Løsning af eksempler med variabler online. Hvordan man forenkler algebraiske udtryk

§ 1 Begrebet forenkling af et bogstaveligt udtryk

I denne lektion vil vi blive fortrolige med begrebet " lignende vilkår"og ved at bruge eksempler vil vi lære, hvordan man reducerer lignende udtryk og dermed forenkler bogstavelige udtryk.

Lad os finde ud af betydningen af ​​begrebet "forenkling". Ordet "forenkling" er afledt af ordet "forenkle". At forenkle betyder at gøre enkelt, enklere. Derfor er at forenkle et bogstaveligt udtryk at gøre det kortere, med mindste mængde handlinger.

Overvej udtrykket 9x + 4x. Dette er et bogstaveligt udtryk, der er en sum. Begreberne her præsenteres som produkter af et tal og et bogstav. Den numeriske faktor for sådanne udtryk kaldes en koefficient. I dette udtryk vil koefficienterne være tallene 9 og 4. Bemærk venligst, at faktoren repræsenteret af bogstavet er den samme i begge termer af denne sum.

Lad os huske den distributive lov om multiplikation:

For at gange en sum med et tal, kan du gange hvert led med dette tal og tilføje de resulterende produkter.

I generel opfattelse skrevet som følger: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Denne lov gælder i begge retninger ac + bc = (a + b) ∙ c

Lad os anvende det på vores bogstavelige udtryk: summen af ​​produkterne af 9x og 4x er lig med produktet, hvis første faktor er lig med summen 9 og 4, er den anden faktor x.

9 + 4 = 13, det er 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

I stedet for tre handlinger i udtrykket er der kun én handling tilbage - multiplikation. Det betyder, at vi har gjort vores bogstavelige udtryk enklere, dvs. forenklet det.

§ 2 Nedsættelse af tilsvarende vilkår

Udtrykkene 9x og 4x adskiller sig kun i deres koefficienter - sådanne udtryk kaldes ens. Bogstavdelen af ​​lignende udtryk er den samme. Lignende udtryk omfatter også tal og lige udtryk.

For eksempel vil lignende led i udtrykket 9a + 12 - 15 være tallene 12 og -15, og i summen af ​​produktet af 12 og 6a, tallet 14 og produktet af 12 og 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) de lige led repræsenteret ved produktet af 12 og 6a.

Det er vigtigt at bemærke, at udtryk, hvis koefficienter er ens, men hvis bogstavfaktorer er forskellige, ikke er ens, selvom det nogle gange er nyttigt at anvende den distributive lov om multiplikation på dem, for eksempel er summen af ​​produkterne 5x og 5y lig med produktet af tallet 5 og summen af ​​x og y

5x + 5y = 5(x + y).

Lad os forenkle udtrykket -9a + 15a - 4 + 10.

Lignende udtryk i I dette tilfælde er termerne -9a og 15a, da de kun adskiller sig i deres koefficienter. Deres bogstavmultiplikator er den samme, og vilkårene -4 og 10 ligner også hinanden, da de er tal. Tilføj lignende udtryk:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Vi får: 6a + 6.

Ved at forenkle udtrykket fandt vi summen af ​​lignende udtryk; i matematik kaldes dette reduktion af lignende udtryk.

Hvis det er svært at tilføje sådanne udtryk, kan du finde på ord til dem og tilføje objekter.

Overvej for eksempel udtrykket:

For hvert bogstav tager vi vores eget objekt: b-æble, c-pære, så får vi: 2 æbler minus 5 pærer plus 8 pærer.

Kan vi trække pærer fra æbler? Selvfølgelig ikke. Men vi kan tilføje 8 pærer til minus 5 pærer.

Lad os præsentere lignende udtryk -5 pærer + 8 pærer. Lignende udtryk har den samme bogstavdel, så når man bringer lignende udtryk er det nok at tilføje koefficienterne og tilføje bogstavdelen til resultatet:

(-5 + 8) pærer - du får 3 pærer.

Vender vi tilbage til vores bogstavelige udtryk, har vi -5 s + 8 s = 3 s. Efter at have bragt lignende udtryk får vi således udtrykket 2b + 3c.

Så i denne lektion blev du bekendt med begrebet "lignende udtryk" og lærte, hvordan du forenkler bogstavudtryk ved at reducere lignende udtryk.

Liste over brugt litteratur:

1. Matematik. 6. klasse: lektionsplaner til lærebogen I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // forfatter-kompilator L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matematik. 6. klasse: lærebog for elever uddannelsesinstitutioner. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematik. 6. klasse: lærebog for almene uddannelsesinstitutioner/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov og andre/redigeret af G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Russian Academy of Sciences, Russian Academy of Education. M.: "Enlightenment", 2010.
4. Matematik. 6. klasse: studie for almene uddannelsesinstitutioner/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
5. Matematik. 6. klasse: lærebog/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Brugte billeder:

Forenkling af algebraiske udtryk er en af ​​nøglerne til at lære algebra og er en yderst nyttig færdighed for alle matematikere. Forenkling giver dig mulighed for at reducere et komplekst eller langt udtryk til et simpelt udtryk, der er nemt at arbejde med. Grundlæggende færdigheder til forenkling er gode selv for dem, der ikke er begejstrede for matematik. Ved at observere flere simple regler, kan du forenkle mange af de mest almindelige typer algebraiske udtryk uden nogen særlig matematisk viden.

Trin

Vigtige definitioner

1. Lignende medlemmer. Disse er medlemmer med en variabel af samme rækkefølge, medlemmer med de samme variabler eller frie medlemmer (medlemmer, der ikke indeholder en variabel). Med andre ord inkluderer lignende udtryk den samme variabel i samme grad, inkluderer flere af de samme variabler eller inkluderer slet ikke en variabel. Rækkefølgen af ​​vilkårene i udtrykket er ligegyldig.

   • For eksempel er 3x 2 og 4x 2 lignende udtryk, fordi de indeholder en andenordens (til anden potens) variabel "x". Men x og x2 er ikke ens udtryk, da de indeholder variablen "x" af forskellige ordener (første og anden). Ligeledes er -3yx og 5xz ikke ens udtryk, fordi de indeholder forskellige variabler.

2. Faktorisering. Dette er at finde numre, hvis produkt fører til det oprindelige nummer. Ethvert originalnummer kan have flere faktorer. For eksempel kan tallet 12 indregnes i følgende række af faktorer: 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4, så vi kan sige, at tallene 1, 2, 3, 4, 6 og 12 er faktorer af tal 12. Faktorerne er de samme som faktorerne, det vil sige de tal, som det oprindelige tal er divideret med.

   • For eksempel, hvis du vil faktorisere tallet 20, så skriv det sådan her: 4×5.
   • Bemærk, at der ved faktorisering tages højde for variablen. For eksempel, 20x = 4 (5x).
   • Primtal kan ikke faktoriseres, fordi de kun er delelige med sig selv og 1.

