Løsning af irrationelle ligninger i alle tilfælde. Ligning og dens rødder: definitioner, eksempler

Hvis der i en ligning er en variabel indeholdt under tegnet kvadrat rod, så kaldes ligningen irrationel.

Nogle gange er den matematiske model for en virkelig situation en irrationel ligning. Derfor bør vi lære at løse i det mindste de simpleste irrationelle ligninger.

Overvej den irrationelle ligning 2 x + 1 = 3.

Vær opmærksom!

Metoden til at kvadrere begge sider af en ligning er den vigtigste metode til at løse irrationelle ligninger.

Dette er dog forståeligt: ​​Hvordan kan vi ellers slippe af med kvadratrodstegnet?

Fra ligningen \(2x + 1 = 9\) finder vi \(x = 4\). Dette er roden til både ligningen \(2x + 1 = 9\) og den givne irrationelle ligning.

Kvaderingsmetoden er teknisk simpel, men fører nogle gange til problemer.

Betragt for eksempel den irrationelle ligning 2 x − 5 = 4 x − 7 .

Kvadrat på begge sider, får vi

2 x − 5 2 = 4x − 7 2 2 x − 5 = 4 x − 7

Men værdien \(x = 1\), selvom den er roden til den rationelle ligning \(2x - 5 = 4x - 7\), er ikke roden af ​​den givne irrationelle ligning. Hvorfor? Ved at indsætte \(1\) i stedet for \(x\) i den givne irrationelle ligning, får vi − 3 = − 3 .

Hvordan kan vi tale om opfyldelsen af ​​en numerisk lighed, hvis både dens venstre og højre side indeholder udtryk, der ikke giver mening?

I sådanne tilfælde siger de: \(x = 1\) - fremmed rod for en given irrationel ligning. Det viser sig, at den givne irrationelle ligning ikke har nogen rødder.

En uvedkommende rod er ikke et nyt koncept for dig;

For irrationelle ligninger er verifikation et obligatorisk trin i løsningen af ​​ligningen, hvilket vil hjælpe med at opdage uvedkommende rødder, hvis nogen, og kassere dem (normalt siger de "luge ud").

Vær opmærksom!

Så en irrationel ligning løses ved at kvadrere begge sider; Efter at have løst den resulterende rationelle ligning, er det nødvendigt at kontrollere og frasortere mulige fremmede rødder.

Ved at bruge denne konklusion, lad os se på et eksempel.

Eksempel:

løs ligningen 5 x − 16 = x − 2 .

Lad os kvadrere begge sider af ligningen 5 x − 16 = x − 2: 5 x − 16 2 = x − 2 2 .

Vi transformerer og får:

5 x - 16 = x 2 - 4 x 4; − x 2 9 x − 20 = 0; x 2 - 9 x 20 = 0; xl = 5; x 2 = 4.

Undersøgelse. Ved at indsætte \(x = 5\) i ligningen 5 x − 16 = x − 2, får vi 9 = 3 - en korrekt lighed. Ved at indsætte \(x = 4\) i ligningen 5 x − 16 = x − 2, får vi 4 = 2 - en korrekt lighed. Det betyder, at begge fundne værdier er rødder af ligningen 5 x − 16 = x − 2.

Du har allerede fået en del erfaring med at løse forskellige ligninger: lineær, kvadratisk, rationel, irrationel. Du ved, at når man løser ligninger, udføres forskellige transformationer, for eksempel: et medlem af ligningen overføres fra en del af ligningen til en anden med det modsatte fortegn; begge sider af ligningen gange eller dividere med det samme ikke-nul tal; er frigjort fra nævneren, det vil sige, at de erstatter ligningen p x q x = 0 med ligningen \(p(x)=0\); begge sider af ligningen er i anden.

Selvfølgelig bemærkede du, at der som følge af nogle transformationer kunne opstå uvedkommende rødder, og derfor skulle du være på vagt: tjek alle de fundne rødder. Så vi vil nu forsøge at forstå alt dette fra et teoretisk synspunkt.

To ligninger \(f (x) = g(x)\) og \(r(x) = s(x)\) kaldes ækvivalente, hvis de har identiske rødder(eller især hvis begge ligninger ikke har nogen rødder).

Normalt, når de løser en ligning, forsøger de at erstatte denne ligning med en enklere, men svarende til den. En sådan udskiftning kaldes en ækvivalent transformation af ligningen.

