No. 1-3 untuk meneruskan keputusan bebas contoh No. 5, No. 6 dan No. 7. Contoh No. 5, No. 6 dan No. 7 mengandungi penyelesaian singkat supaya pembaca boleh menyemak ketepatan keputusannya.

Contoh No. 1

Cari terbitan bagi fungsi $y=e^(\cos x)$.

Kita perlu mencari terbitan bagi fungsi kompleks $y"$. Oleh kerana $y=e^(\cos x)$, maka $y"=\left(e^(\cos x)\kanan)"$. Kepada cari derivatif $ \left(e^(\cos x)\right)"$ kita menggunakan formula No. 6 daripada jadual derivatif. Untuk menggunakan formula No. 6, kita perlu mengambil kira bahawa dalam kes kita $u=\cos x$. Penyelesaian selanjutnya terdiri daripada hanya menggantikan ungkapan $\cos x$ dan bukannya $u$ ke dalam formula No. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Sekarang kita perlu mencari nilai ungkapan $(\cos x)"$. Kita beralih semula ke jadual derivatif, memilih formula No. 10 daripadanya. Menggantikan $u=x$ ke dalam formula No. 10, kita ada : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Sekarang mari kita teruskan kesamaan (1.1), menambahnya dengan hasil yang ditemui:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Oleh kerana $x"=1$, kami meneruskan kesamaan (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Jadi, daripada kesamaan (1.3) kita ada: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Sememangnya, penjelasan dan kesamaan perantaraan biasanya dilangkau, menuliskan dapatan terbitan dalam satu baris, seperti dalam kesamaan ( 1.3) Jadi, terbitan bagi fungsi kompleks telah ditemui, yang tinggal hanyalah menulis jawapannya.

Jawab: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Contoh No. 2

Cari terbitan bagi fungsi $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Kita perlu mengira derivatif $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Sebagai permulaan, kami perhatikan bahawa pemalar (iaitu nombor 9) boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)" \tag (2.1) $$

Sekarang mari kita beralih kepada ungkapan $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Untuk memudahkan pemilihan formula yang diingini daripada jadual derivatif, saya akan membentangkan ungkapan yang dimaksudkan dalam borang ini: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Kini jelas bahawa perlu menggunakan formula No 2, i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Mari gantikan $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ dan $\alpha=12$ ke dalam formula ini:

Menambah kesaksamaan (2.1) dengan hasil yang diperoleh, kami mempunyai:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Dalam keadaan ini, kesilapan sering dilakukan apabila penyelesai pada langkah pertama memilih formula $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ dan bukannya formula $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Maksudnya ialah terbitan fungsi luaran mesti didahulukan. Untuk memahami fungsi mana yang akan berada di luar ungkapan $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, bayangkan anda sedang mengira nilai ungkapan $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ pada beberapa nilai $x$. Mula-mula anda akan mengira nilai $5^x$, kemudian darabkan hasilnya dengan 4, mendapat $4\cdot 5^x$. Sekarang kita ambil arctangent daripada hasil ini, memperoleh $\arctg(4\cdot 5^x)$. Kemudian kita naikkan nombor yang terhasil kepada kuasa kedua belas, mendapat $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Tindakan terakhir, i.e. meningkatkan kepada kuasa 12 akan menjadi fungsi luaran. Dan dari sinilah kita mesti mula mencari derivatif, yang dilakukan dalam kesamarataan (2.2).

Sekarang kita perlu mencari $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Kami menggunakan formula No. 19 jadual terbitan, menggantikan $u=4\cdot \ln x$ ke dalamnya:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Mari ringkaskan ungkapan yang terhasil sedikit, dengan mengambil kira $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Kesaksamaan (2.2) kini akan menjadi:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Ia kekal untuk mencari $(4\cdot \ln x)"$. Mari kita ambil pemalar (iaitu 4) daripada tanda terbitan: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Untuk Untuk mencari $(\ln x)"$ kami menggunakan formula No. 8, menggantikan $u=x$ ke dalamnya: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Oleh kerana $x"=1$, maka $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Menggantikan hasil yang diperoleh ke dalam formula (2.3), kita memperoleh:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Biar saya ingatkan anda bahawa terbitan fungsi kompleks paling kerap ditemui dalam satu baris, seperti yang ditulis dalam kesamaan terakhir. Oleh itu, apabila menyediakan pengiraan standard atau kerja kawalan, tidak perlu sama sekali untuk menerangkan penyelesaian secara terperinci.