3. Husk og følg rækkefølgen af ​​operationer for at undgå fejl.

   • Beslag
   • Grad
   • Multiplikation
   • Division
   • Tilføjelse
   • Subtraktion

   Medbringelse af lignende medlemmer

   1. Skriv udtrykket ned. Simple algebraiske udtryk (dem, der ikke indeholder brøker, rødder osv.) kan løses (forenkles) på blot nogle få trin.

      • Forenkle fx udtrykket 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definer lignende udtryk (udtryk med en variabel af samme rækkefølge, udtryk med samme variable eller frie udtryk).

      • Find lignende udtryk i dette udtryk. Begreberne 2x og 4x indeholder en variabel af samme orden (først). Desuden er 1 og -3 frie udtryk (indeholder ikke en variabel). Således er i dette udtryk vilkårene 2x og 4x er ens, og medlemmerne 1 og -3 er også ens.

   3. Giv lignende medlemmer. Det betyder at tilføje eller trække dem fra og forenkle udtrykket.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Omskriv udtrykket under hensyntagen til de givne udtryk. Du får et enkelt udtryk med færre udtryk. Det nye udtryk er lig med det oprindelige.

      • I vores eksempel: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, det vil sige, at det oprindelige udtryk er forenklet og lettere at arbejde med.

   5. Følg rækkefølgen af ​​operationer, når du bringer lignende medlemmer. I vores eksempel var det nemt at give lignende udtryk. Men i tilfælde af komplekse udtryk, hvor termer er indesluttet i parentes og brøker og rødder er til stede, er det ikke så let at bringe sådanne udtryk. I disse tilfælde skal du følge rækkefølgen af ​​operationer.

      • Overvej f.eks. udtrykket 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Her vil det være en fejl straks at definere 3x og 2x som lignende udtryk og præsentere dem, fordi det er nødvendigt at åbne parenteserne først. Udfør derfor operationerne i henhold til deres rækkefølge.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Nu, når udtrykket kun indeholder additions- og subtraktionsoperationer, kan du bringe lignende udtryk.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Tager multiplikatoren ud af parentes

   1. Find den største fælles divisor (GCD) af alle udtrykkets koefficienter. GCD er det største tal, som alle koefficienter i udtrykket er divideret med.

      • Overvej for eksempel ligningen 9x 2 + 27x - 3. I dette tilfælde er GCD = 3, da enhver koefficient af dette udtryk er delelig med 3.

   2. Divider hvert led i udtrykket med gcd. De resulterende udtryk vil indeholde mindre koefficienter end i det oprindelige udtryk.

      • I vores eksempel skal du dividere hvert led i udtrykket med 3.
        • 9x 2/3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Resultatet var et udtryk 3x 2 + 9x - 1. Det er ikke lig med det oprindelige udtryk.

   3. Skriv det oprindelige udtryk ned som lig med produktet af gcd og det resulterende udtryk. Det vil sige, omslut det resulterende udtryk i parenteser, og tag gcd'en ud af parenteserne.

      • I vores eksempel: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Forenkling af brøkudtryk ved at sætte faktoren ud af parentes. Hvorfor blot sætte multiplikatoren ud af parentes, som det blev gjort tidligere? Så for at lære at forenkle komplekse udtryk, såsom brøkudtryk. I dette tilfælde kan det at sætte faktoren ud af parentes hjælpe med at slippe af med brøken (fra nævneren).

      • Overvej f.eks. brøkudtrykket (9x 2 + 27x - 3)/3. Brug factoring ud for at forenkle dette udtryk.
        • Sæt faktoren 3 ud af parentes (som du gjorde tidligere): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Bemærk, at der nu er et 3 i både tælleren og nævneren. Dette kan reduceres til udtrykket: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Da enhver brøk, der har tallet 1 i nævneren, simpelthen er lig med tælleren, forenkles det oprindelige brøkudtryk til: 3x 2 + 9x - 1.

   Yderligere forenklingsmetoder

4. Lad os se på et simpelt eksempel: √(90). Tallet 90 kan indregnes i følgende faktorer: 9 og 10 og udtrækkes fra 9 Kvadrat rod(3) og fjern 3 fra under roden.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Forenkling af udtryk med kræfter. Nogle udtryk indeholder operationer med multiplikation eller division af led med potenser. I tilfælde af at gange led med samme grundtal, lægges deres potenser sammen; i tilfælde af at dividere led med samme grundtal, trækkes deres grader fra.

   • Overvej f.eks. udtrykket 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). I tilfælde af multiplikation lægges potenserne sammen, og i tilfælde af division trækkes dem fra.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48 x 7 + x 2
   • Det følgende er en forklaring af reglerne for at gange og dividere led med potenser.
     • At multiplicere led med potenser svarer til at gange led med sig selv. For eksempel, da x 3 = x × x × x og x 5 = x × x × x × x × x, så x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), eller x8.
     • Ligeledes svarer det at dividere termer med grader til at dele termer af sig selv. x 5 / x 3 = (x x x x x x x x)/(x x x x x). Da lignende udtryk, der findes i både tælleren og nævneren, kan reduceres, forbliver produktet af to "x" eller x 2 i tælleren.

• Husk altid tegnene (plus eller minus) foran udtrykkets udtryk, da mange mennesker har svært ved at vælge det rigtige tegn.
• Spørg om hjælp, hvis det er nødvendigt!
• Det er ikke let at forenkle algebraiske udtryk, men når du først har fået styr på det, er det en færdighed, du kan bruge resten af ​​dit liv.

Teknisk regnemaskine online

Vi er glade for at kunne præsentere alle for en gratis ingeniørberegner. Med dens hjælp kan enhver elev hurtigt og vigtigst af alt nemt udføre forskellige typer matematiske beregninger online.

Lommeregneren er taget fra siden - web 2.0 videnskabelig lommeregner

En enkel og letanvendelig teknisk lommeregner med en diskret og intuitiv grænseflade vil virkelig være nyttig for en bred vifte af internetbrugere. Nu, når du har brug for en lommeregner, skal du gå til vores hjemmeside og bruge den gratis tekniske lommeregner.

En teknisk lommeregner kan udføre både simple aritmetiske operationer og ret komplekse matematiske beregninger.

Web20calc er en teknisk regnemaskine, der har et stort antal funktioner, for eksempel hvordan man beregner alle elementære funktioner. Lommeregneren understøtter også trigonometriske funktioner, matricer, logaritmer og endda grafer.

Uden tvivl vil Web20calc være interessant for den gruppe mennesker, der leder efter simple løsninger ringer ind søgemaskiner anmodning: matematisk online lommeregner. En gratis webapplikation hjælper dig med det samme med at beregne resultatet af et matematisk udtryk, for eksempel subtrahere, addere, dividere, udtrække roden, hæve til en potens osv.

I udtrykket kan du bruge operationerne eksponentiering, addition, subtraktion, multiplikation, division, procent og PI-konstanten. Ved komplekse beregninger skal der medtages parenteser.

