Sådan finder du kvadratroden af ​​et tal manuelt. Hvordan finder man kvadratroden? Egenskaber, eksempler på rodudvinding

Rationelle tal

Den ikke-negative kvadratrod af et positivt tal kaldes aritmetisk kvadratrod og er angivet ved hjælp af det radikale tegn.

Komplekse tal

Der er altid to løsninger over feltet af komplekse tal, der kun adskiller sig i fortegn (undtagen kvadratrod fra nul). Roden af ​​et komplekst tal betegnes ofte som , men denne notation skal bruges med omhu. Almindelig fejl:

For at udtrække kvadratroden af ​​et komplekst tal er det praktisk at bruge den eksponentielle form til at skrive et komplekst tal: if

, ,

hvor roden af ​​modulet forstås i betydningen aritmetisk værdi, og k kan tage værdierne k=0 og k=1, så svaret ender med to forskellige resultater.

Generaliseringer

Kvadratrødder introduceres som løsninger til formligninger for andre objekter: matricer, funktioner, operatorer osv. Helt arbitrære multiplikative operationer kan bruges som en operation, for eksempel superposition.

Kvadratrod i datalogi

I mange programmeringssprog på funktionsniveau (såvel som markup-sprog som LaTeX) skrives kvadratrodsfunktionen som sqrt(fra engelsk kvadratrod"kvadratrod").

Algoritmer til at finde kvadratroden

At finde eller beregne kvadratroden af ​​et givet tal kaldes udvinding(kvadrat)rod.

Taylor-seriens udvidelse

kl.

Aritmetisk kvadratrod

For kvadrater af tal er følgende ligheder sande:

Det vil sige, at du kan finde ud af den heltallige del af kvadratroden af ​​et tal ved at trække alle ulige tal fra det i rækkefølge, indtil resten er mindre end det næste subtraherede tal eller lig med nul, og tælle antallet af udførte handlinger. For eksempel sådan her:

3 trin er gennemført, kvadratroden af ​​9 er 3.

Ulempen ved denne metode er, at hvis roden, der udtrækkes, ikke er et heltal, så kan du kun finde ud af hele dens del, men ikke mere præcist. Samtidig er denne metode ret tilgængelig for børn, der løser simple matematiske problemer, der kræver udtrækning af kvadratroden.

Groft skøn

Mange beregningsalgoritmer kvadratrødder fra det positive reelle tal S kræver en vis startværdi. Hvis startværdien er for langt fra den reelle værdi af roden, bliver beregningerne langsommere. Derfor er det nyttigt at have et groft skøn, som kan være meget upræcist, men let at beregne. Hvis S≥ 1, lad D vil være antallet af cifre S til venstre for decimaltegnet. Hvis S < 1, пусть D vil være antallet af på hinanden følgende nuller til højre for decimaltegnet, taget med et minustegn. Så ser det grove skøn sådan ud:

Hvis D ulige, D = 2n+ 1, brug derefter Hvis D endog, D = 2n+ 2, brug derefter

To og seks bruges pga Og

Når du arbejder i et binært system (som inde i computere), bør en anden evaluering bruges (her D er antallet af binære cifre).

Geometrisk kvadratrod

For manuelt at udtrække roden, bruges en notation, der ligner lang division.

Det tal, hvis rod vi leder efter, er skrevet ned. Til højre for den vil vi gradvist få numrene på den ønskede rod. Lad os tage roden af ​​et tal med et endeligt antal decimaler. For at begynde, mentalt eller med tegn, deler vi tallet N i grupper med to cifre til venstre og til højre for decimaltegnet. Om nødvendigt polstres grupper med nuller - heltalsdelen er polstret til venstre, brøkdelen til højre. Så 31234.567 kan repræsenteres som 03 12 34. 56 70. I modsætning til opdeling udføres nedrivning i sådanne grupper på 2 cifre.

Blandt de mange viden, der er et tegn på læsefærdighed, kommer alfabetet først. Det næste element med lige så "tegn" er færdighederne til addition-multiplikation og, ved siden af ​​dem, men i modsat betydning, aritmetiske operationer med subtraktion-division. De færdigheder, man lærte i den fjerne skolebarndom, tjener trofast dag og nat: TV, avis, SMS, og overalt læser, skriver, tæller, lægger vi sammen, trækker fra, multiplicerer. Og fortæl mig, har du ofte været nødt til at udvinde rødder i dit liv, undtagen ved dachaen? For eksempel sådan et underholdende problem, som kvadratroden af ​​tallet 12345... Er der stadig krudt i kolberne? Kan vi klare det? Intet kunne være nemmere! Hvor er min lommeregner... Og uden den er hånd-til-hånd kamp svag?

Lad os først afklare, hvad det er - kvadratroden af ​​et tal. Generelt betyder "at tage roden af ​​et tal" at udføre den aritmetiske operation modsat at hæve til en potens - her har du modsætningernes enhed i livets anvendelse. Lad os sige, at et kvadrat er multiplikationen af ​​et tal med sig selv, det vil sige, som det blev undervist i skolen, X * X = A eller i en anden notation X2 = A, og i ord - "X i kvadrat er lig med A." Så lyder det omvendte problem sådan: kvadratroden af ​​tallet A er tallet X, som, når det kvadreres, er lig med A.