Ækvivalente transformationer af ligningen er følgende transformationer:

For eksempel er at erstatte ligningen \(2x + 5 = 7x - 8\) med ligningen \(2x - 7x = - 8 - 5\) en ækvivalent transformation af ligningen. Det betyder, at ligningerne \(2x + 5 = 7x -8\) og \(2x - 7x = -8 - 5\) er ækvivalente.

Ligninger, hvori en variabel er indeholdt under rodtegnet, kaldes irrationelle.

Metoder til løsning af irrationelle ligninger er normalt baseret på muligheden for at erstatte (ved hjælp af nogle transformationer) den irrationelle ligning rationel ligning, som enten svarer til den oprindelige irrationelle ligning eller er dens konsekvens. Oftest er begge sider af ligningen hævet til samme styrke. Dette producerer en ligning, der er en konsekvens af den oprindelige.

Ved løsning af irrationelle ligninger skal følgende tages i betragtning:

1) hvis grundeksponenten er et lige tal, så skal det radikale udtryk være ikke-negativt; i dette tilfælde er værdien af ​​roden også ikke-negativ (definition af en rod med en lige eksponent);

2) hvis den radikale eksponent er et ulige tal, så kan det radikale udtryk være et hvilket som helst reelt tal; i dette tilfælde falder rodens tegn sammen med det radikale udtryks fortegn.

Eksempel 1. Løs ligningen

Lad os kvadrere begge sider af ligningen.
x 2 - 3 = 1;
Lad os flytte -3 fra venstre side af ligningen til højre og udføre en reduktion af lignende led.
x 2 = 4;
Modtaget ufuldstændig andengradsligning har to rødder -2 og 2.

Lad os kontrollere de opnåede rødder ved at erstatte værdierne af variablen x i den oprindelige ligning.
Undersøgelse.
Når x 1 = -2 - sand:
Når x 2 = -2- sand.
Det følger, at den oprindelige irrationelle ligning har to rødder -2 og 2.

Eksempel 2. Løs ligningen .

Denne ligning kan løses ved hjælp af samme metode som i det første eksempel, men vi vil gøre det anderledes.

Lad os finde ODZ af denne ligning. Af definitionen af ​​kvadratroden følger det, at i denne ligning skal to betingelser være opfyldt samtidigt:

ODZ på dette niveau: x.

Svar: ingen rødder.

Eksempel 3. Løs ligningen =+ 2.

At finde ODZ i denne ligning er en ret vanskelig opgave. Lad os kvadrater begge sider af ligningen:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x 2 = 0.
Efter kontrol fastslår vi, at x 2 =0 er en ekstra rod.
Svar: x 1 =1.

Eksempel 4. Løs ligningen x =.

I dette eksempel er ODZ let at finde. ODZ af denne ligning: x[-1;).

Lad os kvadrere begge sider af denne ligning, og som et resultat får vi ligningen x 2 = x + 1. Rødderne til denne ligning er:

Det er svært at verificere de fundne rødder. Men på trods af at begge rødder tilhører ODZ, er det umuligt at hævde, at begge rødder er rødder af den oprindelige ligning. Dette vil resultere i en fejl. I I dette tilfælde En irrationel ligning svarer til en kombination af to uligheder og en ligning:

x+10 Og x0 Og x 2 = x + 1, hvoraf det følger, at negativ rod for en irrationel ligning er fremmed og skal kasseres.

Eksempel 5. Løs ligning += 7.

Lad os kvadrere begge sider af ligningen og udføre reduktionen af ​​lignende led, overføre termerne fra den ene side af ligningen til den anden og gange begge sider med 0,5. Som et resultat får vi ligningen
= 12, (*) som er en konsekvens af den oprindelige. Lad os kvadrere begge sider af ligningen igen. Vi får ligningen (x + 5)(20 - x) = 144, som er en konsekvens af den oprindelige. Den resulterende ligning reduceres til formen x 2 - 15x + 44 =0.

Denne ligning (også en konsekvens af den oprindelige) har rødder x 1 = 4, x 2 = 11. Begge rødder, som verifikation viser, opfylder den oprindelige ligning.

Rep. x 1 = 4, x 2 = 11.

Kommentar. Når man kvadrerer ligninger, multiplicerer eleverne ofte radikale udtryk i ligninger som (*), dvs. i stedet for ligning = 12, skriver de ligningen = 12. Dette fører ikke til fejl, da ligningerne er konsekvenser af ligningerne. Man skal dog huske på, at i det generelle tilfælde giver en sådan multiplikation af radikale udtryk ulige ligninger.