Jawab: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Contoh No. 3

Cari $y"$ bagi fungsi $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Mula-mula, mari kita ubah sedikit fungsi $y$, menyatakan radikal (akar) sebagai kuasa: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \kanan)^(\frac(3)(7))$. Sekarang mari kita mula mencari derivatif. Oleh kerana $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, maka:

$$ y"=\kiri(\kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(3)(7))\kanan)" \tag (3.1) $$

Mari kita gunakan formula No. 2 daripada jadual derivatif, menggantikan $u=\sin(5\cdot 9^x)$ dan $\alpha=\frac(3)(7)$ ke dalamnya:

$$ \kiri(\kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(3)(7)\kanan)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Marilah kita meneruskan kesaksamaan (3.1) menggunakan hasil yang diperoleh:

$$ y"=\kiri(\kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(3)(7))\kanan)"=\frac(3)(7)\cdot \kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Sekarang kita perlu mencari $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Untuk ini kita menggunakan formula No. 9 daripada jadual derivatif, menggantikan $u=5\cdot 9^x$ ke dalamnya:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Setelah menambah kesaksamaan (3.2) dengan hasil yang diperoleh, kami mempunyai:

$$ y"=\kiri(\kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(3)(7))\kanan)"=\frac(3)(7)\cdot \kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Ia kekal untuk mencari $(5\cdot 9^x)"$. Mula-mula, mari kita ambil pemalar (nombor $5$) di luar tanda terbitan, iaitu $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Untuk mencari derivatif $(9^x)"$, gunakan formula No. 5 jadual derivatif, menggantikan $a=9$ dan $u=x$ ke dalamnya: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Oleh kerana $x"=1$, maka $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Sekarang kita boleh meneruskan kesamaan (3.3):

$$ y"=\kiri(\kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(3)(7))\kanan)"=\frac(3)(7)\cdot \kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Kita boleh kembali dari kuasa kepada radikal (iaitu, akar), menulis $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ dalam bentuk $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\\ cdot 9^x)))$. Kemudian derivatif akan ditulis dalam bentuk ini:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Jawab: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\\ cdot 9^x)))$.

Contoh No. 4

Tunjukkan bahawa formula No. 3 dan No. 4 dalam jadual terbitan ialah kes khas formula No. 2 dalam jadual ini.

Formula No. 2 jadual terbitan mengandungi terbitan bagi fungsi $u^\alpha$. Menggantikan $\alpha=-1$ ke dalam formula No. 2, kita dapat:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Oleh kerana $u^(-1)=\frac(1)(u)$ dan $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, maka kesamaan (4.1) boleh ditulis semula seperti berikut: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ini ialah formula No. 3 jadual derivatif.

Mari kita beralih semula kepada formula No. 2 jadual terbitan. Mari kita gantikan $\alpha=\frac(1)(2)$ ke dalamnya:

$$\kiri(u^(\frac(1)(2))\kanan)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Oleh kerana $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ dan $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, maka kesamaan (4.2) boleh ditulis semula seperti berikut:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Kesamaan yang terhasil $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ialah formula No. 4 jadual derivatif. Seperti yang anda lihat, formula No. 3 dan No. 4 jadual terbitan diperoleh daripada formula No. 2 dengan menggantikan nilai $\alpha$ yang sepadan.

Tahap pertama

Terbitan fungsi. Panduan Komprehensif (2019)

Cuba kita bayangkan jalan lurus yang melalui kawasan berbukit. Iaitu, ia naik dan turun, tetapi tidak membelok ke kanan atau kiri. Jika paksi diarahkan secara mendatar di sepanjang jalan dan menegak, maka garisan jalan akan sangat serupa dengan graf beberapa fungsi berterusan:

Paksi adalah tahap ketinggian sifar tertentu; dalam kehidupan kita menggunakan paras laut sebagainya.

Semasa kita bergerak ke hadapan di sepanjang jalan sedemikian, kita juga bergerak ke atas atau ke bawah. Kita juga boleh mengatakan: apabila hujah berubah (pergerakan sepanjang paksi abscissa), nilai fungsi berubah (pergerakan sepanjang paksi ordinat). Sekarang mari kita fikirkan bagaimana untuk menentukan "kecuraman" jalan kita? Apakah jenis nilai ini? Ia sangat mudah: berapa banyak ketinggian akan berubah apabila bergerak ke hadapan pada jarak tertentu. Sesungguhnya, pada bahagian jalan yang berbeza, bergerak ke hadapan (di sepanjang paksi-x) sejauh satu kilometer, kita akan naik atau turun dengan kuantiti yang berbeza meter berbanding paras laut (di sepanjang paksi ordinat).

Mari kita nyatakan kemajuan (baca "delta x").

Huruf Yunani (delta) biasanya digunakan dalam matematik sebagai awalan yang bermaksud "perubahan". Iaitu - ini adalah perubahan dalam kuantiti, - perubahan; kemudian apa itu? Betul, perubahan magnitud.

