"handlinger med rationelle tal". Rationelle tal og operationer på dem

Begrebet tal refererer til abstraktioner, der karakteriserer et objekt fra et kvantitativt synspunkt. Selv i det primitive samfund havde folk et behov for at tælle objekter, så numeriske notationer dukkede op. Senere blev de grundlaget for matematikken som videnskab.

For at operere med matematiske begreber er det først og fremmest nødvendigt at forestille sig, hvilken slags tal der er. Der er flere hovedtyper af tal. Det her:

1. Naturlig - dem, vi får ved nummerering af objekter (deres naturlige tælling). Deres sæt er betegnet med N.

2. Heltal (deres mængde er angivet med bogstavet Z). Dette inkluderer naturlige tal, deres modsætninger, negative heltal og nul.

3. Rationale tal (bogstavet Q). Det er dem, der kan repræsenteres som en brøk, hvis tæller er lig med et helt tal, og nævneren er lig med et naturligt tal. Alle er hele og klassificeret som rationelle.

4. Ægte (de er betegnet med bogstavet R). De omfatter rationelle og irrationelle tal. Irrationelle tal er tal opnået fra rationelle tal gennem forskellige operationer (beregning af logaritmen, udtrækning af roden), men er i sig selv ikke rationelle.

Således er ethvert af de anførte sæt en delmængde af følgende. Dette speciale er illustreret ved et diagram i form af den såkaldte. Euler cirkler. Designet består af flere koncentriske ovaler, som hver er placeret inde i den anden. Den indre, mindste oval (areal) betegner sættet naturlige tal. Det er fuldstændigt omsluttet og inkluderer området, der symboliserer sættet af heltal, som igen er indeholdt i området for rationelle tal. Den ydre, største oval, som omfatter alle de andre, betegner en række

I denne artikel vil vi se på sættet af rationelle tal, deres egenskaber og funktioner. Som allerede nævnt hører alle eksisterende tal (positive såvel som negative og nul) til dem. Rationale tal danner en uendelig række med følgende egenskaber:

Dette sæt er bestilt, det vil sige ved at tage et hvilket som helst par tal fra denne serie, kan vi altid finde ud af hvilket der er størst;

Tager vi et hvilket som helst par af sådanne tal, kan vi altid placere mindst et mere mellem dem, og følgelig en hel række af dem - således repræsenterer rationelle tal en uendelig række;

Alle fire aritmetiske operationer på sådanne tal er mulige, deres resultat er altid et vist tal (også rationelt); undtagelsen er division med 0 (nul) - det er umuligt;

Alle rationelle tal kan repræsenteres som decimaler. Disse fraktioner kan enten være endelige eller uendeligt periodiske.

For at sammenligne to tal, der tilhører det rationelle sæt, skal du huske:

Nogen positivt tal Over nul;

Nogen et negativt tal altid mindre end nul;

Når man sammenligner to negative rationale tal, er den, hvis absolutte værdi (modulus) er mindre, større.

Hvordan udføres handlinger med rationelle tal?

For at tilføje to sådanne tal, der har samme fortegn, skal du tilføje deres absolutte værdier og sætte dem foran summen generelt tegn. Til at tilføje tal med forskellige tegn følger af større værdi trække den mindste fra og sætte tegnet for den, hvis absolutte værdi er større.

For at trække et rationelt tal fra et andet er det nok at tilføje det modsatte af det andet til det første tal. For at gange to tal skal du gange deres absolutte værdier. Det opnåede resultat vil være positivt, hvis faktorerne har samme fortegn, og negativt, hvis de er forskellige.

Division udføres på en lignende måde, det vil sige, at kvotienten af ​​absolutte værdier findes, og resultatet indledes med et "+"-tegn, hvis tegnene for udbytte og divisor er sammenfaldende, og et "-"-tegn, hvis de falder ikke sammen.

Potenser af rationelle tal ligner produkter af flere faktorer, der er lig med hinanden.

Tegning. Aritmetiske operationer på rationelle tal.

Tekst:

Regler for operationer med rationelle tal:
. når du tilføjer tal med de samme tegn, er det nødvendigt at tilføje deres moduler og sætte deres fælles tegn foran summen;
. når du tilføjer to tal med forskellige fortegn, fra et tal med et større modul, skal du trække tallet med et mindre modul fra og sætte tegnet for tallet med et større modul foran den resulterende forskel;
. Når du trækker et tal fra et andet, skal du tilføje til minuenden tallet modsat det, der trækkes fra: a - b = a + (-b)
. når du multiplicerer to tal med de samme tegn, multipliceres deres moduler, og et plustegn placeres foran det resulterende produkt;
. når man multiplicerer to tal med forskellige fortegn, multipliceres deres moduler, og et minustegn placeres foran det resulterende produkt;
. når man dividerer tal med de samme fortegn, divideres modulet af udbyttet med divisors modul, og et plustegn placeres foran den resulterende kvotient;
. når man dividerer tal med forskellige fortegn, divideres udbyttemodulet med divisors modul, og et minustegn placeres foran den resulterende kvotient;
. Når du dividerer og multiplicerer nul med et hvilket som helst tal, der ikke er lig med nul, er resultatet nul:
. Du kan ikke dividere med nul.