Tager kvadratroden

Fra skolens regnekursus kendes regnemetoder "i kolonne", som hjælper med at udføre eventuelle udregninger ved hjælp af de første fire regneoperationer. Ak... For kvadratiske, og ikke kun kvadratiske rødder, eksisterer sådanne algoritmer ikke. Og i dette tilfælde, hvordan udtrækker man kvadratroden uden en lommeregner? Baseret på definitionen af ​​kvadratroden er der kun én konklusion - det er nødvendigt at vælge værdien af ​​resultatet ved sekventielt at optælle tal, hvis kvadrat nærmer sig værdien af ​​det radikale udtryk. Det er alt! Inden der er gået en time eller to, kan du ved hjælp af den velkendte multiplikationsmetode i en "søjle" beregne enhver kvadratrod. Hvis du har evnerne, vil dette kun tage et par minutter. Selv en ikke så avanceret bruger af en lommeregner eller pc kan gøre dette i ét hug - fremskridt.

Men seriøst, udregningen af ​​kvadratroden udføres ofte ved hjælp af "artilleri gaffel"-teknikken: tag først et tal, hvis kvadrat omtrent svarer til det radikale udtryk. Det er bedre, hvis "vores firkant" er lidt mindre end dette udtryk. Derefter justerer de tallet efter deres egen dygtighed og forståelse, for eksempel gange med to, og... kvadrere det igen. Hvis resultatet flere tal under roden, successivt justere det oprindelige nummer, gradvist nærmer sig sin "kollega" under roden. Som du kan se - ingen lommeregner, kun evnen til at tælle "i en kolonne". Selvfølgelig er der mange videnskabeligt beviste og optimerede algoritmer til beregning af kvadratrødder, men for " hjemmebrug"Ovenstående teknik giver 100% tillid til resultatet.

Ja, jeg glemte næsten, for at bekræfte vores øgede læsefærdighed, lad os beregne kvadratroden af ​​det tidligere angivne tal 12345. Vi gør det trin for trin:

1. Lad os tage, rent intuitivt, X=100. Lad os beregne: X * X = 10000. Intuitionen er bedst - resultatet er mindre end 12345.

2. Lad os prøve, også rent intuitivt, X = 120. Derefter: X * X = 14400. Og igen er intuitionen i orden - resultatet er mere end 12345.

3. Ovenfor fik vi en "gaffel" på 100 og 120. Lad os vælge nye tal - 110 og 115. Vi får henholdsvis 12100 og 13225 - gaflen indsnævres.

4. Lad os prøve "måske" X=111. Vi får X * X = 12321. Dette tal er allerede ret tæt på 12345. I overensstemmelse med den nødvendige nøjagtighed kan "tilpasningen" fortsættes eller stoppes ved det opnåede resultat. Det er det. Som lovet - alt er meget enkelt og uden lommeregner.

Bare en lille historie...

Pythagoræerne, elever fra skolen og tilhængere af Pythagoras, kom på ideen om at bruge kvadratrødder, 800 år f.Kr. og lige der "løb vi ind i" nye opdagelser inden for tal. Og hvor kom det fra?

1. Løsning af problemet med at udtrække roden giver resultatet i form af tal i en ny klasse. De blev kaldt irrationelle, med andre ord "urimelige", fordi. de er ikke skrevet som et fuldstændigt tal. Mest klassisk eksempel denne slags er kvadratroden af ​​2. Dette tilfælde svarer til beregningen af ​​diagonalen af ​​et kvadrat med en side lig med 1 - dette er indflydelsen fra den pythagoræiske skole. Det viste sig, at i en trekant med en meget specifik enhedsstørrelse af sider, har hypotenusen en størrelse, der er udtrykt ved et tal, der "ikke har nogen ende." Sådan fremstod de i matematik

2. Det er kendt, at det viste sig, at denne matematiske operation indeholder en anden fangst - når man trækker roden ud, ved vi ikke hvilket tal, positivt eller negativt, der er kvadratet på det radikale udtryk. Denne usikkerhed, det dobbelte resultat fra én operation, registreres på denne måde.

Studiet af problemer relateret til dette fænomen er blevet en retning i matematik kaldet teorien om komplekse variabler, som har stor praktisk betydning i matematisk fysik.

Det er mærkeligt, at den samme allestedsnærværende I. Newton brugte betegnelsen roden - radikal - i sin "Universal Arithmetic", og præcist moderne look notation af roden har været kendt siden 1690 fra franskmanden Rolles bog "Manual of Algebra".

I denne artikel vil vi introducere begrebet en rod af et tal. Vi går videre sekventielt: vi starter med kvadratroden, derfra går vi videre til beskrivelsen af ​​kubikroden, hvorefter vi generaliserer begrebet rod ved at definere den n'te rod. Samtidig vil vi introducere definitioner, notationer, give eksempler på rødder og give de nødvendige forklaringer og kommentarer.

Kvadratrod, aritmetisk kvadratrod

For at forstå definitionen af ​​roden af ​​et tal, og kvadratroden i særdeleshed, skal du have . På dette tidspunkt vil vi ofte støde på anden potens af et tal - kvadratet af et tal.

