2.1.Összetett állítások

Az elemi állításokból bonyolultabbakat is szerkeszthetünk ( összetett) állítások használatával szalagokÉS, VAGY, NEM.

Példák. Piros kerítésÉS fa kerítés.

Kolya idősebb, mint Petya VAGY Kolya idősebb, mint Fedya

Kerítés NEM piros.

E kijelentések jelentése világos.

Egy I-vel rendelkező állítás két elemi állítást tartalmaz. Az ÉS-t tartalmazó összetett állítás akkor és csak akkor igaz, ha mindkét elemi állítás igaz. Ha ezek közül legalább az egyik hamis, akkor az összetett állítás hamis.

Egy VAGY utasítás két elemi utasítást is tartalmaz. A VAGY összetett állítás akkor és csak akkor igaz, ha ezen elemi állítások közül legalább egy igaz. Ha mindkét állítás hamis, akkor az összetett állítás hamis.

A NOT-os utasítás egy elemi utasítást tartalmaz (oroszul a NOT gyakran ennek az utasításnak a közepére kerül). A NEM-mel rendelkező összetett állítás akkor igaz, ha az eredeti elemi állítás hamis, és fordítva, ha az eredeti állítás igaz, akkor a NOT-os összetett állítás hamis.

Összetett állítások nem csak elemi állításokból építhetők fel, hanem más összetett állításokból is. Ebből a szempontból az összetett állítások felépítése hasonló a konstrukcióhoz algebrai kifejezések. Például világos, hogy mit jelent egy ilyen kijelentés (bár nem oroszul van írva, hanem zárójelekkel:)

(Kolya idősebb Petyánál VAGY Kolya idősebb, mint Fedya)ÉS ( Kolya NEM idősebb Ványánál)

Íme 3 elemi állítás.

2.2.Logikai értékek. Logikai műveletek.

Már tudjuk, hogy minden állítás két dolog egyikének tulajdonítható: logikai értékeket– igaz(gyakran jelölik: 1 ) vagy hazugság(gyakran jelölik: 0 ). Az ÉS, VAGY, NEM szavak logikai értékekre vonatkozó műveleteket határoznak meg ( logikai műveletek). Valójában például egy AND-os összetett állítás akkor és csak akkor igaz, ha mindkét elemi állítása igaz. Ha ezek közül legalább az egyik hamis, akkor az összetett állítás hamis. Itt számunkra nem az a fontos, hogy mik voltak az eredeti kijelentések. Az összetett állítás igazsága csak a logikaitól függ (néha azt mondják: igazság) az eredeti állítások jelentése.

Mivel csak két logikai érték van, ezek a műveletek táblázatokban írhatók le.

Az AND, OR, NOT műveleteknek NINCS „tudományos” neve (akár több minden művelethez 🙂 és speciális jelölések (a példákban A, B jelöl néhány konkrét logikai értéket):

NEM: tagadás, inverzió. Megnevezés: ¬ (például ¬A);

ÉS: kötőszó, logikai szorzás.

Jelölve /\ (például A /\ B) vagy & (például A & B);

VAGY: diszjunkció, logikai összeadás.

Jelölése \/ (például A \/ B).

Más logikai műveleteket is használnak a matematikában.

Minden logikai művelet saját táblával adható meg. Íme még két példa a logikai műveletekre:

1) implikáció; →-vel jelölve (például A → B); lásd a táblázatot 4. Az A → B kifejezés igaz, ha A hamis VAGY B igaz. Azaz A → B ugyanazt jelenti, mint (¬A) \/ B.

2) azonosság (ekvivalencia);≡-val jelölve (például A ≡ B); lásd az 5. táblázatot. Az A ≡ B kifejezés akkor és csak akkor igaz, ha A és B értékei egybeesnek (vagy mindkettő igaz, vagy hamis).

2.3.Logikai kifejezések. Igazságtáblázatok.

A logikai műveletek ugyanazt a szerepet töltik be a logikai értékeknél, mint az aritmetikai műveletek a számoknál. Az algebrai kifejezések létrehozásához hasonlóan logikai műveletekkel is létrehozhat logikai kifejezéseket. Az algebrai kifejezésekhez hasonlóan a logikai kifejezések is tartalmazhatnak állandók(logikai értékek 1 és 0) és változók. Ha egy logikai érték változókat tartalmaz, akkor egy függvényt ( logikus funkció; szinonima: logikai érték funkció). Egy ilyen függvény értékét egy adott argumentumértékkészlet mellett úgy számítjuk ki, hogy a változók helyett ezeket az értékeket helyettesítjük a kifejezésben.

Minden logikai kifejezéshez írhat igazságtáblázat, amely leírja, hogy milyen értéket vesz fel a megfelelő logikai függvény (szinonimája: veszi a kifejezést) minden megengedett változóérték-készletre. Itt vannak az x\/y (6. táblázat), x → y (7. táblázat) és (x → y) /\ (y → z) (8. táblázat) kifejezések igazságtáblázatai.

2.4. Egyenértékű kifejezések.

Két változókat tartalmazó logikai kifejezést hívunk meg egyenértékű (egyenértékű), ha ezen kifejezések értékei egybeesnek a változók bármely értékével. Így az A → B és (¬A) \/ B kifejezések ekvivalensek, de A/\B és A \/ B nem (a kifejezések jelentése eltérő pl. ha A = 1, B = 0 ).

Az ekvivalens kifejezéseknek ugyanazok az igazságtáblázatai vannak, míg a nem egyenértékű kifejezéseknek különböző igazságtáblázatai vannak.

2.5. A logikai műveletek prioritásai.

Logikai kifejezések írásakor, valamint algebrai kifejezések írásakor néha nem kell zárójelet írni. Ebben az esetben a logikai műveletek elsőbbségére (prioritása) vonatkozó konvenciók érvényesek, az elsőként végrehajtott műveletek vannak feltüntetve. első:

tagadás (inverzió),

kötőszó (logikai szorzás),

diszjunkció (logikai összeadás),

implikáció (követő),

identitás.

Így a ¬A \/ B \/ C \/ D ugyanazt jelenti, mint ((¬A) \/ B) \/ (C \/ D).

Az (A \/ B) \/ C helyett írható A \/ B \/ C. Ugyanez vonatkozik a kötőszóra is: lehet írni A /\ B /\ C helyett (A /\ B) ) /\ C.

Az állítás összetettebb formáció, mint egy név. Amikor az állításokat egyszerűbb részekre bontjuk, mindig bizonyos neveket kapunk. Tegyük fel, hogy a „Nap egy csillag” kijelentés részeként a „Nap” és a „csillag” neveket tartalmazza.

Nyilatkozat- nyelvtanilag helyes mondat, az általa kifejezett jelentéssel (tartalommal) együtt, igaz vagy hamis.

Az állítás fogalma a logika egyik kezdeti, kulcsfogalma. Mint ilyen, nem tesz lehetővé egy olyan pontos meghatározást, amely a különböző szakaszaiban egyaránt alkalmazható.

Egy állítás igaznak tekinthető, ha az általa adott leírás megfelel a valós helyzetnek, és hamisnak, ha nem felel meg annak. Az „igaz” és a „hamis” „állítások igazságértékeinek” nevezik.

Egyéni nyilatkozatokból különböző módokonúj állításokat konstruálhat.

Például a „Fúj a szél” és az „Esik” kijelentésekből összetettebb állítások alkothatók: „Fúj a szél és esik”, „Vagy fúj a szél, vagy esik”, „Ha esik, akkor fúj a szél” ” stb.

Az állítás ún egyszerű, kivéve, ha részeként más kijelentéseket is tartalmaz.

Az állítás ún Bonyolult vagyok, ha azt logikai konnektívumok segítségével kapjuk meg több mástól egyszerű kijelentések.

Nézzük meg az építés legfontosabb módjait összetett állítások.

Negatív állítás kezdő állításból és tagadásból áll, általában a „nem”, „nem igaz, hogy ez” szavakkal fejezik ki. A tagadó állítás tehát összetett állítás: részeként tartalmaz egy ettől eltérő állítást. Például a „10 páros szám” állítás tagadása a „10 nem páros szám” állítás (vagy: „Nem igaz, hogy a 10 páros szám”).

Jelöljük az állításokat A, B, C,... Egy állítás tagadása fogalmának teljes jelentését a feltétel adja: ha az A állítás igaz, akkor a tagadása hamis, ha pedig A hamis, tagadása igaz. Például, mivel az "1 pozitív egész szám" állítás igaz, az "1 nem pozitív egész szám" tagadása. pozitív szám" hamis, és mivel "1 prímszám" hamis, az "1 nem prímszám" tagadása igaz.

Két utasítás összekapcsolása az „és” szó használatával egy összetett utasítást eredményez, az úgynevezett kötőszó. Az így összekapcsolt állításokat „egy kötőszó tagjainak” nevezzük.

Például, ha a „Ma meleg van” és a „Tegnap hideg volt” állításokat ilyen módon kombináljuk, akkor a „Ma meleg van, tegnap pedig hideg volt” kötőszót kapjuk.

Egy kötőszó csak akkor igaz, ha mindkét benne szereplő állítás igaz; ha legalább egy tagja hamis, akkor az egész kötőszó hamis.

A hétköznapi nyelvben két állítást az „és” kötőszó köt össze, ha tartalmilag vagy jelentésükben kapcsolódnak egymáshoz. Ennek a kapcsolatnak a természete nem teljesen világos, de az egyértelmű, hogy az „Ő kabátban járt, én meg az egyetemre” kötőszót nem tekintenénk olyan kifejezésnek, amelynek van jelentése, és lehet igaz vagy hamis. Bár a „2 egy prímszám” és a „Moszkva az nagy város” igaz, nem hajlunk arra, hogy a „2 prímszám, Moszkva nagyváros” kötőszót igaznak tartsuk, mivel az alkotó állításai jelentésben nem kapcsolódnak egymáshoz. Azáltal, hogy leegyszerűsíti a kötőszó és más logikai konnektívumok jelentését, és ebből a célból elhagyja az „állítások jelentés szerinti összekapcsolása” fogalmát, a logika tágabbá és világosabbá teszi ezeknek a konnektívumoknak a jelentését.

Két állítás összekapcsolása a "vagy" szó használatával ad diszjunkció ezeket a kijelentéseket. A diszjunkciót alkotó állításokat „a diszjunkció tagjainak” nevezzük. .

A "vagy" szónak két különböző jelentése van a hétköznapi nyelvben. Néha azt jelenti, hogy „az egyik vagy a másik vagy mindkettő”, néha pedig „az egyik vagy a másik, de nem mindkettő”. Például a következő kijelentés: "Ebben a szezonban szeretnék elmenni" Pák királynője A „vagy Aidába” lehetőséget biztosít az opera kétszeri látogatására. A „Moszkvai vagy Jaroszlavli Egyetemen tanul” kijelentés arra utal, hogy az említett személy csak az egyik egyetemen tanul.

A „vagy” első értelme az ún nem kizárólagos. Ebben az értelemben két állítás diszjunkciója azt jelenti, hogy aszerint legalább ezen állítások egyike igaz, függetlenül attól, hogy mindkettő igaz-e vagy sem. A másodikban készült kizárólagos, vagy szigorú értelemben, két állítás diszjunkciója azt mondja ki, hogy az egyik állítás igaz, a másik hamis.

Egy nem kizáró diszjunkció akkor igaz, ha legalább az egyik alkotó állítása igaz, és hamis csak akkor, ha mindkét tagja hamis.

Egy kizárólagos diszjunkció akkor igaz, ha csak az egyik feltétele igaz, és hamis, ha mindkét feltétele igaz, vagy mindkettő hamis.

A logikában és a matematikában a „vagy” szót szinte mindig nem kizárólagos jelentésben használják.