Funktioner af den tekniske regnemaskine:

1. grundlæggende aritmetiske operationer;
2. arbejde med tal i en standardform;
3. beregning trigonometriske rødder, funktioner, logaritmer, eksponentiering;
4. Statistiske beregninger: addition, aritmetisk gennemsnit eller standardafvigelse;
5. brug af hukommelsesceller og brugerdefinerede funktioner af 2 variable;
6. arbejde med vinkler i radian- og gradmål.

Den tekniske regnemaskine tillader brugen af ​​en række matematiske funktioner:

Udvinding af rødder (kvadrat-, kubik- og n-te rod);
ex (e til x-potensen), eksponentiel;
trigonometriske funktioner: sinus - sin, cosinus - cos, tangent - tan;
inverse trigonometriske funktioner: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
hyperbolske funktioner: sinus - sinh, cosinus - cosh, tangent - tanh;
logaritmer: binær logaritme base to - log2x, base ti logaritme - log, naturlig logaritme - ln.

Denne tekniske lommeregner inkluderer også en værdiberegner med mulighed for at konvertere fysiske mængder Til forskellige systemer mål - computerenheder, afstand, vægt, tid mv. Ved at bruge denne funktion kan du øjeblikkeligt konvertere miles til kilometer, pund til kilogram, sekunder til timer osv.

For at lave matematiske beregninger skal du først indtaste en række matematiske udtryk i det relevante felt, derefter klikke på lighedstegnet og se resultatet. Du kan indtaste værdier direkte fra tastaturet (for dette skal lommeregnerområdet være aktivt, derfor ville det være nyttigt at placere markøren i indtastningsfeltet). Data kan blandt andet indtastes ved hjælp af selve lommeregnerens knapper.

For at bygge grafer skal du skrive funktionen i indtastningsfeltet som angivet i feltet med eksempler eller bruge værktøjslinjen specielt designet til dette (for at gå til den skal du klikke på knappen med grafikonet). For at konvertere værdier skal du klikke på Enhed; for at arbejde med matricer skal du klikke på Matrix.