Lad os starte med kvadratrodsdefinitioner.

Definition

Kvadratroden af ​​en er et tal, hvis kvadrat er lig med a.

At lede eksempler på kvadratrødder, tager flere tal, for eksempel 5, −0,3, 0,3, 0, og kvadrerer dem, får vi henholdsvis tallene 25, 0,09, 0,09 og 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09(0,3)2=0,3·0,3=0,09 og 02=0,0=0). Så ifølge definitionen ovenfor er tallet 5 kvadratroden af ​​tallet 25, tallene -0,3 og 0,3 er kvadratrødderne af 0,09, og 0 er kvadratroden af ​​nul.

Det skal bemærkes, at der ikke for noget tal a eksisterer a, hvis kvadrat er lig med a. Nemlig for evt negativt tal a er der ikke noget reelt tal b, hvis kvadrat er lig med a. Faktisk er ligheden a=b 2 umulig for enhver negativ a, da b 2 er et ikke-negativ tal for enhver b. Således, der er ingen kvadratrod af et negativt tal i mængden af ​​reelle tal. Med andre ord, på sættet af reelle tal er kvadratroden af ​​et negativt tal ikke defineret og har ingen betydning.

Dette fører til et logisk spørgsmål: "Er der en kvadratrod af a for enhver ikke-negativ a"? Svaret er ja. Begrundelsen for dette faktum kan overvejes konstruktiv måde, bruges til at finde værdien af ​​kvadratroden.

Så opstår det næste logiske spørgsmål: "Hvad er antallet af alle kvadratrødder af et givet ikke-negativt tal a - en, to, tre eller endnu mere"? Her er svaret: hvis a er nul, så er den eneste kvadratrod af nul nul; hvis a er nogle positivt tal, så er antallet af kvadratrødder af tallet a to, og rødderne er . Lad os begrunde dette.

Lad os starte med tilfældet a=0 . Lad os først vise, at nul faktisk er kvadratroden af ​​nul. Dette følger af den åbenlyse lighed 0 2 =0·0=0 og definitionen af ​​kvadratroden.

Lad os nu bevise, at 0 er den eneste kvadratrod af nul. Lad os bruge den modsatte metode. Antag, at der er et eller andet ikke-nul tal b, der er kvadratroden af ​​nul. Så skal betingelsen b 2 =0 være opfyldt, hvilket er umuligt, da værdien af ​​udtrykket b 2 er positiv for enhver b 2, der ikke er nul. Vi er nået frem til en modsigelse. Dette beviser, at 0 er den eneste kvadratrod af nul.

Lad os gå videre til tilfælde, hvor a er et positivt tal. Vi sagde ovenfor, at der altid er en kvadratrod af ethvert ikke-negativt tal, lad kvadratroden af ​​a være tallet b. Lad os sige, at der er et tal c, som også er kvadratroden af ​​a. Så, ved definitionen af ​​en kvadratrod, er lighederne b 2 =a og c 2 =a sande, hvoraf det følger, at b 2 −c 2 =a−a=0, men da b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c), derefter (b−c)·(b+c)=0 . Den resulterende lighed er gyldig egenskaber ved operationer med reelle tal kun muligt, når b−c=0 eller b+c=0 . Tallene b og c er således lige store eller modsatte.

Hvis vi antager, at der er et tal d, som er en anden kvadratrod af tallet a, så bevises det ved at ræsonnere svarende til dem, der allerede er givet, at d er lig med tallet b eller tallet c. Så antallet af kvadratrødder af et positivt tal er to, og kvadratrødderne er modsatte tal.

For at lette arbejdet med kvadratrødder negativ rod"adskiller" fra det positive. Til dette formål introduceres det definition af aritmetisk kvadratrod.

Definition

Aritmetisk kvadratrod af et ikke-negativt tal a er et ikke-negativt tal, hvis kvadrat er lig med a.

Notationen for den aritmetiske kvadratrod af a er . Tegnet kaldes det aritmetiske kvadratrodstegn. Det kaldes også det radikale tegn. Derfor kan du nogle gange høre både "rod" og "radikal", hvilket betyder det samme objekt.

Tallet under det aritmetiske kvadratrodstegn kaldes radikalt tal, og udtrykket under rodtegnet er radikalt udtryk, mens udtrykket "radikalt tal" ofte erstattes af "radikalt udtryk". For eksempel er tallet 151 i notationen et radikalt tal, og i notationen er udtrykket a et radikalt udtryk.

Ved læsning udelades ofte ordet "aritmetik", for eksempel læses indgangen som "kvadratroden af ​​syv komma niogtyve." Ordet "aritmetik" bruges kun, når de vil understrege det vi taler om specifikt om den positive kvadratrod af et tal.

I lyset af den introducerede notation følger det af definitionen af ​​en aritmetisk kvadratrod, at for ethvert ikke-negativt tal a .

Kvadratrødder af et positivt tal a skrives ved at bruge det aritmetiske kvadratrodstegn som og . For eksempel er kvadratrødderne af 13 og . Den aritmetiske kvadratrod af nul er nul, det vil sige. For negative tal a vil vi ikke tillægge notationen betydning, før vi studerer komplekse tal. For eksempel er udtrykkene og meningsløse.

