Instruktioner

Hvis du skal regne ved hjælp af Pythagoras sætning, så brug følgende algoritme: - Bestem i en trekant, hvilke sider der er benene og hvilke der er hypotenusen. De to sider, der danner en vinkel på halvfems grader, er benene, den resterende tredjedel er hypotenusen. (cm) - Hæv hvert ben i denne trekant til anden potens, det vil sige gange med sig selv. Eksempel 1. Antag, at vi skal beregne hypotenusen, hvis det ene ben i en trekant er 12 cm, og det andet er 5 cm. Først er kvadraterne på benene ens: 12 * 12 = 144 cm og 5 * 5 = 25 cm. Bestem derefter summen af ​​kvadraternes ben. Et vist antal er hypotenusen, skal du slippe af med anden potens af tallet for at finde længde denne side af trekanten. For at gøre dette skal du fjerne fra undersiden kvadrat rod værdien af ​​summen af ​​kvadrater af benene. Eksempel 1. 144+25=169. Kvadratroden af ​​169 er 13. Derfor er længden af ​​denne hypotenusen lig med 13 cm.

En anden måde at beregne længde på hypotenusen ligger i terminologien for sinus og vinkler i en trekant. Per definition: sinus af vinklen alfa - det modsatte ben til hypotenusen. Det vil sige, når man ser på figuren, er sin a = CB / AB. Derfor er hypotenusen AB = CB / sin a. Eksempel 2. Lad vinklen være 30 grader, og den modsatte side være 4 cm. Vi skal finde hypotenusen. Løsning: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Svar: længde hypotenusen lig med 8 cm.

En lignende måde at finde hypotenusen fra definitionen af ​​cosinus af en vinkel. Cosinus af en vinkel er forholdet mellem den side, der støder op til den og hypotenusen. Det vil sige, cos a = AC/AB, derfor AB = AC/cos a. Eksempel 3. I trekant ABC er AB hypotenusen, vinkel BAC er 60 grader, ben AC er 2 cm Find AB.
Løsning: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Svar: Hypotenusen er 4 cm lang.

Nyttige råd

Når du finder værdien af ​​sinus eller cosinus for en vinkel, skal du bruge enten tabellen over sinus og cosinus eller Bradis-tabellen.

Tip 2: Sådan finder du længden af ​​hypotenusen i en retvinklet trekant

Hypotenusen er den længste side i en retvinklet trekant, så det er ikke overraskende græsk sprog dette ord er oversat til "stram". Denne side ligger altid modsat 90°-vinklen, og siderne, der danner denne vinkel, kaldes ben. At kende længden af ​​disse sider og størrelserne skarpe hjørner i forskellige kombinationer af disse værdier kan længden af ​​hypotenusen beregnes.

Instruktioner

Hvis længderne af begge trekanter (A og B) er kendt, så brug længderne af hypotenusen (C), måske det mest berømte matematiske postulat - Pythagoras sætning. Den siger, at kvadratet af længden af ​​hypotenusen er summen af ​​kvadraterne af længderne af benene, hvoraf det følger, at du skal beregne roden af ​​summen af ​​de kvadrerede længder af de to sider: C = √ ( A² + B²). For eksempel, hvis længden af ​​et ben er 15 og - 10 centimeter, så vil længden af ​​hypotenusen være cirka 18,0277564 centimeter, da √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Hvis længden af ​​kun et af benene (A) i en retvinklet trekant er kendt, såvel som værdien af ​​vinklen modsat den (α), så kan længden af ​​hypotenusen (C) bruges ved at bruge en af ​​de trigonometriske funktioner - sinus. For at gøre dette skal du dele længden kendt parti ved sinus af en kendt vinkel: C=A/sin(α). For eksempel, hvis længden af ​​et af benene er 15 centimeter, og vinklen ved trekantens modsatte toppunkt er 30°, så vil længden af ​​hypotenusen være lig med 30 centimeter, da 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Hvis størrelsen af ​​en af ​​de spidse vinkler (α) og længden af ​​det tilstødende ben (B) er kendt i en retvinklet trekant, så kan man for at beregne længden af ​​hypotenusen (C) bruge en anden trigonometrisk funktion- cosinus. Du bør dele længden berømte ben ved cosinus af en kendt vinkel: C=B/ cos(α). For eksempel, hvis længden af ​​dette ben er 15 centimeter, og den spidse vinkel ved siden af ​​det er 30°, så vil længden af ​​hypotenusen være cirka 17,3205081 centimeter, da 15/cos(30°)=15/(0,5*) √3)=30/√3≈17.3205081.