I eksemplerne diskuteret ovenfor kunne man først flytte en af ​​radikalerne til højre side af ligningen. Så vil der være én radikal tilbage i venstre side af ligningen, og efter at have kvadreret begge sider af ligningen vil der blive opnået en rationel funktion i venstre side af ligningen. Denne teknik (isolering af radikalen) bruges ret ofte, når man løser irrationelle ligninger.

Eksempel 6. Løs ligning-= 3.

Ved at isolere det første radikal får vi ligningen
=+ 3, svarende til den originale.

Ved at kvadrere begge sider af denne ligning får vi ligningen

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, svarende til ligningen

4x - 5 = 3(*). Denne ligning er en konsekvens af den oprindelige ligning. Ved at kvadrere begge sider af ligningen kommer vi frem til ligningen
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), eller

7x 2 - 13x - 2 = 0.

Denne ligning er en konsekvens af ligning (*) (og derfor den oprindelige ligning) og har rødder. Den første rod x 1 = 2 opfylder den oprindelige ligning, men den anden x 2 = gør det ikke.

Svar: x = 2.

Bemærk, at hvis vi straks, uden at isolere en af ​​radikalerne, kvadrede begge sider af den oprindelige ligning, ville vi skulle udføre ret besværlige transformationer.

Ved løsning af irrationelle ligninger, ud over isolering af radikaler, anvendes andre metoder. Lad os overveje et eksempel på at bruge metoden til at erstatte det ukendte (metode til at introducere en hjælpevariabel).

Mens de studerer algebra, bliver skolebørn konfronteret med mange typer ligninger. Blandt dem, der er de enkleste, er lineære, der indeholder en ukendt. Hvis en variabel i et matematisk udtryk hæves til en bestemt potens, så kaldes ligningen kvadratisk, kubisk, bikvadratisk og så videre. Disse udtryk kan indeholde rationelle tal. Men der er også irrationelle ligninger. De adskiller sig fra andre ved tilstedeværelsen af ​​en funktion, hvor det ukendte er under det radikale tegn (det vil sige rent eksternt kan variablen her ses skrevet under kvadratroden). Løsning af irrationelle ligninger har sin egen egenskaber. Når man beregner værdien af ​​en variabel for at få det rigtige svar, skal de tages i betragtning.

"Uudsigeligt med ord"

Det er ingen hemmelighed, at gamle matematikere primært opererede rationelle tal. Disse omfatter, som det er kendt, heltal udtrykt gennem almindelige og decimale periodiske brøker, repræsentanter for et givet samfund. Imidlertid lærte forskere fra Mellemøsten og Nærøsten såvel som Indien, der udviklede trigonometri, astronomi og algebra, også at løse irrationelle ligninger. For eksempel kendte grækerne lignende mængder, men ved at sætte dem i verbal form brugte de begrebet "alogos", som betød "uudsigelig". Noget senere kaldte europæere, der efterlignede dem, sådanne tal for "døve". De adskiller sig fra alle andre ved, at de kun kan repræsenteres i form af en uendelig ikke-periodisk brøk, hvis endelige numeriske udtryk simpelthen er umuligt at opnå. Derfor er sådanne repræsentanter for talriget oftere skrevet i form af tal og tegn som et udtryk placeret under roden af ​​anden eller højere grad.

Baseret på ovenstående, lad os prøve at definere en irrationel ligning. Sådanne udtryk indeholder såkaldte "uudtrykkelige tal", skrevet med kvadratrodstegnet. De kan repræsentere alle mulige ret komplekse muligheder, men i deres i sin enkleste form De ligner dem på billedet nedenfor.

Når du begynder at løse irrationelle ligninger, skal du først og fremmest beregne arealet acceptable værdier variabel.

Giver udtrykket mening?

Behovet for at kontrollere de opnåede værdier følger af egenskaberne Som det er kendt, er et sådant udtryk acceptabelt og har kun nogen betydning under visse betingelser. I tilfælde af rødder af lige grader skal alle radikale udtryk være positive eller lig med nul. Hvis denne betingelse ikke er opfyldt, så kan den præsenterede matematiske notation ikke anses for meningsfuld.

Lad os give et specifikt eksempel på, hvordan man løser irrationelle ligninger (billedet nedenfor).

I dette tilfælde er det åbenlyst, at de angivne betingelser ikke kan opfyldes for nogen værdier, der accepteres af den ønskede værdi, da det viser sig, at 11 ≤ x ≤ 4. Det betyder, at kun Ø kan være løsningen.