Penting: ungkapan ialah satu keseluruhan, satu pembolehubah. Jangan sekali-kali memisahkan "delta" daripada "x" atau mana-mana huruf lain! Iaitu, sebagai contoh,.

Jadi, kami telah bergerak ke hadapan, secara mendatar, dengan. Jika kita membandingkan garis jalan dengan graf fungsi, maka bagaimana kita menyatakan kenaikan? Pastinya, . Iaitu, apabila kita bergerak ke hadapan, kita meningkat lebih tinggi.

Nilainya mudah dikira: jika pada mulanya kita berada pada ketinggian, dan selepas bergerak kita mendapati diri kita berada pada ketinggian, maka. Jika titik akhir lebih rendah daripada titik permulaan, ia akan menjadi negatif - ini bermakna kita tidak menaik, tetapi menurun.

Mari kembali ke "kecuraman": ini ialah nilai yang menunjukkan berapa banyak (curam) ketinggian meningkat apabila bergerak ke hadapan satu unit jarak:

Mari kita anggap bahawa pada beberapa bahagian jalan, apabila bergerak ke hadapan sejauh satu kilometer, jalan itu naik satu kilometer. Kemudian cerun di tempat ini adalah sama. Dan jika jalan raya, semasa bergerak ke hadapan dengan m, menurun dengan km? Kemudian cerun adalah sama.

Sekarang mari kita lihat di puncak bukit. Jika anda mengambil permulaan bahagian setengah kilometer sebelum puncak, dan penghujung setengah kilometer selepas itu, anda dapat melihat bahawa ketinggiannya hampir sama.

Iaitu, mengikut logik kita, ternyata cerun di sini hampir sama dengan sifar, yang jelas tidak benar. Hanya dalam jarak kilometer banyak boleh berubah. Adalah perlu untuk mempertimbangkan kawasan yang lebih kecil untuk penilaian kecuraman yang lebih mencukupi dan tepat. Sebagai contoh, jika anda mengukur perubahan ketinggian semasa anda bergerak satu meter, hasilnya akan menjadi lebih tepat. Tetapi ketepatan ini mungkin tidak mencukupi untuk kita - lagipun, jika ada tiang di tengah jalan, kita boleh melepasinya. Apakah jarak yang harus kita pilih kemudian? Sentimeter? milimeter? Kurang lebih baik!

DALAM kehidupan sebenar Mengukur jarak ke milimeter terdekat adalah lebih daripada mencukupi. Tetapi ahli matematik sentiasa berusaha untuk kesempurnaan. Oleh itu, konsep itu dicipta sangat kecil, iaitu, nilai mutlak adalah kurang daripada sebarang nombor yang boleh kita namakan. Sebagai contoh, anda berkata: satu trilion! berapa kurang? Dan anda membahagikan nombor ini dengan - dan ia akan menjadi lebih sedikit. Dan sebagainya. Jika kita ingin menulis bahawa kuantiti adalah sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca "x cenderung kepada sifar"). Ia sangat penting untuk difahami bahawa nombor ini bukan sifar! Tetapi sangat dekat dengannya. Ini bermakna anda boleh membahagikannya.

Konsep yang bertentangan dengan infinitesimal ialah infinites large (). Anda mungkin telah menemuinya semasa anda mengusahakan ketidaksamaan: nombor ini adalah modulo lebih besar daripada sebarang nombor yang anda boleh fikirkan. Jika anda menghasilkan nombor terbesar yang mungkin, hanya darabkan dengan dua dan anda akan mendapat nombor yang lebih besar. Dan infiniti lebih hebat daripada apa yang berlaku. Sebenarnya, yang tidak terhingga besar dan yang tidak terhingga kecil adalah songsang antara satu sama lain, iaitu, di, dan sebaliknya: at.

Sekarang mari kita kembali ke jalan kita. Cerun yang dikira ideal ialah cerun yang dikira untuk segmen laluan yang sangat kecil, iaitu:

Saya perhatikan bahawa dengan anjakan sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan menjadi sangat kecil. Tetapi izinkan saya mengingatkan anda bahawa sangat kecil tidak bermakna sama dengan sifar. Jika anda membahagi nombor tak terhingga dengan satu sama lain, anda boleh mendapatkan nombor biasa sepenuhnya, contohnya, . Iaitu, satu nilai kecil boleh menjadi tepat kali lebih besar daripada yang lain.

Untuk apa semua ini? Jalan, kecuramannya... Kami tidak akan mengadakan perhimpunan kereta, tetapi kami mengajar matematik. Dan dalam matematik semuanya betul-betul sama, hanya dipanggil berbeza.