Længde bruges normalt til at angive afstanden mellem to punkter på et linjestykke. Det kan være en lige, brudt eller lukket linje. Du kan beregne længden ganske enkelt, hvis du kender nogle andre indikatorer for segmentet.

Instruktioner

Hvis du skal finde længden af ​​siden af ​​en firkant, så bliver den ikke , hvis du kender dens areal S. På grund af at alle sider af firkanten har

Ethvert skolebarn ved, at hypotenusen altid er kvadratet lig med summen ben, som hver er firkantet. Dette udsagn kaldes Pythagoras sætning. Det er en af ​​de mest berømte teoremer inden for trigonometri og matematik generelt. Lad os se nærmere på det.

Begrebet en retvinklet trekant

Inden vi går videre til at overveje Pythagoras sætning, hvori kvadratet af hypotenusen er lig med summen af ​​de ben, der er kvadreret, bør vi overveje konceptet og egenskaberne retvinklet trekant, som sætningen er gyldig for.

En trekant er en flad figur med tre vinkler og tre sider. En retvinklet trekant har, som navnet antyder, én ret vinkel, det vil sige, at denne vinkel er lig med 90 o.

Fra generelle egenskaber for alle trekanter er det kendt, at summen af ​​alle tre vinkler i denne figur er 180 o, hvilket betyder, at for en retvinklet trekant er summen af ​​to vinkler, der ikke er rette vinkler, 180 o - 90 o = 90 o. Sidste faktum betyder, at enhver vinkel i en retvinklet trekant, der ikke er ret, altid vil være mindre end 90 o.

Den side, der ligger imod ret vinkel, kaldes normalt hypotenusen. De to andre sider er trekantens ben, de kan være ens med hinanden, eller de kan være forskellige. Fra trigonometri ved vi, at jo større vinkel en side af en trekant ligger imod, jo større er længden af ​​den side. Det betyder, at i en retvinklet trekant vil hypotenusen (ligger modsat 90 o-vinklen) altid være større end nogen af ​​benene (ligger modsat vinklerne)< 90 o).

Matematisk notation af Pythagoras sætning

Denne sætning siger, at kvadratet af hypotenusen er lig med summen af ​​benene, som hver tidligere er i anden. For at skrive denne formulering matematisk skal du overveje en retvinklet trekant, hvor siderne a, b og c er henholdsvis de to ben og hypotenusen. I dette tilfælde kan sætningen, som er formuleret som kvadratet af hypotenusen er lig med summen af ​​kvadraterne på benene, repræsenteres med følgende formel: c 2 = a 2 + b 2. Herfra kan andre formler, der er vigtige for praksis, fås: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) og c = √(a 2 + b 2).

Bemærk, at i tilfælde af en retvinklet ligesidet trekant, det vil sige a = b, vil formuleringen: kvadratet på hypotenusen er lig med summen af ​​benene, som hver er i anden kvadrat, skrives matematisk som følger: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, hvilket indebærer ligheden: c = a√2.

Historisk reference

Pythagoras sætning, som siger, at kvadratet af hypotenusen er lig med summen af ​​benene, som hver er i anden kvadrat, var kendt længe før den berømte græsk filosof. Mange papyrus Det gamle Egypten, såvel som babyloniernes lertavler bekræfter, at disse folk brugte den bemærkede egenskab ved siderne af en retvinklet trekant. For eksempel en af ​​de første Egyptiske pyramider, Khafre-pyramiden, hvis konstruktion går tilbage til det 26. århundrede f.Kr. (2000 år før Pythagoras' liv), blev bygget ud fra viden om billedformatet i en retvinklet trekant 3x4x5.