Ansøgning

Løsning af enhver form for ligninger online på webstedet for studerende og skolebørn for at konsolidere det undersøgte materiale Løsning af ligninger online. Ligninger online. Der er algebraiske, parametriske, transcendentale, funktionelle, differentialligninger og andre typer ligninger. Nogle ligningsklasser har analytiske løsninger, som er praktiske, fordi de ikke kun giver den nøjagtige værdi af roden, men også giver dig mulighed for at skrive løsningen i form af en formel, som kan indeholde parametre. Analytiske udtryk gør det ikke kun muligt at beregne rødderne, men også at analysere deres eksistens og deres mængde afhængigt af parameterværdierne, hvilket ofte er endnu vigtigere for praktisk ansøgning, end de specifikke værdier af rødderne. Løsning af ligninger online.. Ligninger online. At løse en ligning er opgaven med at finde sådanne værdier af de argumenter, hvorved denne lighed opnås. Yderligere betingelser (heltal, reelt osv.) kan pålægges de mulige værdier af argumenterne. Løsning af ligninger online.. Ligninger online. Du kan løse ligningen online med det samme og med høj nøjagtighed af resultatet. Argumenterne til specificerede funktioner (nogle gange kaldet "variabler") kaldes "ukendte" i tilfælde af en ligning. Værdierne af de ukendte, hvor denne lighed opnås, kaldes løsninger eller rødder til denne ligning. Rødderne siges at opfylde denne ligning. At løse en ligning online betyder at finde mængden af ​​alle dens løsninger (rødder) eller bevise, at der ikke er nogen rødder. Løsning af ligninger online.. Ligninger online. Ligninger, hvis rodsæt falder sammen, kaldes ækvivalente eller lige store. Ligninger, der ikke har rødder, betragtes også som ækvivalente. Ligningers ækvivalens har egenskaben symmetri: hvis en ligning er ækvivalent med en anden, så er den anden ligning ækvivalent med den første. Ækvivalensen af ​​ligninger har egenskaben transitivitet: Hvis en ligning er ækvivalent med en anden, og den anden er ækvivalent med en tredje, så er den første ligning ækvivalent med den tredje. Ligningers ækvivalensegenskab giver os mulighed for at udføre transformationer med dem, som metoder til at løse dem er baseret på. Løsning af ligninger online.. Ligninger online. Siden vil give dig mulighed for at løse ligningen online. Ligninger, for hvilke analytiske løsninger er kendt, omfatter algebraiske ligninger, der ikke er højere end den fjerde grad: lineær ligning, andengradsligning, kubikligning og fjerdegradsligning. Algebraiske ligninger af højere grader i det generelle tilfælde har ikke en analytisk løsning, selvom nogle af dem kan reduceres til ligninger med lavere grader. Ligninger, der inkluderer transcendentale funktioner, kaldes transcendentale. Blandt dem er analytiske løsninger kendt for nogle trigonometriske ligninger, siden nuller trigonometriske funktioner Kendt. I det generelle tilfælde, når en analytisk løsning ikke kan findes, anvendes numeriske metoder. Numeriske metoder giver ikke en nøjagtig løsning, men tillader kun at indsnævre det interval, hvori roden ligger, til en bestemt forudbestemt værdi. Løsning af ligninger online.. Ligninger online.. I stedet for en ligning online, vil vi forestille os, hvordan det samme udtryk danner en lineær sammenhæng, ikke kun langs en lige tangent, men også i selve kurvens bøjningspunkt. Denne metode er til enhver tid uundværlig i studiet af emnet. Det sker ofte, at løsning af ligninger nærmer sig den endelige værdi ved at bruge uendelige tal og skrive vektorer. Det er nødvendigt at kontrollere de indledende data, og dette er essensen af ​​opgaven. Ellers konverteres den lokale tilstand til en formel. Inversion i en lige linje fra en given funktion, som ligningsberegneren vil beregne uden stor forsinkelse i udførelsen, vil forskydningen tjene som et privilegium af plads. Vi vil tale om elevernes succes i det videnskabelige miljø. Men ligesom alt ovenstående vil det hjælpe os i processen med at finde, og når du løser ligningen fuldstændigt, skal du gemme det resulterende svar i enderne af det lige linjesegment. Linjer i rummet skærer hinanden i et punkt, og dette punkt kaldes skæres af linjerne. Intervallet på linjen er angivet som tidligere angivet. Den højeste post for matematikstudiet vil blive offentliggjort. Tildeling af en argumentværdi fra en parametrisk specificeret overflade og løsning af ligningen online vil være i stand til at skitsere principperne for produktiv adgang til en funktion. Möbius-striben, eller uendeligheden, som den kaldes, ligner et ottetal. Dette er en ensidet overflade, ikke tosidet. I henhold til det princip, som er almindeligt kendt af alle, vil vi objektivt acceptere lineære ligninger for grundbetegnelsen som den er og i studieretningen. Kun to værdier af sekventielt givne argumenter er i stand til at afsløre retningen af ​​vektoren. At antage, at en anden løsning til online-ligninger er meget mere end blot at løse den, betyder, at man opnår en fuldgyldig version af invarianten som et resultat. Uden en integreret tilgang er det svært for eleverne at lære dette materiale. Som før, for hvert særligt tilfælde, hjælper vores praktiske og smarte online ligningsberegner alle i vanskelige tider, fordi du bare skal angive inputparametrene, og systemet selv vil beregne svaret. Inden vi begynder at indtaste data, skal vi bruge et inputværktøj, som kan gøres uden større besvær. Antallet af hvert svarestimat vil føre til en andengradsligning til vores konklusioner, men det er ikke så nemt at gøre, fordi det er nemt at bevise det modsatte. Teorien er på grund af dens karakteristika ikke understøttet af praktisk viden. At se en brøkberegner på tidspunktet for udgivelsen af ​​svaret er ikke en let opgave i matematik, da alternativet med at skrive et tal på et sæt er med til at øge væksten af ​​funktionen. Det ville dog være forkert ikke at tale om elevuddannelse, så vi vil hver især sige så meget, som det skal gøres. Den tidligere fundne kubiske ligning vil med rette tilhøre definitionsdomænet og indeholde rummet af numeriske værdier, såvel som symbolske variable. Efter at have lært eller lært teoremet udenad, vil vores elever kun bevise sig selv med den bedste side, og vi vil være glade for dem. I modsætning til flere feltskæringspunkter er vores online-ligninger beskrevet af et bevægelsesplan ved at gange to og tre numeriske kombinerede linjer. Et sæt i matematik er ikke defineret entydigt. Den bedste løsning er ifølge eleverne en komplet registrering af udtrykket. Som det blev sagt videnskabeligt sprog, indtræder abstraktionen af ​​symbolske udtryk ikke i tingenes tilstand, men løsningen af ​​ligningerne giver et entydigt resultat i alle kendte tilfælde. Varigheden af ​​lærerens lektion afhænger af behovene for dette forslag. Analysen viste nødvendigheden af ​​alle beregningsteknikker på mange områder, og det er helt klart, at en ligningsberegner er et uundværligt værktøj i en elevs begavede hænder. En loyal tilgang til studiet af matematik bestemmer betydningen af ​​synspunkter fra forskellige retninger. Du ønsker at identificere en af ​​nøglesætningerne og løse ligningen på en sådan måde, afhængigt af svaret, der vil være et yderligere behov for dens anvendelse. Analytics på dette område tager fart. Lad os starte fra begyndelsen og udlede formlen. Efter at have brudt gennem funktionens stigningsniveau, vil linjen langs tangenten ved bøjningspunktet helt sikkert føre til, at løsning af ligningen online vil være et af hovedaspekterne ved at konstruere den samme graf ud fra funktionens argument. En amatørtilgang har ret til at blive anvendt, hvis denne betingelse ikke modsiger elevernes konklusioner. Det er underopgaven, der sætter analysen af ​​matematiske forhold som lineære ligninger i det eksisterende definitionsdomæne af objektet, der bringes i baggrunden. Netting i retning af ortogonalitet ophæver fordelen ved en enkelt absolut værdi. Modulo løsning af ligninger online giver det samme antal løsninger, hvis du åbner parenteserne først med et plustegn og derefter med et minustegn. I dette tilfælde vil der være dobbelt så mange løsninger, og resultatet bliver mere præcist. En stabil og korrekt online ligningsberegner er succes med at nå det tilsigtede mål i den opgave, som læreren har sat. Det ser ud til at være muligt at vælge den rigtige metode på grund af de betydelige forskelle i store videnskabsmænds synspunkter. Den resulterende andengradsligning beskriver kurven af ​​linjer, den såkaldte parabel, og tegnet vil bestemme dens konveksitet i det kvadratiske koordinatsystem. Fra ligningen får vi både diskriminanten og selve rødderne ifølge Vietas sætning. Det første trin er at repræsentere udtrykket som en rigtig eller uægte brøk og bruge en brøkberegner. Afhængig af dette vil planen for vores videre beregninger blive dannet. Matematik med en teoretisk tilgang vil være nyttig på alle stadier. Vi vil helt sikkert præsentere resultatet som en kubikligning, fordi vi vil skjule dets rødder i dette udtryk for at forenkle opgaven for en studerende på et universitet. Alle metoder er gode, hvis de er egnede til overfladisk analyse. Ekstra aritmetiske operationer vil ikke føre til regnefejl. Bestemmer svaret med en given nøjagtighed. Ved at bruge løsningen af ​​ligninger, lad os se det i øjnene - at finde den uafhængige variabel for en given funktion er ikke så let, især i den periode, hvor man studerer parallelle linjer i uendelighed. I lyset af undtagelsen er behovet meget åbenlyst. Polaritetsforskellen er tydelig. Vores lærer lærte af erfaringerne med at undervise på institutter hovedlektion, hvor ligninger blev studeret online i fuld matematisk forstand. Her talte vi om højere indsats og særlige færdigheder i at anvende teorien. Til fordel for vores konklusioner bør man ikke se gennem et prisme. Indtil for nylig troede man, at et lukket sæt hurtigt vokser over regionen, som det er, og løsningen af ​​ligningerne skal simpelthen undersøges. I den første fase overvejede vi ikke alle mulige muligheder, men denne tilgang er mere berettiget end nogensinde. Ekstra handlinger med parenteser retfærdiggør nogle fremskridt langs ordinat- og abscisseakserne, som ikke kan overses med det blotte øje. I betydningen en omfattende proportional stigning i funktionen er der et bøjningspunkt. Endnu en gang vil vi bevise hvordan nødvendig betingelse vil blive anvendt gennem hele intervallet med faldende af en eller anden faldende position af vektoren. I et begrænset rum vil vi vælge en variabel fra den indledende blok af vores script. Et system konstrueret som en basis langs tre vektorer er ansvarlig for fraværet af hovedkraftmomentet. Men ligningsberegneren genererede og hjalp med at finde alle led i den konstruerede ligning, både over overfladen og langs parallelle linjer. Lad os tegne en cirkel rundt om udgangspunktet. Således vil vi begynde at bevæge os op langs snitlinjerne, og tangenten vil beskrive cirklen langs hele dens længde, hvilket resulterer i en kurve kaldet en involut. Lad os forresten fortælle lidt historie om denne kurve. Faktum er, at der historisk i matematik ikke var noget begreb om matematik selv i dens rene forståelse, som det er i dag. Tidligere var alle videnskabsmænd engageret i en fælles opgave, det vil sige videnskab. Senere, flere århundreder senere, da den videnskabelige verden var fyldt med en kolossal mængde information, identificerede menneskeheden alligevel mange discipliner. De forbliver stadig uændrede. Og alligevel forsøger videnskabsmænd over hele verden hvert år at bevise, at videnskab er grænseløs, og du vil ikke løse ligningen, medmindre du har kendskab til naturvidenskaberne. Det