Ud fra definitionen af ​​kvadratroden bevises kvadratrøddernes egenskaber, som ofte bruges i praksis.

Som afslutning på dette afsnit bemærker vi, at kvadratrødderne af tallet a er løsninger af formen x 2 =a med hensyn til variablen x.

Terningrod af et tal

Definition af terningrod af tallet a gives på samme måde som definitionen af ​​kvadratroden. Kun det er baseret på konceptet om en terning af et tal, ikke et kvadrat.

Definition

Terningrod af en er et tal, hvis terning er lig med a.

Lad os give eksempler på terningrødder. For at gøre dette skal du tage flere tal, for eksempel 7, 0, −2/3, og sætte dem i terninger: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Så kan vi, baseret på definitionen af ​​en terningrod, sige, at tallet 7 er terningroden af ​​343, 0 er terningroden af ​​nul, og −2/3 er terningroden af ​​−8/27.

Det kan vises, at terningroden af ​​et tal, i modsætning til kvadratroden, altid eksisterer, ikke kun for ikke-negativ a, men også for ethvert reelt tal a. For at gøre dette kan du bruge den samme metode, som vi nævnte, da vi studerede kvadratrødder.

Desuden er der kun en enkelt terningrod af et givet tal a. Lad os bevise det sidste udsagn. For at gøre dette skal du overveje tre tilfælde separat: a er et positivt tal, a=0 og a er et negativt tal.

Det er let at vise, at hvis a er positiv, kan terningroden af ​​a hverken være et negativt tal eller nul. Lad faktisk b være terningroden af ​​a, så kan vi per definition skrive ligheden b 3 =a. Det er klart, at denne lighed ikke kan være sand for negativ b og for b=0, da b 3 =b·b·b i disse tilfælde vil være henholdsvis et negativt tal eller nul. Så terningroden af ​​et positivt tal a er et positivt tal.

Antag nu, at der ud over tallet b er en anden terningrod af tallet a, lad os betegne det c. Så c 3 =a. Derfor er b 3 −c 3 =a−a=0, men b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(dette er den forkortede multiplikationsformel forskel på terninger), hvorfra (b−c)·(b2 +b·c+c2)=0. Den resulterende lighed er kun mulig, når b−c=0 eller b 2 +b·c+c 2 =0. Fra den første lighed har vi b=c, og den anden lighed har ingen løsninger, da dens venstre side er et positivt tal for alle positive tal b og c som summen af ​​tre positive led b 2, b·c og c 2. Dette beviser unikheden af ​​terningroden af ​​et positivt tal a.

Når a=0, er terningroden af ​​tallet a kun tallet nul. Faktisk, hvis vi antager, at der er et tal b, som er en terningrod af nul, der ikke er nul, så skal ligheden b 3 =0 holde, hvilket kun er muligt, når b=0.

For negativ a kan der gives argumenter svarende til sagen for positiv a. Først viser vi, at terningroden af ​​et negativt tal hverken kan være lig med et positivt tal eller nul. For det andet antager vi, at der er en anden terningrod af et negativt tal og viser, at det nødvendigvis vil falde sammen med det første.

Så der er altid en terningrod af et givet reelt tal a, og et unikt.

Lad os give definition af aritmetisk terningrod.

Definition

Aritmetisk terningrod af et ikke-negativt tal a er et ikke-negativt tal, hvis terning er lig med a.

Den aritmetiske terningrod af et ikke-negativt tal a betegnes som , tegnet kaldes tegnet for den aritmetiske terningrod, tallet 3 i denne notation kaldes rodindeks. Nummeret under rodtegnet er radikalt tal, er udtrykket under rodtegnet radikalt udtryk.

Selvom den aritmetiske terningrod kun er defineret for ikke-negative tal a, er det også praktisk at bruge notationer, hvor negative tal findes under det aritmetiske terningrodstegnet. Vi vil forstå dem som følger: , hvor a er et positivt tal. f.eks. .

Vi vil tale om egenskaberne af terningrødder i den generelle artikel egenskaber af rødder.

Beregning af værdien af ​​en terningrod kaldes at udtrække en terningrod. Denne handling diskuteres i artiklen udtrække rødder: metoder, eksempler, løsninger.

For at afslutte dette punkt, lad os sige, at terningroden af ​​tallet a er en løsning af formen x 3 =a.

n-te rod, aritmetisk rod af grad n

Lad os generalisere begrebet en rod af et tal - vi introducerer definition af n. rod for n.

Definition

n'te rod af en er et tal, hvis n. potens er lig med a.

Fra denne definition det er tydeligt, at den første grads rod af tallet a er tallet a selv, da vi ved at studere graden med en naturlig eksponent tog en 1 =a.

Ovenfor så vi på særlige tilfælde af den n. rod for n=2 og n=3 - kvadratrod og terningrod. Det vil sige, at en kvadratrod er en rod af anden grad, og en terningrod er en rod af tredje grad. For at studere rødder af den n. grad for n=4, 5, 6, ..., er det praktisk at opdele dem i to grupper: den første gruppe - rødder af lige grader (det vil sige for n = 4, 6, 8 , ...), den anden gruppe - rødder ulige grader (det vil sige med n=5, 7, 9, ...). Dette skyldes det faktum, at rødder af lige potenser ligner kvadratrødder, og rødder af ulige potenser ligner kubikrødder. Lad os behandle dem én efter én.