Tilbage frem

Opmærksomhed! Forhåndsvisninger af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle funktionerne i præsentationen. Hvis du er interesseret dette arbejde, download venligst den fulde version.

Lektionstype: en lektion i at generalisere og systematisere viden ved hjælp af computerteknologi.

Lektionens mål:

• Pædagogisk:
  • forbedre færdigheder i at løse eksempler og ligninger om emnet "Egenskaber ved operationer med rationelle tal";
  • konsolidere evnen til at udføre aritmetiske operationer på rationelle tal;
  • test din evne til at bruge egenskaber aritmetiske operationer at forenkle udtryk med rationelle tal;
  • generalisere og systematisere teoretisk stof.
• Udviklingsmæssige:
  • udvikle mentale tællefærdigheder;
  • udvikle logisk tænkning;
  • udvikle evnen til klart og klart at udtrykke dine tanker;
  • udvikle elevernes matematiske tale i processen med at udføre mundtligt arbejde for at gengive teoretisk materiale;
  • udvide elevernes horisont.
• Pædagogisk:
  • udvikle evnen til at arbejde med tilgængelig information;
  • udvikle respekt for emnet;
  • dyrke evnen til at lytte til din ven, en følelse af gensidig bistand og gensidig støtte;
  • bidrage til udvikling af selvkontrol og gensidig kontrol blandt eleverne.

Udstyr og synlighed: computer, multimedieprojektor, lærred, interaktiv præsentation, flashcards til mental tælling, farveblyanter .

Lektionens struktur:

UNDER UNDERVISNINGEN

I. Organisatorisk øjeblik

II. Formidling af emnet og målene for lektionen

Kontrol af elevernes parathed til lektionen. Kommunikere lektionens mål og plan til eleverne.

- Emnet for vores lektion: "Egenskaber af handlinger med rationelle tal", og jeg beder dig læse mottoet for lektionen i kor:

Ja, videns vej er ikke glat.
Men vi ved det skoleår,
Der er flere mysterier end svar,
Og der er ingen grænser for søgningen!

Og i dag i klassen vil vi mindeligt og aktivt skabe en matematisk avis. Jeg skal være chefredaktør, og I skal være korrekturlæsere. Hvordan forstår du betydningen af ​​dette ord?
For at teste andre er vi nødt til at systematisere vores viden om emnet "Egenskaber ved operationer med rationelle tal."

Og vores avis hedder "Rational Numbers". Og oversat til tatarisk?
Jeg hørte, at du kan engelsk godt, men hvad vil englænderne kalde denne avis?
Jeg præsenterer dig for et layout af en avis, som består af følgende sektioner: læsning i kor: " De spørger – vi svarer», « daglige nyheder», « Auktion over projekter», « Aktuel rapport», « Ved du...?".

III. Opdatering af referenceviden

Mundtligt arbejde:

I første afsnit "De spørger - vi svarer" vi skal kontrollere nøjagtigheden af ​​de oplysninger, som vores korrespondenter sendte os i breve. Se omhyggeligt og fortæl os, hvilke regler vi skal huske for at kontrollere disse oplysninger.

1. Regel for tilføjelse af negative tal:

"For at tilføje to negative tal skal du: 1) tilføje deres moduler, 2) sætte et minustegn foran det resulterende tal."

2. Regel for at dividere tal med forskellige fortegn:

"Når du dividerer tal med forskellige fortegn, skal du: 1) dividere udbyttemodulet med divisormodulet, 2) sætte et minustegn foran det resulterende tal."

3. Regel for at gange to negative tal:

"For at gange to negative tal skal du gange deres absolutte værdier."

4. Regel for at gange tal med forskellige fortegn:

"For at gange to tal med forskellige fortegn, skal du gange de absolutte værdier af disse tal og sætte et minustegn foran det resulterende tal."

5. Reglen for at dividere et negativt tal med et negativt tal:

"For at dividere et negativt tal med et negativt tal, skal du dividere udbyttemodulet med divisormodulet."

6. Regel for tilføjelse af tal med forskellige fortegn:

"For at tilføje to tal med forskellige fortegn, skal du 1) trække det mindste fra det større modul af vilkårene, 2) foran det resulterende tal sætte tegnet på det udtryk, hvis modul er større.