Feltételes nyilatkozat -összetett állítás, amelyet általában a „ha... akkor...” kötőszó használatával fogalmaznak meg, és megállapítják, hogy az egyik esemény, állapot stb. ilyen vagy olyan értelemben alapja vagy feltétele egy másiknak.

Például: „Ha tűz van, akkor füst van”, „Ha egy szám osztható 9-cel, osztható 3-mal” stb.

Egy feltételes utasítás két egyszerűbb állításból áll. Azt, amelyik előtt a „ha” szó szerepel, azt hívják alapon, vagy előzmény(előző), az „az” szó után következő állítást hívják következmény, vagy következményes(későbbi).

A feltételes állítás megerősítésével mindenekelőtt azt értjük, hogy nem fordulhat elő, hogy az alapjában elmondottak megtörténnek, a következményben elmondottak pedig hiányoznak. Vagyis nem fordulhat elő, hogy az előzmény igaz, a következmény pedig hamis.

A feltételes állítás szempontjából általában az elégséges és szükséges feltételek fogalmát definiálják: az előzmény (alap) elégséges állapot a következményhez (következményhez), és a következményhez - szükséges feltétel az előzményhez. Például a „Ha a választás racionális, akkor a rendelkezésre álló alternatívák közül a legjobbat választják” feltételes állítás igazsága azt jelenti, hogy a racionalitás elegendő ok arra, hogy a rendelkezésre álló lehetőségek közül a legjobbat válasszuk, és hogy egy ilyen lehetőség választása racionalitásának szükséges feltétele.

A feltételes állítás tipikus funkciója, hogy egy állítást egy másik utasításra hivatkozva igazoljon. Például az a tény, hogy az ezüst elektromosan vezető, igazolható azzal a ténnyel, hogy fémről van szó: „Ha az ezüst fém, akkor elektromosan vezető.”

A feltételes kijelentéssel kifejezett alátámasztó és indokolt (alap és következmény) kapcsolata nehezen jellemezhető. általános nézet, és csak néha viszonylag egyértelmű a természete. Ez az összefüggés lehet egyrészt logikai konzekvenciás kapcsolat, amely a premisszák és a helyes következtetés következtetése között jön létre ("Ha minden élő többsejtű lény halandó, és a medúza is ilyen, akkor halandó"); másodszor a természet törvénye szerint („Ha egy test súrlódásnak van kitéve, akkor felmelegszik”); harmadszor, ok-okozati összefüggés („Ha a Hold a pályája csomópontjában van az újholdnál, napfogyatkozás"); negyedrészt egy társadalmi minta, szabály, hagyomány („Ha változik a társadalom, változik az ember is”, „Ha a tanács ésszerű, akkor azt követni kell”) stb.

A feltételes kijelentéssel kifejezett összefüggéshez általában az a hiedelem társul, hogy a következmény bizonyos szükségszerűséggel „következik” az okból, és van valami általános törvényszerűség, amelyet megfogalmazva logikusan következtethetünk a következményre az okból. ok.

Például a „Ha a bizmut fém, akkor képlékeny” feltételes állítás feltételezi a „Minden fém képlékeny” általános törvényt, ami ennek az állításnak a következménye az előzményének logikus következménye.

A feltételes állítás mind a köznyelvben, mind a tudomány nyelvén az igazolás funkciója mellett számos más feladatot is elláthat: olyan feltételt fogalmazhat meg, amely nem kapcsolódik semmilyen implikált feltételhez. köztörvény vagy egy szabály („Ha akarom, levágom a köpenyemet”); rögzítsen néhány sorozatot ("Ha a tavalyi nyár száraz volt, akkor az idén esős"); sajátos formában fejezze ki hitetlenségét ("Ha megoldod ezt a problémát, bebizonyítom Fermat utolsó tételét"); oppozíció („Ha bodza nő a kertben, akkor egy bácsi Kijevben él”) stb. A feltételes állítás számos és heterogén funkciója jelentősen megnehezíti az elemzést.

A feltételes állítások használata bizonyos pszichológiai tényezőkkel jár. Általában csak akkor fogalmazunk meg ilyen állítást, ha nem tudjuk biztosan, hogy az előzménye és a következménye igaz vagy hamis. Egyébként használata természetellenesnek tűnik („Ha a vatta fém, akkor elektromosan vezetőképes”).

A feltételes kijelentés nagyon széles körű alkalmazás az érvelés minden területén. A logikában általában a következővel ábrázolják implicatív megnyilatkozás, vagy következményei. A logika ugyanakkor tisztázza, rendszerezi, leegyszerűsíti a „ha..., akkor...” használatát, és megszabadítja a pszichológiai tényezők hatása alól.

A logika különösen elvonatkoztatott attól, hogy a feltételes kijelentésre jellemző ok és következmény kapcsolata a kontextustól függően nemcsak a „ha... akkor...”, hanem más nyelvi kifejezésekkel is kifejezhető. eszközök.

Például: „Mivel a víz folyékony, minden irányba egyenletesen adja át a nyomást”, „Bár a gyurma nem fém, de műanyag”, „Ha a fa fém lenne, elektromosan vezető lenne” stb. Ezek és hasonlók az állításokat a logika nyelvén implicit módon ábrázolják, bár a „ha... akkor...” használata bennük nem lenne teljesen természetes.

Egy implikáció állításával azt állítjuk, hogy nem fordulhat elő, hogy az alapja megtörténik, következménye pedig hiányzik. Más szóval, egy implikáció csak akkor hamis, ha az oka igaz, a következménye pedig hamis.

Ez a definíció a konnektívumok korábbi definícióihoz hasonlóan azt feltételezi, hogy minden állítás igaz vagy hamis, és hogy egy összetett állítás igazságértéke csak az alkotó állítások igazságértékeitől és azok összekapcsolásának módjától függ.

Egy implikáció akkor igaz, ha mind az oka, mind a következménye igaz vagy hamis; akkor igaz, ha az oka hamis és a következménye igaz. Csak a negyedik esetben, amikor az ok igaz, a következmény pedig hamis, az implikáció hamis.

Az implikáció nem jelenti azt, hogy az A és B állítások valamilyen módon tartalmilag kapcsolódnak egymáshoz. Ha B igaz, a „ha A, akkor B” állítás igaz, függetlenül attól, hogy A igaz vagy hamis, és hogy jelentésben kapcsolódik-e B-hez vagy sem.

Például a következő állítások tekinthetők igaznak: „Ha van élet a Napon, akkor kétszer kettő egyenlő négy”, „Ha a Volga egy tó, akkor Tokió egy nagy falu” stb. A feltételes állítás is igaz. amikor A hamis, és ugyanakkor ismét, nem mindegy, hogy B igaz-e vagy sem, és hogy tartalmilag kapcsolódik-e A-hoz vagy sem. Az igaz állítások között szerepel: „Ha a Nap egy kocka, akkor a Föld háromszög”, „Ha kettő plusz kettő öt, akkor Tokió kisváros" stb.

A közönséges érvelésben ezek az állítások valószínűleg nem tekinthetők értelmesnek, még kevésbé igaznak.

Bár az implikáció számos célra hasznos, nem teljesen összhangban van a feltételes kapcsolat szokásos értelmezésével. Az implikáció egy feltételes állítás logikai viselkedésének számos fontos jellemzőjét lefedi, ugyanakkor nem kellően adekvát leírása annak.

Az elmúlt fél évszázadban erőteljes kísérletek történtek az implikáció elméletének reformjára. Ugyanakkor nem az implikáció leírt fogalmának feladásáról volt szó, hanem egy másik fogalom bevezetéséről, amely nemcsak az állítások igazságértékeit veszi figyelembe, hanem tartalmi összefüggésüket is.

Szorosan kapcsolódik az implikációhoz egyenértékűség, amelyet néha "kettős implikációnak" neveznek.

Egyenértékűség- „A, akkor és csak akkor, ha B” komplex állítás, amely A és B állításokból áll, és két implikációra bomlik: „ha A, akkor B” és „ha B, akkor A”. Például: "A háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha egyenlő szögű." Az „ekvivalencia” kifejezés jelöli a „..., akkor és csak akkor, ha...” kötőszót is, amelynek segítségével két állításból egy adott összetett állítás alakul ki. A „ha és csak akkor” helyett használhatók erre a célra a „ha és csak akkor”, a „ha és csak ha” stb.

Ha a logikai konnektívumokat az igazság és a hamisság szempontjából definiáljuk, akkor az ekvivalencia akkor és csak akkor igaz, ha mindkét alkotó állításnak azonos az igazságértéke, vagyis ha mindkettő igaz és hamis. Ennek megfelelően egy ekvivalencia hamis, ha a benne szereplő állítások egyike igaz, a másik pedig hamis.

Az egyszerű állításokból összetett állítások kialakításának módjait mérlegelve nem vettük figyelembe az egyszerű állítások belső szerkezetét. Felbonthatatlan részecskéknek vették őket, amelyek egyetlen tulajdonsággal rendelkeznek: igazak vagy hamisak. Egyszerű mondások

Nem véletlen, hogy néha atomosnak is nevezik őket: belőlük, akárcsak az elemi téglákból, logikai „és”, „vagy” stb.-ek segítségével különféle összetett („molekuláris”) állítások épülnek fel.

Most azon a kérdésen kell elidőnünk belső szerkezet, vagy maguknak az egyszerű állításoknak a belső szerkezete: milyen konkrét részekből állnak, és hogyan kapcsolódnak egymáshoz.

Rögtön hangsúlyozni kell, hogy az egyszerű állítások különböző módon bonthatók fel alkotórészeikre. A dekompozíció eredménye attól függ, hogy milyen célból hajtják végre, vagyis a logikai következtetés (logikai következmény) fogalmától, amelynek keretében az ilyen állításokat elemzik.

A kategorikus kijelentések iránti különös érdeklődést elsősorban az magyarázza, hogy a logika mint tudomány fejlődése logikai összefüggéseik vizsgálatával kezdődött. Ráadásul az ilyen típusú kijelentéseket széles körben alkalmazzuk érvelésünkben. A kategorikus állítások logikai összefüggéseinek elméletét általában ún szillogisztikus.

Például a „Minden dinoszaurusz kihalt” kijelentésben a „kihaltnak lenni” attribútumot a dinoszauruszoknak tulajdonítják. Az „Egyes dinoszauruszok repültek” tételben a repülési képességet bizonyos dinoszauruszfajoknak tulajdonítják. A „Minden üstökös nem aszteroida” tétel tagadja az „aszteroidának lenni” attribútum jelenlétét mindegyik üstökösben. A „Néhány állat nem növényevő” tétel tagadja egyes állatok növényevését.

Ha figyelmen kívül hagyjuk a kategorikus állításokban rejlő mennyiségi jellemzőket, amelyeket a „minden” és a „néhány” szavak fejeznek ki, az ilyen állításoknak két változatát kapjuk: igenlő és negatív. Szerkezetük:

"S P" és "S nem P"

ahol az S betű annak a tételnek a nevét jelenti, amelyről arról beszélünk egy utasításban, a P betű pedig az ebben az objektumban rejlő vagy nem velejáró jellemző neve.

A kategorikus utasításban hivatkozott objektum nevét hívják téma, és attribútumának neve állítmány. Az alanyt és az állítmányt ún feltételeket kategorikus kijelentések, és a „van” vagy a „nincs” konnektivívákkal kapcsolódnak össze („van” vagy „nincs” stb.). Például a „Nap egy csillag” kijelentésben a „Nap” és a „csillag” nevek szerepelnek (az első az állítás tárgya, a második az állítmánya), a „van” szó. ” az összekötő.

Az olyan egyszerű kijelentéseket, mint az „S nem P” nevezzük attribúciósnak: ezek valamilyen tulajdonság hozzárendelését (tulajdonítását) foglalják magukban egy objektumhoz.