Hvorfor bærer sætningen nu grækerens navn? Svaret er enkelt: Pythagoras er den første, der matematisk beviser denne sætning. De overlevende babylonske og egyptiske skriftlige kilder taler kun om dets brug, men giver ikke noget matematisk bevis.

Det menes, at Pythagoras beviste den pågældende sætning ved at bruge egenskaberne for lignende trekanter, som han opnåede ved at tegne højden i en retvinklet trekant fra en vinkel på 90 o til hypotenusen.

Et eksempel på brug af Pythagoras sætning

Lad os overveje simpel opgave: det er nødvendigt at bestemme længden af ​​den skrå trappe L, hvis man ved, at den har en højde H = 3 meter, og afstanden fra den væg, som trappen hviler mod, til dens fod er P = 2,5 meter.

I I dette tilfælde H og P er benene, og L er hypotenusen. Da længden af ​​hypotenusen er lig med summen af ​​kvadraterne på benene, får vi: L 2 = H 2 + P 2, hvorfra L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2) = 3.905 meter eller 3 m og 90, 5 cm.

Animeret bevis for Pythagoras sætning - en af grundlæggende sætninger fra euklidisk geometri, der fastslår forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant. Det menes, at det blev bevist af den græske matematiker Pythagoras, efter hvem det er opkaldt (der er andre versioner, især den alternative opfattelse, at denne teorem i generel opfattelse blev formuleret af den pythagoræiske matematiker Hippasus).
Sætningen siger:

I en retvinklet trekant er arealet af kvadratet bygget på hypotenusen lig med summen af ​​arealerne af kvadraterne bygget på benene.

Bestemmelse af længden af ​​trekantens hypotenus c, og benlængderne er ligesom -en Og b, vi får følgende formel:

Således etablerer Pythagoras sætning et forhold, der giver dig mulighed for at bestemme siden af ​​en retvinklet trekant, ved at kende længden af ​​de to andre. Pythagoras sætning er et specialtilfælde af cosinussætningen, som bestemmer forholdet mellem siderne i en vilkårlig trekant.
Det omvendte udsagn er også blevet bevist (også kaldet det omvendte af Pythagoras sætning):

For alle tre positive tal a, b og c sådan, at a ? + b ? = c ?, der er en retvinklet trekant med benene a og b og hypotenusen c.

Visuelt bevis for trekanten (3, 4, 5) fra bogen "Chu Pei" 500-200 f.Kr. Sætningens historie kan opdeles i fire dele: viden om pythagoras tal, viden om forholdet mellem sider i en retvinklet trekant, viden om forholdet mellem tilstødende vinkler og beviset for sætningen.
Megalitiske strukturer omkring 2500 f.Kr. i Egypten og Nordeuropa, indeholder retvinklede trekanter med sider lavet af heltal. Bartel Leendert van der Waerden havde en hypotese om, at pythagoræiske tal på det tidspunkt blev fundet algebraisk.
Skrevet mellem 2000 og 1876 f.Kr. papyrus fra det mellemægyptiske rige Berlin 6619 indeholder et problem, hvis løsning er Pythagoras tal.
Under Hammurabis den Stores regeringstid, babylonsk tavle Plimpton 322, skrevet mellem 1790 og 1750 f.Kr. indeholder mange poster tæt knyttet til pythagoras tal.
I Budhayana sutraerne, som stammer fra forskellige versioner ottende eller andet århundrede f.Kr i Indien, indeholder pythagoras tal afledt algebraisk, en erklæring om Pythagoras sætning og et geometrisk bevis for en ligesidet retvinklet trekant.
Apastamba Sutras (ca. 600 f.Kr.) indeholder et numerisk bevis for Pythagoras sætning ved hjælp af arealberegninger. Van der Waerden mener, at det var baseret på sine forgængeres traditioner. Ifølge Albert Burco er dette det originale bevis på sætningen, og han foreslår, at Pythagoras besøgte Arakon og kopierede det.
Pythagoras, hvis leveår normalt angives som 569 - 475 f.Kr. bruger algebraiske metoder til at beregne Pythagoras tal ifølge Proklovs kommentarer til Euklid. Proclus levede dog mellem 410 og 485 e.Kr. Ifølge Thomas Guise er der ingen indikation af forfatterskabet til sætningen før fem århundreder efter Pythagoras. Men når forfattere som Plutark eller Cicero tilskriver sætningen Pythagoras, gør de det, som om forfatterskabet var almindeligt kendt og sikkert.
Omkring 400 f.Kr Ifølge Proclus gav Platon en metode til at beregne Pythagoras tal, der kombinerede algebra og geometri. Omkring 300 f.Kr., i Begyndelser Euklid har vi det ældste aksiomatiske bevis, der har overlevet den dag i dag.
Skrevet engang mellem 500 f.Kr. og 200 f.Kr., den kinesiske matematiske bog "Chu Pei" (? ? ? ?), giver et visuelt bevis på Pythagoras sætning, kaldet Gugu-sætningen (????) i Kina, for en trekant med sider (3, 4) , 5). Under Han-dynastiet, fra 202 f.Kr. til 220 e.Kr Pythagoras tal optræder i bogen "Nine Branches of the Mathematical Art" sammen med en omtale af retvinklede trekanter.
Den første registrerede brug af teoremet var i Kina, hvor den er kendt som Gugu (????)-sætningen, og i Indien, hvor den er kendt som Bhaskars teorem.
Det har været meget diskuteret, om Pythagoras' sætning blev opdaget én gang eller gentagne gange. Boyer (1991) mener, at den viden, der findes i Shulba Sutraen, kan være af mesopotamisk oprindelse.
Algebraisk bevis
Firkanter er dannet af fire rette trekanter. Mere end hundrede beviser for Pythagoras sætning er kendt. Her er et bevis baseret på eksistenssætningen for arealet af en figur:

Lad os placere fire identiske retvinklede trekanter som vist på figuren.
Firkant med sider c er et kvadrat, da summen af ​​to spidse vinkler er , og en ret vinkel er .
Arealet af hele figuren er på den ene side lig med arealet af en firkant med siden "a + b", og på den anden side summen af ​​arealerne af fire trekanter og det indre kvadrat .

Hvilket er det, der skal bevises.
Ved trekanters lighed
Brug lignende trekanter. Lade ABC- en retvinklet trekant, hvori vinklen C lige som vist på billedet. Lad os tegne højden fra punktet C, og lad os ringe H skæringspunktet med siden AB. Der dannes en trekant ACH ligner en trekant ABC, da de begge er rektangulære (per definition af højde), og de har en fælles vinkel EN, Den tredje vinkel i disse trekanter vil naturligvis også være den samme. Svarende til fred, trekant CBH også ligner en trekant ABC. Med trekanters lighed: Hvis

Dette kan skrives som

Hvis vi tilføjer disse to ligheder, får vi

HB + c gange AH ​​= c gange (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Med andre ord, Pythagoras sætning:

Euklids bevis
Euklids bevis i euklidiske elementer, Pythagoras sætning er bevist ved metoden med parallelogrammer. Lade A, B, C hjørner af en retvinklet trekant, med ret vinkel EN. Lad os slippe en vinkelret fra punktet EN til siden modsat hypotenusen i et kvadrat bygget på hypotenusen. Linjen deler firkanten i to rektangler, som hver har samme areal som firkanterne bygget på siderne. Hoved ide i beviset er, at de øverste firkanter bliver til parallellogrammer af det samme område, og derefter vender tilbage og bliver til rektangler i det nederste kvadrat og igen med det samme areal.

Lad os tegne segmenter CF Og A.D. vi får trekanter BCF Og B.D.A.
Vinkler CAB Og TASKE- lige; henholdsvis point C, A Og G– collineær. Også B, A Og H.
Vinkler CBD Og FBA– begge er lige linjer, derefter vinklen ABD lig med vinkel FBC, da begge er summen af ​​en ret vinkel og en vinkel ABC.
Trekant ABD Og FBC niveau på to sider og vinklen mellem dem.
Siden punkterne A, K Og L– collineær, arealet af rektanglet BDLK er lig med to områder af trekanten ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
På samme måde opnår vi CKLE = ACIH = AC 2
På den ene side området CBDE lig med summen af ​​rektanglernes areal BDLK Og CKLE, og på den anden side pladsen BC 2, eller AB 2 + AC 2 = BC 2.

Brug af differentialer
Brug af differentialer. Pythagoras sætning kan man nå frem til ved at studere, hvordan stigningen i side påvirker størrelsen af ​​hypotenusen som vist på figuren til højre og anvende en lille beregning.
Som følge af stigningen i side en, af lignende trekanter for infinitesimale trin

Integrering får vi

Hvis -en= 0 så c = b, så "konstant" er b 2. Derefter

Som det kan ses, skyldes kvadraterne forholdet mellem inkrementerne og siderne, mens summen er resultatet af det uafhængige bidrag fra inkrementerne af siderne, ikke tydeligt ud fra de geometriske beviser. I disse ligninger da Og dc– tilsvarende infinitesimale trin af sider -en Og c. Men hvad bruger vi i stedet for? -en Og? c, så er grænsen for forholdet, hvis de har tendens til nul da / dc, afledt, og er også lig med c / en, forholdet mellem længderne af trekanternes sider, som et resultat får vi en differentialligning.
I tilfælde af et ortogonalt system af vektorer gælder ligheden, som også kaldes Pythagoras sætning:

Hvis – Dette er projektioner af vektoren på koordinatakserne, så falder denne formel sammen med den euklidiske afstand og betyder, at længden af ​​vektoren er lig med kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af dens komponenter.
Analogen af ​​denne lighed i tilfælde af et uendeligt system af vektorer kaldes Parsevals lighed.

Pythagoras sætning

Skæbnen for andre sætninger og problemer er ejendommelig... Hvordan forklarer man for eksempel sådan enestående opmærksomhed fra matematikere og matematikelskeres side til Pythagoras sætning? Hvorfor var mange af dem ikke tilfredse med allerede kendte beviser, men fandt deres egne, hvilket bragte antallet af beviser til flere hundrede over femogtyve relativt overskuelige århundreder?
Hvornår vi taler om om Pythagoras sætning begynder det usædvanlige med dets navn. Det menes, at det ikke var Pythagoras, der først formulerede det. Det anses også for tvivlsomt, at han har fremlagt bevis for det. Hvis Pythagoras er en rigtig person (nogle tvivler endda på dette!), så levede han højst sandsynligt i det 6.-5. århundrede. f.Kr e. Han skrev ikke selv noget, kaldte sig selv filosof, hvilket i hans forståelse betød "at stræbe efter visdom", og grundlagde Pythagoras Union, hvis medlemmer studerede musik, gymnastik, matematik, fysik og astronomi. Tilsyneladende var han også en fremragende taler, som det fremgår af følgende legende om hans ophold i byen Croton: "Pythagoras første optræden før folket i Croton begyndte med en tale til de unge mænd, hvor han var så strenge, men samtidig så fascinerende skitserede de unge mænds pligter, og de ældste i byen bad om ikke at forlade dem uden instruktion. I denne anden tale pegede han på moralens lovlighed og renhed som grundlaget for familien; i de næste to henvendte han sig til børn og kvinder. Følge sidste tale, hvori han især fordømte luksus, var, at tusindvis af kostbare kjoler blev leveret til Heras tempel, for ikke en eneste kvinde vovede at optræde i dem på gaden længere...” Ikke desto mindre, selv i det andet århundrede e.Kr., dvs. ... 700 år senere levede og arbejdede meget virkelige mennesker, ekstraordinære videnskabsmænd, der tydeligvis var under indflydelse af Pythagoras Union, og som havde stor respekt for det, som Pythagoras ifølge legenden skabte.
Der er heller ingen tvivl om, at interessen for sætningen er forårsaget både af, at den indtager en af ​​de centrale pladser i matematikken, og af tilfredsheden hos forfatterne af beviserne, som overvandt de vanskeligheder, som den romerske digter Quintus Horace Flaccus, som levede før vores æra, godt sagt: "Det er svært at udtrykke velkendte fakta." .
Indledningsvis etablerede sætningen forholdet mellem arealer af kvadrater bygget på hypotenusen og benene i en retvinklet trekant:
.
Algebraisk formulering:
I en retvinklet trekant er kvadratet af hypotenusens længde lig med summen af ​​kvadraterne af benlængderne.
Det vil sige, at angive længden af ​​trekantens hypotenus med c, og længden af ​​benene med a og b: a 2 + b 2 =c 2. Begge formuleringer af sætningen er ækvivalente, men den anden formulering er mere elementær; den kræver ikke begrebet areal. Det vil sige, at det andet udsagn kan verificeres uden at vide noget om arealet og ved kun at måle længderne af siderne i en retvinklet trekant.
Omvendt Pythagoras sætning. For enhver tredobbelt af positive tal a, b og c sådan, at
a 2 + b 2 = c 2, der er en retvinklet trekant med benene a og b og hypotenusen c.