Lad os starte med rødderne, hvis potenser er de lige tal 4, 6, 8, ... Som vi allerede har sagt, ligner de kvadratroden af ​​tallet a. Det vil sige, at roden af ​​enhver lige grad af tallet a kun eksisterer for ikke-negativ a. Desuden, hvis a=0, så er roden af ​​a unik og lig med nul, og hvis a>0, så er der to rødder af lige grad af tallet a, og de er modsatte tal.

Lad os underbygge det sidste udsagn. Lad b være en rod af lige grad (vi betegner det som 2 m, hvor m er noget naturligt tal) fra nummer a . Antag, at der er et tal c - en anden rod af grad 2·m fra tallet a. Så b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Men vi kender formen b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2), derefter (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2)=0. Af denne lighed følger det, at b−c=0, eller b+c=0, eller b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. De to første ligheder betyder, at tallene b og c er lige eller b og c er modsatte. Og den sidste lighed er kun gyldig for b=c=0, da der på dens venstre side er et udtryk, der er ikke-negativt for enhver b og c som summen af ​​ikke-negative tal.

Hvad angår rødderne af den n. grad for ulige n, ligner de kubikroden. Det vil sige, at roden af ​​enhver ulige grad af tallet a eksisterer for ethvert reelt tal a, og for et givet tal a er det unikt.

Entydigheden af ​​en rod af ulige grad 2·m+1 af tallet a bevises i analogi med beviset for unikheden af ​​terningroden af ​​a. Kun her i stedet for ligestilling a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) anvendes en lighed på formen b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +... +c 2·m). Udtrykket i sidste parentes kan omskrives som b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m−2 + c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). For eksempel, med m=2 har vi b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Når a og b begge er positive eller begge negative, er deres produkt et positivt tal, så udtrykket b 2 +c 2 +b·c i parentes selv høj grad nesting, er positiv som summen af ​​positive tal. Når vi nu sekventielt går til udtrykkene i parentes af de tidligere indlejringsgrader, er vi overbeviste om, at de også er positive som summen af ​​positive tal. Som et resultat opnår vi, at ligheden b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +... +c 2·m)=0 kun muligt, når b−c=0, det vil sige, når tallet b er lig med tallet c.

Det er tid til at forstå notationen af ​​n'te rødder. Til dette formål er det givet definition af aritmetisk rod af n. grad.

Definition

Aritmetisk rod af den n. grad af et ikke-negativt tal a er et ikke-negativt tal, hvis n. potens er lig med a.

Arealet af en kvadratisk grund er 81 dm². Find hans side. Antag, at kvadratets sidelængde er X decimeter. Så er arealet af grunden X² kvadratdecimeter. Da dette areal ifølge betingelsen er lig med 81 dm², altså X² = 81. Længden af ​​en side af et kvadrat er et positivt tal. Et positivt tal, hvis kvadrat er 81, er tallet 9. Ved løsning af opgaven var det nødvendigt at finde tallet x, hvis kvadrat er 81, altså løse ligningen X² = 81. Denne ligning har to rødder: x 1 = 9 og x 2 = - 9, da 9² = 81 og (- 9)² = 81. Både tallene 9 og - 9 kaldes kvadratrødderne af 81.

Bemærk, at en af ​​kvadratrødderne X= 9 er et positivt tal. Det kaldes den aritmetiske kvadratrod af 81 og betegnes √81, så √81 = 9.

Aritmetisk kvadratrod af et tal EN er et ikke-negativt tal, hvis kvadrat er lig med EN.

For eksempel er tallene 6 og - 6 kvadratrødder af tallet 36. Tallet 6 er dog en aritmetisk kvadratrod af 36, da 6 er et ikke-negativt tal og 6² = 36. Tallet - 6 er ikke en aritmetisk rod.

Aritmetisk kvadratrod af et tal EN betegnet som følger: √ EN.

Tegnet kaldes det aritmetiske kvadratrodstegn; EN- kaldet et radikalt udtryk. Udtryk √ EN læse sådan her: aritmetisk kvadratrod af et tal EN. For eksempel, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. I de tilfælde, hvor det er tydeligt, at vi taler om en aritmetisk rod, siger de kort: ”Kvadratroden af EN«.

Handlingen med at finde kvadratroden af ​​et tal kaldes kvadratrod. Denne handling er det omvendte af kvadrering.

Du kan kvadrere et hvilket som helst tal, men du kan ikke udtrække kvadratrødder fra et hvilket som helst tal. For eksempel er det umuligt at udtrække kvadratroden af ​​tallet - 4. Hvis en sådan rod eksisterede, så angive den med bogstavet X, ville vi få den forkerte lighed x² = - 4, da der er et ikke-negativt tal til venstre og et negativt tal til højre.