Az attribúciós állítások ellentétesek azokkal a kapcsolatokra vonatkozó állításokkal, amelyekben két vagy több objektum között kapcsolat jön létre: „Három kevesebb, mint öt”, „Kijev több, mint Odessza”, „Tavasz jobb mint az ősz", "Párizs Moszkva és New York között található", stb. A kapcsolatokra vonatkozó kijelentések jelentős szerepet játszanak a tudományban, különösen a matematikában. Nem redukálhatók kategorikus kijelentésekre, mivel a több objektum közötti kapcsolatok (például „egyenlő”, „szeret”, „melegebb”, „között van” stb.) nem redukálhatók az egyes objektumok tulajdonságaira. A hagyományos logika egyik jelentős hiányossága az volt, hogy a kapcsolatokra vonatkozó ítéleteket visszavezethetőnek tartotta a tulajdonságokra vonatkozó ítéletekre.

A kategorikus kijelentésben nem egyszerűen létrejön a kapcsolat egy objektum és egy jellemző között, hanem adott az állítás alanyának egy bizonyos mennyiségi jellemzője is. Az olyan állításokban, mint az „Minden S P-nek van (nem)”, az „all” szó jelentése „a megfelelő osztály minden objektuma”. Az olyan kijelentésekben, mint a „Néhány S a (nem) P”, a „néhány” szó nem kizárólagos értelemben használatos, és azt jelenti, hogy „néhány, vagy talán az összes”. Kizárólagos értelemben a „némelyek” szó jelentése „csak néhány”, vagy „néhány, de nem minden”. A szó két jelentése közötti különbséget az „Egyes csillagok csillagok” kijelentéssel illusztrálhatjuk. Nem kizárólagos értelemben azt jelenti, hogy "Néhány, talán az összes csillag csillag", és nyilvánvalóan igaz. Kizáró értelemben ez az állítás azt jelenti, hogy „Csak egyes csillagok csillagok”, és egyértelműen hamis.

A kategorikus kijelentésekben bizonyos tulajdonságok a vizsgált objektumokhoz való tartozását megerősítik vagy tagadják, és jelzik, hogy mindezekről a tárgyakról vagy néhányról beszélünk.

Így négyféle kategorikus kijelentés lehetséges:

Minden S P - általában igenlő állítás,

Néhány S az P – egy bizonyos igenlő állítás,

Minden S nem P - általában negatív állítás,

Néhány S nem P – ez egy sajátos negatív állítás.

A kategorikus kijelentések annak eredményeként tekinthetők, ha egyes neveket szóközökkel (ellipszisekkel) helyettesítünk a következő kifejezésekkel: „Mind... van...”, „Néhány...…”, „Minden... van nem...” és „Néhány... nem...”. Ezen kifejezések mindegyike egy logikai állandó (logikai művelet), amely lehetővé teszi, hogy két névből állítsunk elő. Például a „repülő” és a „madarak” elnevezést pontok helyett a következő állításokat kapjuk: „Minden repülő madár”, „Néhány repülő madár”.

Következtetések

„Minden, aki repül, nem madár” és „Néhány, aki repül, nem madár.” Az első és a harmadik állítás hamis, a második és a negyedik pedig igaz.

Következtetések

„Egy csepp vízzel az ember, aki tud logikusan gondolkodni, le tudja zárni a létezést Atlanti-óceán vagy a Niagara-vízesés, még akkor is, ha egyiket vagy a másikat nem is látta, és soha nem is hallott róluk... Az ember körmeinél, kezénél, cipőjénél, nadrágjának térdhajlatánál, a bőr megvastagodásánál a nagy és mutatóujj, az arckifejezése és az inge mandzsettái alapján - ilyen apróságokból nem nehéz kitalálni a szakmáját. És kétségtelen, hogy mindez együttesen helyes következtetésekre készteti a hozzáértő megfigyelőt.”

Ez egy idézet a világirodalom leghíresebb nyomozója és tanácsadója, Sherlock Holmes szakpolitikai cikkéből. alapján a legkisebb részleteket, logikailag hibátlan érvelési láncokat épített fel, és bonyolult bűncselekményeket oldott meg, gyakran anélkül, hogy elhagyta volna Baker Street-i lakását. Holmes egy általa megalkotott deduktív módszert alkalmazott, amely – ahogy barátja, Dr. Watson hitte – az egzakt tudomány küszöbére sodorta a bűnüldözést.

Természetesen Holmes némileg eltúlozta a dedukció jelentőségét a törvényszéki tudományban, de a deduktív módszerrel kapcsolatos érvelése megtette a dolgát. A csak kevesek által ismert speciális kifejezésből a „levonás” általánosan használt, sőt divatos fogalommá vált. A helyes érvelés és mindenekelőtt a deduktív érvelés művészetének népszerűsítése nem kisebb Holmes érdeme, mint az összes általa megoldott bűn. Sikerült „a logikának egy álom varázsát adni, a lehetséges következtetések kristálylabirintusán keresztül egyetlen ragyogó következtetésig” (V. Nabokov).

A levonás a következtetés speciális esete.

Tág értelemben következtetés - logikai művelet, amelynek eredményeként egy vagy több elfogadott állításból (premisszából) új állítást kapunk - következtetést (következtetést, következményt).

Attól függően, hogy van-e kapcsolat a premisszák és a következtetés között logikus következmény, kétféle következtetést lehet megkülönböztetni.

A lényegben deduktív érvelés egy logikai törvény rejlik, melynek következtében a következtetés logikai szükségszerűséggel következik az elfogadott premisszákból.

Megkülönböztető tulajdonság egy ilyen következtetés az, hogy az igaz premisszákból mindig igaz következtetéshez vezet.

IN induktív érvelés a premisszák és a konklúzió közötti kapcsolat nem a logika törvényén alapul, hanem néhány ténybeli vagy pszichológiai alapon, amelyek nem pusztán formális jellegűek.

Egy ilyen következtetésben a következtetés nem logikusan következik a premisszákból, és tartalmazhat olyan információkat, amelyek nem szerepelnek azokban. A premisszák megbízhatósága tehát nem jelenti a belőlük induktív módon levezetett állítás megbízhatóságát. Az indukció csak a valószínűt adja meg, ill valószínű, további ellenőrzést igénylő következtetések.

A deduktív következtetések közé tartoznak például a következők:

Ha esik, nedves a föld. Esik az eső.

A talaj nedves.

Ha a hélium fém, akkor elektromosan vezetőképes. A hélium nem vezet elektromosan.

A hélium nem fém.

A premisszákat a következtetéstől elválasztó vonal szokás szerint az „ezért” szót váltja fel.

Az indukció példái az érvelés:

Argentína egy köztársaság; Brazília egy köztársaság; Venezuela egy köztársaság; Ecuador egy köztársaság.

Argentína, Brazília, Venezuela, Ecuador latin-amerikai államok.

Minden latin-amerikai állam köztársaság .

Olaszország köztársaság, Portugália köztársaság, Finnország köztársaság, Franciaország köztársaság.

Olaszország, Portugália, Finnország, Franciaország nyugat-európai országok.

Minden nyugat-európai ország köztársaság.

Az indukció nem nyújt teljes garanciát arra, hogy a meglévő igazságokból új igazságot kapjunk. A maximum, amiről beszélhetünk, az az állítás kikövetkeztetésének bizonyos fokú valószínűsége. Tehát mind az első, mind a második induktív következtetés premisszái igazak, de az első következtetése igaz, a másodiké pedig hamis. Valójában minden latin-amerikai állam köztársaság; de a nyugat-európai országok között nemcsak köztársaságok vannak, hanem monarchiák is, például Anglia, Belgium és Spanyolország.

Következtetések

A különösen jellemző levezetések az általános tudásból a konkrét tudásba való logikai átmenetek, mint például:

Minden fém képlékeny. A réz egy fém.

A réz képlékeny.

Minden olyan esetben, amikor valamilyen jelenséget a már ismertek alapján kell figyelembe venni általános szabályés hogy levonjuk a szükséges következtetést e jelenségekkel kapcsolatban, dedukció formájában azt a következtetést vonjuk le. Tipikus indukció az okfejtés, amely egyes objektumokról (magánismeretről) egy bizonyos osztályba tartozó összes objektumról való tudáshoz vezet (általános tudás). Mindig fennáll annak a lehetősége, hogy az általánosítás elhamarkodottnak és alaptalannak bizonyul ("Napóleon parancsnok; Szuvorov parancsnok; ez azt jelenti, hogy minden ember parancsnok").

Ugyanakkor a dedukciót nem lehet azonosítani az általánosból a különösbe való átmenettel, az indukciót pedig az egyediből az általánosba való átmenettel.

Az érvelésben: „Shakespeare szonetteket írt; ezért nem igaz, hogy Shakespeare nem írt szonetteket. A „Ha az alumínium műanyag vagy az agyag műanyag, akkor az alumínium műanyag” érvelés, ahogyan azt általában gondolják, induktív, de nincs átmenet a konkrétról az általánosra.

A dedukció olyan következtetések levezetése, amelyek ugyanolyan megbízhatóak, mint az elfogadott premisszák, az indukció pedig a valószínű (valószínű) következtetések levezetése. Az induktív következtetések magukban foglalják mind az átmenetet a konkrétról az általánosra, mind az analógiát, a megállapítási módszereket ok-okozati összefüggések, következmények megerősítése, céltudatos indoklás stb.

Érthető a deduktív érvelés iránt tanúsított különleges érdeklődés. Lehetővé teszik új igazságok megszerzését a meglévő tudásból, ráadásul tiszta érvelés segítségével, tapasztalat, intuíció, józan ész stb. igénybevétele nélkül. A dedukció száz százalékos garanciát ad a sikerre, nem pedig egyszerűen. vagy egy másik - talán nagy - valószínűsége a valódi következtetésnek. Valódi premisszákból kiindulva és deduktív érveléssel biztosak lehetünk abban, hogy minden esetben megbízható ismeretekre teszünk szert.

Miközben hangsúlyozzuk a dedukció fontosságát a tudás kibontakozásának és alátámasztásának folyamatában, nem szabad azonban elválasztani az indukciótól, és alábecsülni az utóbbit. Szinte mindent általános rendelkezések, beleértve a tudományos törvényeket is, az induktív általánosítás eredményei. Ebben az értelemben az indukció tudásunk alapja. Önmagában nem garantálja annak igazságát és érvényességét, de feltételezésekre ad okot, összekapcsolja azokat a tapasztalatokkal, és ezáltal többé-kevésbé hitelességet ad nekik. magas fokú valószínűségek. A tapasztalat az emberi tudás forrása és alapja. Az indukció, a tapasztalatból kiindulva, általánosításának és rendszerezésének szükséges eszköze.

LOGIKAI TÖRVÉNYEK

Fejezet

A logikai törvény fogalma

A logikai törvények képezik az emberi gondolkodás alapját. Meghatározzák, hogy egyes állításokból mikor következnek logikusan más állítások, és azt a láthatatlan vaskeretet képviselik, amelyen a következetes érvelés nyugszik, és amely nélkül kaotikus, összefüggéstelen beszéddé válik. Logikai törvény nélkül lehetetlen megérteni, mi a logikai következmény, és ezáltal mi a bizonyíték.

A helyes, vagy ahogy szokták mondani, a logikus gondolkodás a logika törvényei szerint, az általuk rögzített elvont minták szerint való gondolkodás. Ez magyarázza e törvények fontosságát.

A homogén logikai törvényeket logikai rendszerekké egyesítik, amelyeket általában „logikának” is neveznek. Mindegyikük leírást ad érvelésünk egy-egy töredékének vagy típusának logikai szerkezetéről.

Például az állítások logikai összefüggéseit leíró törvények, amelyek függetlenek az utóbbi belső szerkezetétől, egy „propozíciós logikának” nevezett rendszerbe egyesülnek. A kategorikus kijelentések összefüggéseit meghatározó logikai törvények egy logikai rendszert alkotnak, amelyet „kategorikus állítások logikájának”, vagy „szillogisztikának” neveznek.