Bevis

På dette øjeblik 367 beviser for denne teorem er blevet registreret i den videnskabelige litteratur. Sandsynligvis er Pythagoras sætning den eneste sætning med et så imponerende antal beviser. En sådan mangfoldighed kan kun forklares med den grundlæggende betydning af sætningen for geometri.
Selvfølgelig kan de konceptuelt alle opdeles i et lille antal klasser. Den mest berømte af dem: beviser ved arealmetoden, aksiomatiske og eksotiske beviser (for eksempel ved hjælp af differentialligninger).

Gennem lignende trekanter

Følgende bevis for den algebraiske formulering er det enkleste af beviserne, konstrueret direkte ud fra aksiomerne. Især bruger den ikke begrebet areal af en figur.
Lad ABC være en retvinklet trekant med ret vinkel C. Tegn højden fra C og angiv dens base med H. Trekant ACH svarer til trekant ABC i to vinkler.
På samme måde ligner trekant CBH ABC. Ved at introducere notationen

vi får

Hvad er tilsvarende

Lægger vi det sammen, får vi

eller

Beviser ved hjælp af arealmetoden

Beviserne nedenfor er på trods af deres tilsyneladende enkelhed slet ikke så enkle. De bruger alle arealegenskaber, hvis bevis er mere komplekst end beviset for selve Pythagoras sætning.

Bevis via equicomplementation

1. Placer fire lige store trekanter som vist på figuren.
2. En firkant med siderne c er et kvadrat, da summen af ​​to spidse vinkler er 90°, og den rette vinkel er 180°.
3. Arealet af hele figuren er på den ene side lig med arealet af en firkant med side (a + b), og på den anden side summen af ​​arealerne af fire trekanter og den indre firkant.



Q.E.D.

Beviser gennem ækvivalens

Et eksempel på et sådant bevis er vist på tegningen til højre, hvor en firkant bygget på hypotenusen er omarrangeret til to firkanter bygget på benene.