Konsep terbitan

Terbitan bagi fungsi ialah nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan argumen untuk kenaikan argumen yang sangat kecil.

secara berperingkat dalam matematik mereka panggil perubahan. Sejauh mana hujah () berubah semasa ia bergerak di sepanjang paksi dipanggil pertambahan hujah dan ditetapkan. Berapa banyak fungsi (ketinggian) telah berubah apabila bergerak ke hadapan sepanjang paksi mengikut jarak dipanggil kenaikan fungsi dan ditetapkan.

Jadi, terbitan fungsi ialah nisbah kepada bila. Kami menandakan terbitan dengan huruf yang sama dengan fungsi, hanya dengan perdana di bahagian atas sebelah kanan: atau ringkasnya. Jadi, mari kita tulis formula terbitan menggunakan tatatanda ini:

Seperti dalam analogi dengan jalan, di sini apabila fungsi meningkat, terbitan adalah positif, dan apabila ia menurun, ia adalah negatif.

Bolehkah terbitan sama dengan sifar? Sudah tentu. Sebagai contoh, jika kita memandu di jalan mendatar yang rata, kecuramannya adalah sifar. Dan memang benar, ketinggian tidak berubah sama sekali. Begitu juga dengan derivatif: terbitan bagi fungsi malar (malar) adalah sama dengan sifar:

kerana kenaikan fungsi sedemikian adalah sama dengan sifar untuk sebarang.

Mari kita ingat contoh puncak bukit. Ternyata ia adalah mungkin untuk mengatur hujung segmen bersama sisi yang berbeza dari atas, supaya ketinggian di hujung adalah sama, iaitu, segmen selari dengan paksi:

Tetapi segmen besar- tanda ukuran tidak tepat. Kami akan menaikkan segmen kami selari dengan dirinya sendiri, maka panjangnya akan berkurangan.

Akhirnya, apabila kita hampir tidak terhingga dengan bahagian atas, panjang segmen akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada masa yang sama, ia kekal selari dengan paksi, iaitu perbezaan ketinggian di hujungnya adalah sama dengan sifar (ia tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi terbitan

Ini boleh difahami dengan cara ini: apabila kita berdiri di bahagian paling atas, anjakan kecil ke kiri atau kanan mengubah ketinggian kita secara diabaikan.

Terdapat juga penjelasan algebra semata-mata: di sebelah kiri bucu fungsi meningkat, dan ke kanan ia berkurangan. Seperti yang kita ketahui sebelum ini, apabila fungsi bertambah, terbitan adalah positif, dan apabila ia menurun, ia negatif. Tetapi ia berubah dengan lancar, tanpa lompatan (kerana jalan tidak mengubah cerunnya secara mendadak di mana-mana). Oleh itu, antara negatif dan nilai positif pasti ada. Ia akan menjadi tempat fungsi tidak bertambah atau berkurang - pada titik puncak.

Perkara yang sama berlaku untuk palung (kawasan di mana fungsi di sebelah kiri berkurangan dan di sebelah kanan meningkat):

Sedikit lagi tentang kenaikan.

Jadi kita tukar hujah kepada magnitud. Kita tukar dari nilai apa? Apa sudah jadi (hujah) sekarang? Kami boleh memilih mana-mana titik, dan sekarang kami akan menari daripadanya.

Pertimbangkan satu titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kami melakukan kenaikan yang sama: kami meningkatkan koordinat dengan. Apa hujahnya sekarang? Sangat mudah: . Apakah nilai fungsi itu sekarang? Di mana hujah pergi, begitu juga dengan fungsi: . Bagaimana pula dengan kenaikan fungsi? Tiada apa-apa yang baharu: ini masih merupakan jumlah yang mana fungsi telah berubah:

Berlatih mencari kenaikan:

  1. Cari kenaikan fungsi pada titik apabila kenaikan hujah adalah sama dengan.
  2. Begitu juga dengan fungsi pada satu titik.

Penyelesaian:

Pada titik yang berbeza dengan kenaikan hujah yang sama, kenaikan fungsi akan berbeza. Ini bermakna derivatif pada setiap titik adalah berbeza (kami membincangkan perkara ini pada awal-awal lagi - kecuraman jalan adalah berbeza pada titik yang berbeza). Oleh itu, apabila kita menulis derivatif, kita mesti menunjukkan pada titik mana:

Fungsi kuasa.

Fungsi kuasa ialah fungsi di mana hujahnya berada pada tahap tertentu (logik, bukan?).

Lebih-lebih lagi - pada tahap apa pun: .