Udtryk √ EN giver kun mening når a ≥ 0. Definitionen af ​​kvadratrod kan kort skrives som følger: √ a ≥ 0, (√EN)² = EN. Ligestilling (√ EN)² = EN gældende for a ≥ 0. Således for at sikre, at kvadratroden af ​​et ikke-negativt tal EN lig med b, altså i det faktum, at √ EN =b, skal du kontrollere, at følgende to betingelser er opfyldt: b ≥ 0, b² = EN.

Kvadratroden af ​​en brøk

Lad os beregne. Bemærk, at √25 = 5, √36 = 6, og lad os tjekke, om ligheden holder.

Fordi og så er ligestillingen sand. Så, .

Sætning: Hvis EN≥ 0 og b> 0, det vil sige, at roden af ​​brøken er lig med roden af ​​tælleren divideret med roden af ​​nævneren. Det er påkrævet at bevise, at: og .

Siden √ EN≥0 og √ b>0, så .

Om egenskaben ved at hæve en brøk til en potens og definitionen af ​​en kvadratrod sætningen er bevist. Lad os se på et par eksempler.

Beregn ved hjælp af den beviste sætning .

Andet eksempel: Bevis det , hvis EN ≤ 0, b < 0. .

Et andet eksempel: Beregn .

.

Kvadratrodskonvertering

Fjernelse af multiplikatoren under rodtegnet. Lad udtrykket være givet. Hvis EN≥ 0 og b≥ 0, så ved hjælp af produktrodsætningen kan vi skrive:

Denne transformation kaldes at fjerne faktoren fra rodtegnet. Lad os se på et eksempel;

Beregn kl X= 2. Direkte substitution X= 2 i det radikale udtryk fører til komplekse beregninger. Disse beregninger kan forenkles, hvis du først fjerner faktorerne under rodtegnet: . Hvis vi nu erstatter x = 2, får vi:.

Så når man fjerner faktoren under rodtegnet, er det radikale udtryk repræsenteret i form af et produkt, hvor en eller flere faktorer er kvadrater af ikke-negative tal. Anvend derefter produktrodsætningen og tag roden af ​​hver faktor. Lad os overveje et eksempel: Forenkle udtrykket A = √8 + √18 - 4√2 ved at tage faktorerne i de to første led ud under rodtegnet, vi får:. Lad os understrege den ligestilling kun gyldig når EN≥ 0 og b≥ 0. hvis EN < 0, то .

Det er tid til at ordne det rodudvindingsmetoder. De er baseret på røddernes egenskaber, især på ligheden, hvilket er sandt for ethvert ikke-negativt tal b.

Nedenfor vil vi se på de vigtigste metoder til at udvinde rødder en efter en.

Lad os starte med det enkleste tilfælde - at udtrække rødder fra naturlige tal ved hjælp af en tabel med kvadrater, en tabel med terninger osv.

Hvis tabeller med firkanter, terninger mv. Hvis du ikke har det ved hånden, er det logisk at bruge metoden til at udtrække roden, som involverer at nedbryde det radikale tal i primfaktorer.

Det er særligt værd at nævne, hvad der er muligt for rødder med ulige eksponenter.

Lad os endelig overveje en metode, der giver os mulighed for sekventielt at finde cifrene i rodværdien.

Lad os komme i gang.

Brug af en tabel med kvadrater, en tabel med terninger osv.

I de enkleste tilfælde giver tabeller med kvadrater, terninger osv. dig mulighed for at udtrække rødder. Hvad er disse tabeller?

Tabellen med kvadrater af heltal fra 0 til 99 inklusive (vist nedenfor) består af to zoner. Den første zone i tabellen er placeret på en grå baggrund ved at vælge en specifik række og en specifik kolonne, det giver dig mulighed for at komponere et tal fra 0 til 99. Lad os for eksempel vælge en række med 8 tiere og en kolonne med 3 enheder, med dette fik vi tallet 83. Den anden zone optager resten af ​​bordet. Hver celle er placeret i skæringspunktet mellem en bestemt række og en bestemt kolonne og indeholder kvadratet af det tilsvarende tal fra 0 til 99. I skæringspunktet mellem vores valgte række med 8 tiere og kolonne 3 af ener er der en celle med tallet 6.889, som er kvadratet af tallet 83.

Tabeller af terninger, tabeller med fjerde potenser af tal fra 0 til 99, og så videre ligner tabellen med kvadrater, kun de indeholder terninger, fjerde potenser osv. i den anden zone. tilsvarende tal.

Tabeller af kvadrater, terninger, fjerde potenser osv. giver dig mulighed for at udtrække kvadratrødder, terningrødder, fjerde rødder osv. i overensstemmelse hermed fra tallene i disse tabeller. Lad os forklare princippet om deres brug ved udvinding af rødder.

Lad os sige, at vi skal udtrække den n'te rod af tallet a, mens tallet a er indeholdt i tabellen over n'te potenser. Ved hjælp af denne tabel finder vi tallet b sådan, at a=b n. Så , derfor vil tallet b være den ønskede rod af n. grad.

Lad os som et eksempel vise, hvordan man bruger en terningstabel til at udtrække terningroden af ​​19.683. Vi finder tallet 19.683 i terningtabellen, ud fra det finder vi, at dette tal er terningen af ​​tallet 27, derfor, .