Euklids bevis

Ideen med Euklids bevis er som følger: lad os prøve at bevise, at halvdelen af ​​kvadratet bygget på hypotenusen er lig med summen af ​​de halve arealer af kvadraterne bygget på benene, og derefter arealerne af de store og to små firkanter er lige store. Lad os se på tegningen til venstre. På den konstruerede vi firkanter på siderne af en retvinklet trekant og tegnede en stråle s fra toppunktet af den rette vinkel C vinkelret på hypotenusen AB, den skærer kvadratet ABIK, bygget på hypotenusen, i to rektangler - BHJI og HAKJ, henholdsvis. Det viser sig, at arealerne af disse rektangler er nøjagtigt lig med arealerne af firkanterne bygget på de tilsvarende ben. Lad os prøve at bevise, at arealet af kvadratet DECA er lig med arealet af rektanglet AHJK. For at gøre dette vil vi bruge en hjælpeobservation: Arealet af en trekant med samme højde og base som det givne rektangel er lig med halvdelen af ​​arealet af det givne rektangel. Dette er en konsekvens af at definere arealet af en trekant som halvdelen af ​​produktet af basen og højden. Fra denne observation følger det, at arealet af trekanten ACK er lig med arealet af trekanten AHK (ikke vist på figuren), som igen er lig med halvdelen af ​​arealet af rektanglet AHJK. Lad os nu bevise, at arealet af trekanten ACK også er lig med halvdelen af ​​arealet af kvadratisk DECA. Det eneste, der skal gøres for dette, er at bevise ligheden mellem trekanter ACK og BDA (da arealet af trekanten BDA er lig med halvdelen af ​​kvadratets areal ifølge ovenstående egenskab). Denne lighed er indlysende, trekanterne er lige store på begge sider og vinklen mellem dem. Nemlig - AB=AK,AD=AC - ligheden mellem vinklerne CAK og BAD er let at bevise med bevægelsesmetoden: vi drejer trekanten CAK 90° mod uret, så er det tydeligt, at de tilsvarende sider af de to trekanter i spørgsmålet vil falde sammen (på grund af det faktum, at vinklen ved firkantens toppunkt er 90°). Begrundelsen for ligheden af ​​arealerne af kvadratet BCFG og rektanglet BHJI er fuldstændig ens. Således beviste vi, at arealet af en firkant bygget på hypotenusen er sammensat af områderne af firkanter bygget på benene.

Bevis for Leonardo da Vinci

Hovedelementerne i beviset er symmetri og bevægelse.

Lad os betragte tegningen, som det kan ses af symmetrien, segmentet CI skærer kvadratet ABHJ i to identiske dele (da trekanter ABC og JHI er lige i konstruktion). Ved at bruge en 90-graders rotation mod uret ser vi ligheden mellem de skraverede figurer CAJI og GDAB. Nu er det klart, at arealet af den figur, vi har skraveret, er lig med summen af ​​halvdelen af ​​arealerne af kvadraterne bygget på benene og arealet af den oprindelige trekant. På den anden side er det lig med halvdelen af ​​​​arealet af kvadratet bygget på hypotenusen plus arealet af den oprindelige trekant. Sidste skridt beviset leveres til læseren.

MÅLING AF AREAL AF GEOMETRISKE FIGURER.

§ 58. PYTHAGOREISK SÆTNING 1.

__________
1 Pythagoras er en græsk videnskabsmand, der levede for omkring 2500 år siden (564-473 f.Kr.).
_________

Lad os få en retvinklet trekant, hvis sider EN, b Og Med(tegning 267).

Lad os bygge firkanter på dens sider. Arealerne af disse firkanter er henholdsvis lige store EN 2 , b 2 og Med 2. Lad os bevise det Med 2 = a 2 +b 2 .

Lad os konstruere to kvadrater MKOR og M"K"O"R" (tegning 268, 269), idet vi tager et segment svarende til summen af ​​benene i den retvinklede trekant ABC som siden af ​​hver af dem.

Efter at have afsluttet konstruktionerne vist på tegning 268 og 269 i disse firkanter, vil vi se, at MCOR-firkanten er opdelt i to firkanter med arealer EN 2 og b 2 og fire lige retvinklede trekanter, som hver er lig med retvinklet ABC. Firkanten M"K"O"R" blev opdelt i en firkant (den er skraveret på tegning 269) og fire rette trekanter, som hver også er lig med trekant ABC. En skraveret firkant er en firkant, da dens sider er ens (hver er lig med hypotenusen af ​​trekant ABC, dvs. Med), og vinklerne er rigtige / 1 + / 2 = 90°, hvorfra / 3 = 90°).