Kes paling mudah ialah apabila eksponen ialah:

Mari cari terbitannya pada satu titik. Mari kita ingat definisi terbitan:

Jadi hujah berubah dari kepada. Apakah pertambahan fungsi itu?

Kenaikan adalah ini. Tetapi fungsi pada mana-mana titik adalah sama dengan hujahnya. Itulah sebabnya:

Derivatif adalah sama dengan:

Terbitan bagi adalah sama dengan:

b) Sekarang pertimbangkan fungsi kuadratik (): .

Sekarang mari kita ingat itu. Ini bermakna bahawa nilai kenaikan boleh diabaikan, kerana ia adalah sangat kecil, dan oleh itu tidak penting dengan latar belakang istilah lain:

Jadi, kami datang dengan peraturan lain:

c) Kami meneruskan siri logik: .

Ungkapan ini boleh dipermudahkan dengan cara yang berbeza: buka kurungan pertama menggunakan formula untuk pendaraban singkatan kubus hasil tambah, atau memfaktorkan keseluruhan ungkapan menggunakan formula perbezaan kubus. Cuba lakukan sendiri menggunakan mana-mana kaedah yang dicadangkan.

Jadi, saya mendapat perkara berikut:

Dan sekali lagi mari kita ingat itu. Ini bermakna kita boleh mengabaikan semua istilah yang mengandungi:

Kita mendapatkan: .

d) Peraturan serupa boleh didapati untuk kuasa besar:

e) Ternyata peraturan ini boleh digeneralisasikan untuk fungsi kuasa dengan eksponen sewenang-wenangnya, malah bukan integer:

(2)

Peraturan itu boleh dirumuskan dalam perkataan: "darjah dibawa ke hadapan sebagai pekali, dan kemudian dikurangkan dengan ."

Kami akan membuktikan peraturan ini kemudian (hampir pada penghujungnya). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Cari terbitan bagi fungsi:

  1. (dalam dua cara: dengan formula dan menggunakan takrifan derivatif - dengan mengira kenaikan fungsi);
  1. . Percaya atau tidak, ini adalah fungsi kuasa. Jika anda mempunyai soalan seperti "Bagaimana ini? Mana ijazah?”, ingat topik “”!
    Ya, ya, akarnya juga ijazah, hanya pecahan: .
    Ini bermakna punca kuasa dua kita hanyalah kuasa dengan eksponen:
    .
    Kami mencari derivatif menggunakan formula yang baru dipelajari:

    Jika pada ketika ini ia menjadi tidak jelas lagi, ulangi topik “”!!! (kira-kira ijazah dengan eksponen negatif)

  2. . Sekarang eksponen:

    Dan sekarang melalui definisi (adakah anda sudah lupa?):
    ;
    .
    Sekarang, seperti biasa, kami mengabaikan istilah yang mengandungi:
    .

  3. . Gabungan kes terdahulu: .

Fungsi trigonometri.

Di sini kita akan menggunakan satu fakta daripada matematik yang lebih tinggi:

Dengan ekspresi.

Anda akan mempelajari buktinya pada tahun pertama institut (dan untuk sampai ke sana, anda perlu lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan baik). Sekarang saya hanya akan menunjukkannya secara grafik:

Kami melihat bahawa apabila fungsi itu tidak wujud - titik pada graf dipotong. Tetapi semakin dekat dengan nilai, semakin hampir fungsi itu. Inilah yang "bertujuan".

Selain itu, anda boleh menyemak peraturan ini menggunakan kalkulator. Ya, ya, jangan segan, ambil kalkulator, kita belum berada di Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Jadi, jom cuba: ;

Jangan lupa tukar kalkulator anda kepada mod Radians!

dan lain-lain. Kami melihat bahawa semakin kecil, semakin hampir nilai nisbah kepada.

a) Pertimbangkan fungsinya. Seperti biasa, mari cari kenaikannya:

Mari tukarkan perbezaan sinus kepada produk. Untuk melakukan ini, kami menggunakan formula (ingat topik ""): .

Sekarang derivatifnya:

Jom buat pengganti: . Kemudian untuk infinitesimal ia juga infinitesimal: . Ungkapan untuk mengambil bentuk:

Dan sekarang kita ingat itu dengan ungkapan. Dan juga, bagaimana jika kuantiti yang tidak terhingga boleh diabaikan dalam jumlah (iaitu, pada).

Jadi, kita mendapat peraturan berikut: terbitan sinus adalah sama dengan kosinus:

Ini adalah terbitan asas (“jadual”). Inilah mereka dalam satu senarai:

Kemudian kami akan menambah beberapa lagi kepada mereka, tetapi ini adalah yang paling penting, kerana ia digunakan paling kerap.