Analysemetode

Fra ovenstående bliver det klart, hvordan man løser nogle typer irrationelle ligninger. Her på en effektiv måde kan være en simpel analyse.

Lad os give en række eksempler, der igen tydeligt vil demonstrere dette (billedet nedenfor).

I det første tilfælde viser det sig, ved omhyggelig undersøgelse af udtrykket, straks at være yderst klart, at det ikke kan være sandt. Faktisk på venstre side af den lighed, vi burde få positivt tal, som umuligt kan være lig med -1.

I det andet tilfælde kan summen af ​​to positive udtryk kun betragtes som nul, når x - 3 = 0 og x + 3 = 0 på samme tid. Og dette er igen umuligt. Og det betyder, at svaret igen skal skrives Ø.

Det tredje eksempel ligner meget det, der allerede er diskuteret tidligere. Her kræver ODZ-betingelserne nemlig, at følgende absurde ulighed er opfyldt: 5 ≤ x ≤ 2. Og sådan en ligning kan på samme måde ikke have fornuftige løsninger.

Ubegrænset zoom

Det irrationelles natur kan klarest og fuldstændigt kun forklares og kendes gennem en endeløs række af tal decimal. Og specifikt, et lysende eksempel et af medlemmerne af denne familie er πi. Det er ikke uden grund, at denne matematiske konstant har været kendt siden oldtiden, da den blev brugt til at beregne omkredsen og arealet af en cirkel. Men blandt europæere blev det først omsat i praksis af englænderen William Jones og schweizeren Leonard Euler.

Denne konstant opstår som følger. Hvis vi sammenligner cirkler med forskellige omkredse, så er forholdet mellem deres længder og diametre nødvendigvis lig med det samme antal. Dette er pi. Hvis vi udtrykker det igennem almindelig brøk, så får vi cirka 22/7. Dette blev først gjort af den store Arkimedes, hvis portræt er vist i figuren ovenfor. Det er derfor lignende antal fik hans navn. Men dette er ikke en eksplicit, men en omtrentlig værdi af det måske mest fantastiske tal. En genial videnskabsmand fandt den ønskede værdi med en nøjagtighed på 0,02, men i virkeligheden har denne konstant ingen reel betydning, men er udtrykt som 3,1415926535... Det er en endeløs række af tal, der uendeligt nærmer sig en eller anden mytisk værdi.

Kvadrering

Men lad os vende tilbage til irrationelle ligninger. For at finde det ukendte, tyr de i dette tilfælde meget ofte til enkel metode: kvadrat begge sider af den eksisterende lighed. Denne metode giver normalt gode resultater. Men man bør tage hensyn til det lumske ved irrationelle mængder. Alle rødder opnået som følge af dette skal kontrolleres, da de muligvis ikke er egnede.

Men lad os fortsætte med at se på eksemplerne og prøve at finde variablerne ved hjælp af den nyligt foreslåede metode.

Det er slet ikke svært ved at bruge Vietas sætning at finde de ønskede værdier af mængder, efter at vi som et resultat af visse operationer har dannet en andengradsligning. Her viser det sig, at der blandt rødderne vil være 2 og -19. Men når du tjekker og erstatter de resulterende værdier i det originale udtryk, kan du sikre dig, at ingen af ​​disse rødder er egnede. Dette er en almindelig forekomst i irrationelle ligninger. Det betyder, at vores dilemma igen ikke har nogen løsninger, og svaret bør indikere et tomt sæt.

Mere komplekse eksempler

I nogle tilfælde er det nødvendigt at firkante begge sider af et udtryk ikke én gang, men flere gange. Lad os se på eksempler, hvor dette er påkrævet. De kan ses nedenfor.

Efter at have modtaget rødderne, glem ikke at kontrollere dem, for der kan dukke ekstra op. Det skal forklares, hvorfor dette er muligt. Når man anvender denne metode, er ligningen noget rationaliseret. Men at slippe af med rødderne bryder vi os ikke om, som forhindrer os i at producere aritmetiske operationer, vi ser ud til at udvide den eksisterende række af værdier, hvilket er fyldt (som man kan forstå) med konsekvenser. Forudsat dette udfører vi en kontrol. I dette tilfælde er der en chance for at sikre, at kun én af rødderne er egnet: x = 0.

Systemer

Hvad skal vi gøre i tilfælde, hvor vi skal løse systemer med irrationelle ligninger, og vi ikke har én, men to ubekendte? Her handler vi på samme måde som i almindelige tilfælde, men under hensyntagen til ovenstående egenskaber ved disse matematiske udtryk. Og i hver ny opgave skal du selvfølgelig bruge kreativitet. Men igen, det er bedre at overveje alt konkret eksempel præsenteret nedenfor. Her skal du ikke kun finde variablerne x og y, men også angive deres sum i svaret. Så der er et system, der indeholder irrationelle mængder (se billedet nedenfor).

Som du kan se, repræsenterer en sådan opgave ikke noget overnaturligt svært. Du skal bare være klog og gætte på, at venstre side af den første ligning er kvadratet af summen. Lignende opgaver findes i Unified State Exam.

Irrationel i matematik

Hver gang opstod behovet for at skabe nye typer tal blandt menneskeheden, når den ikke havde nok "plads" til at løse nogle ligninger. Irrationelle tal er ingen undtagelse. Som fakta fra historien vidner om, var de store vismænd først opmærksomme på dette allerede før vor tidsregning, i det 7. århundrede. Dette blev gjort af en matematiker fra Indien kendt som Manava. Det forstod han tydeligvis af nogle naturlige tal det er umuligt at udvinde roden. For eksempel omfatter disse 2; 17 eller 61, samt mange andre.

En af pythagoræerne, en tænker ved navn Hippasus, kom til samme konklusion ved at forsøge at beregne med numeriske udtryk sider af pentagrammet. Ved at opdage matematiske elementer, der ikke kan udtrykkes i numeriske værdier og ikke har almindelige tals egenskaber, vred han sine kolleger så meget, at han blev kastet overbord på skibet i havet. Faktum er, at andre pythagoranere betragtede hans ræsonnement som et oprør mod universets love.

Radikalens tegn: Evolution

Rodtegn for udtryk numerisk værdi"døve" tal begyndte at blive brugt til at løse irrationelle uligheder og ligninger er ikke umiddelbart tilgængelige. Europæiske, især italienske, matematikere begyndte først at tænke på det radikale omkring det 13. århundrede. Samtidig kom de med ideen om at bruge det latinske R til betegnelse, men tyske matematikere handlede anderledes i deres værker. De kunne bedre lide bogstavet V I Tyskland spredte betegnelsen V(2), V(3) sig hurtigt, som var beregnet til at udtrykke kvadratroden af ​​2, 3 og så videre. Senere greb hollænderne ind og modificerede det radikales tegn. Og Rene Descartes fuldendte evolutionen og bragte kvadratrodstegnet til moderne perfektion.

At slippe af med det irrationelle

Irrationelle ligninger og uligheder kan inkludere en variabel ikke kun under kvadratrodstegnet. Det kan være af enhver grad. Den mest almindelige måde at slippe af med det er at hæve begge sider af ligningen til den passende potens. Dette er den vigtigste handling, der hjælper i operationer med det irrationelle. Handlingerne i lige numre er ikke særligt forskellige fra dem, vi allerede har diskuteret tidligere. Her skal betingelserne for det radikale udtryks ikke-negativitet tages i betragtning, og i slutningen af ​​løsningen er det nødvendigt at bortfiltrere uvedkommende værdier af variablerne på samme måde som vist i de allerede overvejede eksempler .

Blandt de ekstra transformationer, der hjælper med at finde det rigtige svar, bruges ofte multiplikation af udtrykket med dets konjugat, og det er også ofte nødvendigt at indføre en ny variabel, som gør løsningen nemmere. I nogle tilfælde er det tilrådeligt at bruge grafer til at finde værdien af ​​ukendte.

Emne: "Irrationelle ligninger af formen , .»

(Metodologisk udvikling.)

Basale koncepter

Irrationelle ligninger kaldes ligninger, hvor variablen er indeholdt under tegnet for roden (radikal) eller tegnet for at hæve til en brøkpotens.

En ligning af formen f(x)=g(x), hvor mindst et af udtrykkene f(x) eller g(x) er irrationelt irrationel ligning.

Grundlæggende egenskaber ved radikaler:

• Alle radikale lige grad er aritmetik, de der. hvis det radikale udtryk er negativt, så har det radikale ingen betydning (eksisterer ikke); hvis det radikale udtryk er lig med nul, så er radikalet også lig med nul; hvis det radikale udtryk er positivt, så eksisterer betydningen af ​​det radikale og er positivt.
• Alle radikale ulige grad er defineret for enhver værdi af det radikale udtryk. I dette tilfælde er radikalet negativt, hvis det radikale udtryk er negativt; er lig nul, hvis det radikale udtryk er lig nul; positiv, hvis det underkastede udtryk er positivt.

