Uafhængighed af begivenheder. Sandsynlighedsmultiplikationssætning. Sandsynlighedsteori. Sandsynlighed for en hændelse, tilfældige hændelser (sandsynlighedsteori). Uafhængige og uforenelige begivenheder i sandsynlighedsteori

Begivenheder, der sker i virkeligheden eller i vores fantasi, kan opdeles i 3 grupper. Det er visse begivenheder, der helt sikkert vil ske, umulige begivenheder og tilfældige begivenheder. Sandsynlighedsteori studerer tilfældige hændelser, dvs. begivenheder, der måske eller måske ikke finder sted. Denne artikel vil præsentere i Kort om sandsynlighedsteoretiske formler og eksempler på problemløsning i sandsynlighedsteori, der vil være i opgave 4 i Unified State Examen i matematik (profilniveau).

Hvorfor har vi brug for sandsynlighedsteori?

Historisk set opstod behovet for at studere disse problemer i det 17. århundrede i forbindelse med udviklingen og professionaliseringen af ​​spil og kasinoernes fremkomst. Dette var et reelt fænomen, der krævede sin egen undersøgelse og forskning.

At spille kort, terninger og roulette skabte situationer, hvor en hvilken som helst af et begrænset antal lige mulige begivenheder kunne forekomme. Der var behov for at give numeriske skøn over muligheden for forekomsten af ​​en bestemt begivenhed.

I det 20. århundrede blev det klart, at denne tilsyneladende useriøse videnskab spiller en vigtig rolle i forståelsen af ​​de grundlæggende processer, der foregår i mikrokosmos. Var lavet moderne teori sandsynligheder.

Grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori

Genstanden for undersøgelse af sandsynlighedsteori er begivenheder og deres sandsynligheder. Hvis en hændelse er kompleks, så kan den opdeles i simple komponenter, hvis sandsynligheder er lette at finde.

Summen af ​​hændelser A og B kaldes hændelse C, som består i, at enten hændelse A eller hændelse B eller hændelser A og B fandt sted samtidigt.

Produktet af hændelser A og B er en hændelse C, hvilket betyder, at både hændelse A og hændelse B fandt sted.

Hændelser A og B kaldes inkompatible, hvis de ikke kan forekomme samtidigt.

En begivenhed A kaldes umulig, hvis den ikke kan ske. En sådan hændelse er angivet med symbolet.

En begivenhed A kaldes sikker, hvis den er sikker på at ske. En sådan hændelse er angivet med symbolet.

Lad hver begivenhed A være forbundet med et tal P(A). Dette tal P(A) kaldes sandsynligheden for hændelse A, hvis følgende betingelser er opfyldt med denne korrespondance.

Et vigtigt specialtilfælde er situationen, hvor der er lige sandsynlige elementære udfald, og vilkårlige af disse udfald danner begivenheder A. I dette tilfælde kan sandsynligheden indtastes ved hjælp af formlen. Sandsynlighed introduceret på denne måde kaldes klassisk sandsynlighed. Det kan bevises, at i dette tilfælde er egenskaberne 1-4 opfyldt.

Sandsynlighedsteoretiske problemer, der dukker op på Unified State Examination i matematik, er hovedsageligt relateret til klassisk sandsynlighed. Sådanne opgaver kan være meget enkle. Sandsynlighedsteoretiske problemer i demonstrationsversionerne er særligt enkle. Det er nemt at beregne antallet af gunstige udfald, antallet af alle udfald er skrevet lige i betingelsen.

Vi får svaret ved hjælp af formlen.

Et eksempel på et problem fra Unified State Examination i matematik om at bestemme sandsynlighed

Der er 20 tærter på bordet - 5 med kål, 7 med æbler og 8 med ris. Marina vil tage tærten. Hvad er sandsynligheden for, at hun tager riskagen?

Løsning.