Amalan:

  1. Cari terbitan bagi fungsi pada satu titik;
  2. Cari terbitan bagi fungsi itu.

Penyelesaian:

  1. Mula-mula, mari kita cari derivatif dalam Pandangan umum, dan kemudian gantikan nilainya:
    ;
    .
  2. Di sini kita mempunyai sesuatu yang serupa dengan fungsi kuasa. Mari cuba bawa dia ke
    pandangan biasa:
    .
    Hebat, kini anda boleh menggunakan formula:
    .
    .
  3. . Eeeeee.....Apa ni????

Okay, anda betul, kami belum tahu cara mencari derivatif sedemikian. Di sini kita mempunyai gabungan beberapa jenis fungsi. Untuk bekerja dengan mereka, anda perlu mempelajari beberapa peraturan lagi:

Logaritma eksponen dan asli.

Terdapat fungsi dalam matematik yang terbitan untuk sebarang nilai adalah sama dengan nilai fungsi itu sendiri pada masa yang sama. Ia dipanggil "eksponen", dan merupakan fungsi eksponen

Asas fungsi ini adalah pemalar - ia tidak terhingga perpuluhan, iaitu nombor tak rasional (seperti). Ia dipanggil "nombor Euler", itulah sebabnya ia dilambangkan dengan huruf.

Jadi, peraturannya:

Sangat mudah diingati.

Nah, mari kita tidak pergi jauh, mari kita segera pertimbangkan fungsi songsang. Fungsi yang manakah merupakan songsang bagi fungsi eksponen? Logaritma:

Dalam kes kami, asasnya ialah nombor:

Logaritma sedemikian (iaitu, logaritma dengan asas) dipanggil "semula jadi", dan kami menggunakan notasi khas untuknya: kami menulis sebaliknya.

Apakah ia sama dengan? Sudah tentu, .

Terbitan logaritma asli juga sangat mudah:

Contoh:

  1. Cari terbitan bagi fungsi itu.
  2. Apakah terbitan bagi fungsi tersebut?

Jawapan: Pempamer dan logaritma semula jadi- fungsi unik mudah dari segi derivatif. Fungsi eksponen dan logaritma dengan mana-mana asas lain akan mempunyai derivatif yang berbeza, yang akan kita analisis kemudian, selepas kita melalui peraturan pembezaan.

Peraturan pembezaan

Peraturan apa? Lagi penggal baru, lagi?!...

Pembezaan ialah proses mencari terbitan.

Itu sahaja. Apa lagi yang boleh anda panggil proses ini dalam satu perkataan? Bukan derivatif... Ahli matematik memanggil pembezaan sebagai kenaikan yang sama bagi fungsi di. Istilah ini berasal dari differentia Latin - perbezaan. Di sini.

Apabila memperoleh semua peraturan ini, kami akan menggunakan dua fungsi, sebagai contoh, dan. Kami juga memerlukan formula untuk kenaikannya:

Terdapat 5 peraturan secara keseluruhan.

Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan.

Jika - beberapa nombor malar (malar), maka.

Jelas sekali, peraturan ini juga berfungsi untuk perbezaan: .

Jom buktikan. Biarlah, atau lebih mudah.

Contoh.

Cari terbitan bagi fungsi:

  1. pada satu titik;
  2. pada satu titik;
  3. pada satu titik;
  4. pada titik.

Penyelesaian:

  1. (derivatif adalah sama di semua titik, kerana ia adalah fungsi linear, ingat?);

Derivatif produk

Semuanya serupa di sini: mari perkenalkan fungsi baharu dan cari kenaikannya:

Derivatif:

Contoh:

  1. Cari terbitan bagi fungsi dan;
  2. Cari terbitan bagi fungsi pada satu titik.

Penyelesaian:

Terbitan bagi fungsi eksponen

Sekarang pengetahuan anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari derivatif mana-mana fungsi eksponen, dan bukan hanya eksponen (adakah anda sudah lupa apakah itu?).

Jadi, mana ada nombor.

Kami sudah mengetahui terbitan fungsi tersebut, jadi mari cuba kurangkan fungsi kami kepada pangkalan baharu:

Untuk ini kami akan gunakan peraturan mudah: . Kemudian:

Nah, ia berjaya. Sekarang cuba cari derivatif, dan jangan lupa bahawa fungsi ini adalah kompleks.

Terjadi?

Di sini, semak diri anda:

Formula itu ternyata sangat serupa dengan terbitan eksponen: seperti sediakala, ia tetap sama, hanya faktor yang muncul, iaitu hanya nombor, tetapi bukan pembolehubah.