er måske ikke muligt endeligt at sætte en stopper for det. At tænke over dette er lige så meningsløst som at opvarme luften udenfor. Lad os finde det interval, hvor argumentet, hvis dets værdi er positiv, vil bestemme værdiens modul i en stærkt stigende retning. Reaktionen hjælper dig med at finde mindst tre løsninger, men du bliver nødt til at tjekke dem. Lad os starte med det faktum, at vi skal løse ligningen online ved hjælp af den unikke service på vores hjemmeside. Lad os indtaste begge sider af den givne ligning, klik på knappen "LØS" og få det nøjagtige svar inden for få sekunder. I særlige tilfælde, lad os tage en bog om matematik og dobbelttjekke vores svar, nemlig kun se på svaret, og alt vil blive klart. Det samme projekt for en kunstig redundant parallelepiped vil flyve ud. Der er et parallelogram med dets parallelle sider, og det forklarer mange principper og tilgange til at studere det rumlige forhold mellem den stigende proces med akkumulering af hulrum i formlerne naturligt udseende. Tvetydige lineære ligninger viser afhængigheden af ​​den ønskede variabel med vores generelle løsning på et givet tidspunkt, og vi skal på en eller anden måde udlede og bringe ukorrekt fraktion til en ikke-triviel sag. Marker ti punkter på den lige linje og tegn en kurve gennem hvert punkt i den givne retning, med det konvekse punkt opad. Uden særlige vanskeligheder vil vores ligningsberegner præsentere et udtryk i en sådan form, at dens kontrol af reglernes gyldighed vil være indlysende selv i begyndelsen af ​​optagelsen. Systemet med specielle repræsentationer af stabilitet for matematikere kommer først, medmindre andet er angivet i formlen. Vi vil reagere på dette med en detaljeret præsentation af en rapport om emnet den isomorfe tilstand af et plastisk system af kroppe, og løsning af ligninger online vil beskrive bevægelsen af ​​hvert materielle punkt i dette system. På niveau med dybdegående forskning vil det være nødvendigt at afklare i detaljer spørgsmålet om inversioner af i det mindste det nederste lag af rummet. I stigende rækkefølge på diskontinuitetsdelen af ​​funktionen vil vi anvende generel metode en fremragende forsker, i øvrigt, vores landsmand, og vi vil nedenfor tale om flyets adfærd. På grund af de stærke egenskaber ved en analytisk defineret funktion, bruger vi kun online-ligningsberegneren til dets tilsigtede formål inden for de afledte grænser for autoritet. For yderligere at ræsonnere vil vi fokusere vores gennemgang på homogeniteten af ​​selve ligningen, det vil sige, at dens højre side er lig nul. Endnu engang Lad os sikre os, at vores beslutning i matematik er korrekt. For at undgå at opnå en triviel løsning vil vi foretage nogle justeringer af de indledende betingelser for problemet med betinget stabilitet af systemet. Lad os lave en andengradsligning, hvor vi skriver to poster ud ved hjælp af en velkendt formel og finder de negative rødder. Hvis den ene rod er fem enheder større end den anden og tredje rod, så forvrænger vi ved at lave ændringer i hovedargumentet derved underopgavens begyndelsesbetingelser. I sagens natur kan noget usædvanligt i matematik altid beskrives til nærmeste hundrededel. positivt tal. Brøkberegneren er flere gange bedre end sine analoger på lignende ressourcer på det bedste tidspunkt for serverbelastning. På overfladen af ​​hastighedsvektoren, der vokser langs ordinataksen, tegner vi syv linjer, bøjet i retninger modsat hinanden. Kommensurabiliteten af ​​det tildelte funktionsargument ligger forud for aflæsningerne af genindvindingsbalancetælleren. I matematik kan vi repræsentere dette fænomen gennem en kubisk ligning med imaginære koefficienter, såvel som i den bipolære progression af faldende linjer. Kritiske punkter for temperaturforskelle i mange af deres betydning og progression beskriver processen med at nedbryde en kompleks fraktioneret funktion i faktorer. Hvis du får besked på at løse en ligning, så skynd dig ikke at gøre det med det samme, evaluer bestemt først hele handlingsplanen, og accepter først derefter den rigtige tilgang. Der vil helt sikkert være fordele. Det nemme at arbejde er indlysende, og det samme gælder i matematik. Løs ligningen online. Alle online-ligninger repræsenterer en bestemt type registrering af tal eller parametre og en variabel, der skal bestemmes. Beregn netop denne variabel, det vil sige find specifikke værdier eller intervaller for et sæt værdier, hvor identiteten vil holde. De indledende og endelige betingelser afhænger direkte. Den generelle løsning af ligninger inkluderer normalt nogle variabler og konstanter, ved at indstille, som vi vil få hele familier af løsninger til en given problemformulering. Generelt retfærdiggør dette den indsats, der er investeret i at øge funktionaliteten af ​​en rumlig terning med en side svarende til 100 centimeter. Du kan anvende en sætning eller et lemma på et hvilket som helst trin i opbygningen af ​​et svar. Webstedet producerer gradvist en ligningsberegner, hvis det er nødvendigt, på ethvert interval af summering af produkter viser mindste værdi. I halvdelen af ​​tilfældene er sådan en kugle hul, ikke i højere grad opfylder kravene til opstilling af et mellemsvar. Ved i det mindste på ordinataksen i retning af aftagende vektorrepræsentation, vil denne andel utvivlsomt være mere optimal end det tidligere udtryk. På det tidspunkt, hvor en komplet punktanalyse udføres på lineære funktioner, vil vi i virkeligheden samle alle vores komplekse tal og bipolære plane rum. Ved at erstatte en variabel i det resulterende udtryk, vil du løse ligningen trin for trin og give det mest detaljerede svar med høj nøjagtighed. Det ville være en god form fra en elevs side at kontrollere sine handlinger i matematik igen. Andelen i forholdet mellem fraktioner registrerede resultatets integritet for alle vigtige områder nul vektoraktivitet. Trivialitet bekræftes i slutningen af ​​de gennemførte handlinger. Med en simpel opgave har eleverne måske ikke problemer, hvis de løser ligningen online på kortest mulig tid, men glem ikke alle de forskellige regler. Et sæt af delmængder skærer hinanden i et område med konvergent notation. I forskellige sager produktet er ikke fejlagtigt faktoriseret. Du vil blive hjulpet til at løse ligningen online i vores første afsnit, dedikeret til det grundlæggende i matematiske teknikker for vigtige afsnit for studerende på universiteter og tekniske gymnasier. Vi behøver ikke at vente et par dage på svar, da processen med den bedste interaktion af vektoranalyse med sekventiel fund af løsninger blev patenteret i begyndelsen af ​​forrige århundrede. Det viser sig, at bestræbelserne på at etablere relationer til det omkringliggende team ikke var forgæves, der skulle naturligvis noget andet til først. Flere generationer senere fik videnskabsmænd over hele verden folk til at tro, at matematik er videnskabens dronning. Uanset om det er det venstre svar eller det højre, alligevel skal de udtømmende udtryk skrives i tre rækker, da vi i vores tilfælde bestemt kun vil tale om vektoranalyse af matrixens egenskaber. Ikke-lineære og lineære ligninger har sammen med biquadratiske ligninger en særlig plads i vores bog om bedste praksis beregning af bevægelsesbanen i rummet af alle materielle punkter lukket system. En lineær analyse af det skalære produkt af tre på hinanden følgende vektorer vil hjælpe os med at føre ideen ud i livet. I slutningen af ​​hver sætning gøres opgaven lettere ved at implementere optimerede numeriske undtagelser på tværs af de talrumsoverlejringer, der udføres. En anden bedømmelse vil ikke kontrastere det fundne svar i den vilkårlige form af en trekant i en cirkel. Vinklen mellem to vektorer indeholder den nødvendige procentdel af margen, og løsning af ligninger online afslører ofte en vis fælles rod af ligningen i modsætning til de oprindelige betingelser. Undtagelsen spiller rollen som en katalysator i hele den uundgåelige proces med at finde en positiv løsning inden for feltet med at definere en funktion. Hvis det ikke er sagt, at du ikke kan bruge en computer, så er en online ligningsberegner det helt rigtige til dine svære problemer. Du skal blot indtaste dine betingede data i det korrekte format, og vores server vil udstede et fuldgyldigt resulterende svar på kortest mulig tid. Eksponentiel funktion stiger meget hurtigere end lineær. Talmuderne om smart bibliotekslitteratur vidner om dette. Vil udføre en beregning i generel forstand, som en given andengradsligning med tre komplekse koefficienter ville gøre. Parablen i den øverste del af halvplanet karakteriserer retlinet parallel bevægelse langs punktets akser. Her er det værd at nævne den potentielle forskel i kroppens arbejdsrum. Til gengæld for et suboptimalt resultat indtager vores brøkberegner med rette førstepladsen i den matematiske vurdering af gennemgangen af ​​funktionelle programmer på serversiden. Brugervenligheden af ​​denne tjeneste vil blive værdsat af millioner af internetbrugere. Hvis du ikke ved, hvordan du bruger det, hjælper vi dig gerne. Vi vil også særligt bemærke og fremhæve kubikligningen fra en række folkeskoleopgaver, når det er nødvendigt hurtigt at finde dens rødder og konstruere en graf over funktionen på et plan. Højere grader reproduktion er et af de komplekse matematiske problemer på instituttet, og der er afsat et tilstrækkeligt antal timer til dets undersøgelse. Ligesom alle lineære ligninger er vores ingen undtagelse ifølge mange objektive regler; se fra forskellige synsvinkler, og det viser sig at være enkelt og tilstrækkeligt til at sætte startbetingelserne. Forøgelsesintervallet falder sammen med funktionens konveksitetsintervall. Løsning af ligninger online. Teoristudiet er baseret på online-ligninger fra talrige afsnit om studiet af hoveddisciplinen. I tilfælde af denne tilgang i usikre problemer er det meget enkelt at præsentere løsningen til ligninger i en forudbestemt form og ikke kun drage konklusioner, men også forudsige resultatet af en sådan positiv løsning. Tjenesten vil hjælpe os med at lære fagområdet mest muligt bedste traditioner matematik, præcis som det er skik og brug i østen. På de bedste tidspunkter i tidsintervallet blev lignende opgaver ganget med en fælles faktor på ti. Overfloden af ​​multiplikationer af flere variable i ligningsberegneren begyndte at multiplicere med kvalitet frem for kvantitative variabler såsom masse eller kropsvægt. For at undgå tilfælde af ubalance i materialesystemet er udledningen af ​​en tredimensionel transformer på den trivielle konvergens af ikke-degenererede matematiske matricer ret indlysende for os. Fuldfør opgaven og løs ligningen i givne koordinater, da outputtet er ukendt på forhånd, ligesom alle variabler inkluderet i post-spatial tid. På kort sigt flyt den fælles faktor ud over parentesen og divider med den største fælles divisor begge dele på forhånd. Uddrag fra under den resulterende dækkede delmængde af tal på en detaljeret måde treogtredive point i træk på kort tid. I den udstrækning at på den bedst mulige måde Det er muligt for enhver elev at løse en ligning online. Lad os sige en vigtig, men vigtig ting, uden hvilken det vil være svært at leve i fremtiden. I det sidste århundrede bemærkede den store videnskabsmand en række mønstre i matematikteorien. I praksis var resultatet ikke helt det forventede indtryk af begivenhederne. Men i princippet er netop denne løsning af ligninger online med til at forbedre forståelsen og opfattelsen af ​​en holistisk tilgang til studier og praktisk konsolidering af det teoretiske materiale, som studerende dækker. Det er meget nemmere at gøre dette i din studietid.