Der er 20 lige sandsynlige elementære udfald, det vil sige, Marina kan tage enhver af de 20 tærter. Men vi skal vurdere sandsynligheden for, at Marina tager riskærten, altså hvor A er valget af riskærten. Det betyder, at antallet af gunstige udfald (valg af tærter med ris) kun er 8. Så vil sandsynligheden blive bestemt af formlen:

Uafhængige, modsatte og vilkårlige begivenheder

Dog i åben krukke Mere komplekse opgaver begyndte at blive stødt på. Lad os derfor henlede læserens opmærksomhed på andre spørgsmål, der er undersøgt i sandsynlighedsteori.

Hændelser A og B siges at være uafhængige, hvis sandsynligheden for hver af dem ikke afhænger af, om den anden hændelse indtræffer.

Hændelse B er, at hændelse A ikke skete, dvs. hændelse B er modsat hændelse A. Sandsynligheden for den modsatte hændelse er lig med én minus sandsynligheden for den direkte hændelse, dvs. .

Sandsynlighedsadditions- og multiplikationssætninger, formler

For arbitrære hændelser A og B er sandsynligheden for summen af ​​disse hændelser lig med summen af ​​deres sandsynligheder uden sandsynligheden for deres fælles hændelse, dvs. .

For uafhængige begivenheder A og B er sandsynligheden for forekomsten af ​​disse begivenheder lig med produktet af deres sandsynligheder, dvs. I dette tilfælde .

De sidste 2 udsagn kaldes sætningerne for addition og multiplikation af sandsynligheder.

At tælle antallet af udfald er ikke altid så nemt. I nogle tilfælde er det nødvendigt at bruge kombinatoriske formler. Det vigtigste er at tælle antallet af begivenheder, der opfylder visse betingelser. Nogle gange kan den slags beregninger blive selvstændige opgaver.

På hvor mange måder kan 6 elever sidde på 6 tomme pladser? Den første elev vil tage en af ​​de 6 pladser. Hver af disse muligheder svarer til 5 måder, hvorpå den anden elev kan tage en plads. Der er 4 ledige pladser tilbage til den tredje elev, 3 til den fjerde, 2 til den femte, og den sjette tager den eneste resterende plads. For at finde antallet af alle muligheder, skal du finde produktet, som er angivet med symbolet 6! og læser "six factorial".

I det generelle tilfælde er svaret på dette spørgsmål givet af formlen for antallet af permutationer af n elementer.

Lad os nu overveje en anden sag med vores elever. På hvor mange måder kan 2 elever sidde på 6 tomme pladser? Den første elev vil tage en af ​​de 6 pladser. Hver af disse muligheder svarer til 5 måder, hvorpå den anden elev kan tage en plads. For at finde antallet af alle muligheder, skal du finde produktet.

Generelt er svaret på dette spørgsmål givet af formlen for antallet af placeringer af n elementer over k elementer

I vores tilfælde.

Og det sidste tilfælde i denne serie. På hvor mange måder kan du vælge tre elever ud af 6? Den første elev kan vælges på 6 måder, den anden - på 5 måder, den tredje - på fire måder. Men blandt disse muligheder optræder de samme tre elever 6 gange. For at finde antallet af alle muligheder skal du beregne værdien: . Generelt er svaret på dette spørgsmål givet af formlen for antallet af kombinationer af elementer efter element:

I vores tilfælde.

Eksempler på løsning af problemer fra Unified State Exam i matematik for at bestemme sandsynlighed

Opgave 1. Fra samlingen redigeret af. Jasjtjenko.

Der er 30 tærter på tallerkenen: 3 med kød, 18 med kål og 9 med kirsebær. Sasha vælger en tærte tilfældigt. Find sandsynligheden for, at han ender med et kirsebær.

.

Svar: 0,3.

Opgave 2. Fra samlingen redigeret af. Jasjtjenko.

I hvert parti på 1000 pærer er der i gennemsnit 20 defekte. Find sandsynligheden for, at en pære taget tilfældigt fra en batch vil virke.

Løsning: Antallet af fungerende pærer er 1000-20=980. Så er sandsynligheden for, at en pære taget tilfældigt fra en batch, virker:

Svar: 0,98.