A logikai törvények objektívek és nem függenek az ember akaratától és tudatától. Nem emberek közötti megállapodás eredménye, hanem valamilyen speciálisan kidolgozott vagy spontán módon létrejött konvenció. Nem valamiféle „világszellem” termékei, ahogyan azt Platón egykor hitte. A logika törvényeinek ereje az ember felett, a helyes gondolkodás kötelező ereje annak köszönhető, hogy az emberi gondolkodásban tükröződnek. való világés évszázados tapasztalata annak ismerete és az ember általi átalakulása.

Mint minden más tudományos törvény, a logikai törvények is egyetemesek és szükségesek. Mindig és mindenhol működnek, egyformán kiterjednek minden emberre és minden korszakra. képviselők

A logikai törvény fogalma

különböző nemzetek és különböző kultúrák, férfiak és nők, ókori egyiptomiak és modern polinézek, érvelésük logikája szempontjából nem különböznek egymástól.

A logikai törvényekben rejlő szükségszerűség bizonyos értelemben még sürgetőbb és megváltoztathatatlanabb, mint a természetes vagy fizikai szükségszerűség. Elképzelni sem lehet, hogy a logikailag szükséges másképp is lehetne. Ha valami ellentmond a természet törvényeinek, és fizikailag lehetetlen, akkor azt egyetlen mérnök sem lesz képes megvalósítani, bármilyen tehetséges is legyen. De ha valami ellentmond a logika törvényeinek és logikailag lehetetlen, akkor nemcsak egy mérnök – még egy mindenható lény sem tudná életre kelteni, ha hirtelen felbukkanna.

Amint azt korábban említettük, a helyes érvelés során a következtetés logikai szükségszerűséggel következik a premisszákból, és az ilyen érvelés általános sémája egy logikai törvény.

A helyes érvelés (logikai törvények) sémáinak száma végtelen. E sémák közül sokat az érvelés gyakorlatából ismerünk. Intuitív módon alkalmazzuk őket anélkül, hogy észrevennénk, hogy minden helyes következtetésünk egy vagy másik logikai törvényt alkalmaz.

A logikai törvény általános fogalmának bemutatása előtt számos példát adunk a logikai törvényeket képviselő érvelési sémákra. Az állítások jelölésére általában használt A, B, C, ... változók helyett az ókorban megszokott módon az „első” és „második” szavakat fogjuk használni, változók helyett.

„Ha van első, akkor van második; ott van az első; ezért van egy második." Ez az érvelési séma lehetővé teszi, hogy a feltételes állítás kijelentésétől („Ha van első, akkor van egy második”) és az alapja kijelentésétől („Van egy első”) a következmény kijelentésére térjünk át. „Van egy második”). E séma szerint különösen az érvelés folytatódik: „Ha a jeget felmelegítik, megolvad; a jeget felmelegítik; ezért megolvad.”

A helyes érvelés másik sémája: „Vagy az első, vagy a második megtörténik; ott van az első; ez azt jelenti, hogy nincs második." Ezen a sémán keresztül, két egymást kizáró alternatíva közül, és annak megállapításával, hogy melyik a helyzet, áttérünk a második alternatíva tagadására. Például: „Dosztojevszkij vagy Moszkvában született, vagy Szentpéterváron. Dosztojevszkij Moszkvában született. Ez azt jelenti, hogy nem igaz, hogy Szentpéterváron született.” A „The Good, the Bad and the Ugly” című amerikai westernben az egyik rossz szereplő azt mondja a másiknak: „Ne feledje, a világ két részre oszlik: azokra, akik revolvert tartanak, és azokra, akik ásnak. Most már nálam van a revolver, szóval fogd a lapátot. Ez az érvelés is a jelzett sémán alapul.

És egy utolsó előzetes példa egy logikai törvényre vagy a helyes érvelés általános sémájára: „Ez az első vagy a második. De az első nem az. Ez azt jelenti, hogy ez utóbbi a helyzet.” Az „első” kifejezés helyett cseréljük ki a „nappal van”, a „második” helyett pedig az „éjszaka van” állítást. Az absztrakt diagramból megkapjuk az érvelést: „Nap van, vagy éjszaka. De nem igaz, hogy nappal van.

Szóval most éjszaka van."

Ezek néhány egyszerű áramkörök helyes érvelés, illusztrálva a logikai törvény fogalmát. Hasonló sémák százai és százai ülnek a fejünkben, bár ennek nincs tudatában. Ezek alapján logikusan, vagy helyesen érvelünk.

A logika törvénye (logikai törvény)- értelmes részek helyett csak logikai állandókat és változókat tartalmazó kifejezés, amely az érvelés bármely területén igaz.

Vegyünk példának egy csak változókat és logikai állandókat tartalmazó kifejezést, a következőt: „Ha A, akkor B; azt jelenti, hogy ha nem A, akkor B nem." A logikai állandók itt a „ha, akkor” és a „nem” propozíciós konnektívumok. Az A és B változók néhány állítást képviselnek. Tegyük fel, hogy A a „Van oka”, B pedig a „Van egy hatás”. Ezzel a konkrét tartalommal az indoklást kapjuk: „Ha van ok, akkor van okozat; Ez azt jelenti, hogy ha nincs hatás, akkor nincs ok." Tegyük fel továbbá, hogy A helyett a „A szám osztható hatal” állítást, B helyett pedig a „A szám osztható hárommal” állítást helyettesítjük. Ezzel a konkrét tartalommal a szóban forgó diagram alapján kapjuk meg az indoklást: „Ha egy szám osztható hattal, akkor osztható hárommal. Ezért, ha egy szám nem osztható hárommal, akkor nem osztható hattal." Bármilyen más állítással helyettesítjük is az A és B változókat, ha ezek az állítások igazak, akkor a belőlük levont következtetés igaz lesz.

A logikában általában meg kell jegyezni, hogy az objektumok azon területe, amelyről az érvelés folyik, és amelyről a logikai törvénybe beillesztett állítások beszélnek, nem lehet üres: tartalmaznia kell legalább egy objektumot. Ellenkező esetben a séma szerinti érvelés, amely a logika törvénye, valódi premisszákból hamis következtetésre vezethet.

Például a „Minden elefánt állat” és „Minden elefántnak van törzse” valódi premisszákból a logika törvénye szerint az „egyes állatoknak törzse van” valós következtetés következik. De ha a kérdéses objektumok tartománya üres, a logika törvényének követése nem garantálja a valódi következtetést valódi premisszák mellett. Ugyanezen séma szerint fogunk érvelni, de ezúttal aranyhegyekről. Vonjuk le a következtetést: „Minden aranyhegy hegy; minden arany hegy arany; ezért egyes hegyek aranyszínűek.” Ennek a következtetésnek mindkét tétele igaz. De következtetése: „Néhány hegy arany” egyértelműen hamis: nincs arany hegy.

A logikai törvény fogalma

Így a logika törvényén alapuló érvelést két jellemző jellemzi:

Az ilyen érvelés az igaz premisszáktól mindig igaz következtetéshez vezet;

A következmény a premisszákból logikai szükségszerűséggel következik.

A logikai törvényt is hívják logikai tautológia.

Logikai tautológia- olyan kifejezés, amely igaz marad, függetlenül attól, hogy milyen tárgyakról van szó, vagy egy „mindig igaz” kifejezés.

Például a kettős tagadás „Ha A, akkor nem igaz, hogy nem A” logikai törvényébe történő behelyettesítések összes eredménye igaz állítás: „Ha a korom fekete, akkor nem igaz, hogy nem fekete.” „Ha az ember remeg a félelemtől, akkor nem igaz, hogy nem remeg a félelemtől” stb.

Mint már említettük, a logikai törvény fogalma közvetlenül kapcsolódik a logikai implikáció fogalmához: a következtetés logikusan következik az elfogadott premisszákból, ha azt egy logikai törvény kapcsolja össze. Például a „Ha A, akkor B” és „Ha B, akkor C” premisszákból logikusan következik a „Ha A, akkor C” következtetés, mivel a „Ha A, akkor B, és ha B, akkor C” kifejezés, akkor ha A , akkor C" egy logikai törvényt képvisel, mégpedig tranzitivitási törvény(tranzitivitás). Tegyük fel, hogy a „Ha valaki apa, akkor szülő” és „Ha valaki szülő, akkor apa vagy anya” premisszákból e törvény szerint a következmény: „Ha a az ember apa, akkor apa vagy anya.”

Logikai sorrend- a premisszák és egy következtetés következtetése közötti kapcsolat, amelynek általános sémája egy logikai törvény.

Mivel a logikai implikáció összekapcsolása logikai törvényen alapul, két jellemzője van:

A logikai következmény az igaz premisszákból csak az igaz következtetéshez vezet;

A premisszákból következő következtetés logikai szükségszerűen következik belőlük.

Nem minden logikai törvény határozza meg közvetlenül a logikai következmény fogalmát. Vannak törvények, amelyek más logikai összefüggéseket írnak le: „és”, „vagy”, „nem igaz, hogy” stb., és csak közvetve kapcsolódnak a logikai implikáció viszonyához. Különösen ez az ellentmondás törvénye, amelyet alább tárgyalunk: „Nem igaz, hogy egy önkényesen felvett állítás ill.

Egyszerű és összetett kijelentések. Egy állítás tagadása

A matematikai logika, amelynek alapjait G. Leibniz fektette le még a 17. században, a következőképpen alakult ki. tudományos diszciplína csak a 19. század közepén J. Boole és O. Morgan matematikusok munkájának köszönhetően, akik megalkották a logika algebráját.

1. Az állítás bármely kijelentő mondat, amelyről ismert, hogy igaz vagy hamis. Az állítások szavakkal, valamint matematikai, kémiai és egyéb szimbólumokkal is kifejezhetők. Íme néhány példa:

b) 2+6>8 (hamis állítás),

c) a 2 és 6 számok összege nagyobb, mint a 8 (hamis állítás);

d) II + VI > VII (igaz állítás);

e) Galaxisunkban vannak földönkívüli civilizációk(ez az állítás kétségtelenül igaz vagy hamis, de még nem tudni, hogy ezek közül a lehetőségek közül melyik igaz).

Nyilvánvaló, hogy a b) és c) állítások ugyanazt jelentik, de másképpen fejeződnek ki. Általában a következő állításokat fogjuk írni: a: (A Hold a Föld műholdja); b:(van olyan x valós szám, hogy 2x+5=15); c: (minden háromszög egyenlő szárú).

Nem minden mondat állítás. Például a felkiáltójelek és kérdő mondatok kijelentések nem ("Milyen színű ez a ház?", "Igyál paradicsomlevet!", "Állj!" stb.). A definíciók szintén nem állítások, például: „Nevezzünk mediánnak egy olyan szakaszt, amely egy háromszög csúcsát a középpontjával köti össze. ellentétes oldalon". Itt csak valamilyen objektum neve kerül megállapításra. Így a definíciók, de lehetnek igazak vagy hamisak, csak az elfogadott kifejezéshasználatot rögzítik. A „szürke szeme van” vagy „x 2 - 4x + 3 =" mondatok 0” sem utasítások, nincs megadva, hogy melyik a férfi sétál beszédet vagy milyen x egyenlőséget tekintenek. Az ilyen ismeretlen tagú (változós) mondatokat hívjuk homályos kijelentések. Figyeljük meg, hogy a „Néhány embernek szürke a szeme” vagy „Minden x esetén az x 2 - 4x + 3 = 0 egyenlőség” mondat már állítás (az első igaz, a második hamis).