1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7) . (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9 . 6 = – 54;
8) – 3,6 . 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18: (– 0,3) = 60;
10) – 3,7 . 0 = – 3,7. (0)

- Godt gået, du gjorde et godt stykke arbejde.

IV. Forstærkning af det dækkede materiale

– Og nu går vi videre til afsnittet "Daglige nyheder" For at fuldføre dette afsnit skal vi systematisere vores viden om tal.
– Hvilke tal kender du? (Naturlig, fraktioneret, rationel)
– Hvilke tal betragtes som rationelle? (positiv, negativ og 0)
– Hvilke egenskaber ved rationelle tal kender du? (Kommutativ, associativ og distributiv, multiplikation med 1, multiplikation med 0)
– Lad os nu gå videre til det skriftlige arbejde. Vi åbnede vores notesbøger, skrev tallet ned, klassearbejde, emnet "Egenskaber ved operationer med rationelle tal."
Ved at bruge disse egenskaber forenkler vi udtrykkene:

A) x + 32 – 16 = x + 16
B) – x – 18 – 23 = – x – 41
B) – 1,5 + x – 20 = – 21,5 + x
D) 12 – 26 + x = x – 14
D) 1,7 + 3,6 – x = 5,3 – x
E) – x + a + 6,1 – a + 2,8 – 8,8 = – x + 0,1

– Og de følgende eksempler kræver, at vi gør endnu mere rationel beslutning med en forklaring.

– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961

04/12/1961 – Siger de svar, du har modtaget dig noget?
For 50 år siden, den 12. april 1961, fløj Yuri Gagarin ud i rummet. Byen Zainsk har også sin egen rumhistorie: 9. marts 1961, nedstigningsmodul nr. 1 rumskib VOSTOK-4 lavede en blød landing nær landsbyen Stary Tokmak, Zainsky-distriktet, med en menneskelig attrap, en hund og andre små dyr om bord. Og til ære for denne begivenhed vil der blive rejst et monument i vores område. Nu har byen en konkurrencekommission. Der deltager 3 projekter i konkurrencen, de er foran dig på skærmen. Og nu holder vi en auktion over projekter.
Jeg beder dig stemme på dit yndlingsprojekt. Din stemme kan være afgørende.

V. Fysisk uddannelse minut

– Du udtrykker din mening med klapsalver og trampeklapper. Lad os øve! Tre klap og tre stempler.
- Lad os prøve igen. Så afstemningen begynder:

– Vi giver vores stemmer til Layout nr. 1
– Vi giver vores stemmer til Layout nr. 2
– Vi giver vores stemmer til Layout nr. 3
- Og nu til alle layouterne samlet.
– Layout nr. vundet... Tak, jeg har registreret dine stemmer (hæver mobiltelefon og viser det til børnene) og giver det videre til tællekommissionen.
- Godt gået, tak. Og forude er ikke mindre vigtigt - Aktuel rapport.

VI. Forberedelse til Statseksamen

I kategori "Nuværende rapport" Jeg fik et brev, hvor en elev beder om hjælp til at løse opgaver til den afsluttende eksamen i 9. klasse. Vi har brug for, at alle løser opgaver og prøver selvstændigt.<Bilag 1 > på dine borde:

1. Løs ligningerne:

a) (x + 3)(x – 6) = 0

1) x = 3, x = – 6
2) x = – 3, x = – 6
3) x = – 3, x = 6

I denne lektion vil vi huske de grundlæggende egenskaber ved operationer med tal. Vi vil ikke kun gennemgå de grundlæggende egenskaber, men også lære at anvende dem på rationelle tal. Vi vil konsolidere al den viden opnået ved at løse eksempler.

Grundlæggende egenskaber ved operationer med tal:

De to første egenskaber er egenskaber ved addition, de næste to er egenskaber ved multiplikation. Den femte egenskab gælder for begge operationer.

Der er intet nyt i disse ejendomme. De var gyldige for både naturlige og heltal. De er også sande for rationelle tal og vil være sande for de tal, vi vil studere næste gang (for eksempel irrationelle tal).

Permutationsegenskaber:

Omarrangering af vilkårene eller faktorerne ændrer ikke resultatet.

Kombinationsegenskaber:, .

Tilføjelse eller multiplikation af flere tal kan gøres i enhver rækkefølge.

Distributionsejendom:.

Egenskaben forbinder begge operationer - addition og multiplikation. Også, hvis det læses fra venstre mod højre, så kaldes det reglen for åbning af parenteser, og hvis i modsatte side- reglen om at sætte den fælles faktor ud af parentes.

De følgende to egenskaber beskriver neutrale elementer til addition og multiplikation: Tilføjelse af nul og gange med én ændrer ikke det oprindelige tal.

Yderligere to egenskaber, der beskriver symmetriske elementer for addition og multiplikation, sum modsatte tal lig med nul; produktet af gensidige tal er lig med en.