Sandsynligheden for, at elev U løser mere end 9 opgaver korrekt i løbet af en matematikprøve er 0,67. Sandsynligheden for at U. løser mere end 8 problemer korrekt er 0,73. Find sandsynligheden for, at U løser præcis 9 opgaver korrekt.

Hvis vi forestiller os en tallinje og markerer punkterne 8 og 9 på den, vil vi se, at betingelsen "U. vil løse præcis 9 problemer korrekt" er inkluderet i betingelsen "U. vil løse mere end 8 problemer korrekt", men gælder ikke for betingelsen "U. vil løse mere end 9 problemer korrekt."

Imidlertid er betingelsen "U. vil løse mere end 9 problemer korrekt" er indeholdt i betingelsen "U. vil løse mere end 8 problemer korrekt." Således, hvis vi udpeger begivenheder: "U. vil løse præcis 9 problemer korrekt" - gennem A, "U. vil løse mere end 8 problemer korrekt" - gennem B, "U. vil korrekt løse mere end 9 problemer" gennem C. Den løsning vil se sådan ud:

Svar: 0,06.

I en geometrieksamen besvarer en studerende ét spørgsmål fra en liste over eksamensspørgsmål. Sandsynligheden for at dette er et trigonometri-spørgsmål er 0,2. Sandsynligheden er, at dette er et spørgsmål om emnet " Udvendige hjørner", er lig med 0,15. Der er ingen spørgsmål, der samtidig relaterer til disse to emner. Find sandsynligheden for, at en studerende får et spørgsmål om et af disse to emner i eksamen.

Lad os tænke over, hvilke begivenheder vi har. Vi får to uforenelige begivenheder. Det vil sige, enten vil spørgsmålet relatere til emnet "Trigonometri" eller til emnet "Eksterne vinkler". Ifølge sandsynlighedsteoremet er sandsynligheden for uforenelige begivenheder lig med summen af ​​sandsynligheden for hver begivenhed, vi skal finde summen af ​​sandsynligheden for disse begivenheder, det vil sige:

Svar: 0,35.

Rummet er oplyst af en lanterne med tre lamper. Sandsynligheden for, at en lampe brænder ud inden for et år, er 0,29. Find sandsynligheden for, at mindst én lampe ikke brænder ud i løbet af året.

Lad os overveje mulige begivenheder. Vi har tre pærer, som hver især kan brænde ud uafhængigt af enhver anden pære. Det er selvstændige begivenheder.

Derefter vil vi angive mulighederne for sådanne begivenheder. Lad os bruge følgende notationer: - pæren er tændt, - pæren er udbrændt. Og umiddelbart derefter beregner vi sandsynligheden for begivenheden. For eksempel er sandsynligheden for en hændelse, hvor tre uafhængige hændelser "pæren er udbrændt", "pæren tændt", "pæren tændt" indtruffet: , hvor sandsynligheden for hændelsen "pæren" er tændt” beregnes som sandsynligheden for hændelsen modsat hændelsen ”pæren er ikke tændt”, nemlig: .

Det er usandsynligt, at mange tænker over, om det er muligt at beregne hændelser, der er mere eller mindre tilfældige. For at sige det enkelt med enkle ord, er det virkelig muligt at vide, hvilken side af kuben der kommer op næste gang? Det var dette spørgsmål, som to store videnskabsmænd stillede sig selv, som lagde grundlaget for en sådan videnskab som sandsynlighedsteorien, hvor sandsynligheden for en begivenhed studeres ret omfattende.

Oprindelse

Hvis du forsøger at definere et sådant begreb som sandsynlighedsteori, får du følgende: dette er en af ​​de grene af matematikken, der studerer konstanten af ​​tilfældige begivenheder. Selvfølgelig afslører dette koncept ikke rigtig hele essensen, så det er nødvendigt at overveje det mere detaljeret.

Jeg vil gerne starte med skaberne af teorien. Som nævnt ovenfor var der to af dem, og de var en af ​​de første, der forsøgte at beregne udfaldet af denne eller hin begivenhed ved hjælp af formler og matematiske beregninger. Generelt optrådte begyndelsen af ​​denne videnskab i middelalderen. På det tidspunkt forsøgte forskellige tænkere og videnskabsmænd at analysere gambling spil, såsom roulette, craps og så videre, og derved etablere mønsteret og procentdelen af ​​et bestemt tal, der falder ud. Grundlaget blev lagt i det syttende århundrede af de ovennævnte videnskabsmænd.