2. A részekre bontható állítást összetettnek, a tovább nem bontható állítást pedig egyszerűnek nevezzük. Például a „Ma délután 4 órakor iskolában voltam, és este 6 órára a korcsolyapályára mentem” kijelentés két részből áll: „Ma 4 órakor a délután suliban voltam” és „Ma este 6 órakor kimentem a korcsolyapályára". Vagy ez az állítás: „az y = ax 2 + bx + c függvény folytonos és minden értékre differenciálható X" két egyszerű állításból áll: "Az y = ax 2 + bx + c függvény folytonos x minden értékére" és "az y = ax 2 + bx + c függvény x minden értékére differenciálható."

Ahogy adott számokból az összeadás, kivonás, szorzás és osztás műveleteivel más számokat is kaphatunk, úgy adott állításokból is kaphatunk újakat olyan műveletekkel, amelyeknek speciális neve van: kötőszó, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia, tagadás. Bár ezek az elnevezések szokatlanul hangzanak, csak az egyes mondatok jól ismert összefüggéseit jelentik az „és”, „vagy”, „ha...akkor...”, „ha és csak ha...” kötőszóval, valamint a „nem” részecske hozzáadása az állításhoz.

3. Az a állítás tagadása olyan a állítás, amelyben a hamis, ha a igaz, és a igaz, ha a hamis. Az a jelölés így hangzik: „Nem a” vagy „Nem igaz, hogy a”. Próbáljuk meg példákkal megérteni ezt a definíciót. Vegye figyelembe a következő állításokat:

a: (Ma délután 12 órakor a korcsolyapályán voltam);

b: (Ma nem déli 12-kor voltam a korcsolyapályán);

s: (12 órakor voltam a korcsolyapályán, ma nem);

d:(Ma déli 12-kor iskolában voltam);

e: (Ma délután 3 órakor voltam a korcsolyapályán);

f:(Ma 12 órakor nem voltam a korcsolyapályán);

Első pillantásra minden b - f állítás tagadja az a állítást. De a valóságban ez nem így van. Ha figyelmesen elolvassa a b állítás jelentését, észre fogja venni, hogy az a és b állítás egyszerre hamisnak bizonyulhat - ez meg fog történni, ha ma egyáltalán nem voltam a korcsolyapályán. Ugyanez vonatkozik az a és c, a és a állításokra. És az a és e állítások igaznak bizonyulhatnak (ha pl. délután 11-től 4 óráig korcsolyáztam), és ugyanakkor hamisnak (ha ma egyáltalán nem voltam a korcsolyapályán ). És csak az f állításnak van a következő tulajdonsága: igaz abban az esetben, ha az a állítás hamis, és hamis abban az esetben, ha az a állítás igaz. Ez azt jelenti, hogy az f állítás az a állítás tagadása, azaz f = a. Az alábbi táblázat az a és állítások közötti kapcsolatot mutatja be;

Az „i” és „l” betűk az „igaz” és „hamis” szavak rövidítései. Ezeket a szavakat a logikában igazságértékeknek nevezzük. A táblázatot igazságtáblázatnak nevezik.

Propozíciós logika , más néven propozíciós logika, a matematika és logika egyik ága, amely az egyszerű vagy elemi állításokból logikai műveletek segítségével felépített összetett állítások logikai formáit vizsgálja.

A propozíciós logika elvonatkoztat az állítások tartalmától, és megvizsgálja azok igazságértékét, vagyis azt, hogy az állítás igaz-e vagy hamis.

A fenti kép a hazug paradoxonként ismert jelenséget szemlélteti. Ugyanakkor a projekt szerzője szerint ilyen paradoxonok csak politikai problémáktól nem mentes környezetben lehetségesek, ahol valakit eleve hazugnak lehet bélyegezni. A természetes többrétegű világban az „igazság” vagy „hamis” alanya csak az egyes állításokat értékeli . És később ebben a leckében bemutatják neked lehetőséget arra, hogy a témával kapcsolatos számos kijelentést saját maga értékelje (majd nézd meg a helyes válaszokat). Beleértve az összetett utasításokat, amelyekben az egyszerűbbeket logikai műveletek jelei kapcsolják össze. De először nézzük meg ezeket a műveleteket magukon az állításokon.

A kijelentéslogikát a számítástechnikában és a programozásban használják logikai változók deklarálása és „hamis” vagy „igaz” logikai értékek hozzárendelése formájában, amelyektől a program további végrehajtásának menete függ. Azokban a kis programokban, ahol csak egy logikai változó szerepel, a logikai változónak gyakran olyan nevet adnak, mint a "zászló", és a jelentése "jelző fel van", amikor a változó értéke "true" és "flag is down" ennek a változónak az értéke "false". A nagy programokban, amelyekben több vagy akár sok logikai változó van, a szakembereknek olyan elnevezéseket kell kitalálniuk a logikai változóknak, amelyeknek van olyan kijelentésformájuk és szemantikai jelentése, amely megkülönbözteti őket a többi logikai változótól, és érthető más szakemberek számára, akik felolvassa ennek a programnak a szövegét.

Így egy „UserRegistered” nevű logikai változó (vagy annak angol nyelvű analógja) deklarálható utasítás formájában, amelyhez „true” logikai értéket rendelhetünk, ha a regisztrációs adatok elküldésének feltételei teljesülnek. a felhasználó által, és ezeket az adatokat a program érvényesnek ismeri el. A további számításoknál a változók értéke a UserRegistered változó logikai értékétől (igaz vagy hamis) függően változhat. Más esetekben egy változóhoz, például „Több mint három nappal hátravan a nap előtt” nevű változóhoz egy bizonyos számítási blokk előtt „True” értéket lehet rendelni, és a program további végrehajtása során ez az érték megadható. mentve vagy „hamis”-ra változtatva, és a további végrehajtás előrehaladása a változó programok értékétől függ.

Ha egy program több logikai változót használ, amelyek neve utasítás formájú, és ezekből összetettebb utasítások épülnek fel, akkor sokkal könnyebb a program fejlesztése, ha a fejlesztés előtt az összes műveletet utasításokból írjuk le. az állításlogikában használt képletek formájában, mint mi ezt a leckét fogjuk tenni.

Logikai műveletek állításokon

A matematikai állítások esetében mindig lehet választani két különböző alternatíva, az „igaz” és a „hamis” között, de a „verbális” nyelven tett állítások esetében az „igazság” és a „hamis” fogalma valamivel homályosabb. Azonban például az olyan verbális formák, mint a „Menj haza” és „Esik az eső?”, nem kijelentések. Ezért egyértelmű, hogy Az állítások olyan verbális formák, amelyekben valami elhangzik . A kérdő vagy felkiáltó mondatok, a fellebbezések, valamint a kívánságok vagy követelések nem kijelentések. Nem értékelhetők „igaz” és „hamis” értékkel.

Ezzel szemben az állítások olyan mennyiségeknek tekinthetők, amelyek két jelentést kaphatnak: „igaz” és „hamis”.

Például a következő ítéletek születnek: „a kutya állat”, „Párizs Olaszország fővárosa”, „3

Ezen állítások közül az első az „igaz”, a második „hamis”, a harmadik „igaz”, a negyedik pedig „hamis” jellel értékelhető. Az állítások ezen értelmezése a propozíciós algebra tárgya. Az állításokat nagy betűkkel fogjuk jelölni latin betűkkel A, B, ..., és jelentésük, azaz igaz és hamis, ill ÉSÉs L. A hétköznapi beszédben az „és”, a „vagy” és a többi kijelentés közötti kapcsolatokat használják.

Ezek a kapcsolatok lehetővé teszik a különböző állítások egymással való összekapcsolásával új állítások kialakítását - összetett állítások . Például az összekötő "és". Legyenek az állítások: " π több mint 3" és a " π kevesebb, mint 4". Új - összetett utasítást rendezhet " π több mint 3 és π kevesebb, mint 4". Kijelentés "ha π akkor irracionális π ² is irracionális" két állítás összekapcsolásával kapjuk meg az "if - akkor" kapcsolót. Végül bármely állításból kaphatunk egy újat - egy összetett állítást - az eredeti állítás tagadásával.

Az állításokat jelentést felvevő mennyiségnek tekinteni ÉSÉs L, tovább fogjuk határozni logikai műveletek állításokon , amelyek lehetővé teszik, hogy ezekből az állításokból új összetett állításokat kapjunk.

Legyen két tetszőleges állítás AÉs B.

1 . Az első logikai művelet ezeken az állításokon - konjunkció - egy új állítás létrehozását jelenti, amelyet jelölni fogunk A ∧ Bés ami akkor és csak akkor igaz AÉs B igazak. A hétköznapi beszédben ez a művelet megfelel az állítások összekapcsolásának az „és” kötőszóval.

Igazságtáblázat a kötőszóhoz:

A	B	A ∧ B
ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	L
L	ÉS	L
L	L	L

2 . Második logikai művelet állításokon AÉs B- diszjunkció kifejezve A ∨ B, a következőképpen definiálható: akkor és csak akkor igaz, ha az eredeti állítások közül legalább egy igaz. A közönséges beszédben ez a művelet megfelel az állítások összekapcsolásának a „vagy” kötőszóval. Itt azonban van egy nem osztó „vagy”, amely a „vagy vagy” mikor értelemben értendő AÉs B mindkettő nem lehet igaz. A propozíciós logika meghatározásában A ∨ B igaz akkor is, ha csak az egyik állítás igaz, és akkor is, ha mindkét állítás igaz AÉs B.

Igazságtáblázat a diszjunkcióhoz:

A	B	A ∨ B
ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	ÉS
L	ÉS	ÉS
L	L	L

3 . A harmadik logikai művelet állításokon AÉs B, mint A → B; az így kapott állítás akkor és csak akkor hamis A igaz, de B hamis. A hívott csomaggal , B - következmény , és a nyilatkozat A → B - következő implikációnak is nevezik. A hétköznapi beszédben ez a művelet a „ha-akkor” kötőszónak felel meg: „ha A, Azt B De a propozíciós logika definíciójában ez az állítás mindig igaz, függetlenül attól, hogy az állítás igaz vagy hamis B. Ez a körülmény röviden így fogalmazható meg: „a hamisból minden következik”. Viszont ha A igaz, de B hamis, akkor a teljes állítás A → B hamis. Akkor és csak akkor lesz igaz A, És B igazak. Röviden ezt így lehet megfogalmazni: „az igazból nem következhet hamis”.

Követendő igazságtáblázat (következmény):

A	B	A → B
ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	L
L	ÉS	ÉS
L	L	ÉS

4 . Az állításokkal, pontosabban egy utasítással kapcsolatos negyedik logikai műveletet egy állítás tagadásának nevezzük Aés ~ jelöli A(nem a ~, hanem a ¬ szimbólum használatát is megtalálhatod, valamint egy felülírást is fent A). ~ A van egy állítás, ami hamis, amikor A igaz, és igaz, amikor A hamis.

Igazságtáblázat a tagadáshoz:

A	~ A
L	ÉS
ÉS	L

5 . Végül pedig az állításokra vonatkozó ötödik logikai műveletet ekvivalenciának nevezzük, és jelöljük A ↔ B. Az eredményül kapott kijelentés A ↔ B egy állítás akkor és csak akkor igaz AÉs B mindkettő igaz vagy mindkettő hamis.

Igazságtáblázat az egyenértékűséghez:

A	B	A → B	B → A	A ↔ B
ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	L	ÉS	L
L	ÉS	ÉS	L	L
L	L	ÉS	ÉS	ÉS

A legtöbb programozási nyelvnek speciális szimbólumai vannak az állítások logikai jelentésének jelölésére, szinte minden nyelven igaznak és hamisnak vannak írva.

Foglaljuk össze a fentieket. Propozíciós logika olyan összefüggéseket vizsgál, amelyeket teljesen meghatároz az a mód, ahogyan egyes állítások másokból épülnek fel, ezeket eleminek nevezzük. Ebben az esetben az elemi állításokat egésznek tekintjük, és nem bonthatók részekre.