=

Vigtige bemærkninger!
1. Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, skal du rydde din cache. Hvordan du gør dette i din browser er skrevet her:
2. Før du begynder at læse artiklen, skal du være opmærksom på vores navigator for de mest nyttige ressourcer til

Vi hører ofte denne ubehagelige sætning: "forenkle udtrykket." Normalt ser vi en slags monster som dette:

"Det er meget enklere," siger vi, men sådan et svar fungerer normalt ikke.

Nu vil jeg lære dig ikke at være bange for sådanne opgaver.

Desuden vil du i slutningen af ​​lektionen selv forenkle dette eksempel til (bare!) et almindeligt tal (ja, for helvede med disse bogstaver).

Men før du starter denne aktivitet, skal du være i stand til det håndtere fraktioner Og faktor polynomier.

Derfor, hvis du ikke har gjort dette før, skal du sørge for at mestre emnerne "" og "".

Har du læst den? Hvis ja, så er du nu klar.

Lad os gå! (Lad os gå!)

Grundlæggende udtryksforenklingsoperationer

Lad os nu se på de grundlæggende teknikker, der bruges til at forenkle udtryk.

Den enkleste er

1. Bringe lignende

Hvad ligner hinanden? Det tog du i 7. klasse, da der først dukkede bogstaver i stedet for tal op i matematik.

Lignende- det er udtryk (monomier) med samme bogstavdel.

For eksempel i summen er lignende udtryk og.

Kan du huske?

Giv lignende- betyder at tilføje flere lignende udtryk til hinanden og få ét udtryk.

Hvordan kan vi sætte bogstaverne sammen? - du spørger.

Dette er meget let at forstå, hvis du forestiller dig, at bogstaverne er en slags objekter.

For eksempel er et bogstav en stol. Hvad er udtrykket så lig?

To stole plus tre stole, hvor mange bliver det? Det er rigtigt, stole:.

Prøv nu dette udtryk: .

For at undgå forvirring, lad forskellige bogstaver repræsentere forskellige objekter.