I begyndelsen kunne deres værker ikke betragtes som store præstationer på dette område, fordi alt, hvad de gjorde, var blot empiriske fakta, og eksperimenter blev udført visuelt uden brug af formler. Over tid var det muligt at opnå gode resultater, som dukkede op som et resultat af at observere kast med terninger. Det var dette værktøj, der hjalp med at udlede de første forståelige formler.

Ligesindede mennesker

Det er umuligt ikke at nævne en sådan person som Christiaan Huygens i færd med at studere et emne kaldet "sandsynlighedsteori" (sandsynligheden for en begivenhed er dækket præcist i denne videnskab). Denne person er meget interessant. Han prøvede ligesom de ovenfor præsenterede videnskabsmænd i formen matematiske formler udlede et mønster af tilfældige hændelser. Det er bemærkelsesværdigt, at han ikke gjorde dette sammen med Pascal og Fermat, det vil sige, at alle hans værker ikke krydsede disse sind. Huygens udledte

En interessant kendsgerning er, at hans arbejde udkom længe før resultaterne af opdagernes arbejde, eller rettere sagt, tyve år tidligere. Blandt de identificerede begreber er de mest berømte:

• begrebet sandsynlighed som værdien af ​​tilfældigheder;
• matematisk forventning til diskrete tilfælde;
• sætninger om multiplikation og addition af sandsynligheder.

Det er også umuligt ikke at huske, hvem der også ydede et væsentligt bidrag til undersøgelsen af ​​problemet. Ved at udføre sine egne tests, uafhængigt af nogen, var han i stand til at bevise loven store tal. Til gengæld var videnskabsmændene Poisson og Laplace, som arbejdede i begyndelsen af ​​det nittende århundrede, i stand til at bevise de oprindelige teoremer. Det var fra dette øjeblik, at sandsynlighedsteori begyndte at blive brugt til at analysere fejl i observationer. Russiske videnskabsmænd, eller rettere Markov, Chebyshev og Dyapunov, kunne ikke ignorere denne videnskab. De, baseret på arbejdet udført af store genier, sikrede sig denne vare som en gren af ​​matematikken. Disse tal virkede allerede i slutningen af ​​det nittende århundrede, og takket være deres bidrag blev følgende fænomener bevist:

• lov om store tal;
• Markov kæde teori;
• central grænsesætning.

Så med historien om videnskabens fødsel og med de vigtigste mennesker, der påvirkede den, er alt mere eller mindre klart. Nu er tiden kommet til at afklare alle fakta.

Basale koncepter

Før man rører ved love og teoremer, er det værd at studere de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori. Arrangementet spiller en hovedrolle i den. Dette emne er ret omfangsrigt, men uden det vil det ikke være muligt at forstå alt andet.

En begivenhed i sandsynlighedsteori er ethvert sæt af resultater af et eksperiment. Der er en del begreber om dette fænomen. Således sagde videnskabsmanden Lotman, der arbejder på dette område, det i dette tilfælde vi taler om om hvad "der skete, selvom det måske ikke er sket."

Tilfældige hændelser (sandsynlighedsteori fokuserer på dem Særlig opmærksomhed) er et begreb, der implicerer absolut ethvert fænomen, der har mulighed for at opstå. Eller omvendt sker dette scenario muligvis ikke, hvis mange betingelser er opfyldt. Det er også værd at vide, at det er tilfældige begivenheder, der fanger hele mængden af ​​fænomener, der er opstået. Sandsynlighedsteorien indikerer, at alle forhold kan gentages konstant. Det er deres adfærd, der kaldes "erfaring" eller "test".

En pålidelig hændelse er et fænomen, der med hundrede procent sandsynlighed vil ske i en given test. Derfor er en umulig begivenhed en begivenhed, der ikke vil ske.

Kombinationen af ​​et par handlinger (betinget tilfælde A og tilfælde B) er et fænomen, der opstår samtidigt. De er udpeget som AB.

Summen af ​​par af hændelser A og B er C, med andre ord, hvis mindst én af dem sker (A eller B), så opnås C. Formlen for det beskrevne fænomen er skrevet som følger: C = A + B.

Inkongruente hændelser i sandsynlighedsteori indebærer, at to tilfælde udelukker hinanden. De kan under ingen omstændigheder ske på samme tid. Fælles hændelser i sandsynlighedsteori er deres modpode. Det, der menes her, er, at hvis A skete, så forhindrer det ikke B på nogen måde.

Modsatte begivenheder (sandsynlighedsteorien overvejer dem meget detaljeret) er lette at forstå. Den bedste måde at forstå dem på er ved sammenligning. De er næsten det samme som uforenelige hændelser i sandsynlighedsteori. Men deres forskel ligger i, at et af mange fænomener skal ske under alle omstændigheder.

Lige så sandsynlige hændelser er de handlinger, hvis gentagelse er lige stor. For at gøre det klarere kan du forestille dig at kaste en mønt: tabet af den ene side er lige så sandsynligt, at det falder ud af den anden.

Det er lettere at overveje en gunstig begivenhed med et eksempel. Lad os sige, at der er en episode B og en episode A. Den første er terningkast med et ulige tal, og den anden er udseendet af tallet fem på terningen. Så viser det sig, at A favoriserer B.

Uafhængige begivenheder i sandsynlighedsteori projiceres kun på to eller flere tilfælde og indebærer uafhængigheden af ​​enhver handling fra en anden. For eksempel er A tabet af hoveder, når man kaster en mønt, og B er tegningen af ​​en knægt fra bunken. De er uafhængige begivenheder i sandsynlighedsteori. På dette tidspunkt blev det mere klart.

Afhængige hændelser i sandsynlighedsteori er også kun tilladt for et sæt af dem. De indebærer afhængigheden af ​​den ene af den anden, det vil sige, at fænomen B kun kan forekomme, hvis A allerede er sket eller omvendt ikke er sket, når dette er hovedbetingelsen for B.

Exodus tilfældigt eksperiment, bestående af én komponent, er elementære begivenheder. Sandsynlighedsteorien forklarer, at dette er et fænomen, der kun er sket én gang.

Grundlæggende formler

Så begreberne "begivenhed" og "sandsynlighedsteori" blev diskuteret ovenfor; en definition af de grundlæggende udtryk for denne videnskab blev også givet. Nu er det tid til at stifte direkte bekendtskab med vigtige formler. Disse udtryk bekræfter matematisk alle hovedbegreberne i et så komplekst emne som sandsynlighedsteori. Sandsynligheden for en begivenhed spiller også her en stor rolle.

Det er bedre at starte med de grundlæggende. Og før du begynder med dem, er det værd at overveje, hvad de er.

Kombinatorik er primært en gren af ​​matematikken; det beskæftiger sig med studiet af et stort antal heltal, såvel som forskellige permutationer af både tallene selv og deres elementer, forskellige data osv., hvilket fører til fremkomsten af ​​en række kombinationer. Ud over sandsynlighedsteori er denne gren vigtig for statistik, datalogi og kryptografi.

Så nu kan vi gå videre til at præsentere selve formlerne og deres definition.

Den første af dem vil være udtrykket for antallet af permutationer, det ser sådan ud:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)...3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ligningen anvendes kun, hvis elementerne kun adskiller sig i rækkefølgen af ​​deres arrangement.

Nu vil placeringsformlen blive overvejet, den ser sådan ud:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Dette udtryk gælder ikke kun for elementets placering, men også for dets sammensætning.

Den tredje ligning fra kombinatorik, og det er også den sidste, kaldes formlen for antallet af kombinationer:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

En kombination refererer til valg, der ikke er bestilt, og derfor gælder denne regel for dem.