Således er summen af ​​arealerne af kvadraterne bygget på benene (på tegning 268 er disse firkanter skraverede) lig med arealet af kvadratet MCOR uden summen af ​​arealerne af fire lige store trekanter og arealet af ​​firkanten bygget på hypotenusen (på tegning 269 er denne firkant også skraveret) er lig med arealet af kvadratet M"K"O"R", lig med kvadratet af MCOR, uden summen af ​​arealerne af fire ens trekanter. Derfor er arealet af en firkant bygget på hypotenusen af ​​en retvinklet trekant lig med summen af ​​arealerne af kvadraterne bygget på benene.

Vi får formlen Med 2 = a 2 +b 2 hvor Med- hypotenusen, EN Og b- ben i en retvinklet trekant.

Pythagoras sætning formuleres normalt kort som følger:

Kvadratet på hypotenusen i en retvinklet trekant er lig med summen af ​​kvadraterne på benene.

Fra formlen Med 2 = a 2 +b 2 kan du få følgende formler:

EN 2 = Med 2 - b 2 ;
b 2 = Med 2 - EN 2 .

Disse formler kan bruges til at finde den ukendte side af en retvinklet trekant fra dens to givne sider.
For eksempel:

a) hvis benene er givet EN= 4 cm, b=3 cm, så kan du finde hypotenusen ( Med):
Med 2 = a 2 +b 2, dvs. Med 2 = 4 2 + 3 2; med 2 = 25, hvorfra Med= √25 = 5 (cm);

b) hvis hypotenusen er givet Med= 17 cm og ben EN= 8 cm, så kan du finde et andet ben ( b):

b 2 = Med 2 - EN 2, dvs. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, hvorfra b= √225 = 15 (cm).

Følge: Hvis to retvinklede trekanter ABC og A har 1 B 1 C 1 hypotenusa Med Og Med 1 er lige, og ben b trekant ABC er længere end benet b 1 trekant A 1 B 1 C 1,
så benet EN trekant ABC er mindre end benet EN 1 trekant A 1 B 1 C 1. (Lav en tegning, der illustrerer denne konsekvens.)

Faktisk får vi baseret på Pythagoras sætning:

EN 2 = Med 2 - b 2 ,
EN 1 2 = Med 1 2 - b 1 2

I de skrevne formler er minuenderne ens, og subtrahenden i den første formel er større end subtrahenden i den anden formel, derfor er den første forskel mindre end den anden,
dvs. EN 2 < EN 12 . Hvor EN< EN 1 .

Øvelser.

1. Brug tegning 270 til at bevise Pythagoras sætning for en ligebenet retvinklet trekant.

2. Det ene ben i en retvinklet trekant er 12 cm, det andet er 5 cm. Beregn længden af ​​hypotenusen i denne trekant.

3. Hypotenusen i en retvinklet trekant er 10 cm, et af benene er 8 cm. Beregn længden af ​​det andet ben i denne trekant.

4. Hypotenusen i en retvinklet trekant er 37 cm, det ene ben er 35 cm. Beregn længden af ​​det andet ben i denne trekant.

5. Konstruer et kvadrat med et areal, der er dobbelt så stort som det givne.

6. Konstruer et kvadrat med et areal, der er halvt så stort som det givne. Bemærk. Tegn diagonaler i denne firkant. De firkanter, der er konstrueret på halvdelene af disse diagonaler, vil være dem, vi leder efter.

7. Benene i en retvinklet trekant er henholdsvis 12 cm og 15 cm. Beregn længden af ​​hypotenusen i denne trekant med en nøjagtighed på 0,1 cm.

8. Hypotenusen i en retvinklet trekant er 20 cm, det ene ben er 15 cm. Beregn længden af ​​det andet ben til nærmeste 0,1 cm.

9. Hvor lang skal stigen være, så den kan fastgøres til et vindue placeret i 6 m højde, hvis stigens nederste ende skal være 2,5 m fra bygningen? (diagram 271.)