Contoh:
Cari terbitan bagi fungsi:

Jawapan:

Ini hanyalah nombor yang tidak boleh dikira tanpa kalkulator, iaitu, ia tidak boleh ditulis dalam apa-apa lagi. dalam bentuk mudah. Oleh itu, kami meninggalkannya dalam borang ini dalam jawapan.

Terbitan bagi fungsi logaritma

Ia serupa di sini: anda sudah mengetahui terbitan logaritma asli:

Oleh itu, untuk mencari logaritma arbitrari dengan asas yang berbeza, sebagai contoh:

Kita perlu mengurangkan logaritma ini kepada asas. Bagaimanakah anda menukar asas logaritma? Saya harap anda ingat formula ini:

Hanya sekarang kami akan menulis sebaliknya:

Penyebutnya hanyalah pemalar (nombor tetap, tanpa pembolehubah). Derivatif diperoleh dengan sangat mudah:

Terbitan bagi fungsi eksponen dan logaritma hampir tidak pernah ditemui dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu, tetapi ia tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Terbitan fungsi kompleks.

Apakah "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan arctangent. Fungsi ini mungkin sukar difahami (walaupun jika anda mendapati logaritma sukar, baca topik "Logaritma" dan anda akan baik-baik saja), tetapi dari sudut pandangan matematik, perkataan "kompleks" tidak bermaksud "sukar".

Bayangkan tali pinggang penghantar kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa objek. Sebagai contoh, yang pertama membungkus bar coklat dalam pembungkus, dan yang kedua mengikatnya dengan reben. Hasilnya ialah objek komposit: sebatang coklat dibalut dan diikat dengan reben. Untuk makan coklat, anda perlu lakukan tindakan terbalik dalam susunan terbalik.

Mari kita buat saluran paip matematik yang serupa: mula-mula kita akan mencari kosinus nombor, dan kemudian kuasa dua nombor yang terhasil. Jadi, kita diberi nombor (coklat), saya dapati kosinusnya (pembungkus), dan kemudian anda kuasai apa yang saya dapat (ikat dengan reben). Apa yang berlaku? Fungsi. Ini ialah contoh fungsi kompleks: apabila, untuk mencari nilainya, kami melakukan tindakan pertama secara langsung dengan pembolehubah, dan kemudian tindakan kedua dengan apa yang terhasil daripada yang pertama.

Kita boleh dengan mudah melakukan langkah yang sama dalam susunan terbalik: mula-mula anda kuasa duakannya, dan kemudian saya mencari kosinus nombor yang terhasil: . Mudah untuk meneka bahawa hasilnya hampir selalu berbeza. Ciri Penting fungsi kompleks: apabila susunan tindakan berubah, fungsi berubah.

Dalam kata lain, fungsi kompleks ialah fungsi yang hujahnya adalah fungsi lain: .

Untuk contoh pertama, .

Contoh kedua: (perkara yang sama). .

Tindakan yang kita lakukan terakhir akan dipanggil fungsi "luar"., dan tindakan yang dilakukan terlebih dahulu - sewajarnya fungsi "dalaman".(ini adalah nama tidak rasmi, saya menggunakannya hanya untuk menerangkan bahan dalam bahasa mudah).

Cuba tentukan sendiri fungsi luaran dan dalaman yang mana:

Jawapan: Mengasingkan fungsi dalam dan luar sangat serupa dengan mengubah pembolehubah: contohnya, dalam fungsi

  1. Apakah tindakan yang akan kita lakukan terlebih dahulu? Mula-mula, mari kita hitung sinus, dan kemudian kiubkannya. Ini bermakna ia adalah fungsi dalaman, tetapi fungsi luaran.
    Dan fungsi asal adalah komposisi mereka: .
  2. Dalaman: ; luaran: .
    Peperiksaan: .
  3. Dalaman: ; luaran: .
    Peperiksaan: .
  4. Dalaman: ; luaran: .
    Peperiksaan: .
  5. Dalaman: ; luaran: .
    Peperiksaan: .

Kami menukar pembolehubah dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kami akan mengekstrak bar coklat kami dan mencari derivatifnya. Prosedur ini sentiasa diterbalikkan: mula-mula kita mencari derivatif fungsi luar, kemudian kita darabkan hasilnya dengan derivatif fungsi dalam. Berhubung dengan contoh asal, ia kelihatan seperti ini:

Contoh yang lain:

Jadi, mari kita rumuskan peraturan rasmi:

Algoritma untuk mencari terbitan fungsi kompleks:

Nampak simple kan?