Rendszerezzük az alábbi táblázatban az állításokon végrehajtott logikai műveletek nevét, jelöléseit és jelentését (hamarosan ismét szükségünk lesz rájuk a példák megoldásához).

Csomag	Kijelölés	Művelet neve
Nem		tagadás
És		kötőszó
vagy		diszjunkció
ha... akkor...		implikáció
akkor és csak akkor		egyenértékűség

Igaz a logikai műveletekre Az algebrai logika törvényei, amely a logikai kifejezések egyszerűsítésére használható. Meg kell jegyezni, hogy a propozíciós logikában az ember elvonatkoztat egy állítás szemantikai tartalmától, és arra korlátozódik, hogy azt abból a pozícióból tekintse, hogy az igaz vagy hamis.

1. példa

1) (2 = 2) ÉS (7 = 7) ;

2) Nem(15;

3) ("Fenyő" = "tölgy") VAGY ("Cseresznye" = "juhar");

4) Nem("Fenyő" = "tölgy") ;

5) (Nem(15 20) ;

6) ("A szemek láthatják") És ("A harmadik emelet alatt van a második emelet");

7) (6/2 = 3) VAGY (7*5 = 20) .

1) Az első zárójelben lévő állítás jelentése „igaz”, a második zárójelben lévő kifejezés jelentése is igaz. Mindkét állítást az „ÉS” logikai művelet köti össze (a művelet szabályait lásd fent), ezért ennek a teljes állításnak a logikai értéke „igaz”.

2) A zárójelben lévő állítás jelentése „hamis”. Ez előtt az állítás előtt létezik a tagadás logikai művelete, ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése „igaz”.

3) Az első zárójelben lévő állítás jelentése „hamis”, a második zárójelben lévő állítás jelentése is „hamis”. Az állításokat az "OR" logikai művelet köti össze, és egyik állítás sem rendelkezik "igaz" értékkel. Ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése „hamis”.

4) A zárójelben lévő állítás jelentése „hamis”. Ezt az állítást a tagadás logikai művelete előzi meg. Ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése „igaz”.

5) A belső zárójelben lévő állítást az első zárójelben tagadjuk. Ennek a belső zárójelben lévő állításnak a jelentése "hamis", ezért tagadása logikai "igaz" jelentésű lesz. A második zárójelben lévő állítás azt jelenti, hogy "hamis". Ezt a két állítást az „ÉS” logikai művelet köti össze, vagyis az „igaz ÉS hamis” eredményt kapjuk. Ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése „hamis”.

6) Az első zárójelben lévő állítás jelentése „igaz”, a második zárójelben lévő állítás jelentése is „igaz”. Ezt a két állítást az „ÉS” logikai művelet köti össze, vagyis megkapjuk az „igaz ÉS igazságot”. Ezért az egész adott állítás logikai jelentése „igaz”.

7) Az első zárójelben szereplő állítás jelentése „igaz”. A második zárójelben szereplő állítás jelentése "hamis". Ezt a két állítást az „OR”, azaz „igaz VAGY hamis” logikai művelet köti össze. Ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése „igaz”.

2. példaÍrja le a következő összetett állításokat logikai műveletekkel:

1) „A felhasználó nincs regisztrálva”;

2) „Ma vasárnap van, és néhány alkalmazott dolgozik”;

3) „A felhasználó akkor és csak akkor van regisztrálva, ha a felhasználó által megadott adatok érvényesek.”

1) p- egyetlen utasítás „A felhasználó regisztrálva van”, logikai művelet: ;

2) p- egyetlen kijelentés: „Ma vasárnap van”, q- "Néhány alkalmazott dolgozik", logikai művelet: ;

3) p- egyetlen nyilatkozat „A felhasználó regisztrálva van”, q- „A felhasználó által küldött adatokat érvényesnek találtuk”, logikai művelet: .

Oldjon meg példákat a propozíciós logikára, majd nézze meg a megoldásokat

3. példa Számítsa ki a következő állítások logikai értékeit:

1) ("70 másodperc van egy percben") VAGY ("A futó óra mutatja az időt");

2) (28 > 7) ÉS (300/5 = 60) ;

3) ("TV- elektromos készülék") És ("Üveg - fa");

4) Nem((300 > 100) VAGY ("A szomjat vízzel olthatod"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

4. példaÍrja le a következő összetett állításokat logikai műveletekkel, és számítsa ki logikai értéküket:

1) „Ha az óra rosszul mutatja az időt, akkor előfordulhat, hogy rosszkor érkezel az órára”;

2) „A tükörben láthatod a tükörképedet és Párizst, az USA fővárosát”;

5. példa Határozza meg egy kifejezés logikai értékét

(p → q) ↔ (r → s) ,

p = "278 > 5" ,

q= "Alma = narancs",

p = "0 = 9" ,

s= "A kalap fedi a fejet".

Propozíciós logikai képletek

Az összetett állítás logikai formájának fogalmát a fogalom segítségével tisztázzuk propozíciós logikai képletek .

Az 1. és 2. példában megtanultunk összetett utasításokat írni logikai műveletek segítségével. Valójában ezeket propozíciós logikai formuláknak nevezik.

Az állítások jelölésére, mint az említett példában, továbbra is a betűket fogjuk használni

p, q, r, ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Ezek a betűk olyan változók szerepét töltik be, amelyek az „igaz” és a „hamis” igazságértékeket veszik értékként. Ezeket a változókat propozíciós változóknak is nevezik. A továbbiakban hívjuk őket elemi képletek vagy atomok .

A propozíciós logikai képletek elkészítéséhez a fent jelzett betűk mellett logikai műveletek jeleit is használják

~, ∧, ∨, →, ↔,

valamint a képletek egyértelmű olvasásának lehetőségét biztosító szimbólumok - bal és jobb zárójelek.

Koncepció propozíciós logikai képletek definiáljuk a következőképpen:

1) az elemi formulák (atomok) a propozíciós logika képletei;

2) ha AÉs B- propozíciós logikai képletek, majd ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) a propozíciós logika képletei is;

3) csak azok a kifejezések propozicionális logikai képletek, amelyekre ez következik az 1) és 2).

A propozíciós logikai formula definíciója tartalmazza e képletek kialakításának szabályait. A definíció szerint minden propozíciós logikai formula vagy atom, vagy a 2. szabály következetes alkalmazása eredményeként atomokból jön létre.

6. példa. Hadd p- egyetlen állítás (atom) „Minden racionális szám valós”, q- "Néhány valós szám racionális szám" r- "néhány racionális szám valós." Fordítsa le a következő propozíciós logikai képleteket verbális állítások formájába:

6) .

1) "nem valós számok, amelyek racionálisak";

2) "Ha nem minden racionális szám valós, akkor nem racionális számok, amelyek érvényesek";

3) „ha minden racionális szám valós, akkor néhány valós szám racionális szám, és néhány racionális szám valós”;

4) „minden valós szám racionális szám, és néhány valós szám racionális szám, néhány racionális szám pedig valós szám”;

5) „minden racionális szám akkor és csak akkor valós, ha nem minden racionális szám valós”;

6) „nem az a helyzet, hogy nem minden racionális szám valós, és nincsenek racionális számok, vagy nincsenek valós racionális számok.”

7. példa. Hozzon létre igazságtáblázatot a propozíciós logikai képlethez , amely a táblázatban kijelölhető f .

Megoldás. Az igazságtáblázat összeállítását az egyes állítások (atomok) értékeinek ("igaz" vagy "hamis") rögzítésével kezdjük. p , qÉs r. Az összes lehetséges érték a táblázat nyolc sorába van írva. Továbbá az implikációs művelet értékeinek meghatározásakor és a táblázatban jobbra haladva emlékezzünk arra, hogy az érték egyenlő a „false”-val, amikor a „false” az „igaz”-ból következik.

p	q	r					f
ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	ÉS	L	ÉS	ÉS	ÉS	L	ÉS
ÉS	L	ÉS	ÉS	L	L	L	L
ÉS	L	L	ÉS	L	L	ÉS	ÉS
L	ÉS	ÉS	L	ÉS	L	ÉS	ÉS
L	ÉS	L	L	ÉS	L	ÉS	L
L	L	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS
L	L	L	ÉS	ÉS	ÉS	L	ÉS

Vegyük észre, hogy egyetlen atomnak sincs ~ alakja A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) . Az összetett képleteknek van ilyen típusa.

A propozíciós logikai képletekben a zárójelek száma csökkenthető, ha ezt elfogadjuk

1) be összetett képlet elhagyjuk a külső zárójelpárt;

2) rendezzük a logikai műveletek jeleit „elsőbbségi sorrendbe”:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Ebben a listában a ↔ jel rendelkezik a legnagyobb, a ~ jel pedig a legkisebb hatókörrel. A műveleti jel hatásterülete a propozíciós logika formulájának azon részeire vonatkozik, amelyekre a szóban forgó jel előfordulása vonatkozik (amelyekre hat). Így bármelyik képletből ki lehet hagyni azokat a zárójelpárokat, amelyek visszaállíthatók, figyelembe véve az „elsőbbségi sorrendet”. A zárójelek visszaállításakor pedig először a ~ jel minden előfordulásához kapcsolódó összes zárójel kerül elhelyezésre (balról jobbra haladunk), majd a ∧ jel összes előfordulásához, és így tovább.

8. példa.Állítsa vissza a zárójeleket a propozíciós logikai képletben B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Megoldás. A zárójelek visszaállítása lépésről lépésre az alábbiak szerint történik:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Nem minden propozíciós logikai képlet írható fel zárójelek nélkül. Például képletekben A → (B → C) és ~( A → B) a zárójelek további kizárása nem lehetséges.

Tautológiák és ellentmondások

A logikai tautológiák (vagy egyszerűen tautológiák) a propozíciós logika képletei, amelyek szerint ha a betűket tetszőlegesen állításokkal (igaz vagy hamis) helyettesítjük, az eredmény mindig igaz állítás lesz.

Mivel az összetett állítások igazsága vagy hamissága csak a jelentésétől függ, és nem az állítások tartalmától, amelyek mindegyike egy-egy betűnek felel meg, így annak ellenőrzése, hogy egy adott állítás tautológia-e, a következő módon végezhető el. A vizsgált kifejezésben az 1 és a 0 (illetve „igaz” és „hamis”) értékeket minden lehetséges módon helyettesítjük a betűkkel, és a kifejezések logikai értékeit logikai műveletekkel számítjuk ki. Ha ezek az értékek 1-gyel egyenlőek, akkor a vizsgált kifejezés tautológia, és ha legalább egy helyettesítés 0-t ad, akkor ez nem tautológia.

Így egy propozíciós logikai képlet, amely az „igaz” értéket veszi fel az ebben a képletben szereplő atomok értékeinek bármely eloszlására, az ún. azonos a valódi képlettel vagy tautológia .

Az ellenkező jelentés logikai ellentmondás. Ha az állítások összes értéke 0, akkor a kifejezés logikai ellentmondás.

Így egy propozíciós logikai képlet, amely a „hamis” értéket veszi fel az ebben a képletben szereplő atomok értékeinek bármely eloszlására, az ún. azonosan hamis képlet vagy ellentmondás .

A tautológiákon és a logikai ellentmondásokon kívül vannak olyan propozicionális logikai képletek, amelyek sem nem tautológiák, sem nem ellentmondások.

9. példa. Készítsen igazságtáblázatot egy propozíciós logikai képlethez, és határozza meg, hogy tautológia, ellentmondás vagy egyik sem.

Megoldás. Készítsünk igazságtáblázatot:

ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	L	L	ÉS
L	ÉS	L	ÉS	ÉS
L	L	L	L	ÉS

Az implikáció jelentései között nem találunk olyan sort, amelyben az „igaz”-ból „hamis” következne. Az eredeti állítás összes értéke egyenlő az "igaz" értékkel. Ezért, ezt a képletet a propozíciós logika tautológia.

Minden ember más-más paraméterekkel rendelkező egyén, amely a számítógépes kitöltéshez hasonlóan különféle műveleteket tud végrehajtani belül különböző időpontokban. Az ember biztosan nem számítógép, sokkal menőbb, még akkor is, ha ez a legmodernebb számítógép.

Minden emberben van egy bizonyos gabona, ezt hívják az igazság gabonájának, ha az ember vigyáz és ápolja magában a gabonát, akkor kiváló termés terem, amely örömet okoz neki!

Megérted, hogy a gabona a lelkünk, ahhoz, hogy érezzük a lelket, rendelkezned kell valamiféle érzékfeletti képességekkel.

Egy másik példa - Egy személy minden nap termel egy fajtát, csak hagyja drágaköveket. Ha persze tudja, hogy néznek ki a drágakövek, de ha csak az ércet válogatja, kihagyja a gyémántokat és más drágaköveket, és azt hiszi, hogy ezek csak kövek, akkor ennek az embernek problémái vannak az életben.

Az élet ilyen, olyan, mint egy ember, aki ércet lapátol, hogy gyémántot találjon! Mik azok a gyémántok? Ez az a motiváció, ami a cselekvésre késztet ebben a világban, de a motiváció biztosítékai folyamatosan olvadnak, fel kell töltenünk a motivációnkat, hogy továbbra is hatékonyan tudjunk cselekedni. Honnan jön a motiváció? A sarokkő az információ, a helyes információ olyan, mint egy összenyomott rugó, ha helyesen fogadjuk, a rugó kinyílik és pontosan a célba lő, és nagyon gyorsan elérjük a célt. Ha rosszul kezeljük a motivációt, akkor miért, akkor a rugó a homlokba lő. Miért történik ez? Mert a belső szándékunk az alapja annak, hogy miért cselekszünk, mit akarunk elérni, és hogy motivált tetteink ártanak-e másoknak!

Ebben a cikkben összegyűjtöttem minden idők és népek legmotiválóbb idézeteit és állapotait, ahogy mondani szokás. De természetesen rajtad múlik, hogy melyiket választod a legjobban. Addig pedig kényelembe helyezzük magunkat, nagyon okoskodjunk, kapcsoljunk ki minden kommunikációs eszközt, és élvezzük a költők, művészek és csak vízvezeték-szerelők bölcsességét!

U
én és bölcs idézetekés mondások az életről

Nem elég a tudás, alkalmazni is kell. Nem elég kívánni, cselekedni kell.

És jó úton járok. állok. De mennünk kellene.

Önmagán dolgozni a legnehezebb munka, ezért kevesen csinálják.

Az életkörülményeket nemcsak konkrét cselekedetek, hanem az ember gondolatainak természete is alakítja. Ha ellenséges vagy a világgal, az hasonlóképpen fog válaszolni neked. Ha folyamatosan kifejezi elégedetlenségét, ennek egyre több oka lesz. Ha a negativizmus érvényesül a valósághoz való hozzáállásodban, akkor a világ a legrosszabb oldalát fordítja feléd. Éppen ellenkezőleg, a pozitív hozzáállás természetesen jobbá teszi az életét. Az ember azt kapja, amit választ. Ez a valóság, akár tetszik, akár nem.

Attól, hogy megsértődsz, még nem biztos, hogy igazad van

Évről évre, hónapról hónapra, napról napra, óráról órára, percről percre, sőt másodpercről másodpercre - az idő pillanatra megállás nélkül repül. Semmiféle erő nem szakíthatja meg ezt a futást, nincs hatalmunkban. Nem tehetünk mást, mint hasznosan, konstruktívan eltölteni az időt, vagy károsan elpazarolni. Ez a választás a miénk; a döntés a mi kezünkben van.

Semmi esetre sem szabad elveszíteni a reményt. Itt van a kétségbeesés érzése az igazi ok kudarcok. Ne feledje, hogy bármilyen nehézséget legyőzhet.

Az ember úgy van megtervezve, hogy ha valami megvilágítja a lelkét, minden lehetségessé válik. Jean de Lafontaine

Mindent, ami most történik veled, egyszer te magad alkottad. Vadim Zeland

Bennünk sok szükségtelen szokás és tevékenység van, amelyekre időt, gondolatokat, energiát pazarolunk, és amelyek nem engednek virágozni. Ha rendszeresen eldobunk mindent, ami felesleges, akkor a felszabaduló idő és energia hozzásegít valódi vágyaink és céljaink eléréséhez. Azáltal, hogy minden régit és haszontalant eltávolítunk életünkből, lehetőséget adunk a bennünk rejlő tehetségek és érzések kivirágzására.

Szokásaink rabjai vagyunk. Változtass a szokásaidon, megváltozik az életed. Robert Kiyosaki

Az a személy, akivé válni készülsz, csak az a személy, akivé válsz. Ralph Waldo Emerson

A varázslat az, ha hiszel magadban. És ha sikerül, akkor minden más is sikerül.

Egy párban mindegyiknek fejlesztenie kell azt a képességét, hogy érezze a másik rezdüléseit, legyen közös asszociációjuk és közös értékeik, képesek legyenek meghallani azt, ami a másiknak fontos, és valamiféle kölcsönös megegyezésre kell jutniuk abban, hogyan cselekedjenek, ha bizonyos értékek nem egyeznek. Salvador Minujin

Minden ember lehet mágnesesen vonzó és hihetetlenül szép. Az igazi szépség az emberi lélek belső kisugárzása.

Két dolgot értékelek igazán: a lelki közelséget és az örömszerzés képességét. Richard Bach

A másokkal való küzdelem csak trükk a belső harc elkerülésére. Osho

Amikor egy személy panaszkodni kezd, vagy kifogásokat talál kudarcai miatt, fokozatosan leépül.

A jó élet mottója: segíts magadon.

Nem az bölcs, aki sokat tud, hanem az, akinek a tudása hasznos. Aiszkhülosz

Vannak, akik azért mosolyognak, mert mosolyogsz. És néhányan csak azért, hogy mosolyogjanak.

Aki önmagában uralkodik és uralkodik szenvedélyein, vágyain és félelmein, az több, mint egy király. John Milton

Minden férfi végül azt a nőt választja, aki jobban hisz benne, mint ő.

Egy nap ülj le és hallgasd meg, mit akar a lelked?

Olyan gyakran nem hallgatunk a lélekre, megszokásból sietünk valahova.

Ott vagy, ahol vagy, és aki vagy, mert hogyan érzékeled magad. Változtasd meg azt, ahogyan magadról gondolkodsz, és megváltoztatod az életedet. Brian Tracy

Az élet három nap: tegnap, ma és holnap. A tegnap már eltelt, és nem változtatsz rajta semmit, a holnap még nem jött el. Ezért próbáljon ma becsületesen viselkedni, hogy ne bánja meg.

Az igazán nemes ember nem születik nagy lélekkel, hanem csodálatos tettei által teszi magát azzá. Francesco Petrarca

Mindig mutasd az arcod napfényés az árnyak mögötted lesznek, Walt Whitman

Az egyetlen, aki bölcsen cselekedett, az a szabóm volt. Valahányszor meglátott, újra megmérte. Bernard Shaw

Az emberek soha nem használják ki teljesen a sajátjukat saját erő hogy jót érjenek el az életben, mert valami önmagukon kívüli erőt remélnek – remélik, hogy az megteszi azt, amiért ők maguk is felelősek.

Soha ne menj vissza a múltba. Megöli a drága időt. Ne állj egy helyben. Azok, akiknek szükségük van rád, utolérnek téged.

Ideje kiverni a fejedből a rossz gondolatokat.

Ha a rosszat keresed, biztosan megtalálod, és semmi jót nem veszel észre. Ezért, ha egész életedben vársz és készülsz a legrosszabbra, az biztosan megtörténik, és nem fogsz csalódni félelmeidben és aggodalmaidban, egyre több megerősítést találva rájuk. De ha a legjobbat reméled és arra készülsz, akkor nem fogsz rossz dolgokat vonzani az életedbe, hanem egyszerűen megkockáztatod, hogy néha csalódsz – az élet lehetetlen csalódások nélkül.

Ha a legrosszabbra számítasz, megkapod, kihagyva az élet minden jót, ami benne van. És fordítva, olyan lelkierőre tehet szert, amelynek köszönhetően minden stresszes, kritikus élethelyzetben meglátja a pozitív oldalait.

Hülyeségből vagy lustaságból milyen gyakran hiányzik az embereknek a boldogságuk.

Sokan megszokták, hogy úgy léteznek, hogy holnapra halasztják az életet. Szem előtt tartják a következő éveket, amikor alkotnak, alkotnak, csinálnak, tanulnak. Azt hiszik, még rengeteg idejük van. Ez a legnagyobb hiba, amit elkövethet. Valójában nagyon kevés időnk van.

Emlékezzen arra az érzésre, amit az első lépés megtételekor ér, függetlenül attól, hogy milyen lesz, mindenesetre sokkal jobb lesz, mint az az érzés, amit csak egy helyben ülve ér. Szóval kelj fel és csinálj valamit. Tedd meg az első lépést – csak egy apró lépést előre.

A körülmények nem számítanak. A koszba dobott gyémánt nem szűnik meg gyémántnak lenni. A szépséggel és nagyszerűséggel teli szív képes túlélni az éhséget, a hideget, az árulást és mindenféle veszteséget, de önmaga marad, szerető és nagy eszmékre törekszik. Ne bízzon a körülményekben. Higgy az álmodban.

Buddha háromféle lustaságot írt le. Az első a lustaság, amelyről mindannyian tudunk. Amikor nincs kedvünk semmit sem csinálni. A második az önmagunk rossz érzésének lustasága – a gondolkodás lustasága. „Soha nem csinálok semmit az életben”, „Nem tudok semmit, nem érdemes próbálkozni.” A harmadik a lényegtelen dolgokkal való állandó elfoglaltság. Mindig lehetőségünk van arra, hogy betöltsük időnk vákumát azzal, hogy „elfoglaljuk” magunkat. De általában ez csak egy módja annak, hogy elkerülje a találkozást önmagával.

Nem számít, milyen szépek a szavaid, a tetteid alapján fognak megítélni.

Ne rágódj a múlton, többé nem leszel ott.

Hagyd, hogy a tested mozgásban legyen, az elméd pihenjen, a lelked pedig olyan átlátszó, mint egy hegyi tó.

Aki nem gondolkodik pozitívan, az undorodik az élettől.

A boldogság nem jön a házba, ahol nyafognak nap mint nap.

Néha csak egy kis szünetet kell tartanod, és emlékeztetned kell magad, ki vagy és ki szeretnél lenni.

Az életben az a legfontosabb, hogy megtanuld a sors minden fordulatát a szerencse cikcakkjává változtatni.

Ne engedd, hogy bármi olyan kijöjjön belőled, ami árthat másoknak. Ne engedj magadba semmit, ami árthat neked.

Bármilyen nehéz helyzetből azonnal kijössz, ha csak arra emlékszel, hogy nem a testeddel, hanem a lelkeddel élsz, és emlékezz arra, hogy van benned valami, ami mindennél erősebb a világon. Lev Tolsztoj

Állapotok az életről. Bölcs mondások.

Légy őszinte akkor is, ha egyedül van önmagaddal. Az őszinteség egészsé teszi az embert. Amikor az ember ugyanazt gondolja, mondja és teszi, ereje megháromszorozódik.

Az életben az a legfontosabb, hogy megtaláld önmagad, a tiéd és a tiéd.

Akiben nincs igazság, abban kevés a jó.

Fiatalkorban keresünk gyönyörű test, az évek során - rokonlélek. Vadim Zeland

Az számít, hogy az ember mit csinál, nem az, hogy mit akart csinálni. William James

Ebben az életben minden bumerángként tér vissza, ehhez nem fér kétség.

Minden akadály és nehézség olyan lépés, amelyen felfelé haladunk.

Mindenki tudja, hogyan kell szeretni, mert születéskor megkapja ezt az ajándékot.

Minden nő, amire figyelsz.

Mindazt, amit az ember azt hiszi, hogy másokról mond, valójában önmagáról mond.

Amikor kétszer belép ugyanabba a vízbe, ne felejtse el, mi okozta, hogy először távozott.

Azt hiszed, ez csak egy újabb nap az életedben. Ez nem csak egy újabb nap, ez az egyetlen nap, ami ma adatik neked.

Lépj ki az idő pályájáról, és lépj be a szerelem pályájára. Hugo Winkler

Még a tökéletlenségeket is lehet kedvelni, ha a lélek megnyilvánul bennük.

Még ésszerű ember buta lesz, ha nem fejleszti magát.

Adj erőt, hogy vigasztaljunk, és ne vigasztalódjunk; megérteni, nem megérteni; szeretni, nem szeretni. Mert amikor adunk, akkor kapunk. A megbocsátással pedig bocsánatot nyerünk magunknak.

Az élet útján haladva maga teremti meg az univerzumot.

A nap mottója: Jól vagyok, de lesz még jobb! D Juliana Wilson

A lelkednél nincs értékesebb a világon. Daniel Shellabarger

Ha belül van agresszió, az élet „megtámad”.

Ha benned van a harci vágy, akkor riválisokat kapsz.

Ha belül megsértődik, az élet okot ad arra, hogy még jobban megsértődj.

Ha benned van a félelem, az élet megijeszt.

Ha belül bűntudatot érzel, az élet megtalálja a módját, hogy „megbüntessen”.

Ha rosszul érzem magam, akkor ez nem ok arra, hogy szenvedést okozzak másoknak.

Ha valaha is olyan embert akarsz találni, aki képes legyőzni minden, még a legsúlyosabb viszontagságot is, és boldoggá tenni, amikor senki más nem tud, csak nézz a tükörbe, és mondd: „Helló!”

Ha valami nem tetszik, változtass rajta. Ha nincs elég időd, ne bámuld a tévét.

Ha életed Szerelmét keresed, állj meg. Megtalál, ha csak azt csinálod, amit szeretsz. Nyisd meg fejed, kezed és szíved valami újnak. Ne félj megkérdezni. És ne félj válaszolni. Ne féljen megosztani álmait. Sok lehetőség csak egyszer jelenik meg. Az élet az utadon lévő emberekről szól, és arról, amit velük alkotsz. Tehát kezdj el létrehozni. Az élet nagyon gyors. Ideje elkezdeni.

Ha jó irányba haladsz, azt a szívedben fogod érezni.

Ha gyertyát gyújtasz valakiért, az a te utadat is megvilágítja.

Ha jó embereket akarsz magad körül, jó emberek, - próbálj meg velük figyelmesen, kedvesen, udvariasan bánni - meglátod, hogy mindenki jobban lesz. Az életben minden tőled függ, hidd el.

Ha az ember akarja, hegyet rak a hegyre

Az élet örök mozgás, folyamatos megújulás és fejlődés, nemzedékről nemzedékre, csecsemőkortól bölcsességig, az elme és a tudat mozgása.

Az élet belülről olyannak lát, amilyen vagy.

Gyakran az a személy, aki elbukik, többet tanul meg arról, hogyan kell nyerni, mint az, aki azonnal sikeres.

A harag a leghaszontalanabb érzelmek. Elpusztítja az agyat és károsítja a szívet.

Alig ismerek gonosz embereket. Egy nap találkoztam valakivel, akitől féltem, és gonosznak tartottam; de amikor jobban megnéztem, csak boldogtalan volt.

És mindezt egyetlen céllal, hogy megmutassa, mi vagy, mit hordozol a lelkedben.

Minden alkalommal, amikor a régi módon akarsz reagálni, tedd fel magadnak a kérdést, hogy a múlt foglya vagy a jövő úttörője akarsz lenni.

Mindenki sztár, és megérdemli a jogot, hogy ragyogjon.

Bármi legyen is a problémád, annak oka a gondolkodásodban rejlik, és minden minta megváltoztatható.

Ha nem tudod, mit csinálj, viselkedj emberi lényként.

Minden nehézség bölcsességet ad.

Bármilyen kapcsolat olyan, mint a homok, amit a kezedben tartasz. Tartsa lazán benne nyitott kéz- és benne marad a homok. Abban a pillanatban, amikor erősen megszorítja a kezét, a homok elkezd ömleni az ujjain keresztül. Így visszatarthat egy kis homokot, de a legtöbb kiömlik. A kapcsolatokban ez pontosan ugyanaz. Bánjon gondosan és tisztelettel a másik emberrel és szabadságával, közel maradva. De ha túl erősen szorítod és azzal a látszattal, hogy birtokolsz egy másik személyt, a kapcsolat megromlik és szétesik.

A mentális egészség mércéje az a hajlandóság, hogy mindenben jót találjunk.

A világ tele van nyomokkal, légy figyelmes a jelekre.

Az egyetlen dolgot nem értem, hogy nekem, mint mindannyiunknak, hogyan tudom megtölteni az életünket annyi szeméttel, kétségekkel, sajnálattal, múlttal, amely már nem létezik, és jövővel, ami még nem történt meg, félelmekkel, amelyek valószínűleg soha nem válik valóra, ha minden ilyen nyilvánvalóan egyszerű.

Sokat beszélni és sokat mondani nem ugyanaz.

Nem látunk mindent úgy, ahogy van – mindent úgy látunk, ahogy vagyunk.

Gondolkodj pozitívan, ha nem működik pozitívan, az nem gondolat. Marilyn Monroe

Találj csendes békét a fejedben és szeretetet a szívedben. És nem számít, mi történik körülötted, ne hagyd, hogy bármi megváltoztassa ezt a két dolgot.

Nem mindegyikünk vezet pozitív változásokhoz az életünkben, de természetesen nem érhetjük el a boldogságot anélkül, hogy bármit is tennénk.

Ne hagyd, hogy mások véleményének zaja elnyomja a tiédet. belső hang. Legyen bátorságod követni a szívedet és az intuíciódat.

Ne változtasd az életed könyvét siralommá.

Ne rohanjon elűzni a magány pillanatait. Talán ez az Univerzum legnagyobb ajándéka - hogy megvédjen egy ideig mindentől, ami felesleges, hogy önmaga váljon.

Láthatatlan vörös szál köti össze a találkozásra szántakat, idő, hely és körülmények ellenére. A cérna megnyúlhat vagy összegabalyodhat, de soha nem szakad el.

Nem adhatod oda, ami nincs. Nem tehetsz boldoggá másokat, ha te magad vagy boldogtalan.

Nem tudsz legyőzni valakit, aki nem adja fel.

Nincsenek illúziók - nincsenek csalódások. Éhesnek kell lenned, hogy értékeld az ételt, meg kell tapasztalnod a hideget, hogy megértsd a melegség előnyeit, és gyereknek kell lenned, hogy lásd a szülők értékét.

Tudnod kell megbocsátani. Sokan azt hiszik, hogy a megbocsátás a gyengeség jele. De a „megbocsátok” szavak egyáltalán nem azt jelentik, hogy „túl puha ember vagyok, ezért nem tudok megsértődni, és továbbra is tönkreteheti az életemet, nem szólok hozzád egy szót sem, Ez azt jelenti, hogy "Nem hagyom, hogy a múlt elrontsa a jövőmet és a jelenemet, ezért megbocsátok neked és elengedek minden sérelmet."

A neheztelés olyan, mint a kövek. Ne halmozd fel őket magadban. Ellenkező esetben a súlyuk alá kerülsz.

Egy nap az osztályban társadalmi problémák professzorunk felvette a fekete könyvet, és azt mondta, hogy ez a könyv piros.

Az apátia egyik fő oka az életcél hiánya. Ha nincs mire törekedni, összeomlik, a tudat álmos állapotba merül. Ellenkezőleg, ha van vágy elérni valamit, a szándék energiája aktiválódik, és életerő emelkedik. Először is célnak tekintheti magát - vigyázzon magára. Mi adhat önbecsülést és elégedettséget? Számos módja van annak, hogy javítsa magát. Célul tűzheti ki magának, hogy egy vagy több szempontból fejlődjön. Te jobban tudod, mi okozza az elégedettséget. Ekkor megjelenik az élet íze, és minden más automatikusan megoldódik.

Megfordította a könyvet, és a hátlapja piros volt. Aztán azt mondta: "Ne mondd el senkinek, hogy téved, amíg nem nézed a helyzetet az ő szemszögéből."

A pesszimista az a személy, aki panaszkodik a zajra, amikor a szerencse kopogtat az ajtaján. Petr Mamonov

Az igazi spiritualitást nem kényszerítik ki – az embert lenyűgözi.

Ne feledje, néha a csend a legjobb válasz a kérdésekre.

Nem a szegénység vagy a gazdagság rontja el az embereket, hanem az irigység és a kapzsiság.

A választott út helyességét az határozza meg, hogy mennyire vagy boldog, miközben azon haladsz.

Motivációs idézetek

A megbocsátás nem változtatja meg a múltat, de felszabadítja a jövőt.

Az ember beszéde önmaga tükre. Minden hamis és álnokság, bárhogyan is próbáljuk elrejteni mások elől, minden üresség, érzéketlenség vagy durvaság ugyanolyan erővel és nyilvánvalósággal tör át a beszédben, mint amilyen az őszinteség és nemesség, a gondolatok és érzések mélysége és finomsága.

A legfontosabb a harmónia a lelkedben, mert a semmiből képes boldogságot teremteni.

A „lehetetlen” szó blokkolja a lehetőségeit, míg a „Hogyan tehetem ezt?” kérdés? teljes mértékben munkára készteti az agyat.

A szónak igaznak kell lennie, a cselekvésnek döntőnek kell lennie.

Az élet értelme a cél utáni vágy erejében rejlik, és szükséges, hogy a létezés minden pillanatának meglegyen a maga magas célja.

A hiúság soha senkit nem vezetett sikerre. Minél több a béke a lélekben, annál könnyebben és gyorsabban oldódik meg minden probléma.

Van elég fény annak, aki látni akar, és elég sötétség annak, aki nem akar.

A tanulásnak egy módja van - valódi cselekvés. Az üres beszéd értelmetlen.

A boldogság nem olyan ruha, amit boltban lehet venni, vagy műteremben megvarrni.

A boldogság az belső harmónia. Kívülről lehetetlen elérni. Csak belülről.

A sötét felhők mennyei virágokká változnak, ha a fény megcsókolja őket.

Amit másokról mondasz, az nem őket jellemzi, hanem téged.

Ami az emberben van, az kétségtelenül az fontosabb annál amivel az ember rendelkezik.

Aki tud gyengéd lenni, annak nagy belső ereje van.

Szabadon megtehetsz, amit akarsz – csak ne feledkezz meg a következményekről.

Sikerülni fog – mondta halkan Isten.

Nincs esélye – hangosan kijelentették a körülmények. William Edward Hartpole Leckie

Ha ebben a világban akarsz élni, élj és örülj, és ne járkálj elégedetlen arccal, hogy a világ tökéletlen. Te teremted a világot – a fejedben.

Az ember bármit megtehet. Csak őt általában gátolja a lustaság, a félelem és az alacsony önértékelés.

Az ember képes megváltoztatni az életét azáltal, hogy megváltoztatja a nézőpontját.

Amit bölcs ember tesz az elején, azt a bolond a végén.

Ahhoz, hogy boldog légy, meg kell szabadulnod minden feleslegestől. A felesleges dolgoktól, a felesleges felhajtástól, és ami a legfontosabb - a felesleges gondolatoktól.

Nem lélekkel felruházott test vagyok, hanem lélek, amelynek egy része látható, és testnek nevezik.