Næste ejendom: . Hvis et tal ganges med nul, vil resultatet altid være nul.

Den sidste egenskab vi vil se på er: .

Ganger vi et tal med , får vi det modsatte tal. Denne ejendom har en særlig funktion. Alle andre vurderede egenskaber kunne ikke bevises med de andre. Den samme egenskab kan bevises ved hjælp af de tidligere.

Multiplicer med

Lad os bevise, at hvis vi ganger et tal med , får vi det modsatte tal. Til dette bruger vi distributionsegenskaben: .

Dette gælder for alle tal. Lad os erstatte og i stedet for tallet:

Til venstre i parentes er summen af ​​indbyrdes modsatte tal. Deres sum er nul (vi har sådan en egenskab). Til venstre nu. Til højre får vi: .

Nu har vi nul til venstre, og summen af ​​to tal til højre. Men hvis summen af ​​to tal er nul, så er disse tal indbyrdes modsatte. Men tallet har kun ét modsat tal: . Så dette er hvad det er: .

Ejendommen er bevist.

En sådan egenskab, som kan bevises ved hjælp af tidligere egenskaber, kaldes teorem

Hvorfor er der ingen subtraktions- og divisionsegenskaber her? For eksempel kunne man skrive fordelingsegenskaben til subtraktion: .

Men siden:

• At trække et hvilket som helst tal fra kan skrives som addition ved at erstatte tallet med dets modsætning:

• Division kan skrives som multiplikation med dens gensidige:

Det betyder, at egenskaberne addition og multiplikation kan anvendes til subtraktion og division. Som følge heraf er listen over egenskaber, der skal huskes, kortere.

Alle de egenskaber, vi har overvejet, er ikke udelukkende egenskaber for rationelle tal. Andre numre, for eksempel irrationelle, overholder også alle disse regler. For eksempel er summen af ​​dets modsatte tal nul: .

Nu vil vi gå videre til den praktiske del og løse flere eksempler.

Rationelle tal i livet

De egenskaber ved objekter, som vi kan beskrive kvantitativt, betegne med et eller andet tal, kaldes værdier: længde, vægt, temperatur, mængde.

Den samme mængde kan betegnes med både et heltal og et brøktal, positivt eller negativt.

For eksempel er din højde m - et brøktal. Men vi kan sige, at det er lig med cm - dette er allerede et heltal (fig. 1).

Ris. 1. Illustration f.eks

Endnu et eksempel. En negativ temperatur på Celsius-skalaen vil være positiv på Kelvin-skalaen (fig. 2).

Ris. 2. Illustration f.eks

Når man bygger væggen i et hus, kan én person måle bredden og højden i meter. Han producerer fraktioneret mængder. Han vil udføre alle yderligere beregninger med fraktionelle (rationale) tal. En anden person kan måle alt i antallet af klodser i bredden og højden. Efter kun at have modtaget heltalværdier, vil han udføre beregninger med heltal.

Selve størrelserne er hverken heltal eller brøker, hverken negative eller positive. Men det tal, som vi beskriver værdien af ​​en mængde med, er allerede ret specifik (for eksempel negativ og brøk). Det afhænger af måleskalaen. Og når vi går fra reelle mængder til en matematisk model, arbejder vi med en bestemt type tal

Lad os starte med tilføjelse. Vilkårene kan omarrangeres på enhver måde, der er praktisk for os, og handlingerne kan udføres i enhver rækkefølge. Hvis termer for forskellige tegn ender på det samme ciffer, er det praktisk at udføre operationer med dem først. For at gøre dette, lad os bytte vilkårene. For eksempel:

Almindelige brøker med ens nævnere er nemme at tilføje.

Modsatte tal summeres til nul. Tal med samme decimalhaler er nemme at trække fra. Ved at bruge disse egenskaber, samt den kommutative additionslov, kan du gøre det lettere at beregne værdien af ​​f.eks. følgende udtryk:

Tal med komplementære decimalhaler er nemme at tilføje. Det er praktisk at arbejde med heltal og brøkdele af blandede tal separat. Vi bruger disse egenskaber, når vi beregner værdien af ​​følgende udtryk:

Lad os gå videre til multiplikation. Der er talpar, der er nemme at gange. Ved at bruge den kommutative egenskab kan du omarrangere faktorerne, så de er tilstødende. Antallet af minusser i et produkt kan tælles med det samme, og der kan drages en konklusion om resultatets tegn.

Overvej dette eksempel:

Hvis en af ​​faktorerne er lig nul, så er produktet lig nul, for eksempel: .

Produktet af gensidige tal er lig med én, og multiplikation med én ændrer ikke værdien af ​​produktet. Overvej dette eksempel:

Lad os se på et eksempel med fordelingsegenskaben. Hvis du åbner parenteserne, er hver multiplikation let.