Det er klart, at tabeller med n-te potenser er meget praktiske til at udtrække rødder. De er dog ofte ikke lige ved hånden, og det kræver noget tid at kompilere dem. Desuden er det ofte nødvendigt at udtrække rødder fra tal, der ikke er indeholdt i de tilsvarende tabeller. I disse tilfælde skal du ty til andre metoder til rodudvinding.

Indregning af et radikalt tal i primfaktorer

Nok på en bekvem måde, som gør det muligt at udtrække en rod fra et naturligt tal (hvis roden selvfølgelig udvindes), er nedbrydningen af ​​radikaltallet til primfaktorer. Hans pointen er dette: derefter er det ret nemt at fremstille det som en magt med den nødvendige indikator, som giver dig mulighed for at få værdien af ​​roden. Lad os præcisere dette punkt.

Lad den n-te rod af et naturligt tal a tages og dets værdi lig med b. I dette tilfælde er ligheden a=b n sand. Tallet b kan ligesom ethvert naturligt tal repræsenteres som produktet af alle dets primfaktorer p 1 , p 2 , …, p m i formen p 1 ·p 2 ·…·p m , og radikaltallet a i dette tilfælde er repræsenteret som (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Da nedbrydningen af ​​et tal til primfaktorer er unik, vil dekomponeringen af ​​radikaltallet a til primfaktorer have formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, hvilket gør det muligt at beregne rodens værdi. som.

Bemærk, at hvis nedbrydningen til primfaktorer af et radikalt tal a ikke kan repræsenteres på formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, så er den n-te rod af et sådant tal a ikke helt ekstraheret.

Lad os finde ud af dette, når vi løser eksempler.

Eksempel.

Tag kvadratroden af ​​144.

Løsning.

Hvis du ser på tabellen med kvadrater i det foregående afsnit, kan du tydeligt se, at 144 = 12 2, hvoraf det tydeligt fremgår, at kvadratroden af ​​144 er 12.

Men i lyset af dette punkt er vi interesserede i, hvordan roden udvindes ved at nedbryde radikaltallet 144 i primfaktorer. Lad os se på denne løsning.

Lad os nedbryde 144 til primfaktorer:

Det vil sige 144=2·2·2·2·3·3. Baseret på den resulterende nedbrydning kan følgende transformationer udføres: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Derfor, .

Ved at bruge gradens egenskaber og røddernes egenskaber kunne løsningen formuleres lidt anderledes: .

Svar:

For at konsolidere materialet skal du overveje løsningerne til yderligere to eksempler.

Eksempel.

Beregn værdien af ​​roden.

Løsning.

Primfaktoriseringen af ​​radikaltallet 243 har formen 243=3 5 . Således, .

Svar:

Eksempel.

Er rodværdien et heltal?

Løsning.

For at besvare dette spørgsmål, lad os faktorisere det radikale tal i primfaktorer og se, om det kan repræsenteres som en terning af et heltal.

Vi har 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Den resulterende ekspansion kan ikke repræsenteres som en terning af et heltal, da primfaktoren 7s potens ikke er et multiplum af tre. Derfor kan terningroden på 285.768 ikke udtrækkes fuldstændigt.

Svar:

Ingen.

Udtræk rødder fra brøktal

Det er tid til at finde ud af, hvordan man kan udvinde roden fra brøktal. Lad brøkradikaltallet skrives som p/q. Ifølge egenskaben af ​​roden af ​​en kvotient er følgende lighed sand. Af denne ligestilling følger det regel for at udtrække roden af ​​en brøk: Roden af ​​en brøk er lig med kvotienten af ​​roden af ​​tælleren divideret med roden af ​​nævneren.

Lad os se på et eksempel på at udtrække en rod fra en brøk.

Eksempel.

Hvad er kvadratroden af almindelig brøk 25/169 .

Løsning.

Ved at bruge kvadrattabellen finder vi, at kvadratroden af ​​tælleren i den oprindelige brøk er lig med 5, og kvadratroden af ​​nævneren er lig med 13. Så . Dette afslutter udtrækningen af ​​roden af ​​den almindelige fraktion 25/169.

Svar:

Roden af ​​en decimalbrøk eller et blandet tal udvindes efter at have erstattet radikaltallene med almindelige brøker.

Eksempel.

Tag terningroden af ​​decimalbrøken 474.552.

Løsning.

Lad os forestille os originalen decimal som almindelig brøk: 474.552=474552/1000. Så . Det er tilbage at udtrække terningrødderne, der er i tælleren og nævneren af ​​den resulterende fraktion. Fordi 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 og 1 000 = 10 3, derefter Og . Tilbage er kun at færdiggøre beregningerne .

Svar:

.

At tage roden af ​​et negativt tal

Det er umagen værd at dvæle ved at udtrække rødder fra negative tal. Når vi studerede rødder, sagde vi, at når rodeksponenten er et ulige tal, så kan der være et negativt tal under rodtegnet. Vi gav disse indtastninger følgende betydning: for et negativt tal −a og en ulige eksponent for roden 2 n−1, . Denne lighed giver regel for at udtrække ulige rødder fra negative tal: for at udtrække roden af ​​et negativt tal, skal du tage roden af ​​det modsatte positive tal og sætte et minustegn foran resultatet.