Metoder til løsning af irrationelle ligninger

Løs en irrationel ligning - betyder at finde alle reelle værdier af en variabel, når de erstattes af den oprindelige ligning, bliver det til en korrekt numerisk lighed, eller at bevise, at sådanne værdier ikke eksisterer. Irrationelle ligninger løses på sættet reelle tal R.

Intervallet af acceptable værdier af ligningen består af de værdier af variablen, for hvilke alle udtryk under tegnet af radikaler af lige grad er ikke-negative.

Grundlæggende metoder til løsning af irrationelle ligninger er:

a) en metode til at hæve begge sider af ligningen til samme potens;

b) metode til indførelse af nye variabler (erstatningsmetode);

c) kunstige metoder til løsning af irrationelle ligninger.

I denne artikel vil vi dvæle ved overvejelsen af ​​ligninger af den ovenfor definerede type og præsentere 6 metoder til løsning af sådanne ligninger.

1 metode. terning.

Denne metode kræver brug af forkortede multiplikationsformler og indeholder ingen faldgruber, dvs. fører ikke til udseendet af uvedkommende rødder.

Eksempel 1. Løs ligningen

Løsning:

Lad os omskrive ligningen i formen og kube begge dets dele. Vi får en ligning svarende til denne ligning,

Svar: x=2, x=11.

Eksempel 2. Løs ligningen.

Løsning:

Lad os omskrive ligningen i form og terning på begge sider. Vi får en ligning svarende til denne ligning

og betragte den resulterende ligning som kvadratisk i forhold til en af ​​rødderne

derfor er diskriminanten 0, og ligningen kan have en løsning x = -2.

Undersøgelse:

Svar: x=-2.

Kommentar: Checken kan udelades, hvis andengradsligningen er ved at blive løst.

Metode 2. Terning efter formlen.

Vi vil fortsætte med at kube ligningen, men vi vil bruge modificerede forkortede multiplikationsformler.

Lad os bruge formlerne:

(mindre ændring af den kendte formel), så

Eksempel 3. Løs ligningen .

Løsning:

Lad os kubere ligningen ved at bruge formlerne ovenfor.

Men udtrykket skal være lig med højre side. Derfor har vi:

.

Når nu kuberes, får vi den sædvanlige andengradsligning:

og dens to rødder

Begge værdier, som testen viser, er korrekte.

Svar: x=2, x=-33.

Men er alle transformationerne her ækvivalente? Før vi besvarer dette spørgsmål, lad os løse endnu en ligning.

Eksempel 4. Løs ligningen.

Løsning:

Ved at hæve begge sider til den tredje potens, som før, har vi:

Hvorfra (i betragtning af at udtrykket i parentes er lig med ), får vi:

Vi får, .Lad os tjekke og sikre os, at x=0 er en uvedkommende rod.

Svar: .

Lad os besvare spørgsmålet: "Hvorfor opstod fremmede rødder?"

Lighed indebærer lighed . Erstat fra med – med, vi får:

Det er nemt at kontrollere identiteten

Så hvis , så enten , eller . Ligningen kan repræsenteres som , .

Ved at erstatte fra til –s får vi: hvis , så enten eller

Når du bruger denne løsningsmetode, skal du derfor kontrollere og sikre dig, at der ikke er fremmede rødder.

Metode 3. System metode.

Eksempel 5. Løs ligningen .

Løsning:

Lad,. Derefter:

Hvor er det åbenlyst

Systemets anden ligning opnås på en sådan måde, at den lineære kombination af radikale udtryk ikke afhænger af den oprindelige variabel.

Det er let at se, at systemet ikke har nogen løsning, og derfor har den oprindelige ligning ingen løsning.

Svar: Der er ingen rødder.

Eksempel 6. Løs ligningen .

Løsning:

Lad os introducere en erstatning, komponere og løse et ligningssystem.

Lad,. Derefter

Vender vi tilbage til den oprindelige variabel har vi:

Svar: x=0.

Metode 4 Brug af monotoni af funktioner.

Før brug denne metode Lad os vende os til teorien.

Vi skal bruge følgende egenskaber:

Eksempel 7. Løs ligningen .

Løsning:

Venstre side af ligningen er en stigende funktion, og højre side er et tal, dvs. er en konstant, derfor har ligningen ikke mere end én rod, som vi vil vælge: x=9. Ved at kontrollere vil vi sikre os, at roden er passende.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du sender en anmodning på webstedet, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.