For eksempel - er (som sædvanligt) en stol, og - er et bord.

stole borde stole borde stole stole borde

De tal, som bogstaverne i sådanne termer ganges med, kaldes koefficienter.

For eksempel er koefficienten lig i et monomial. Og i det er lige.

Så reglen for at bringe lignende er:

Eksempler:

Giv lignende:

Svar:

2. (og lignende, da disse udtryk derfor har samme bogstavdel).

2. Faktorisering

Dette er normalt den vigtigste del i at forenkle udtryk.

Efter at du har givet lignende, er det oftest nødvendigt med det resulterende udtryk faktorisere, det vil sige præsenteret i form af et produkt.

Især dette vigtigt i brøker: jo for at kunne reducere fraktionen, Tælleren og nævneren skal repræsenteres som et produkt.

Du gennemgik metoderne til faktorisering af udtryk i detaljer i emnet "", så her skal du bare huske, hvad du har lært.

For at gøre dette skal du løse flere eksempler (du skal faktorisere dem)

Eksempler:

Løsninger:

3. Reduktion af en brøkdel.

Nå, hvad kunne være mere behageligt end at strege en del af tælleren og nævneren ud og smide dem ud af dit liv?

Det er det smukke ved nedtrapning.

Det er simpelt:

Hvis tæller og nævner indeholder de samme faktorer, kan de reduceres, det vil sige fjernes fra brøken.

Denne regel følger af den grundlæggende egenskab for en brøk:

Det vil sige, at essensen af ​​reduktionsoperationen er det Vi dividerer brøkens tæller og nævner med det samme tal (eller med det samme udtryk).

For at reducere en brøkdel skal du:

1) tæller og nævner faktorisere

2) hvis tæller og nævner indeholder fælles faktorer, kan de streges over.

Eksempler:

Princippet, tror jeg, er klart?

Jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på én ting typisk fejl ved kontraktindgåelse. Selvom dette emne er enkelt, gør mange mennesker alt forkert, uden at forstå det reducere- Det betyder dele tæller og nævner er det samme tal.

Ingen forkortelser, hvis tælleren eller nævneren er en sum.

For eksempel: vi skal forenkle.

Nogle mennesker gør dette: hvilket er helt forkert.

Et andet eksempel: reducere.

De "klogeste" vil gøre dette:

Fortæl mig, hvad der er galt her? Det ser ud til: - dette er en multiplikator, hvilket betyder, at den kan reduceres.

Men nej: - dette er en faktor på kun et led i tælleren, men selve tælleren som helhed er ikke faktoriseret.

Her er et andet eksempel: .

Dette udtryk er faktoriseret, hvilket betyder, at du kan reducere det, det vil sige dividere tælleren og nævneren med og derefter med:

Du kan straks opdele det i:

For at undgå sådanne fejl, husk nem vej hvordan man bestemmer, om et udtryk er faktoriseret:

Den aritmetiske operation, der udføres sidst, når værdien af ​​et udtryk beregnes, er "master"-operationen.

Det vil sige, at hvis du erstatter nogle (vilkårlige) tal i stedet for bogstaver og forsøger at beregne værdien af ​​udtrykket, så hvis den sidste handling er multiplikation, så har vi et produkt (udtrykket er faktoriseret).

Hvis den sidste handling er addition eller subtraktion, betyder det, at udtrykket ikke er faktoriseret (og derfor ikke kan reduceres).

For at forstærke dette, løs et par eksempler selv:

Eksempler:

Løsninger:

4. Addere og trække brøker fra. Reduktion af brøker til en fællesnævner.

At addere og subtrahere almindelige brøker er en velkendt operation: vi leder efter en fællesnævner, gange hver brøk med den manglende faktor og addere/subtraherer tællerne.

Lad os huske:

Svar:

1. Nævnerne og er relativt prime, det vil sige, at de ikke har fælles faktorer. Derfor er LCM af disse tal lig med deres produkt. Dette vil være fællesnævneren:

2. Her er fællesnævneren:

3. Her konverterer vi først og fremmest blandede fraktioner til ukorrekte, og derefter efter det sædvanlige skema:

Det er en helt anden sag, hvis brøkerne indeholder bogstaver, for eksempel:

Lad os starte med noget simpelt:

a) Nævnere indeholder ikke bogstaver

Her er alt det samme som med almindelige numeriske brøker: vi finder fællesnævneren, gange hver brøk med den manglende faktor og addere/subtrahere tællerne:

Nu i tælleren kan du give lignende, hvis nogen, og faktor dem:

Prøv selv:

Svar:

b) Nævnere indeholder bogstaver

Lad os huske princippet om at finde en fællesnævner uden bogstaver:

· først og fremmest bestemmer vi de fælles faktorer;

· så skriver vi alle de fælles faktorer ud én ad gangen;

· og gange dem med alle andre ikke-fælles faktorer.

For at bestemme de fælles faktorer for nævnerne, indregner vi dem først i primfaktorer:

Lad os understrege de fælles faktorer:

Lad os nu skrive de fælles faktorer ud én ad gangen og tilføje alle de ikke-almindelige (ikke understregede) faktorer til dem:

Dette er fællesnævneren.

Lad os vende tilbage til bogstaverne. Nævnerne er givet på nøjagtig samme måde:

· indregne nævnerne;

· bestemme fælles (identiske) faktorer;

· skrive alle fælles faktorer én gang;

· gange dem med alle andre ikke-fælles faktorer.

Så i rækkefølge:

1) faktor nævnerne:

2) bestemme fælles (identiske) faktorer:

3) skriv alle fælles faktorer ud én gang og gange dem med alle andre (ikke understregede) faktorer:

Så der er en fællesnævner her. Den første brøk skal ganges med, den anden - med:

Forresten er der et trick:

For eksempel: .

Vi ser de samme faktorer i nævnerne, kun alle med forskellige indikatorer. Fællesnævneren vil være:

til en vis grad

til en vis grad

til en vis grad

til en vis grad.

Lad os komplicere opgaven:

Hvordan får man brøker til at have samme nævner?

Lad os huske den grundlæggende egenskab ved en brøk:

Ingen steder står der, at det samme tal kan trækkes fra (eller adderes) fra tælleren og nævneren af ​​en brøk. For det er ikke sandt!

Se for dig selv: Tag en hvilken som helst brøk, for eksempel, og læg et tal til tælleren og nævneren, for eksempel. Hvad lærte du?

Så en anden urokkelig regel:

Når du reducerer fraktioner til fællesnævner, brug kun multiplikationsoperationen!

Men hvad skal du gange med for at få?

Så gange med. Og gange med:

Vi vil kalde udtryk, der ikke kan faktoriseres, "elementære faktorer".

For eksempel - dette er en elementær faktor. - Samme. Men nej: det kan faktoriseres.

Hvad med udtrykket? Er det elementært?

Nej, fordi det kan faktoriseres:

(du har allerede læst om faktorisering i emnet "").

