Jeg håber, at du efter at have studeret denne artikel vil lære, hvordan du finder rødderne til en komplet andengradsligning.

Ved at bruge diskriminanten løses kun komplette andengradsligninger; for at løse ufuldstændige andengradsligninger bruges andre metoder, som du finder i artiklen "Løsning af ufuldstændige andengradsligninger."

Hvilke andengradsligninger kaldes komplette? Det her ligninger på formen ax 2 + b x + c = 0, hvor koefficienterne a, b og c ikke er lig med nul. Så for at løse en komplet andengradsligning skal vi beregne diskriminanten D.

D = b 2 – 4ac.

Afhængig af værdien af ​​diskriminanten vil vi skrive svaret ned.

Hvis diskriminanten et negativt tal(D< 0),то корней нет.

Hvis diskriminanten er nul, så er x = (-b)/2a. Når diskriminanten positivt tal(D > 0),

derefter x 1 = (-b - √D)/2a, og x 2 = (-b + √D)/2a.

For eksempel. Løs ligningen x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Svar: 2.

Løs ligning 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Svar: ingen rødder.

Løs ligning 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Svar: – 3,5; 1.

Så lad os forestille os løsningen af ​​komplette andengradsligninger ved hjælp af diagrammet i figur 1.

Ved at bruge disse formler kan du løse enhver komplet andengradsligning. Du skal bare passe på ligningen blev skrevet som et polynomium standard visning

EN x 2 + bx + c, ellers kan du lave en fejl. For eksempel, når du skriver ligningen x + 3 + 2x 2 = 0, kan du fejlagtigt beslutte, at

a = 1, b = 3 og c = 2. Derefter

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 og så har ligningen to rødder. Og dette er ikke sandt. (Se løsning til eksempel 2 ovenfor).

Derfor, hvis ligningen ikke er skrevet som et polynomium af standardformen, skal først den komplette andengradsligning skrives som et polynomium af standardformen (monomialet med den største eksponent skal komme først, dvs. EN x 2 , så med mindre – bx og så et gratis medlem Med.

Når du løser den reducerede andengradsligning og en andengradsligning med en lige koefficient i andet led, kan du bruge andre formler. Lad os stifte bekendtskab med disse formler. Hvis det andet led i en komplet andengradsligning har en lige koefficient (b = 2k), så kan du løse ligningen ved at bruge formlerne vist i diagrammet i figur 2.

En komplet andengradsligning kaldes reduceret, hvis koefficienten kl x 2 er lig med en, og ligningen har formen x 2 + px + q = 0. En sådan ligning kan gives for løsning, eller den kan opnås ved at dividere alle koefficienter i ligningen med koefficienten EN, stående kl x 2 .

Figur 3 viser et diagram til løsning af det reducerede kvadrat
ligninger. Lad os se på et eksempel på anvendelsen af ​​formlerne diskuteret i denne artikel.

Eksempel. Løs ligningen

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Lad os løse denne ligning ved hjælp af formlerne vist i diagrammet i figur 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Svar: –1 – √3; –1 + √3

Du kan bemærke, at koefficienten for x i denne ligning er et lige tal, det vil sige b = 6 eller b = 2k, hvorfra k = 3. Lad os så prøve at løse ligningen ved hjælp af formlerne vist i diagrammet i figur D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Svar: –1 – √3; –1 + √3. Når vi bemærker, at alle koefficienterne i denne andengradsligning er delelige med 3 og udfører divisionen, får vi den reducerede andengradsligning x 2 + 2x – 2 = 0 Løs denne ligning ved hjælp af formlerne for den reducerede andengradsligning
ligninger figur 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 - √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Svar: –1 – √3; –1 + √3.

Som vi ser, når vi løser denne ligning ved forskellige formler vi fik samme svar. Derfor, efter at have grundigt mestret formlerne vist i diagrammet i figur 1, vil du altid være i stand til at løse enhver komplet andengradsligning.

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

I moderne samfund evnen til at udføre operationer med ligninger, der indeholder en variabel i kvadrat, kan være nyttig inden for mange aktivitetsområder og er meget udbredt i praksis i den videnskabelige og tekniske udvikling. Bevis på dette kan findes i design af marine og flodbåde, flyvemaskiner og missiler. Ved hjælp af sådanne beregninger, banerne for bevægelse af de fleste forskellige kroppe, herunder rumobjekter. Eksempler med løsning af kvadratiske ligninger bruges ikke kun i økonomisk prognose, i design og konstruktion af bygninger, men også i de mest almindelige hverdagsforhold. De kan være nødvendige på vandreture, ved sportsbegivenheder, i butikker ved indkøb og i andre meget almindelige situationer.

Lad os opdele udtrykket i dets komponenter

Graden af ​​en ligning bestemmes af den maksimale værdi af graden af ​​den variabel, som udtrykket indeholder. Hvis den er lig med 2, kaldes en sådan ligning kvadratisk.

Hvis vi taler i formlersproget, så kan de angivne udtryk, uanset hvordan de ser ud, altid bringes til formen, når venstre side af udtrykket består af tre led. Blandt dem: akse 2 (det vil sige en variabel i anden kvadrat med dens koefficient), bx (en ukendt uden et kvadrat med dens koefficient) og c (en fri komponent, det vil sige et almindeligt tal). Alt dette på højre side er lig med 0. I det tilfælde, hvor et sådant polynomium mangler et af dets konstituerende led, med undtagelse af akse 2, kaldes det en ufuldstændig andengradsligning. Eksempler med løsning af sådanne problemer, værdierne af de variable, som er lette at finde, bør overvejes først.

Hvis udtrykket ser ud som om det har to led på højre side, mere præcist axe 2 og bx, er den nemmeste måde at finde x ved at sætte variablen ud af parentes. Nu vil vores ligning se således ud: x(ax+b). Dernæst bliver det tydeligt, at enten x=0, eller også handler problemet om at finde en variabel fra følgende udtryk: ax+b=0. Dette er dikteret af en af ​​egenskaberne ved multiplikation. Reglen siger, at produktet af to faktorer kun resulterer i 0, hvis en af ​​dem er nul.

Eksempel

x=0 eller 8x - 3 = 0

Som et resultat får vi to rødder af ligningen: 0 og 0,375.

Ligninger af denne art kan beskrive bevægelser af kroppe under påvirkning af tyngdekraften, som begyndte at bevæge sig fra et bestemt punkt taget som oprindelsen af ​​koordinater. Her antager den matematiske notation følgende form: y = v 0 t + gt 2 /2. Ved at erstatte de nødvendige værdier, sidestille højre side med 0 og finde mulige ukendte, kan du finde ud af den tid, der går fra det øjeblik, kroppen rejser sig til det øjeblik, den falder, samt mange andre størrelser. Men vi taler om dette senere.

Faktorering af et udtryk

Reglen beskrevet ovenfor gør det muligt at løse disse problemer i mere komplekse sager. Lad os se på eksempler på løsning af andengradsligninger af denne type.

X 2 - 33x + 200 = 0

Det her kvadratisk trinomium er komplet. Lad os først transformere udtrykket og faktorisere det. Der er to af dem: (x-8) og (x-25) = 0. Som et resultat har vi to rødder 8 og 25.

Eksempler med løsning af andengradsligninger i klasse 9 gør det muligt for denne metode at finde en variabel i udtryk ikke kun af anden, men endda af tredje og fjerde orden.

For eksempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Når man faktoriserer højre side i faktorer med en variabel, er der tre af dem, det vil sige (x+1), (x-3) og (x+ 3).

Som et resultat bliver det indlysende, at denne ligning har tre rødder: -3; -1; 3.

Kvadrat rod

Endnu en sag ufuldstændig ligning den anden orden er et udtryk repræsenteret i bogstavsproget på en sådan måde, at højre side er konstrueret af komponenterne akse 2 og c. Her, for at få værdien af ​​variablen, overføres frileddet til højre side, og derefter udvindes det fra begge sider af ligheden Kvadrat rod. Det skal bemærkes, at i dette tilfælde er der normalt to rødder af ligningen. De eneste undtagelser kan være ligheder, der slet ikke indeholder et led med, hvor variablen er lig nul, samt varianter af udtryk, når højre side viser sig at være negativ. I sidstnævnte tilfælde er der ingen løsninger overhovedet, da ovenstående handlinger ikke kan udføres med rødder. Eksempler på løsninger til andengradsligninger af denne type bør overvejes.

I dette tilfælde vil rødderne af ligningen være tallene -4 og 4.

Beregning af landareal

Behovet for denne form for beregninger dukkede op i oldtiden, fordi udviklingen af ​​matematik i disse fjerne tider i vid udstrækning var bestemt af behovet for at bestemme med den største nøjagtighed arealer og omkredse af jordlodder.

Vi bør også overveje eksempler på løsning af andengradsligninger baseret på problemer af denne art.

Så lad os sige, at der er et rektangulært jordstykke, hvis længde er 16 meter større end bredden. Du bør finde længden, bredden og omkredsen af ​​stedet, hvis du ved, at dens areal er 612 m2.

For at komme i gang, lad os først oprette den nødvendige ligning. Lad os angive med x bredden af ​​området, så vil dets længde være (x+16). Af det skrevet følger, at arealet er bestemt af udtrykket x(x+16), som efter betingelserne for vores opgave er 612. Det betyder, at x(x+16) = 612.

At løse komplette andengradsligninger, og dette udtryk er præcis det, kan ikke gøres på samme måde. Hvorfor? Selvom venstre side stadig indeholder to faktorer, er deres produkt slet ikke lig med 0, så her bruges forskellige metoder.

Diskriminerende

Lad os først og fremmest lave de nødvendige transformationer udseende af dette udtryk vil se således ud: x 2 + 16x - 612 = 0. Det betyder, at vi har modtaget et udtryk i en form svarende til den tidligere angivne standard, hvor a=1, b=16, c=-612.

Dette kunne være et eksempel på løsning af andengradsligninger ved hjælp af en diskriminant. Her nødvendige beregninger fremstilles efter skemaet: D = b 2 - 4ac. Denne hjælpemængde gør det ikke kun muligt at finde de nødvendige mængder i en andenordens ligning, den bestemmer mængden mulige muligheder. Hvis D>0, er der to af dem; for D=0 er der én rod. I tilfælde D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om rødder og deres formel

I vores tilfælde er diskriminanten lig med: 256 - 4(-612) = 2704. Dette tyder på, at vores problem har et svar. Hvis du kender k, skal løsningen af ​​andengradsligninger fortsættes med formlen nedenfor. Det giver dig mulighed for at beregne rødderne.

Dette betyder, at i det præsenterede tilfælde: x 1 =18, x 2 =-34. Den anden mulighed i dette dilemma kan ikke være en løsning, fordi jordloddens dimensioner ikke kan måles i negative mængder, hvilket betyder x (det vil sige bredden af ​​grunden) er 18 m. Herfra beregner vi længden: 18 +16=34, og omkredsen 2(34+ 18)=104(m2).

Eksempler og opgaver

Vi fortsætter vores undersøgelse af andengradsligninger. Eksempler og detaljerede løsninger på flere af dem vil blive givet nedenfor.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Lad os flytte alt til venstre side af ligheden, lave en transformation, det vil sige, at vi får den type ligning, der normalt kaldes standard, og sidestiller den til nul.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ved at tilføje lignende, bestemmer vi diskriminanten: D = 49 - 48 = 1. Det betyder, at vores ligning vil have to rødder. Lad os beregne dem i henhold til ovenstående formel, hvilket betyder, at den første af dem vil være lig med 4/3 og den anden til 1.

2) Lad os nu løse mysterier af en anden art.

Lad os finde ud af, om der er nogen rødder her x 2 - 4x + 5 = 1? For at få et omfattende svar, lad os reducere polynomiet til den tilsvarende sædvanlige form og beregne diskriminanten. I ovenstående eksempel er det ikke nødvendigt at løse andengradsligningen, fordi dette slet ikke er essensen af ​​problemet. I dette tilfælde er D = 16 - 20 = -4, hvilket betyder, at der virkelig ikke er nogen rødder.

Vietas sætning

Det er praktisk at løse andengradsligninger ved hjælp af ovenstående formler og diskriminanten, når kvadratroden er taget fra værdien af ​​sidstnævnte. Men det sker ikke altid. Der er dog mange måder at opnå værdierne af variabler i dette tilfælde. Eksempel: løsning af andengradsligninger ved hjælp af Vietas sætning. Hun er opkaldt efter, der levede i det 16. århundrede i Frankrig og gjorde en strålende karriere takket være hans matematiske talent og forbindelser ved hoffet. Hans portræt kan ses i artiklen.

Mønsteret, som den berømte franskmand bemærkede, var som følger. Han beviste, at ligningens rødder summeres numerisk til -p=b/a, og deres produkt svarer til q=c/a.

Lad os nu se på specifikke opgaver.

3x 2 + 21x - 54 = 0

For nemheds skyld, lad os omdanne udtrykket:

x 2 + 7x - 18 = 0

Lad os bruge Vietas sætning, dette vil give os følgende: summen af ​​rødderne er -7, og deres produkt er -18. Herfra får vi, at ligningens rødder er tallene -9 og 2. Efter kontrol vil vi sikre os, at disse variabelværdier virkelig passer ind i udtrykket.

Parabolgraf og ligning

Begreberne andengradsfunktion og andengradsligninger er tæt beslægtede. Eksempler på dette er allerede givet tidligere. Lad os nu se lidt mere detaljeret på nogle matematiske gåder. Enhver ligning af den beskrevne type kan repræsenteres visuelt. Et sådant forhold, tegnet som en graf, kaldes en parabel. Dens forskellige typer er præsenteret i figuren nedenfor.

Enhver parabel har et toppunkt, det vil sige et punkt, hvorfra dens grene kommer frem. Hvis a>0, går de højt til uendeligt, og når a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle repræsentationer af funktioner hjælper med at løse alle ligninger, inklusive kvadratiske ligninger. Denne metode kaldes grafisk. Og værdien af ​​x-variablen er abscissekoordinaten i de punkter, hvor graflinjen skærer 0x. Koordinaterne for toppunktet kan findes ved hjælp af formlen, der netop er givet x 0 = -b/2a. Og ved at erstatte den resulterende værdi i den oprindelige ligning af funktionen, kan du finde ud af y 0, det vil sige den anden koordinat af parablens toppunkt, som hører til ordinataksen.

Skæringspunktet mellem grenene af en parabel med abscisseaksen

Der er mange eksempler på løsning af andengradsligninger, men der er også generelle mønstre. Lad os se på dem. Det er klart, at grafens skæring med 0x-aksen for a>0 kun er mulig, hvis y 0 tager negative værdier. Og for en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ellers D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Ud fra parablens graf kan du også bestemme rødderne. Det modsatte er også sandt. Det vil sige, at hvis det ikke er let at få en visuel repræsentation af en andengradsfunktion, kan du sidestille højre side af udtrykket til 0 og løse den resulterende ligning. Og ved at kende skæringspunkterne med 0x-aksen er det lettere at konstruere en graf.

Fra historien

Ved hjælp af ligninger, der indeholdt en kvadratisk variabel, lavede de i gamle dage ikke kun matematiske beregninger og bestemte arealer af geometriske figurer. De gamle havde brug for sådanne beregninger til store opdagelser inden for fysik og astronomi, såvel som for at lave astrologiske prognoser.

Som moderne videnskabsmænd foreslår, var indbyggerne i Babylon blandt de første til at løse andengradsligninger. Dette skete fire århundreder før vor tidsregning. Selvfølgelig var deres beregninger radikalt forskellige fra dem, der i øjeblikket er accepteret, og viste sig at være meget mere primitive. For eksempel havde mesopotamiske matematikere ingen idé om eksistensen af ​​negative tal. De var også ukendte med andre finesser, som enhver moderne skolebørn kender.

Måske endda tidligere end Babylons videnskabsmænd begyndte vismanden fra Indien Baudhayama at løse andengradsligninger. Dette skete omkring otte århundreder før Kristi æra. Sandt nok var andenordens ligninger, de metoder til løsning, som han gav, de enkleste. Udover ham var kinesiske matematikere også interesserede i lignende spørgsmål i gamle dage. I Europa begyndte andengradsligninger først at blive løst i begyndelsen af ​​det 13. århundrede, men senere blev de brugt i deres værker af så store videnskabsmænd som Newton, Descartes og mange andre.

Kvadratiske ligninger. Diskriminerende. Løsning, eksempler.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Typer af andengradsligninger

Hvad er en andengradsligning? Hvordan ser det ud? På sigt andengradsligning nøgleordet er "firkant". Det betyder, at i ligningen Nødvendigvis der skal være et x-kvadrat. Ud over det kan ligningen (eller måske ikke!) kun indeholde X (til første potens) og kun et tal (gratis medlem). Og der bør ikke være X'er til en potens større end to.

I matematiske termer er en andengradsligning en ligning af formen:

Her a, b og c- nogle tal. b og c- absolut alle, men EN– alt andet end nul. For eksempel:

Her EN =1; b = 3; c = -4

Her EN =2; b = -0,5; c = 2,2

Her EN =-3; b = 6; c = -18

Nå, du forstår...

I disse andengradsligninger til venstre er der komplet sæt medlemmer. X i anden kvadrat med en koefficient EN, x til første potens med koefficient b Og gratis medlem s.

Sådanne andengradsligninger kaldes fuld.

Og hvis b= 0, hvad får vi? Vi har X vil gå tabt til første potens. Dette sker, når det ganges med nul.) Det viser sig for eksempel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2 +4x=0

Og så videre. Og hvis begge koefficienter b Og c er lig med nul, så er det endnu enklere:

2x 2 =0,

-0,3x2 =0

Sådanne ligninger, hvor der mangler noget, kaldes ufuldstændige andengradsligninger. Hvilket er ret logisk.) Bemærk venligst, at x i kvadrat er til stede i alle ligninger.

Forresten, hvorfor EN kan ikke være lig med nul? Og du erstatter i stedet EN nul.) Vores X-kvadrat vil forsvinde! Ligningen bliver lineær. Og løsningen er en helt anden...

Det er alle hovedtyperne af andengradsligninger. Fuldstændig og ufuldstændig.

Løsning af andengradsligninger.

Løsning af komplette andengradsligninger.

Kvadratiske ligninger er nemme at løse. Efter formler og klare, enkle regler. På det første trin er det nødvendigt at bringe den givne ligning til en standardform, dvs. til formularen:

Hvis ligningen allerede er givet til dig i denne form, behøver du ikke at gøre den første fase.) Det vigtigste er at bestemme alle koefficienterne korrekt, EN, b Og c.

Formlen til at finde rødderne til en andengradsligning ser sådan ud:

Udtrykket under rodtegnet kaldes diskriminerende. Men mere om ham nedenfor. Som du kan se, bruger vi for at finde X kun a, b og c. De der. koefficienter fra en andengradsligning. Du skal bare omhyggeligt erstatte værdierne a, b og c Vi regner ind i denne formel. Lad os erstatte med dine egne tegn! For eksempel i ligningen:

EN =1; b = 3; c= -4. Her skriver vi det ned:

Eksemplet er næsten løst:

Dette er svaret.

Alt er meget enkelt. Og hvad, tror du, det er umuligt at lave en fejl? Nå, ja, hvordan...

De mest almindelige fejl er forveksling med tegnværdier a, b og c. Eller rettere, ikke med deres tegn (hvor skal man blive forvirret?), men med substitution af negative værdier i formlen til beregning af rødderne. Det, der hjælper her, er en detaljeret registrering af formlen med specifikke tal. Hvis der er problemer med beregningerne, gøre det!

Antag, at vi skal løse følgende eksempel:

Her -en = -6; b = -5; c = -1

Lad os sige, at du ved, at du sjældent får svar første gang.

Nå, vær ikke doven. Det vil tage omkring 30 sekunder at skrive en ekstra linje og antallet af fejl vil falde kraftigt. Så vi skriver i detaljer med alle parenteser og tegn:

Det virker utroligt svært at skrive så omhyggeligt ud. Men det ser kun sådan ud. Giv det en chance. Nå, eller vælg. Hvad er bedre, hurtigt eller rigtigt? Desuden vil jeg gøre dig glad. Efter et stykke tid vil der ikke være behov for at skrive alt så omhyggeligt ned. Det vil løse sig af sig selv. Især hvis du bruger praktiske teknikker, som er beskrevet nedenfor. Dette onde eksempel med en masse minusser kan løses nemt og uden fejl!

Men ofte ser andengradsligninger lidt anderledes ud. For eksempel sådan her:

Genkendte du det?) Ja! Det her ufuldstændige andengradsligninger.

Løsning af ufuldstændige andengradsligninger.

De kan også løses ved hjælp af en generel formel. Du skal bare forstå rigtigt, hvad de er lig med her. a, b og c.

Har du fundet ud af det? I det første eksempel a = 1; b = -4; EN c? Det er der slet ikke! Nå ja, det er rigtigt. I matematik betyder det det c = 0 ! Det er alt. Erstat nul i formlen i stedet for c, og vi vil lykkes. Det samme med det andet eksempel. Bare vi ikke har nul her Med, A b !

Men ufuldstændige andengradsligninger kan løses meget enklere. Uden formler. Lad os overveje den første ufuldstændige ligning. Hvad kan du gøre i venstre side? Du kan tage X ud af parentes! Lad os tage den ud.

Og hvad fra dette? Og det faktum, at produktet er lig med nul, hvis og kun hvis nogen af ​​faktorerne er lig med nul! Tror du mig ikke? Okay, så kom med to ikke-nul tal, der, når de ganges, vil give nul!
Virker ikke? Det er det...
Derfor kan vi roligt skrive: x 1 = 0, x 2 = 4.

Alle. Disse vil være rødderne til vores ligning. Begge er velegnede. Når du substituerer nogen af ​​dem i den oprindelige ligning, får vi den korrekte identitet 0 = 0. Som du kan se, er løsningen meget enklere end at bruge den generelle formel. Lad mig i øvrigt bemærke, hvilket X der bliver det første og hvilket der bliver det andet - absolut ligegyldigt. Det er praktisk at skrive i rækkefølge, x 1- hvad er mindre og x 2- det der er større.

Den anden ligning kan også løses enkelt. Flyt 9 til højre. Vi får:

Det eneste, der er tilbage, er at udtrække roden fra 9, og det er det. Det vil vise sig:

Også to rødder . x 1 = -3, x 2 = 3.

Sådan løses alle ufuldstændige andengradsligninger. Enten ved at placere X uden for parenteser, eller ved blot at flytte tallet til højre og derefter trække roden ud.
Det er ekstremt svært at forveksle disse teknikker. Simpelthen fordi du i det første tilfælde bliver nødt til at udtrække roden af ​​X, hvilket på en eller anden måde er uforståeligt, og i det andet tilfælde er der ikke noget at tage ud af parentes...

Diskriminerende. Diskriminerende formel.

Magisk ord diskriminerende ! Sjældent har en gymnasieelev ikke hørt dette ord! Udtrykket "vi løser gennem en diskriminant" inspirerer til tillid og tryghed. For der er ingen grund til at forvente tricks fra diskriminanten! Den er enkel og problemfri at bruge.) Jeg minder dig om den mest generelle løsningsformel nogen andengradsligninger:

Udtrykket under rodtegnet kaldes en diskriminant. Typisk er diskriminanten angivet med bogstavet D. Diskriminerende formel:

D = b 2 - 4ac

Og hvad er så bemærkelsesværdigt ved dette udtryk? Hvorfor fortjente den et særligt navn? Hvad betydningen af ​​diskriminanten? Trods alt -b, eller 2a i denne formel kalder de det ikke specifikt noget ... Bogstaver og bogstaver.

Her er sagen. Når man løser en andengradsligning ved hjælp af denne formel, er det muligt kun tre tilfælde.

1. Diskriminanten er positiv. Det betyder, at roden kan udvindes fra den. Om roden er udvundet godt eller dårligt er et andet spørgsmål. Det vigtige er, hvad der i princippet udvindes. Så har din andengradsligning to rødder. To forskellige løsninger.

2. Diskriminanten er nul. Så har du én løsning. Da tilføjelse eller subtrahering af nul i tælleren ikke ændrer noget. Strengt taget er dette ikke én rod, men to ens. Men i en forenklet version er det sædvanligt at tale om én løsning.

3. Diskriminanten er negativ. Kvadratroden af ​​et negativt tal kan ikke tages. Nå okay. Det betyder, at der ikke er nogen løsninger.

For at være ærlig, når man blot løser andengradsligninger, er begrebet en diskriminant ikke rigtig nødvendigt. Vi erstatter værdierne af koefficienterne i formlen og tæller. Alt sker der af sig selv, to rødder, én og ingen. Dog når man løser mere komplekse opgaver, uden viden diskriminantens betydning og formel ikke nok. Især i ligninger med parametre. Sådanne ligninger er kunstflyvning for statseksamen og Unified State Examination!)

Så, hvordan man løser andengradsligninger gennem den diskriminant, du huskede. Eller du lærte, hvilket heller ikke er dårligt.) Du ved, hvordan man korrekt bestemmer a, b og c. Ved du hvordan? opmærksomt erstatte dem i rodformlen og opmærksomt tælle resultatet. Du forstår, at nøgleordet her er opmærksomt?

Læg nu mærke til praktiske teknikker, der dramatisk reducerer antallet af fejl. De samme, der skyldes uopmærksomhed... Som det senere bliver smertefuldt og stødende for...

Første aftale . Vær ikke doven, før du løser en andengradsligning og bringer den til standardform. Hvad betyder det?
Lad os sige, at efter alle transformationerne får du følgende ligning:

Skynd dig ikke at skrive rodformlen! Du vil næsten helt sikkert få oddsene blandet sammen a, b og c. Konstruer eksemplet rigtigt. Først X i andenplads, derefter uden kvadrat, derefter frileddet. Sådan her:

Og igen, skynd dig ikke! Et minus foran et X-kvadret kan virkelig forstyrre dig. Det er nemt at glemme... Slip af med minus. Hvordan? Ja, som undervist i det forrige emne! Vi skal gange hele ligningen med -1. Vi får:

Men nu kan du roligt skrive formlen for rødderne ned, beregne diskriminanten og afslutte eksemplet. Bestem selv. Du skulle nu have rødderne 2 og -1.

Reception nummer to. Tjek rødderne! Ifølge Vietas sætning. Vær ikke bange, jeg vil forklare alt! Tjekker sidste ting ligningen. De der. den vi brugte til at skrive rodformlen ned. Hvis (som i dette eksempel) koefficienten a = 1, er det nemt at tjekke rødderne. Det er nok at formere dem. Resultatet skulle være et gratis medlem, dvs. i vores tilfælde -2. Bemærk venligst, ikke 2, men -2! Gratis medlem med dit skilt . Hvis det ikke lykkes, betyder det, at de allerede har skruet sammen et sted. Se efter fejlen.

Hvis det virker, skal du tilføje rødderne. Sidste og sidste kontrol. Koefficienten skal være b Med modsat velkendt. I vores tilfælde -1+2 = +1. En koefficient b, som er før X, er lig med -1. Så alt er korrekt!
Det er ærgerligt, at dette kun er så enkelt for eksempler, hvor x i anden er ren, med en koefficient a = 1. Men tjek i det mindste sådanne ligninger ind! Der bliver færre og færre fejl.

Modtagelse tredje . Hvis din ligning har brøkkoefficienter, skal du slippe af med brøkerne! Multiplicer ligningen med en fællesnævner som beskrevet i lektionen "Hvordan løses ligninger? Identitetstransformationer." Når man arbejder med brøker, bliver der ved med at snige sig ind af en eller anden grund...

Forresten lovede jeg at forenkle det onde eksempel med en masse minusser. Vær venlig! Her er han.

For ikke at blive forvirret af minusser gange vi ligningen med -1. Vi får:

Det er alt! At løse er en fornøjelse!

Så lad os opsummere emnet.

Praktiske tips:

1. Før vi løser, bringer vi andengradsligningen til standardform og bygger den Højre.

2. Hvis der er en negativ koefficient foran X i kvadrat, eliminerer vi den ved at gange hele ligningen med -1.

3. Hvis koefficienterne er brøkdele, eliminerer vi brøkerne ved at gange hele ligningen med den tilsvarende faktor.

4. Hvis x i anden er ren, dens koefficient er lig med én, kan løsningen let verificeres ved hjælp af Vietas sætning. Gør det!

Nu kan vi beslutte.)

Løs ligninger:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Svar (i uorden):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - et hvilket som helst tal

x 1 = -3
x 2 = 3

ingen løsninger

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Passer alt? Store! Kvadratiske ligninger er ikke din hovedpine. De første tre virkede, men resten gjorde det ikke? Så er problemet ikke med andengradsligninger. Problemet er i identiske transformationer af ligninger. Tag et kig på linket, det er nyttigt.

Går det ikke helt? Eller går det slet ikke? Så vil Sektion 555 hjælpe dig. Alle disse eksempler er opdelt der. Vist vigtigste fejl i løsningen. Vi taler selvfølgelig også om brugen af ​​identiske transformationer til løsning af forskellige ligninger. Hjælper meget!

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 eller x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Efter at have lært at løse ligninger af første grad, vil du selvfølgelig gerne arbejde sammen med andre, især med ligninger af anden grad, som ellers kaldes kvadratiske.

Andengradsligninger er ligninger som ax² + bx + c = 0, hvor variablen er x, tallene er a, b, c, hvor a ikke er lig med nul.

Hvis i en andengradsligning den ene eller den anden koefficient (c eller b) er lig med nul, så vil denne ligning blive klassificeret som en ufuldstændig andengradsligning.

Hvordan løser man en ufuldstændig andengradsligning, hvis eleverne hidtil kun har kunnet løse ligninger af første grad? Lad os overveje ufuldstændige andengradsligninger af forskellige typer og enkle måder at løse dem på.

a) Hvis koefficient c er lig med 0, og koefficient b ikke er lig med nul, reduceres ax ² + bx + 0 = 0 til en ligning på formen ax ² + bx = 0.

For at løse en sådan ligning skal du kende formlen til løsning af en ufuldstændig andengradsligning, som består i at faktorisere venstre side af den og senere bruge betingelsen om, at produktet er lig nul.

For eksempel, 5x² - 20x = 0. Vi faktoriserer venstre side af ligningen, mens vi udfører den sædvanlige matematiske operation: tager den fælles faktor ud af parentes

5x (x - 4) = 0

Vi anvender betingelsen om, at produkterne er lig nul.

5 x = 0 eller x - 4 = 0

Svaret vil være: den første rod er 0; den anden rod er 4.

b) Hvis b = 0, og det frie led ikke er lig med nul, så reduceres ligningen ax ² + 0x + c = 0 til en ligning på formen ax ² + c = 0. Ligningerne løses på to måder : a) ved at faktorisere polynomiet af ligningen på venstre side; b) ved at bruge egenskaberne for den aritmetiske kvadratrod. En sådan ligning kan løses ved hjælp af en af ​​metoderne, for eksempel:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Svaret vil være: den første rod er 5/2; den anden rod er lig med - 5/2.

c) Hvis b er lig med 0 og c er lig 0, så reduceres ax ² + 0 + 0 = 0 til en ligning på formen ax ² = 0. I en sådan ligning vil x være lig med 0.

Som du kan se, kan ufuldstændige andengradsligninger ikke have mere end to rødder.

Med dette matematikprogram kan du løse andengradsligningen.

Programmet giver ikke kun svaret på problemet, men viser også løsningsprocessen på to måder:
- ved at bruge en diskriminant
- ved hjælp af Vietas sætning (hvis muligt).

Desuden vises svaret som nøjagtigt, ikke omtrentligt.
For eksempel, for ligningen \(81x^2-16x-1=0\) vises svaret i følgende form:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ og ikke sådan: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Dette program kan være nyttigt for gymnasieelever i almen uddannelsesskoler, når de forbereder sig til prøver og eksamener, når de tester viden før Unified State-eksamenen, og for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have lavet dine matematik- eller algebralektier så hurtigt som muligt? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med detaljerede løsninger.

På den måde kan du gennemføre din egen træning og/eller træning af dine yngre brødre eller søstre, samtidig med at uddannelsesniveauet inden for problemløsning stiger.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for indtastning af et kvadratisk polynomium, anbefaler vi, at du sætter dig ind i dem.

Regler for indtastning af et kvadratisk polynomium

Ethvert latinsk bogstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) osv.

Tal kan indtastes som hele eller brøktal.
Desuden kan brøktal indtastes ikke kun i form af en decimal, men også i form af en almindelig brøk.

Regler for indtastning af decimalbrøker.
I decimalbrøker kan brøkdelen adskilles fra hele delen med enten et punktum eller et komma.
For eksempel kan du indtaste decimalbrøker som dette: 2,5x - 3,5x^2

Regler for indtastning af almindelige brøker.
Kun et helt tal kan fungere som tæller, nævner og heltals del af en brøk.

Nævneren kan ikke være negativ.

Når du indtaster en numerisk brøk, er tælleren adskilt fra nævneren med et divisionstegn: /
Hele delen er adskilt fra brøken med et-tegnet: &
Indgang: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Når du indtaster et udtryk du kan bruge parenteser. I dette tilfælde, når man løser en andengradsligning, bliver det introducerede udtryk først forenklet.
For eksempel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Beslutte

Det blev opdaget, at nogle scripts, der er nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Du har muligvis AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

JavaScript er deaktiveret i din browser.
For at løsningen vises, skal du aktivere JavaScript.
Her er instruktioner til, hvordan du aktiverer JavaScript i din browser.

Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er blevet sat i kø.
Om et par sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i løsningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Kvadratisk ligning og dens rødder. Ufuldstændige andengradsligninger

Hver af ligningerne
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ligner
\(ax^2+bx+c=0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tal.
I den første ligning a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den anden ligning a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Sådanne ligninger kaldes andengradsligninger.

Definition.
Kvadratisk ligning kaldes en ligning på formen ax 2 +bx+c=0, hvor x er en variabel, a, b og c er nogle tal, og \(a \neq 0 \).

Tallene a, b og c er andengradsligningens koefficienter. Tallet a kaldes den første koefficient, tallet b er den anden koefficient, og tallet c er det frie led.

I hver af ligningerne på formen ax 2 +bx+c=0, hvor \(a\neq 0\), er den største potens af variablen x et kvadrat. Deraf navnet: andengradsligning.

Bemærk, at en andengradsligning også kaldes en ligning af anden grad, da dens venstre side er et polynomium af anden grad.

En andengradsligning, hvor koefficienten for x 2 er lig med 1, kaldes givet andengradsligning. For eksempel er de angivne andengradsligninger ligningerne
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Hvis i en andengradsligning ax 2 +bx+c=0 mindst en af ​​koefficienterne b eller c er lig med nul, kaldes en sådan ligning ufuldstændig andengradsligning. Således er ligningerne -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ufuldstændige andengradsligninger. I den første af dem er b=0, i den anden c=0, i den tredje b=0 og c=0.

Der er tre typer af ufuldstændige andengradsligninger:
1) ax 2 +c=0, hvor \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, hvor \(b \neq 0 \);
3) akse 2 =0.

Lad os overveje at løse ligninger af hver af disse typer.

For at løse en ufuldstændig andengradsligning med formen ax 2 +c=0 for \(c \neq 0 \), skal du flytte dets frie led til højre og dividere begge sider af ligningen med a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Højrepil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Siden \(c \neq 0 \), så \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Hvis \(-\frac(c)(a)>0\), så har ligningen to rødder.

Hvis \(-\frac(c)(a) At løse en ufuldstændig andengradsligning på formen ax 2 +bx=0 med \(b \neq 0 \) faktor dens venstre side og få ligningen
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Det betyder, at en ufuldstændig andengradsligning på formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) altid har to rødder.

En ufuldstændig andengradsligning på formen ax 2 =0 svarer til ligningen x 2 =0 og har derfor en enkelt rod 0.

Formel for rødderne af en andengradsligning

Lad os nu overveje, hvordan man løser andengradsligninger, hvor både koefficienterne for de ukendte og det frie led er ikke-nul.

Lad os løse andengradsligningen i generel opfattelse og som et resultat får vi formlen for rødderne. Denne formel kan derefter bruges til at løse enhver andengradsligning.

Løs andengradsligningen ax 2 +bx+c=0

Ved at dividere begge sider med a, får vi den ækvivalente reducerede andengradsligning
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Lad os transformere denne ligning ved at vælge kvadratet af binomialet:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\højre)^2- \venstre(\frac(b)(2a)\højre)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Højrepil \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\højre)^2 = \venstre(\frac(b)(2a)\højre)^ 2 - \frac(c)(a) \Højrepil \) \(\venstre(x+\frac(b)(2a)\højre)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Højrepil \venstre(x+\frac(b)(2a)\højre)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Højrepil \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Højrepil x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Højrepil \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Det radikale udtryk kaldes diskriminant af en andengradsligning ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerende" på latin - diskriminator). Det er betegnet med bogstavet D, dvs.
\(D = b^2-4ac\)

Nu, ved hjælp af diskriminant-notationen, omskriver vi formlen for rødderne af andengradsligningen:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), hvor \(D= b^2-4ac \)

Det er tydeligt at:
1) Hvis D>0, så har andengradsligningen to rødder.
2) Hvis D=0, så har andengradsligningen én rod \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Hvis D Altså, afhængigt af værdien af ​​diskriminanten, kan en andengradsligning have to rødder (for D > 0), én rod (for D = 0) eller have ingen rødder (for D Når man løser en andengradsligning ved hjælp af denne formel, er det tilrådeligt at gøre følgende:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med nul;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lig med nul, så brug rodformlen; hvis diskriminanten er negativ, så skriv ned, at der ikke er nogen rødder.

Vietas sætning

Den givne andengradsligning ax 2 -7x+10=0 har rødderne 2 og 5. Summen af ​​rødderne er 7, og produktet er 10. Vi ser, at summen af ​​rødderne er lig med den anden koefficient taget med det modsatte tegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led. Enhver reduceret andengradsligning, der har rødder, har denne egenskab.

Summen af ​​rødderne af ovenstående andengradsligning er lig med den anden koefficient taget med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led.

De der. Vietas sætning siger, at rødderne x 1 og x 2 af den reducerede andengradsligning x 2 +px+q=0 har egenskaben:
\(\venstre\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)