Mari semak dengan contoh:

Penyelesaian:

1) Dalaman: ;

Luaran: ;

2) Dalaman: ;

(Cukup jangan cuba potong sekarang! Tiada apa-apa yang keluar dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalaman: ;

Luaran: ;

Ia segera jelas bahawa ini adalah fungsi kompleks tiga peringkat: lagipun, ini sudah menjadi fungsi yang kompleks dengan sendirinya, dan kami juga mengeluarkan akar daripadanya, iaitu, kami melakukan tindakan ketiga (kami meletakkan coklat dalam pembalut dan dengan reben di dalam beg bimbit). Tetapi tidak ada sebab untuk takut: kami masih akan "membongkar" fungsi ini dalam susunan yang sama seperti biasa: dari akhir.

Iaitu, mula-mula kita membezakan akar, kemudian kosinus, dan hanya kemudian ungkapan dalam kurungan. Dan kemudian kita melipatgandakan semuanya.

Dalam kes sedemikian, adalah mudah untuk menomborkan tindakan. Iaitu, mari kita bayangkan apa yang kita tahu. Dalam susunan apakah kita akan melakukan tindakan untuk mengira nilai ungkapan ini? Mari lihat contoh:

Lebih lewat tindakan itu dilakukan, lebih banyak "luaran" fungsi yang sepadan. Urutan tindakan adalah sama seperti sebelumnya:

Di sini sarang biasanya 4 peringkat. Mari kita tentukan arah tindakan.

1. Ungkapan radikal. .

2. Akar. .

3. Sinus. .

4. Segi empat. .

5. Menyatukan semuanya:

DERIVATIF. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Terbitan fungsi- nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah untuk kenaikan hujah yang tidak terhingga:

Derivatif asas:

Peraturan pembezaan:

Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan:

Terbitan jumlah:

Derivatif produk:

Terbitan hasil bagi:

Terbitan fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari terbitan fungsi kompleks:

  1. Kami mentakrifkan fungsi "dalaman" dan mencari terbitannya.
  2. Kami mentakrifkan fungsi "luaran" dan mencari terbitannya.
  3. Kami mendarabkan keputusan mata pertama dan kedua.

Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang konsep matematik yang penting sebagai fungsi kompleks, dan belajar cara mencari terbitan bagi fungsi kompleks.

Sebelum belajar mencari terbitan bagi fungsi kompleks, mari kita fahami konsep fungsi kompleks, apakah itu, "dengan apa ia dimakan," dan "cara memasaknya dengan betul."

Pertimbangkan fungsi sewenang-wenangnya, sebagai contoh, yang ini:

Ambil perhatian bahawa hujah di sebelah kanan dan kiri persamaan fungsi ialah nombor atau ungkapan yang sama.

Daripada pembolehubah, kita boleh meletakkan, sebagai contoh, ungkapan berikut: . Dan kemudian kita mendapat fungsi

Mari kita panggil ungkapan sebagai hujah perantaraan, dan fungsi sebagai fungsi luar. Ini bukan konsep matematik yang ketat, tetapi ia membantu memahami maksud konsep fungsi kompleks.

Takrifan ketat konsep fungsi kompleks berbunyi seperti ini:

Biarkan fungsi ditakrifkan pada set dan menjadi set nilai fungsi ini. Biarkan set (atau subsetnya) menjadi domain takrifan fungsi. Mari kita berikan nombor kepada setiap daripada mereka. Oleh itu, fungsi akan ditakrifkan pada set. Ia dipanggil komposisi fungsi atau fungsi kompleks.

Dalam takrifan ini, jika kita menggunakan terminologi kita, fungsi luaran ialah hujah perantaraan.

Terbitan bagi fungsi kompleks didapati mengikut peraturan berikut:

Untuk menjadikannya lebih jelas, saya suka menulis peraturan ini seperti berikut:

Dalam ungkapan ini, menggunakan menandakan fungsi perantaraan.

Jadi. Untuk mencari terbitan bagi fungsi kompleks, anda perlukan

1. Tentukan fungsi luar dan cari terbitan yang sepadan daripada jadual terbitan.

2. Tentukan hujah perantaraan.

Dalam prosedur ini, kesukaran yang paling besar ialah mencari fungsi luaran. Algoritma mudah digunakan untuk ini:

A. Tuliskan persamaan fungsi tersebut.

b. Bayangkan anda perlu mengira nilai fungsi untuk beberapa nilai x. Untuk melakukan ini, anda menggantikan nilai x ini ke dalam persamaan fungsi dan menghasilkan operasi aritmetik. Tindakan terakhir yang anda lakukan ialah fungsi luaran.

Sebagai contoh, dalam fungsi

Tindakan terakhir ialah eksponen.

Mari cari terbitan bagi fungsi ini. Untuk melakukan ini, kami menulis hujah perantaraan