Så de elementære faktorer, som du dekomponerer et udtryk i med bogstaver, er en analog af de simple faktorer, som du nedbryder tal i. Og vi vil håndtere dem på samme måde.

Vi ser, at begge nævnere har en multiplikator. Det vil gå til fællesnævneren til den grad (husk hvorfor?).

Faktoren er elementær, og de har ikke en fælles faktor, hvilket betyder, at den første brøk blot skal ganges med den:

Et andet eksempel:

Løsning:

Før du multiplicerer disse nævnere i panik, skal du tænke over, hvordan du skal faktorisere dem? De repræsenterer begge:

Store! Derefter:

Et andet eksempel:

Løsning:

Lad os som sædvanlig faktorisere nævnerne. I den første nævner sætter vi det ganske enkelt uden for parentes; i den anden - forskellen mellem kvadrater:

Det ser ud til, at der ikke er nogen fælles faktorer. Men hvis man ser godt efter, ligner de hinanden... Og det er sandt:

Så lad os skrive:

Det vil sige, det blev sådan her: inde i parentesen byttede vi vilkårene, og samtidig skiftede tegnet foran brøken til det modsatte. Bemærk, du bliver nødt til at gøre dette ofte.

Lad os nu bringe det til en fællesnævner:

Forstået? Lad os tjekke det nu.

Opgaver til selvstændig løsning:

Svar:

5. Multiplikation og division af brøker.

Nå, den sværeste del er forbi nu. Og foran os er det enkleste, men samtidig det vigtigste:

Procedure

Hvad er proceduren for at beregne et numerisk udtryk? Husk ved at beregne betydningen af ​​dette udtryk:

Har du talt?

Det burde virke.

Så lad mig minde dig om.

Det første skridt er at beregne graden.

Den anden er multiplikation og division. Hvis der er flere gange og divisioner på samme tid, kan de udføres i vilkårlig rækkefølge.

Og til sidst udfører vi addition og subtraktion. Igen, i vilkårlig rækkefølge.

Men: udtrykket i parentes vurderes ude af tur!

Hvis flere parenteser ganges eller divideres med hinanden, beregner vi først udtrykket i hver af parenteserne, og derefter gange eller dividere dem.

Hvad hvis der er flere beslag inde i beslagene? Nå, lad os tænke: et eller andet udtryk er skrevet inden for parentes. Når du beregner et udtryk, hvad skal du så gøre først? Det er rigtigt, beregn parenteserne. Nå, vi fandt ud af det: først beregner vi de indre parenteser, så alt andet.

Så proceduren for udtrykket ovenfor er som følger (den aktuelle handling er fremhævet med rødt, det vil sige den handling, jeg udfører lige nu):

Okay, det hele er enkelt.

Men det er ikke det samme som et udtryk med bogstaver?

Nej, det er det samme! Kun i stedet for aritmetiske operationer du skal lave algebraisk, det vil sige handlingerne beskrevet i det foregående afsnit: bringe lignende, tilføjelse af brøker, reduktion af brøker og så videre. Den eneste forskel vil være handlingen med at faktorisere polynomier (vi bruger ofte dette, når vi arbejder med brøker). For at faktorisere skal du oftest bruge I eller blot sætte den fælles faktor ud af parentes.

Normalt er vores mål at repræsentere udtrykket som et produkt eller kvotient.

For eksempel:

Lad os forenkle udtrykket.

1) Først forenkler vi udtrykket i parentes. Der har vi en brøkforskel, og vores mål er at præsentere det som et produkt eller en kvotient. Så vi bringer brøkerne til en fællesnævner og tilføjer:

Det er umuligt at forenkle dette udtryk yderligere; alle faktorerne her er elementære (kan du stadig huske, hvad det betyder?).

2) Vi får:

Multiplikation af brøker: hvad kunne være enklere.

3) Nu kan du forkorte:

OK, det hele er forbi nu. Intet kompliceret, vel?

Et andet eksempel:

Forenkle udtrykket.

Prøv først at løse det selv, og se først derefter på løsningen.

Løsning:

Først og fremmest, lad os bestemme rækkefølgen af ​​handlinger.

Lad os først tilføje brøkerne i parentes, så i stedet for to brøker får vi én.

Så laver vi division af brøker. Nå, lad os tilføje resultatet med den sidste brøk.

Jeg vil nummerere trinene skematisk:

Til sidst vil jeg give dig to nyttige tips:

1. Er der lignende, skal de straks medbringes. På hvilket tidspunkt lignende opstår i vores land, er det tilrådeligt at bringe dem op med det samme.

2. Det samme gælder for reducerende fraktioner: Så snart muligheden for at reducere opstår, skal den udnyttes. Undtagelsen er for brøker, som du tilføjer eller trækker fra: hvis de nu har de samme nævnere, så skal reduktionen stå til senere.

Her er nogle opgaver, du kan løse på egen hånd:

Og hvad der blev lovet i begyndelsen:

Svar:

Løsninger (kort):

Hvis du har klaret mindst de tre første eksempler, så har du mestret emnet.

Nu til at lære!

KONVERTERING AF UDTRYK. RESUMÉ OG GRUNDFORMLER

Grundlæggende forenklingsoperationer:

• Medbringer lignende: for at tilføje (reducere) lignende udtryk skal du tilføje deres koefficienter og tildele bogstavdelen.
• Faktorisering: sætte den fælles faktor ud af parentes, anvende den osv.
• Reduktion af en brøkdel: En brøks tæller og nævner kan ganges eller divideres med det samme tal, der ikke er nul, hvilket ikke ændrer brøkens værdi.
  1) tæller og nævner faktorisere
  2) hvis tæller og nævner har fælles faktorer, kan de overstreges.

  VIGTIGT: Kun multiplikatorer kan reduceres!

• Addere og trække brøker fra:
  ;
• Multiplikation og division af brøker:
  ;

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, betyder det, at du er meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i disse 5%!

Nu det vigtigste.

Du har forstået teorien om dette emne. Og jeg gentager, det her... det her er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

Til vellykket afslutning Unified State Exam, for optagelse på college på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige én ting...

Folk der modtog en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke modtog det. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi mange flere muligheder åbner sig foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre på Unified State-eksamenen og i sidste ende være... lykkeligere?

FÅ DIN HÅND VED LØSNING AF PROBLEMER OM DETTE EMNE.

Du bliver ikke bedt om teori under eksamen.

Du får brug for løse problemer mod tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MEGET!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke have tid.

Det er ligesom i sport – du skal gentage det mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find kollektionen, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For at blive bedre til at bruge vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, du er i gang med at læse.

Hvordan? Der er to muligheder:

1. Lås op for alle skjulte opgaver i denne artikel -
2. Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - Køb en lærebog - 499 RUR

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

Adgang til alle skjulte opgaver er givet i HELE sitets levetid.

Afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke ved teorien.

"Forstået" og "Jeg kan løse" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs dem!