Lad os se på eksempelløsningen.

Eksempel.

Find værdien af ​​roden.

Løsning.

Lad os transformere det oprindelige udtryk, så der er et positivt tal under rodtegnet: . Erstat nu det blandede tal med en almindelig brøk: . Vi anvender reglen for at udtrække roden af ​​en almindelig brøk: . Det er tilbage at beregne rødderne i tælleren og nævneren af ​​den resulterende brøk: .

Her er en kort oversigt over løsningen: .

Svar:

.

Bitvis bestemmelse af rodværdien

I det generelle tilfælde er der under roden et tal, som ved hjælp af de ovenfor beskrevne teknikker ikke kan repræsenteres som den n'te potens af noget tal. Men i dette tilfælde er der behov for at kende betydningen af ​​en given rod, i det mindste op til et bestemt tegn. I dette tilfælde, for at udtrække roden, kan du bruge en algoritme, der giver dig mulighed for sekventielt at opnå et tilstrækkeligt antal cifferværdier af det ønskede tal.

Det første trin i denne algoritme er at finde ud af, hvad den mest signifikante bit af rodværdien er. For at gøre dette hæves tallene 0, 10, 100, ... sekventielt til potensen n, indtil det øjeblik, hvor et tal overstiger det radikale tal, opnås. Så vil tallet, som vi hævede til potensen n i det foregående trin, indikere det tilsvarende mest signifikante ciffer.

Overvej for eksempel dette trin i algoritmen, når du udtrækker kvadratroden af ​​fem. Tag tallene 0, 10, 100, ... og kvadrat dem, indtil vi får et tal større end 5. Vi har 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, hvilket betyder, at det mest signifikante ciffer vil være et-cifferet. Værdien af ​​denne bit, såvel som de lavere, vil blive fundet i de næste trin af rodekstraktionsalgoritmen.

Alle efterfølgende trin i algoritmen er rettet mod sekventielt at afklare værdien af ​​roden ved at finde værdierne af de næste bits af den ønskede værdi af roden, begyndende med den højeste og flytte til de laveste. For eksempel viser værdien af ​​roden ved det første trin at være 2, ved det andet – 2,2, ved det tredje – 2,23, og så videre 2,236067977…. Lad os beskrive, hvordan værdierne af bits findes.

Cifrene findes ved at søge gennem deres mulige værdier 0, 1, 2, ..., 9. I dette tilfælde beregnes de n-te potenser af de tilsvarende tal parallelt, og de sammenlignes med det radikale tal. Hvis værdien af ​​graden på et tidspunkt overstiger det radikale tal, betragtes værdien af ​​cifferet, der svarer til den forrige værdi, og overgangen til det næste trin i rodekstraktionsalgoritmen foretages, hvis dette ikke sker. så er værdien af ​​dette ciffer 9.

Lad os forklare disse punkter ved at bruge det samme eksempel på at udtrække kvadratroden af ​​fem.

Først finder vi værdien af ​​enhedscifferet. Vi gennemgår værdierne 0, 1, 2, ..., 9, og beregner henholdsvis 0 2, 1 2, ..., 9 2, indtil vi får en værdi større end radikaltallet 5. Det er praktisk at præsentere alle disse beregninger i form af en tabel:

Så værdien af ​​enhedscifferet er 2 (da 2 2<5 , а 2 3 >5). Lad os gå videre til at finde værdien af ​​tiendedelens plads. I dette tilfælde vil vi kvadrere tallene 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, og sammenligne de resulterende værdier med det radikale nummer 5:

Siden 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, så er værdien af ​​tiendedelspladsen 2. Du kan fortsætte med at finde værdien af ​​hundrededelepladsen:

Sådan blev den næste værdi af roden af ​​fem fundet, den er lig med 2,23. Og så kan du fortsætte med at finde værdier: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

For at konsolidere materialet vil vi analysere udvindingen af ​​roden med en nøjagtighed på hundrededele ved hjælp af den betragtede algoritme.

Først bestemmer vi det mest signifikante ciffer. For at gøre dette kuber vi tallene 0, 10, 100 osv. indtil vi får et tal større end 2.151.186. Vi har 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , så det mest signifikante ciffer er tiere-cifferet.

Lad os bestemme dens værdi.

Siden 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, så er værdien af ​​tierpladsen 1. Lad os gå videre til enheder.

Værdien af ​​et-cifferet er således 2. Lad os gå videre til tiendedele.

Da selv 12,9 3 er mindre end det radikale tal 2 151,186, så er værdien af ​​tiendedelene 9. Det er tilbage at udføre det sidste trin i algoritmen, det vil give os værdien af ​​roden med den nødvendige nøjagtighed.

På dette stadium er værdien af ​​roden fundet nøjagtig til hundrededele: .

Som afslutning på denne artikel vil jeg gerne sige, at der er mange andre måder at udvinde rødder på. Men til de fleste opgaver er dem, vi studerede ovenfor, tilstrækkelige.

Referencer.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebog for 8. klasse. uddannelsesinstitutioner.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. og andre Algebra og begyndelsen af ​​analyse: Lærebog for klasse 10 - 11 af almene uddannelsesinstitutioner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler).