Tværbøjning. Ren bøjning

03.04.2019

Lige bøjning. Plan tværgående bøjning Konstruktion af diagrammer af indre kraftfaktorer for bjælker Konstruktion af diagrammer af Q og M ved hjælp af ligninger Konstruktion af diagrammer af Q og M ved hjælp af karakteristiske snit (punkter) Styrkeberegninger kl. lige bøjning bjælker Hovedspændinger under bøjning. En komplet kontrol af bjælkernes styrke Begrebet bøjningscenter Bestemmelse af forskydninger i bjælker under bøjning. Begreber for bjælkedeformation og betingelser for deres stivhed Differentialligning buet akse af en bjælke Metode til direkte integration Eksempler på bestemmelse af forskydninger i bjælker ved metoden til direkte integration Fysisk betydning af integrationskonstanter Metode til begyndelsesparametre (universel ligning af en bjælkes buede akse). Eksempler på bestemmelse af forskydninger i en bjælke ved hjælp af initialparametermetoden Bestemmelse af forskydninger ved hjælp af Mohrs metode. Regel A.K. Vereshchagin. Beregning af Mohr-integralet efter reglen for A.K. Vereshchagina Eksempler på bestemmelse af forskydninger ved hjælp af Mohr integral Bibliografi Direkte bøjning. Flad tværbøjning. 1.1. Konstruktion af diagrammer over indre kraftfaktorer for bjælker Direkte bøjning er en form for deformation, hvor der opstår to indre kraftfaktorer i stangens tværsnit: et bøjningsmoment og en tværkraft. I et bestemt tilfælde kan forskydningskraften være nul, så kaldes bøjningen ren. Ved flad tværgående bøjning er alle kræfter placeret i et af stangens hovedinertiplaner og vinkelret på dens længdeakse, og momenter er placeret i samme plan (fig. 1.1, a, b). Ris. 1.1 Tværkraften i et vilkårligt tværsnit af en bjælke er numerisk lig med algebraisk sum fremspring på normalen til bjælkeaksen af alle ydre kræfter, der virker på den ene side af det pågældende afsnit. Forskydningskraft i snit m-n bjælker(Fig. 1.2, a) betragtes som positiv, hvis resultanten af eksterne kræfter til venstre for sektionen er rettet opad, og til højre - nedad og negativ - i det modsatte tilfælde (Fig. 1.2, b). Ris. 1.2 Beregning af forskydningskraften i en given sektion, ydre kræfter, der ligger til venstre for afsnittet, tages med et plustegn, hvis de er rettet opad, og med et minustegn, hvis de er rettet nedad. Til højre side af strålen - omvendt. 5 Bøjningsmomentet i et vilkårligt tværsnit af en bjælke er numerisk lig med den algebraiske sum af momenterne omkring midteraksen z af snittet af alle ydre kræfter, der virker på den ene side af det pågældende afsnit. Bøjningsmoment kl tværsnit m-n bjælker (fig. 1.3, a) betragtes som positiv, hvis det resulterende moment af eksterne kræfter til venstre for sektionen er rettet med uret, og til højre - mod uret og negativt - i det modsatte tilfælde (fig. 1.3, b). Ris. 1.3 Ved beregning af bøjningsmomentet i en given sektion anses momenterne for ydre kræfter, der ligger til venstre for sektionen, for positive, hvis de er rettet med uret. Til højre side af strålen - omvendt. Det er praktisk at bestemme tegnet på bøjningsmomentet af arten af deformationen af bjælken. Bøjningsmomentet anses for positivt, hvis den afskårne del af bjælken i det betragtede afsnit bøjes konvekst nedad, dvs. de nederste fibre strækkes. I det modsatte tilfælde er bøjningsmomentet i sektionen negativt. Der er forskellige sammenhænge mellem bøjningsmomentet M, forskydningskraften Q og belastningsintensiteten q. 1. Den første afledte af forskydningskraften langs sektionens abscisse er lig med intensiteten af den fordelte belastning, dvs. . (1.1) 2. Den første afledede af bøjningsmomentet langs sektionens abscisse er lig med tværkraften, dvs. (1.2) 3. Den anden afledede med hensyn til sektionens abscisse er lig med intensiteten af den fordelte belastning, dvs. (1.3) Vi anser den fordelte belastning opadrettet for at være positiv. En række vigtige konklusioner følger af de differentielle forhold mellem M, Q, q: 1. Hvis på bjælkesnittet: a) tværkraften er positiv, så øges bøjningsmomentet; b) forskydningskraften er negativ, så falder bøjningsmomentet; c) tværkraften er nul, så har bøjningsmomentet en konstant værdi (ren bøjning); 6 d) tværkraften går gennem nul, skifter fortegn fra plus til minus, max M M, i modsat tilfælde M Mmin. 2. Hvis der ikke er nogen fordelt belastning på bjælkedelen, så er tværkraften konstant, og bøjningsmomentet ændres efter en lineær lov. 3. Hvis der er en ensartet fordelt belastning på en sektion af bjælken, ændres tværkraften i henhold til en lineær lov, og bøjningsmomentet - i henhold til loven for en kvadratisk parabel, konvekst vendt i belastningens retning ( i tilfælde af at konstruere diagram M fra siden af strakte fibre). 4. I afsnittet under en koncentreret kraft har diagram Q et spring (med kraftens størrelse), diagram M har et knæk i kraftens retning. 5. I det afsnit, hvor et koncentreret moment anvendes, har diagrammet M et spring svarende til værdien af dette moment. Dette afspejles ikke i Q-diagrammet. Når bjælker belastes med kompleks belastning, plottes diagrammer over tværkræfter Q og bøjningsmomenter M. Diagram Q(M) er en graf, der viser loven for ændring i tværkraft (bøjningsmoment) langs bjælkens længde. Baseret på analysen af diagrammerne M og Q bestemmes farlige sektioner af strålen. Positive ordinater af Q-diagrammet lægges opad, og negative ordinater lægges ned fra basislinjen trukket parallelt med bjælkens længdeakse. Positive ordinater af M-diagrammet lægges ned, og negative ordinater lægges opad, dvs. M-diagrammet er konstrueret fra siden af de strakte fibre. Konstruktionen af Q- og M-diagrammer for bjælker bør begynde med at bestemme støttereaktionerne. For en bjælke med den ene fastspændte ende og den anden frie ende kan konstruktionen af diagrammerne Q og M startes fra den frie ende uden at bestemme reaktionerne i indstøbningen. 1.2. Konstruktionen af Q- og M-diagrammer ved hjælp af bjælkeligningerne er opdelt i sektioner, inden for hvilke funktionerne for bøjningsmomentet og forskydningskraften forbliver konstante (ikke har diskontinuiteter). Sektionernes grænser er anvendelsespunkterne for koncentrerede kræfter, kraftpar og ændringssteder i intensiteten af den fordelte belastning. Ved hvert snit tages et vilkårligt snit i afstand x fra koordinaternes oprindelse, og for dette snit opstilles ligninger for Q og M. Ved hjælp af disse ligninger konstrueres diagrammer over Q og M Eksempel 1.1 Konstruer diagrammer af tværgående kræfter Q og bøjningsmomenter M for en given bjælke (fig. 1.4,a). Løsning: 1. Bestemmelse af støttereaktioner. Vi sammensætter ligevægtsligninger: hvorfra vi får Understøtningernes reaktioner bestemmes korrekt. Bjælken har fire sektioner Fig. 1.4 belastninger: CA, AD, DB, BE. 2. Konstruktion af diagram Q. Afsnit CA. I sektion CA 1 tegner vi et vilkårligt snit 1-1 i en afstand x1 fra venstre ende af bjælken. Vi definerer Q som den algebraiske sum af alle ydre kræfter, der virker til venstre for afsnit 1-1: Minustegnet tages, fordi kraften, der virker til venstre for afsnittet, er rettet nedad. Udtrykket for Q afhænger ikke af variablen x1. Diagram Q i dette afsnit vil blive afbildet som en ret linje parallel med abscisseaksen. Afsnit AD. På sektionen tegner vi en vilkårlig sektion 2-2 i en afstand x2 fra venstre ende af strålen. Vi definerer Q2 som den algebraiske sum af alle ydre kræfter, der virker til venstre for afsnit 2-2: 8 Værdien af Q er konstant i afsnittet (afhænger ikke af variablen x2). Q-plottet på sektionen er en ret linje parallel med abscisseaksen. Plottet DB. På stedet tegner vi en vilkårlig sektion 3-3 i en afstand x3 fra den højre ende af strålen. Vi definerer Q3 som den algebraiske sum af alle ydre kræfter, der virker til højre for afsnit 3-3: Det resulterende udtryk er ligningen for en skrå linje. Sektion BE. På stedet tegner vi en sektion 4-4 i en afstand x4 fra den højre ende af strålen. Vi definerer Q som den algebraiske sum af alle ydre kræfter, der virker til højre for afsnit 4-4: 4 Her tages plustegnet, fordi den resulterende belastning til højre for afsnit 4-4 er rettet nedad. Ud fra de opnåede værdier konstruerer vi Q-diagrammer (fig. 1.4, b). 3. Opbygning af diagram M. Snit m1. Vi definerer bøjningsmomentet i afsnit 1-1 som den algebraiske sum af de kræfter, der virker til venstre for afsnit 1-1. – ligning af en ret linje. Afsnit A 3 Vi bestemmer bøjningsmomentet i afsnit 2-2 som den algebraiske sum af de kræfter, der virker til venstre for afsnit 2-2. – ligning af en ret linje. Afsnit DB 4 Vi bestemmer bøjningsmomentet i afsnit 3-3 som den algebraiske sum af de kræfter, der virker til højre for afsnit 3-3. – ligning af en andengradsparabel. 9 Vi finder tre værdier i enderne af sektionen og i punktet med koordinat xk, hvor sektion BE 1 Vi bestemmer bøjningsmomentet i sektion 4-4 som den algebraiske sum af de kræfter, der virker til højre for snit 4-4. – ligning af en kvadratisk parabel, finder vi tre værdier af M4: Ved hjælp af de opnåede værdier konstruerer vi et diagram af M (fig. 1.4, c). I sektionerne CA og AD er Q-diagrammet begrænset af rette linjer parallelt med abscisseaksen, og i sektionerne DB og BE - af skrå rette linjer. I sektion C, A og B på Q-diagrammet er der spring i størrelsen af de tilsvarende kræfter, hvilket tjener som kontrol for Q-plottets rigtighed I sektioner, hvor Q  0, øges momenterne fra venstre mod højre. I områder, hvor Q  0, falder momenterne. Under de koncentrerede kræfter er der knæk i retning af kræfternes virkning. Under det koncentrerede øjeblik er der et spring i øjeblikkets størrelse. Dette indikerer den korrekte konstruktion af diagram M. Eksempel 1.2 Konstruktionsdiagrammer Q og M for en bjælke på to understøtninger, belastet fordelt belastning , hvis intensitet varierer i henhold til en lineær lov (fig. 1.5, a). Løsning Bestemmelse af støttereaktioner. Resultanten af den fordelte belastning er lig med arealet af trekanten, som er et diagram over belastningen og påføres i denne trekants tyngdepunkt. Vi kompilerer summen af momenterne af alle kræfter i forhold til punkt A og B: Konstruktion af diagram Q. Lad os tegne et vilkårligt snit i en afstand x fra venstre støtte. Ordinaten af belastningsdiagrammet svarende til snittet bestemmes ud fra trekanters lighed Resultatet af den del af belastningen, der er placeret til venstre for snittet Tværkraften i snittet er lig Tværkraften ændres efter loven af en kvadratisk parabel Liger ligningen for tværkraften med nul, finder vi abscissen af det snit, hvor diagrammet Q går gennem nul: Q-plottet er vist i fig. 1,5, b. Bøjningsmomentet i et vilkårligt snit er lig Bøjningsmomentet varierer efter loven for en kubisk parabel: Bøjningsmomentet har en maksimal værdi i snittet, hvor 0, altså ved Diagram M er vist i Fig. 1,5, c. 1.3. Konstruktion af diagrammer af Q og M ud fra karakteristiske snit (punkter) Ved at bruge differentialafhængigheder mellem M, Q, q og de konklusioner, der følger af dem, er det tilrådeligt at konstruere diagrammer af Q og M ud fra karakteristiske snit (uden at opstille ligninger). Ved hjælp af denne metode beregnes værdierne af Q og M i karakteristiske sektioner. De karakteristiske sektioner er sektionernes grænsesektioner, samt sektioner, hvor en given indre kraftfaktor har en ekstrem værdi. Inden for grænserne mellem de karakteristiske sektioner er omridset 12 af diagrammet etableret på basis af de differentielle afhængigheder mellem M, Q, q og de konklusioner, der følger af dem. Eksempel 1.3 Konstruer diagrammerne Q og M for bjælken vist i fig. 1.6, a. Ris. 1.6. Løsning: Vi begynder at konstruere diagrammerne Q og M fra den frie ende af bjælken, mens reaktionerne i indstøbningen ikke skal bestemmes. Bjælken har tre belastningssektioner: AB, BC, CD. Der er ingen fordelt belastning i afsnit AB og BC. Forskydningskræfter er konstante. Q-diagrammet er begrænset til rette linjer parallelt med x-aksen. Bøjningsmomenterne varierer lineært. Diagram M er begrænset af rette linjer, der hælder til abscisseaksen. Der er en ensartet fordelt belastning på afsnits-CD. Tværkræfter varierer i henhold til en lineær lov, og bøjningsmomenter - ifølge loven om en kvadratisk parabel med konveksitet i retning af den fordelte belastning. Ved grænsen af afsnit AB og BC ændres tværkraften brat. Ved grænsen af afsnit BC og CD ændres bøjningsmomentet brat. 1. Konstruktion af diagram Q. Vi beregner værdierne af tværkræfterne Q i grænsesektionerne af sektioner: Baseret på beregningsresultaterne konstruerer vi diagram Q for bjælken (fig. 1, b). Af diagram Q følger det, at tværkraften på sektion CD er lig med nul i snittet placeret i en afstand qa a q fra begyndelsen af dette snit. I dette afsnit har bøjningsmomentet sin maksimale værdi. 2. Konstruktionsdiagram M. Vi beregner værdierne af bøjningsmomenter i sektionernes grænsesektioner: Ved det maksimale moment i sektionen Ud fra beregningsresultaterne konstruerer vi diagram M (fig. 5.6, c). Eksempel 1.4 Bestem ved hjælp af et givet diagram af bøjningsmomenter (fig. 1.7, a) for en bjælke (fig. 1.7, b) effektive belastninger og konstruer et diagram Q. Cirklen angiver toppunktet for en kvadratisk parabel. Løsning: Lad os bestemme de belastninger, der virker på bjælken. Sektion AC belastes med en ensartet fordelt belastning, da diagrammet M i dette afsnit er en kvadratisk parabel. I referenceafsnittet B påføres strålen et koncentreret moment, der virker med uret, da vi i diagram M har et spring opad med momentets størrelse. I NE-afsnittet er bjælken ikke belastet, da M-diagrammet i dette afsnit er begrænset af en skrå lige linje. Reaktionen af støtte B bestemmes ud fra den betingelse, at bøjningsmomentet i sektion C er lig med nul, dvs. For at bestemme intensiteten af den fordelte belastning, skaber vi et udtryk for bøjningsmomentet i sektion A som summen af momenterne af kræfter til højre og sidestilles med nul Nu bestemmer vi reaktionen af støtte A. Lad os hertil skabe et udtryk for bøjningsmomenter i snittet som summen af kræfterne til venstre Designdiagrammet for bjælken med en belastning er vist i fig. 1,7, c. Startende fra venstre ende af bjælken beregner vi værdierne af tværgående kræfter i sektionernes grænsesektioner: Diagram Q er vist i fig. 1.7, d. Det overvejede problem kan løses ved at opstille funktionelle afhængigheder for M, Q i hvert afsnit. Lad os vælge oprindelsen af koordinaterne i den venstre ende af strålen. I AC-sektionen er diagrammet M udtrykt ved en kvadratisk parabel, hvis ligning har formen Konstanter a, b, c findes ud fra betingelsen om, at parablen går gennem tre punkter med kendte koordinater: Substituering af punkternes koordinater ind i parablens ligning får vi: Udtrykket for bøjningsmomentet vil være Differentiering af funktionen M1 , vi får afhængigheden for tværkraften Efter differentiering af funktionen Q får vi et udtryk for intensiteten af den fordelte last. I afsnittet NE præsenteres udtrykket for bøjningsmomentet i form af en lineær funktion For at bestemme konstanterne a og b bruger vi betingelserne for, at denne rette linje går gennem to punkter, hvis koordinater er kendte Vi få to ligninger: ,b hvorfra vi har en 20. Ligningen for bøjningsmomentet i sektion NE vil være Efter dobbelt differentiering af M2 finder vi. Ved hjælp af de fundne værdier af M og Q konstruerer vi diagrammer over bøjningsmomenter og forskydningskræfter for bjælken. Ud over den fordelte belastning påføres bjælken koncentrerede kræfter i tre sektioner, hvor der er hop på diagram Q og koncentrerede momenter i sektionen, hvor der er stød på diagram M. Eksempel 1.5 For en bjælke (Fig. 1.8, a) bestemmes den rationelle position af hængslet C, hvor det største bøjningsmoment i spændet er lig med bøjningsmomentet i indstøbningen (i absolut værdi). Konstruer diagrammer af Q og M. Løsning Bestemmelse af støttereaktioner. Selvom samlet antal støtteled er lig med fire, bjælken er statisk bestemt. Bøjningsmomentet i hængslet C er nul, hvilket giver os mulighed for at skabe en ekstra ligning: summen af momenterne omkring hængslet af alle eksterne kræfter, der virker på den ene side af dette hængsel, er lig med nul. Lad os sammensætte summen af momenterne af alle kræfter til højre for hængslet C. Diagrammet Q for bjælken er begrænset af en skrå ret linje, da q = konst. Vi bestemmer værdierne af tværkræfterne i bjælkens grænsesektioner: Abscissen xK af sektionen, hvor Q = 0, bestemmes ud fra ligningen, hvorfra diagrammet M for bjælken er begrænset af en kvadratisk parabel. Udtryk for bøjningsmomenter i snit, hvor Q = 0, og i indstøbningen henholdsvis skrives således: Fra betingelsen om momentens lighed får vi andengradsligning i forhold til den ønskede parameter x: Reel værdi x2x 1,029 m. Vi bestemmer de numeriske værdier af tværkræfter og bøjningsmomenter i karakteristiske sektioner af bjælken. Figur 1.8, b viser Q-diagrammet, og i fig. . 1.8, c – diagram M. Det betragtede problem kunne løses ved at opdele den hængslede bjælke i dens bestanddele, som vist i fig. 1.8, d. I begyndelsen bestemmes reaktionerne af understøtningerne VC og VB. Diagrammer af Q og M er konstrueret for den ophængte bjælke SV ud fra virkningen af den påførte belastning. Derefter bevæger de sig til hovedstrålen AC og belaster den med en ekstra kraft VC, som er bjælkens CB's trykkraft på bjælken AC. Derefter er diagrammerne Q og M bygget til stråle AC. 1.4. Styrkeberegninger for direkte bøjning af bjælker Styrkeberegninger baseret på normal- og forskydningsspændinger. Når en bjælke bøjer direkte i sine tværsnit, opstår der normale og tangentielle spændinger (fig. 1.9). 18 Fig. 1.9 Normalspændinger er forbundet med bøjningsmoment, tangentielle spændinger er forbundet med forskydningskraft. Ved lige ren bøjning er forskydningsspændingerne nul. Normalspændinger i et vilkårligt punkt i tværsnittet af en bjælke bestemmes af formlen (1.4), hvor M er bøjningsmomentet i et givet snit; Iz – inertimoment af sektionen i forhold til neutralaksen z; y er afstanden fra det punkt, hvor normalspændingen er bestemt, til den neutrale z-akse. Normalspændinger langs sektionens højde ændres efter en lineær lov og når deres største værdi i punkter længst væk fra neutralaksen Hvis snittet er symmetrisk om neutralaksen (fig. 1.11), så er fig. 1.11 de største træk- og trykspændinger er de samme og bestemmes af formlen,  er sektionens aksiale modstandsmoment under bøjning. For et rektangulært snit med bredde b og højde h: (1.7) For rund sektion diameter d: (1,8) For en ringformet sektion   – indvendig og hhv ydre diametre ringe. For bjælker lavet af plastmaterialer er de mest rationelle symmetriske 20 sektionsformer (I-bjælke, kasseformet, ringformet). For bjælker fremstillet af sprøde materialer, der ikke lige modstår spænding og kompression, er sektioner, der er asymmetriske i forhold til den neutrale z-akse (T-bjælke, U-formet, asymmetrisk I-bjælke) rationelle. For bjælker med konstant tværsnit fremstillet af plastmaterialer med symmetriske tværsnitsformer skrives styrkebetingelsen som følger: (1.10) hvor Mmax er det maksimale bøjningsmoment i modul; – tilladt belastning af materialet. For bjælker med konstant tværsnit af plastmaterialer med asymmetriske tværsnitsformer skrives styrkebetingelsen på følgende måde: (1.11) For bjælker fremstillet af sprøde materialer med sektioner, der er asymmetriske i forhold til den neutrale akse, hvis diagrammet M er utvetydigt (fig. 1.12), du skal skrive to styrkeforhold - afstande fra den neutrale akse til de fjerneste punkter i henholdsvis de strakte og komprimerede zoner i den farlige sektion; P – tilladte spændinger for henholdsvis træk og kompression. Fig.1.12. 21 Hvis diagrammet over bøjningsmomenter har sektioner med forskellige fortegn (fig. 1.13), så er det udover at kontrollere sektion 1-1, hvor Mmax virker, nødvendigt at beregne de højeste trækspændinger for sektion 2-2 (med den højeste øjeblik for det modsatte fortegn). Ris. 1.13 Sammen med hovedberegningen ved brug af normale spændinger er det i en række tilfælde nødvendigt at kontrollere bjælkens styrke ved hjælp af tangentielle spændinger. Tangentiale spændinger i bjælker beregnes ved hjælp af formlen for D.I. Zhuravsky (1.13), hvor Q er den tværgående kraft i tværsnittet af den betragtede bjælke; Szотс - statisk moment i forhold til den neutrale akse af området af sektionsdelen placeret på den ene side af en lige linje trukket gennem et givet punkt og parallelt med z-aksen; b – sektionsbredde på niveau med det pågældende punkt; Iz er inertimomentet for hele sektionen i forhold til den neutrale z-akse. I mange tilfælde forekommer maksimale forskydningsspændinger i niveau med bjælkens neutrale lag (rektangel, I-bjælke, cirkel). I sådanne tilfælde skrives styrkebetingelsen for tangentielle spændinger på formen, (1.14), hvor Qmax er den største tværgående kraft i absolut værdi; – tilladt forskydningsspænding for materialet. For et rektangulært snit af en bjælke har styrketilstanden formen (1.15) A er bjælkens tværsnitsareal. For et cirkulært snit er styrkebetingelsen præsenteret i formen (1.16) For et I-snit skrives styrkebetingelsen som følger: (1. 17) hvor Szo,тmсax er det statiske moment af halvsektionen i forhold til den neutrale akse; d – I-bjælkens vægtykkelse. Typisk bestemmes tværsnitsdimensionerne af en bjælke ud fra styrkeforholdet under normale spændinger. Kontrol af styrken af bjælker ved forskydningsspænding er obligatorisk for korte bjælker og bjælker af enhver længde, hvis der er koncentrerede kræfter af stor størrelse nær understøtningerne, såvel som for træ-, nitte- og svejsede bjælker. Eksempel 1.6 Kontroller styrken af en kasseprofilbjælke (fig. 1.14) ved brug af normal- og forskydningsspændinger, hvis MPa. Konstruer diagrammer i den farlige del af strålen. Ris. 1.14 Løsning 23 1. Konstruktion af diagrammer af Q og M ved hjælp af karakteristiske snit. I betragtning af den venstre side af bjælken får vi Diagrammet af tværkræfter er vist i fig. 1,14, c. Diagrammet over bøjningsmomenter er vist i fig. 5.14, g. 2. Geometriske karakteristika for tværsnit 3. De højeste normalspændinger i afsnit C, hvor Mmax virker (modulo): MPa. De maksimale normalspændinger i bjælken er næsten lig med de tilladte. 4. De højeste tangentielle spændinger i sektion C (eller A), hvor max Q virker (modulo): Her er det statiske moment af halvsnitsarealet i forhold til den neutrale akse; b2 cm – snitbredde i niveau med den neutrale akse. 5. Tangentiale spændinger i et punkt (i væggen) i snit C: Fig. 1.15 Her er Szomc 834.5 108 cm3 det statiske moment af arealet af sektionen placeret over linjen, der går gennem punkt K1; b2 cm – vægtykkelse i niveau med punkt K1. Diagrammer  og  for sektion C af strålen er vist i fig. 1.15. Eksempel 1.7 For bjælken vist i fig. 1.16, a, påkrævet: 1. Konstruer diagrammer af tværkræfter og bøjningsmomenter langs karakteristiske snit (punkter). 2. Bestem dimensionerne af tværsnittet i form af en cirkel, rektangel og I-bjælke ud fra styrkens tilstand under normale spændinger, sammenlign tværsnitsarealerne. 3. Kontroller de valgte dimensioner af bjælkeprofiler i henhold til tangential spænding. Givet: Løsning: 1. Bestem bjælkestøtternes reaktioner Tjek: 2. Konstruktion af diagrammer Q og M. Værdier af tværkræfter i karakteristiske sektioner af bjælken 25 Fig. 1.16 I afsnit CA og AD er belastningsintensitet q = konst. Følgelig er Q-diagrammet i disse områder begrænset til lige linjer, der hælder til aksen. I afsnit DB er intensiteten af den fordelte last q = 0, derfor er diagrammet Q i dette afsnit begrænset til en ret linje parallel med x-aksen. Q-diagrammet for strålen er vist i fig. 1,16, f. Værdier af bøjningsmomenter i karakteristiske sektioner af bjælken: I den anden sektion bestemmer vi abscissen x2 af sektionen, hvor Q = 0: Maksimalt moment i den anden sektion Diagram M for bjælken er vist i fig. 1,16, c. 2. Vi skaber en styrkebetingelse baseret på normale spændinger, hvorfra vi bestemmer det nødvendige aksiale modstandsmoment for sektionen ud fra udtrykket bestemt af den nødvendige diameter d af en bjælke med et cirkulært snit. Arealet af et cirkulært snit. For en bjælke med et rektangulært snit. Påkrævet højde af sektionen. Areal af et rektangulært snit. Bestem det nødvendige antal af I-bjælken. Ved hjælp af tabellerne i GOST 8239-89 finder vi den nærmeste højere værdi aksialt modstandsmoment 597 cm3, hvilket svarer til I-bjælke nr. 33 med karakteristika: A z 9840 cm4. Tolerancekontrol: (underbelastning med 1% af de tilladte 5%) den nærmeste I-bjælke nr. 30 (W 2 cm3) fører til betydelig overbelastning (mere end 5%). Vi accepterer endelig I-bjælke nr. 33. Vi sammenligner arealerne af de runde og rektangulære sektioner med det mindste areal A af I-bjælken: Af de tre betragtede sektioner er den mest økonomiske I-bjælkeafsnittet. 3. Vi beregner de højeste normalspændinger i I-bjælkens farlige sektion 27 (fig. 1.17, a): Normalspændinger i væggen nær I-bjælkeafsnittets flange Diagrammet over normale spændinger i farligt snit af bjælken er vist i fig. 1.17, f. 5. Bestem de højeste forskydningsspændinger for de valgte sektioner af bjælken. EN) rektangulært snit bjælker: b) rund sektion af bjælken: c) I-bjælkesnit: Tangentiale spændinger i væggen nær I-bjælkens flange i farlig sektion A (højre) (ved punkt 2): Diagrammet over tangentielle spændinger i farlige sektioner af I-bjælken er vist i fig. 1,17, c. De maksimale tangentialspændinger i bjælken overstiger ikke de tilladte spændinger. Eksempel 1.8 Bestem den tilladte belastning på bjælken (Fig. 1.18, a), hvis 60 MPa er opgivet tværsnitsmålene (Fig. 1.19, a). Konstruer et diagram over normale spændinger i en farlig sektion af en bjælke ved en tilladt belastning. Figur 1.18 1. Bestemmelse af bjælkestøtters reaktioner. På grund af systemets symmetri 2. Konstruktion af diagrammer Q og M ved hjælp af karakteristiske snit. Tværkræfter i karakteristiske snit af en bjælke: Diagram Q for en bjælke er vist i fig. 5,18, f. Bøjningsmomenter i karakteristiske sektioner af bjælken For anden halvdel af bjælken er ordinaterne M langs symmetriakserne. Diagram M for strålen er vist i fig. 1,18, f. 3. Sektionens geometriske karakteristika (fig. 1.19). Vi opdeler figuren i to enkle elementer: I-beam - 1 og rektangel - 2. Fig. 1.19 I henhold til sortimentet for I-bjælke nr. 20 har vi For et rektangel: Statisk moment af snitarealet i forhold til z1-aksen Afstand fra z1-aksen til sektionens tyngdepunkt Inertimoment af sektionens relative til hovedaksen z i hele sektionen ifølge formlerne for overgang til parallelle akser 4. Styrketilstand for normale spændinger for farligt punkt "a" (fig. 1.19) i farlig sektion I (fig. 1.18): Efter at have erstattet numeriske data 5. Med en tilladt belastning i en farlig sektion vil normalspændingerne i punkt "a" og "b" være ens: Diagram over normalspændinger for farlig sektion 1-1 er vist i fig. 1,19, f.

Bøje kaldes deformation, hvor stangens akse og alle dens fibre, dvs. langsgående linjer parallelt med stangens akse, bøjes under påvirkning af ydre kræfter. Det enkleste tilfælde af bøjning opstår, når ydre kræfter ligger i et plan, der passerer gennem stangens centrale akse og ikke producerer fremspring på denne akse. Denne type bøjning kaldes tværgående bøjning. Der er flade bøjninger og skrå bøjninger.

Flad bøjning- sådan et tilfælde, når stangens buede akse er placeret i det samme plan, hvori ydre kræfter virker.

Skrå (kompleks) bøjning– et tilfælde af bøjning, når stangens bøjede akse ikke ligger i ydre kræfters virkningsplan.

En bøjningsstang kaldes normalt bjælke.

Ved flad tværbøjning af bjælker i et snit med koordinatsystemet y0x kan der opstå to indre kræfter - tværkraft Q y og bøjningsmoment M x; i det følgende introducerer vi notationen for dem Q Og M. Hvis der ikke er nogen tværgående kraft i en sektion eller sektion af en bjælke (Q = 0), og bøjningsmomentet ikke er nul eller M er konstant, så kaldes en sådan bøjning normalt ren.

Sidekraft i enhver sektion af bjælken er numerisk lig med den algebraiske sum af projektionerne på aksen af alle kræfter (inklusive støttereaktioner) placeret på den ene side (enten) af det tegnede snit.

Bøjningsmoment i en bjælke sektion er numerisk lig med den algebraiske sum af momenterne af alle kræfter (inklusive støttereaktioner) placeret på den ene side (en hvilken som helst) af den tegnede sektion i forhold til tyngdepunktet af denne sektion, mere præcist, i forhold til aksen passerer vinkelret på tegneplanet gennem tyngdepunktet af det tegnede snit.

Tving Q er resulterende fordelt over tværsnittet af indre ren stress, A øjeblik M– summen af øjeblikke omkring midteraksen af sektion X intern normal stress.

Der er et differentielt forhold mellem indre kræfter

som bruges til at konstruere og kontrollere Q- og M-diagrammer.

Da nogle af bjælkens fibre strækkes, og nogle komprimeres, og overgangen fra spænding til kompression sker jævnt, uden spring, er der i den midterste del af bjælken et lag, hvis fibre kun bøjer, men heller ikke oplever spænding eller kompression. Dette lag kaldes neutralt lag. Linjen, langs hvilken det neutrale lag skærer tværsnittet af bjælken, kaldes neutral linje th eller neutral akse sektioner. Neutrale linjer er spændt på bjælkens akse.

Linjer tegnet på bjælkens sideflade vinkelret på aksen forbliver flade ved bøjning. Disse eksperimentelle data gør det muligt at basere konklusionerne af formlerne på hypotesen om plane snit. Ifølge denne hypotese er bjælkens sektioner flade og vinkelrette på dens akse før bøjning, forbliver flade og viser sig at være vinkelrette på bjælkens buede akse, når den bøjes. Bjælkens tværsnit forvrænges ved bøjning. På grund af tværgående deformation øges tværsnitsdimensionerne i bjælkens komprimerede zone, og i trækzonen komprimeres de.

Forudsætninger for at udlede formler. Normale spændinger

1) Hypotesen om plane snit er opfyldt.

2) Langsgående fibre presser ikke på hinanden, og derfor virker lineær spænding eller kompression under påvirkning af normale spændinger.

3) Deformationer af fibre afhænger ikke af deres placering langs tværsnitsbredden. Som følge heraf forbliver normale spændinger, der ændrer sig langs sektionens højde, de samme langs bredden.

4) Bjælken har mindst ét symmetriplan, og alle ydre kræfter ligger i dette plan.

5) Bjælkens materiale adlyder Hookes lov, og elasticitetsmodulet i spænding og kompression er det samme.

6) Forholdet mellem bjælkens dimensioner er sådan, at den fungerer under forhold flad bøjning ingen vridning eller krølning.

Kun ved ren bøjning af en bjælke normal stress, bestemt af formlen:

hvor y er koordinaten for et vilkårligt snitpunkt, målt fra neutrallinjen - hovedaksen x.

Normale bøjningsspændinger langs sektionens højde fordeles over lineær lov. På de yderste fibre når normale spændinger deres maksimale værdi, og i sektionens tyngdepunkt er de lig nul.

Arten af normale spændingsdiagrammer for symmetriske snit i forhold til neutrallinjen

Arten af normale spændingsdiagrammer for sektioner, der ikke har symmetri i forhold til neutrallinjen

Farlige punkter er de punkter, der er længst væk fra den neutrale linje.

Lad os vælge et afsnit

For ethvert punkt i afsnittet, lad os kalde det et punkt TIL, bjælkestyrketilstanden for normale spændinger har formen:

, hvor n.o. - Det her neutral akse

Det her aksialt snitmodul i forhold til den neutrale akse. Dens dimension er cm 3, m 3. Modstandsmomentet karakteriserer indflydelsen af tværsnittets form og dimensioner på størrelsen af spændingerne.

Normal stressstyrketilstand:

Den normale spænding er lig med forholdet mellem det maksimale bøjningsmoment og sektionens aksiale modstandsmoment i forhold til den neutrale akse.

Hvis materialet ikke lige modstår træk og kompression, skal der anvendes to styrkeforhold: for trækzonen med den tilladte trækspænding; for en kompressionszone med tilladt trykspænding.

Under tværbøjning virker bjælkerne på platformene i dets tværsnit som normal, så tangenter spænding.

Bøjning er en form for deformation, hvor bjælkens længdeakse er bøjet. Lige bjælker, der bøjer, kaldes bjælker. Direkte bøjning er en bøjning, hvor de ydre kræfter, der virker på bjælken, ligger i et plan (kraftplan), der går gennem bjælkens længdeakse og tværsnittets hovedinertiakse.

Bøjningen kaldes ren, hvis der kun forekommer ét bøjningsmoment i et hvilket som helst tværsnit af bjælken.

Bøjning, hvor et bøjningsmoment og en tværkraft samtidig virker i tværsnittet af en bjælke, kaldes tværgående. Skæringslinjen mellem kraftplanet og tværsnitsplanet kaldes kraftlinjen.

Interne kraftfaktorer under bjælkebøjning.

Ved plan tværbøjning opstår der to indre kraftfaktorer i bjælkeafsnittene: tværkraft Q og bøjningsmoment M. For at bestemme dem anvendes snitmetoden (se foredrag 1). Tværkraften Q i bjælkeafsnittet er lig med den algebraiske sum af projektionerne på snitplanet af alle ydre kræfter, der virker på den ene side af det pågældende afsnit.

Tegnregel for forskydningskræfter Q:

Bøjningsmomentet M i et bjælkesnit er lig med den algebraiske sum af momenterne i forhold til tyngdepunktet for denne sektion af alle ydre kræfter, der virker på den ene side af det pågældende afsnit.

Tegnregel for bøjningsmomenter M:

Zhuravskys differentielle afhængigheder.

Der er etableret differentiale sammenhænge mellem intensiteten q af den fordelte belastning, udtrykkene for tværkraften Q og bøjningsmomentet M:

Baseret på disse afhængigheder kan følgende skelnes: generelle mønstre diagrammer af tværkræfter Q og bøjningsmomenter M:

Funktioner af diagrammer over interne kraftfaktorer under bøjning.

1. I det afsnit af bjælken, hvor der ikke er nogen fordelt last, præsenteres Q-diagrammet lige linje , parallelt med bunden af diagrammet, og diagram M - en skrå lige linje (fig. a).

2. I det afsnit, hvor der påføres en koncentreret kraft, skal Q være på diagrammet springe , lig med værdien af denne kraft, og på diagrammet M - bristepunktet (Fig. a).

3. I det afsnit, hvor et koncentreret moment anvendes, ændres værdien af Q ikke, og diagrammet M har springe , lig med værdien af dette moment (fig. 26, b).

4. I et udsnit af en stråle med en fordelt belastning af intensiteten q ændres diagrammet Q i henhold til en lineær lov, og diagrammet M ændres ifølge en parabolsk lov, og konveksiteten af parablen er rettet mod retningen af den fordelte belastning (Fig. c, d).

5. Hvis diagrammet Q inden for et karakteristisk snit skærer bunden af diagrammet, så har bøjningsmomentet i snittet, hvor Q = 0, en ekstrem værdi M max eller M min (fig. d).

Normale bøjningsspændinger.

Bestemt af formlen:

Modstandsmomentet for en sektion mod bøjning er mængden:

Farligt tværsnit under bøjning kaldes tværsnittet af bjælken, hvori den maksimale normalspænding forekommer.

Forskydningsspændinger under lige bøjning.

Bestemt af Zhuravskys formel for forskydningsspændinger ved lige bjælkebøjning:

hvor S ots er det statiske moment af det tværgående område af det afskårne lag af langsgående fibre i forhold til den neutrale linje.

Beregninger af bøjningsstyrke.

1. På verifikationsberegning Den maksimale konstruktionsspænding bestemmes og sammenlignes med den tilladte belastning:

2. På design beregning valget af bjælkeafsnittet er lavet ud fra betingelsen:

3. Ved bestemmelse af den tilladte belastning bestemmes det tilladte bøjningsmoment ud fra betingelsen:

Bøjebevægelser.

Under påvirkning af bøjningsbelastning bøjer bjælkens akse. I dette tilfælde observeres spændingen af fibrene på den konvekse del og kompression på den konkave del af bjælken. Derudover er der en lodret bevægelse af tværsnittenes tyngdepunkter og deres rotation i forhold til neutralaksen. For at karakterisere bøjningsdeformation, brug følgende begreber:

Stråleafbøjning Y- bevægelse af tyngdepunktet af bjælkens tværsnit i retningen vinkelret på dens akse.

Afbøjning betragtes som positiv, hvis tyngdepunktet bevæger sig opad. Mængden af afbøjning varierer langs bjælkens længde, dvs. y = y(z)

Sektions rotationsvinkel- vinkel θ, gennem hvilken hver sektion roterer i forhold til sin oprindelige position. Rotationsvinklen betragtes som positiv, når sektionen drejes mod uret. Størrelsen af rotationsvinklen varierer langs strålens længde, idet den er en funktion af θ = θ (z).

De mest almindelige metoder til bestemmelse af forskydninger er metoden Mora Og Vereshchagins regel.

Mohrs metode.

Fremgangsmåden til bestemmelse af forskydninger ved hjælp af Mohrs metode:

1. Et "hjælpesystem" bygges og belastes med en enhedsbelastning på det punkt, hvor forskydningen skal bestemmes. Hvis lineær forskydning bestemmes, påføres en enhedskraft i dens retning; når vinkelforskydninger bestemmes, påføres et enhedsmoment.

2. For hver sektion af systemet nedskrives udtryk for bøjningsmomenter M f fra den påførte last og M 1 fra enhedslasten.

3. Over alle sektioner af systemet beregnes og summeres Mohrs integraler, hvilket resulterer i den ønskede forskydning:

4. Hvis den beregnede forskydning har positivt tegn, betyder det, at dens retning falder sammen med retningen af enhedskraften. Et negativt fortegn angiver, at den faktiske forskydning er modsat retningen af enhedskraften.

Vereshchagins regel.

I det tilfælde, hvor diagrammet over bøjningsmomenter fra en given belastning har en vilkårlig kontur, og fra en enhedsbelastning - en retlinet kontur, er det praktisk at bruge den grafisk-analytiske metode eller Vereshchagins regel.

hvor A f er arealet af diagrammet over bøjningsmomentet Mf fra en given belastning; y c – diagrammets ordinat fra en enhedsbelastning under diagrammets tyngdepunkt M f; EI x er sektionsstivheden af bjælkeafsnittet. Beregninger ved hjælp af denne formel udføres i sektioner, hvor det lineære diagram skal være uden brud. Værdien (A f *y c) betragtes som positiv, hvis begge diagrammer er placeret på samme side af strålen, negativ, hvis de er placeret langs forskellige sider. Et positivt resultat af at gange diagrammer betyder, at bevægelsesretningen falder sammen med retningen af en enhedskraft (eller moment). Et komplekst diagram M f skal opdeles i simple figurer (den såkaldte "plot-stratificering" bruges), for hver af dem er det let at bestemme ordinaten af tyngdepunktet. I dette tilfælde multipliceres arealet af hver figur med ordinaten under dens tyngdepunkt.

For visuelt at repræsentere arten af deformationen af bjælker (stænger) under bøjning udføres følgende eksperiment. Et gitter af linjer parallelt og vinkelret på bjælkens akse påføres sidefladerne af en gummibjælke med rektangulært tværsnit (fig. 30.7, a). Derefter påføres momenter på bjælken ved dens ender (fig. 30.7, b), der virker i bjælkens symmetriplan og skærer hvert af dens tværsnit langs en af de vigtigste centrale inertiakser. Planet, der passerer gennem bjælkens akse og en af de vigtigste centrale inertiakser for hver af dens tværsnit, vil blive kaldt hovedplanet.

Under påvirkning af momenter oplever strålen en lige ren bøjning. Som et resultat af deformation, som erfaring viser, er gitterlinjerne parallelt med bjælkens akse bøjet og opretholder de samme afstande mellem dem. Når det er angivet i fig. 30.7, b i retning af momenterne, forlænges disse linier i den øverste del af bjælken, og i den nederste del afkortes de.

Hver gitterlinje vinkelret på bjælkens akse kan betragtes som et spor af planet af et eller andet tværsnit af bjælken. Da disse linjer forbliver lige, kan det antages, at bjælkens tværsnit, flade før deformation, forbliver flade under deformation.

Denne antagelse, baseret på erfaring, er kendt som hypotesen om plansektioner eller Bernoullis hypotese (se § 6.1).

Hypotesen om plane sektioner gælder ikke kun for ren bøjning, men også for tværgående bøjning. For tværgående bøjning er det omtrentligt, og for ren bøjning er det strengt, hvilket bekræftes af teoretiske undersøgelser udført ved hjælp af metoder til elasticitetsteori.

Lad os nu betragte en lige bjælke med et tværsnit symmetrisk om den lodrette akse, indlejret i højre ende og belastet i venstre ende med et ydre moment, der virker i et af bjælkens hovedplaner (fig. 31.7). I hvert tværsnit af denne bjælke forekommer kun bøjningsmomenter, der virker i samme plan som momentet

Således er bjælken i en tilstand af lige, ren bøjning i hele sin længde. Individuelle sektioner af bjælken kan være i en tilstand af ren bøjning, selvom den er udsat for tværgående belastninger; for eksempel oplever sektion 11 af bjælken vist i fig. ren bøjning. 32,7; i afsnittene i dette afsnit forskydningskraften

Fra bjælken under overvejelse (se fig. 31.7) vælger vi et element af længde . Som følge af deformation, som følger af Bernoullis hypotese, vil sektionerne forblive flade, men vil vippe i forhold til hinanden med en vis vinkel Lad os tage det venstre snit betinget som stationært. Derefter, som et resultat af at dreje den højre sektion gennem en vinkel, vil den indtage positionen (fig. 33.7).

De rette linjer vil skære hinanden i et bestemt punkt A, som er krumningscentrum (eller mere præcist sporet af krumningsaksen) af elementets langsgående fibre. De øverste fibre i det pågældende element, når vist i Fig. 31,7 i retning af momentet forlænges, og de nederste forkortes. Fibrene i et eller andet mellemlag vinkelret på øjeblikkets virkningsplan bevarer deres længde. Dette lag kaldes det neutrale lag.

Lad os betegne krumningsradius for det neutrale lag, dvs. afstanden fra dette lag til midten af krumning A (se fig. 33.7). Lad os overveje et bestemt lag placeret i en afstand y fra det neutrale lag. Den absolutte forlængelse af fibrene i dette lag er lig med og den relative forlængelse

I betragtning af lignende trekanter fastslår vi, at derfor,

I teorien om bøjning antages det, at bjælkens langsgående fibre ikke presser på hinanden. Eksperimentelle og teoretiske undersøgelser viser, at denne antagelse ikke påvirker beregningsresultaterne væsentligt.

Ved ren bøjning opstår der ikke forskydningsspændinger i bjælkens tværsnit. Således er alle fibre i ren bøjning under forhold med enakset spænding eller kompression.

I henhold til Hookes lov, i tilfælde af enakset spænding eller kompression, er den normale spænding o og den tilsvarende relative deformation relateret af afhængigheden

eller baseret på formel (11.7)

Af formel (12.7) følger, at normalspændingerne i bjælkens langsgående fibre er direkte proportionale med deres afstande y fra det neutrale lag. I bjælkens tværsnit i hvert punkt er de normale spændinger derfor proportionale med afstanden y fra dette punkt til den neutrale akse, som er skæringslinjen mellem det neutrale lag og tværsnittet (fig.

34,7, a). Af bjælkens og belastningens symmetri følger det, at neutralaksen er vandret.

Ved punkterne af den neutrale akse er normale spændinger nul; på den ene side af den neutrale akse er de trækfaste, og på den anden side er de kompressive.

Spændingsdiagrammet o er en graf afgrænset af en ret linje, med de største absolutte værdier af spænding for de punkter, der er længst væk fra den neutrale akse (fig. 34.7b).

Lad os nu overveje ligevægtsbetingelserne for det valgte stråleelement. Lad os repræsentere virkningen af den venstre del af bjælken på sektionen af elementet (se fig. 31.7) i form af et bøjningsmoment, de resterende indre kræfter i dette snit med ren bøjning er lig med nul. Lad os forestille os virkningen af bjælkens højre side på elementets tværsnit i form af elementære kræfter påført hvert elementært område af tværsnittet (fig. 35.7) og parallelt med aksen af bjælken. bjælke.

Lad os skabe seks ligevægtsbetingelser for et grundstof

Her er summen af projektionerne af alle kræfter, der virker på elementet, henholdsvis på akserne - summen af momenterne af alle kræfter i forhold til akserne (fig. 35.7).

Aksen falder sammen med sektionens neutrale akse, og y-aksen er vinkelret på den; begge disse akser er placeret i tværsnitsplanet

En elementær kraft frembringer ikke projektioner på y-aksen og forårsager ikke et øjeblik omkring aksen. Derfor er ligevægtsligningerne opfyldt for alle værdier af o.

Ligevægtsligningen har formen

Lad os erstatte værdien af a i ligning (13.7) ifølge formel (12.7):

Siden (overvejet buet element tømmer for hvilket), så

Integralet repræsenterer det statiske moment af bjælkens tværsnit omkring den neutrale akse. Dens lighed med nul betyder, at den neutrale akse (dvs. aksen) passerer gennem tværsnittets tyngdepunkt. Således er tyngdepunktet for alle tværsnit af bjælken, og derfor bjælkens akse, som er den geometriske placering af tyngdepunkterne, placeret i det neutrale lag. Derfor er krumningsradius for det neutrale lag krumningsradius for strålens buede akse.

Lad os nu sammensætte en ligevægtsligning i form af summen af momenterne af alle kræfter påført bjælkeelementet i forhold til neutralaksen:

Her repræsenterer et elementært øjeblik indre styrke i forhold til aksen.

Lad os betegne arealet af tværsnittet af strålen placeret over den neutrale akse - under den neutrale akse.

Så vil det repræsentere resultanten af elementære kræfter påført over den neutrale akse, under den neutrale akse (fig. 36.7).

Begge disse resultanter er lig med hinanden i absolut værdi, da deres algebraiske sum, baseret på betingelse (13.7), er lig med nul. Disse resultanter danner et indre par af kræfter, der virker i bjælkens tværsnit. Momentet af dette kræftpar, lig med produktet af størrelsen af en af dem og afstanden mellem dem (fig. 36.7), er et bøjningsmoment i bjælkens tværsnit.

Lad os erstatte værdien af a i ligning (15.7) ifølge formel (12.7):

Her repræsenterer det aksiale inertimoment, dvs. aksen, der passerer gennem sektionens tyngdepunkt. Derfor,

Lad os erstatte værdien fra formel (16.7) med formel (12.7):

Ved udledning af formel (17.7) blev der ikke taget højde for, at med et eksternt drejningsmoment rettet, som vist i fig. 31.7 er bøjningsmomentet ifølge den accepterede tegnregel negativt. Hvis vi tager højde for dette, så skal vi sætte et minustegn foran højre side af formel (17.7). Derefter, med et positivt bøjningsmoment i bjælkens øvre zone (dvs. ved ), vil værdierne af a vise sig at være negative, hvilket vil indikere tilstedeværelsen af trykspændinger i denne zone. Normalt er minustegnet dog ikke placeret på højre side af formel (17.7), og denne formel bruges kun til at bestemme de absolutte værdier af spændinger a. Derfor bør de absolutte værdier af bøjningsmomentet og ordinaten y erstattes med formel (17.7). Spændingernes tegn bestemmes altid let af momentets tegn eller af arten af bjælkens deformation.

Lad os nu sammensætte ligevægtsligningen i form af summen af momenterne af alle kræfter påført bjælkeelementet i forhold til y-aksen:

Her repræsenterer det momentet af den elementære indre kraft omkring y-aksen (se fig. 35.7).

Lad os erstatte værdien af a i udtryk (18.7) i henhold til formlen (12.7):

Her repræsenterer integralet det centrifugale inertimoment af tværsnittet af strålen i forhold til y og aksen. Derfor,

Men siden

Som bekendt (se § 7.5) er sektionens centrifugale inertimoment lig med nul i forhold til inertihovedakserne.

I det pågældende tilfælde er y-aksen symmetriaksen for bjælkens tværsnit og derfor y-akserne og er de vigtigste centrale inertiakser i denne sektion. Derfor er betingelse (19.7) opfyldt her.

I det tilfælde, hvor tværsnittet af den bøjede bjælke ikke har nogen symmetriakse, er betingelse (19.7) opfyldt, hvis bøjningsmomentets virkningsplan passerer gennem en af sektionens centrale inertiakser eller er parallel. til denne akse.

Hvis bøjningsmomentets virkningsplan ikke passerer gennem nogen af de centrale centrale inertiakser af bjælkens tværsnit og ikke er parallelt med det, er betingelse (19.7) ikke opfyldt, og der er derfor ingen direkte bøjning - strålen oplever skrå bøjning.

Formlen (17.7), som bestemmer den normale spænding ved et vilkårligt punkt i den betragtede bjælkeafsnit, er anvendelig, forudsat at bøjningsmomentets virkningsplan passerer gennem en af hovedinertiakserne i denne sektion eller er parallel med denne . I dette tilfælde er den neutrale akse af tværsnittet dens vigtigste centrale inertiakse, vinkelret på bøjningsmomentets handlingsplan.

Formel (16.7) viser, at under direkte ren bøjning er krumningen af bjælkens buede akse direkte proportional med produktet af elasticitetsmodulet E og inertimomentet. Vi vil kalde produktet for sektionens stivhed under bøjning; det kommer til udtryk i mv.

Ved ren bøjning af en bjælke med konstant tværsnit er bøjningsmomenterne og sektionsstivhederne konstante langs dens længde. I dette tilfælde har krumningsradius for strålens buede akse en konstant værdi [se. udtryk (16.7)], det vil sige, at bjælken bøjer sig langs en cirkelbue.

Af formel (17.7) følger, at de største (positive - træk) og mindste (negative - tryk) normalspændinger i bjælkens tværsnit opstår i de punkter, der er længst væk fra neutralaksen, placeret på begge sider af den. For et tværsnit symmetrisk om den neutrale akse er de absolutte værdier af de største træk- og trykspændinger de samme og kan bestemmes med formlen

hvor er afstanden fra den neutrale akse til det fjerneste punkt i sektionen.

En værdi, der kun afhænger af størrelsen og formen af tværsnittet kaldes snittets aksiale modstandsmoment og betegnes

(20.7)

Derfor,

Lad os bestemme de aksiale modstandsmomenter for rektangulære og cirkulære sektioner.

Til et rektangulært snit med bredde b og højde

For et cirkulært snit med diameter d

Modstandsmomentet er udtrykt i .

For sektioner, der ikke er symmetriske om den neutrale akse, for eksempel for en trekant, tee osv., er afstandene fra den neutrale akse til de fjerneste strakte og komprimerede fibre forskellige; Derfor er der for sådanne sektioner to modstandsmomenter:

hvor er afstandene fra den neutrale akse til de fjerneste strakte og komprimerede fibre.

Bøjningsmoment og forskydningskraft

Grundlæggende begreber om bøjning. Ren og tværgående bjælkebøjning

Ren bøjning er en form for deformation, hvor der kun forekommer et bøjningsmoment i et hvilket som helst tværsnit af bjælken.
Ren bøjningsdeformation vil f.eks. opstå, hvis to par kræfter med samme størrelse og modsatte fortegn påføres en lige bjælke i et plan, der går gennem aksen.
Bjælker, aksler, aksler og andre strukturelle dele fungerer til bøjning. Hvis strålen har mindst en symmetriakse, og belastningernes virkningsplan falder sammen med den, så lige bøjning , hvis denne betingelse ikke er opfyldt, så skrå bøjning .

Når vi studerer bøjningsdeformation, vil vi mentalt forestille os, at bjælken (tømmeret) består af et utalligt antal langsgående fibre parallelt med aksen.
For at visualisere deformationen af en lige bøjning vil vi udføre et eksperiment med en gummistang, hvorpå et gitter af langsgående og tværgående linjer er påført.
Efter at have udsat en sådan bjælke for lige bøjning, kan du se, at (fig. 1):
- tværgående linjer vil forblive lige, når de er deformeret, men vil dreje i en vinkel i forhold til hinanden;
- bjælkens sektioner vil udvide sig i tværgående retning på den konkave side og indsnævre på den konvekse side;
- langsgående lige linjer vil bøje.

Ud fra denne erfaring kan vi konkludere, at:
- med ren bøjning er hypotesen om flade sektioner gyldig;
- fibre, der ligger på den konvekse side, strækkes, på den konkave side komprimeres de, og på grænsen mellem dem er der et neutralt lag af fibre, der kun bøjer uden at ændre deres længde.

Forudsat at hypotesen om, at der ikke er tryk på fibrene, er gældende, kan der argumenteres for, at der ved ren bøjning i bjælkens tværsnit kun opstår normale træk- og trykspændinger, ujævnt fordelt over tværsnittet.
Skæringslinjen mellem det neutrale lag og tværsnitsplanet kaldes neutral akse . Det er indlysende, at på den neutrale akse er de normale spændinger nul.

Bøjningsmoment og forskydningskraft

Som det er kendt fra teoretisk mekanik, bestemmes bjælkernes understøtningsreaktioner ved at sammensætte og løse statiske ligevægtsligninger for hele bjælken. Ved løsning af problemer med materialers modstand og bestemmelse af de indre kraftfaktorer i bjælkerne tog vi hensyn til reaktionerne af forbindelserne sammen med de eksterne belastninger, der virker på bjælkerne.
For at bestemme de indre kraftfaktorer vil vi bruge snitmetoden, og vi vil afbilde bjælken med kun én linje - aksen, som aktive og reaktive kræfter påføres (belastninger og reaktionsreaktioner).

Lad os overveje to tilfælde:

1. To par kræfter med lige og modsat fortegn påføres bjælken.
I betragtning af ligevægten i den del af strålen, der er placeret til venstre eller højre for sektionen 1-1 (Fig. 2), ser vi, at der i alle tværsnit kun opstår et bøjningsmoment M og , lig med det ydre moment. Der er således tale om ren bøjning.

Bøjningsmomentet er det resulterende moment om neutralaksen af de indre normalkræfter, der virker i bjælkens tværsnit.
Lad os være opmærksomme på det faktum, at bøjningsmomentet har anden retning for venstre og højre del af strålen. Dette indikerer uegnetheden af den statiske tegnregel ved bestemmelse af fortegnet for bøjningsmomentet.

2. Aktive og reaktive kræfter (belastninger og reaktionsreaktioner) vinkelret på aksen påføres bjælken (Figur 3). I betragtning af ligevægten mellem de dele af bjælken, der er placeret til venstre og højre, ser vi, at et bøjningsmoment skal virke i tværsnittene M og og forskydningskraft Q .
Det følger heraf, at der i det betragtede tilfælde ved punkterne af tværsnittene ikke kun er normale spændinger svarende til bøjningsmomentet, men også tangentspændinger svarende til tværkraften.

Tværkraften er resultanten af de indre tangentialkræfter i bjælkens tværsnit.
Lad os være opmærksomme på, at tværkraften har den modsatte retning for venstre og højre del af bjælken, hvilket indikerer uegnetheden af den statiske tegnregel ved bestemmelse af fortegnet for tværkraften.
Bøjning, hvor et bøjningsmoment og forskydningskraft virker i bjælkens tværsnit, kaldes tværgående.

For en stråle, der er i vandligevægt under påvirkning af et plan kraftsystem, er den algebraiske sum af momenterne af alle aktive og reaktive kræfter i forhold til ethvert punkt lig med nul; derfor er summen af momenterne af ydre kræfter, der virker på bjælken til venstre for sektionen, numerisk lig med summen af momenterne af alle ydre kræfter, der virker på bjælken til højre for sektionen.
Således er bøjningsmomentet i bjælkeafsnittet numerisk lig med den algebraiske sum af momenterne i forhold til tyngdepunktet for sektionen af alle ydre kræfter, der virker på bjælken til højre eller venstre for sektionen.

For en stråle i ligevægt under påvirkning af et plan kraftsystem vinkelret på aksen (dvs. et system af parallelle kræfter), er den algebraiske sum af alle ydre kræfter lig med nul; derfor er summen af ydre kræfter, der virker på bjælken til venstre for sektionen, numerisk lig med den algebraiske sum af de kræfter, der virker på bjælken til højre for sektionen.
Tværkraften i bjælkeafsnittet er således numerisk lig med den algebraiske sum af alle ydre kræfter, der virker til højre eller venstre for snittet.

Da reglerne for statiske tegn er uacceptable til at fastslå tegnene på bøjningsmoment og forskydningskraft, vil vi etablere andre tegnregler for dem, nemlig: Hvis en ekstern belastning har tendens til at bøje bjælken med dens konveksitet nedad, så vil bøjningsmomentet i sektion anses for positiv, og omvendt, hvis den eksterne belastning har tendens til at bøje, er bjælken konveks opad, så anses bøjningsmomentet i sektionen for at være negativ (figur 4a).

Hvis summen af ydre kræfter, der ligger på venstre side af sektionen, giver en resultant rettet opad, så betragtes tværkraften i sektionen som positiv, hvis resultanten er rettet nedad, så anses den tværgående kraft i sektionen for negativ; for den del af bjælken, der er placeret til højre for sektionen, vil forskydningskraftens tegn være modsatte (fig. 4b). Ved at bruge disse regler bør du mentalt forestille dig sektionen af strålen som stift fastspændt, og forbindelserne som kasseret og erstattet af reaktioner.

Lad os igen bemærke, at for at bestemme reaktionerne af bindinger, bruges reglerne for tegn for statik, og for at bestemme tegnene på bøjningsmoment og tværgående kraft, bruges reglerne for tegn på modstand af materialer.
Tegnreglen for bøjningsmomenter kaldes nogle gange "regnreglen" , idet man husker på, at i tilfælde af en konveksitet nedad dannes en tragt, hvori regnvand tilbageholdes (tegnet er positivt), og omvendt - hvis bjælken under påvirkning af belastninger buer opad, forbliver vandet ikke på det (tegnet på bøjningsmomenter er negativt).

Diagrammer over indre kræfter under lige bøjning.

Direkte bøjning er en type simpel modstand, når eksterne kræfter påføres vinkelret på bjælkens (bjælke) længdeakse og er placeret i et af hovedplanerne i overensstemmelse med konfigurationen af bjælkens tværsnit.

Som det er kendt, opstår der under direkte bøjning i tværsnittet to typer indre kræfter: tværkraft og indre bøjningsmoment.

Lad os overveje et eksempel på et designdiagram af en cantilever-bjælke med en koncentreret kraft R, ris. 1 a.,...

a) designdiagram, b) venstre side, c) højre side, d) diagram over tværkræfter, e) diagram over bøjningsmomenter

Fig.1. Konstruktion af diagrammer over tværkræfter og indre bøjningsmomenter under direkte bøjning:

Den mest rationelle sektion bør anses for at være den med minimumsarealet for en given belastning (bøjningsmoment) på bjælken. I dette tilfælde vil forbruget af materiale til fremstilling af bjælken være minimalt. For at opnå en bjælke med minimalt materialeforbrug skal man tilstræbe, at størst mulig materialevolumen arbejder ved spændinger lig med eller tæt på de tilladte. Først og fremmest skal det rationelle tværsnit af bjælken under bøjning opfylde betingelsen om lige styrke af bjælkens træk- og komprimerede zoner Det er med andre ord nødvendigt, at de største trækspændinger ( max) n højeste trykspænding ( max) nåede samtidig de tilladte spændinger og .

Derfor, for en bjælke lavet af et plastmateriale (der arbejder lige meget i spænding og kompression: ), er betingelsen med samme styrke opfyldt for sektioner, der er symmetriske om den neutrale akse. Sådanne sektioner omfatter for eksempel et rektangulært snit (fig. 6, EN), hvorunder betingelsen om ligestilling er sikret . Men i dette tilfælde er materialet, jævnt fordelt langs sektionens højde, dårligt brugt i den neutrale aksezone. For at opnå et mere rationelt tværsnit er det nødvendigt at flytte så meget af materialet som muligt til zoner så langt som muligt fra den neutrale akse. Således ankommer vi til rationel for plastmateriale afsnit i formularen symmetrisk I-bjælke(Fig. 6): 2 vandrette massive plader forbundet med en væg (lodret plade), hvis tykkelse bestemmes ud fra betingelserne for væggens styrke i form af tangentielle spændinger, samt ud fra overvejelser om dens stabilitet. Ifølge rationalitetskriteriet ligger den såkaldte kasseformede sektion tæt på I-sektionen (fig. 6, V).

Fig.6. Fordeling af normalspændinger i symmetriske snit

Ved at ræsonnere på lignende måde kommer vi til den konklusion, at for bjælker lavet af sprødt materiale vil den mest rationelle sektion være i form af en asymmetrisk I-bjælke, der opfylder betingelsen om lige styrke i spænding og kompression (fig. 27). :

som følger af kravet

Fig.7. Spændingsfordeling af en asymmetrisk profil af et bjælkeafsnit.

Ideen om rationelt tværsnit af stænger under bøjning er implementeret i standard tyndvæggede profiler opnået ved varmpresning eller valsning fra almindelige og legerede højkvalitets konstruktionsstål samt aluminium og aluminiumslegeringer, meget udbredt inden for byggeri, maskinteknik og luftfartsteknik. De vist i fig. 7: EN- Jeg stråler, b- kanal, V - ulige hjørne, G- ligesidet hjørne. Mindre almindelige er tavr, tavroshveller, zeta profil osv.

Fig.8. Anvendte sektionsprofiler: a) I-bjælke, b) kanal, c) uens vinkel, d) ligesidet vinkel

Formel for aksialt modstandsmoment under bøjning er afledt enkelt. Når bjælkens tværsnit er symmetrisk om den neutrale akse, bestemmes normalspændingerne i de fjerneste punkter (ved ) af formlen:

Den geometriske karakteristik af tværsnittet af en bjælke lig med kaldes aksialt bøjningsmoment af modstand. Det aksiale modstandsmoment under bøjning måles i længdeenheder i terninger (normalt cm3). Derefter .