Det var let at forstå de kombinatoriske formler; nu kan du gå videre til den klassiske definition af sandsynligheder. Dette udtryk ser således ud:

I denne formel er m antallet af betingelser, der er gunstige for begivenhed A, og n er antallet af absolut alle lige mulige og elementære udfald.

Der er et stort antal udtryk; artiklen vil ikke dække dem alle, men de vigtigste vil blive berørt, som for eksempel sandsynligheden for summen af ​​begivenheder:

P(A + B) = P(A) + P(B) - denne sætning er kun til at tilføje uforenelige hændelser;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - og denne er kun til at tilføje kompatible.

Sandsynlighed for at hændelser indtræffer:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - denne sætning er for uafhængige hændelser;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - og denne er for den afhængige.

Listen over begivenheder vil blive udfyldt med formlen for begivenheder. Sandsynlighedsteori fortæller os om Bayes' sætning, som ser sådan ud:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

I denne formel er H 1, H 2, ..., H n en komplet gruppe af hypoteser.

Eksempler

Hvis du omhyggeligt studerer en sektion af matematik, er den ikke komplet uden øvelser og prøveløsninger. Det samme er sandsynlighedsteorien: Begivenheder og eksempler her er en integreret komponent, der bekræfter videnskabelige beregninger.

Formel for antallet af permutationer

Lad os sige, at der er tredive kort i et sæt kort, startende med værdien et. Næste spørgsmål. Hvor mange måder er der til at stable bunken, så kort med værdi et og to ikke er ved siden af ​​hinanden?

Opgaven er sat, lad os nu gå videre til at løse den. Først skal du bestemme antallet af permutationer af tredive elementer, for dette tager vi formlen præsenteret ovenfor, det viser sig P_30 = 30!.

Baseret på denne regel finder vi ud af, hvor mange muligheder der er for at folde bunken på forskellige måder, men vi skal trække dem fra dem, hvor det første og andet kort er ved siden af ​​hinanden. For at gøre dette, lad os starte med muligheden, når den første er over den anden. Det viser sig, at det første kort kan fylde niogtyve pladser - fra det første til det niogtyvende, og det andet kort fra det andet til det tredivte, hvilket giver i alt niogtyve pladser for et par kort. Til gengæld kan resten acceptere otteogtyve pladser og i vilkårlig rækkefølge. Det vil sige, for at omarrangere otteogtyve kort, er der otteogtyve muligheder P_28 = 28!

Som et resultat viser det sig, at hvis vi overvejer løsningen, når det første kort er over det andet, vil der være 29 ⋅ 28 ekstra muligheder! = 29!

Ved at bruge samme metode skal du beregne antallet af overflødige muligheder for sagen, når det første kort er under det andet. Det viser sig også at være 29 ⋅ 28! = 29!

Det følger af dette, at der er 2 ⋅ 29 ekstra muligheder!, mens nødvendige måder samledæk 30! - 2 ⋅ 29!. Der er kun tilbage at tælle.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nu skal du gange alle tallene fra en til niogtyve, og så til sidst gange alt med 28. Svaret er 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Eksempel løsning. Formel for placeringsnummer

I denne opgave skal du finde ud af, hvor mange måder der er at lægge femten bind på en hylde, men forudsat at der er tredive bind i alt.

Løsningen på dette problem er lidt enklere end den forrige. Ved hjælp af den allerede kendte formel er det nødvendigt at beregne det samlede antal arrangementer på tredive bind på femten.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 003

Svaret vil derfor være lig med 202.843.204.931.727.360.000.

Lad os nu tage en lidt sværere opgave. Du skal finde ud af, hvor mange måder der er at arrangere tredive bøger på to boghylder, forudsat at der kun kan placeres femten bind på én hylde.

Inden jeg starter løsningen, vil jeg gerne præcisere, at nogle problemer kan løses på flere måder, og denne har to metoder, men begge bruger den samme formel.

I denne opgave kan du tage svaret fra den forrige, for der har vi regnet ud, hvor mange gange du kan fylde en hylde med femten bøger på forskellige måder. Det viste sig at A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Vi vil beregne den anden hylde ved hjælp af permutationsformlen, fordi der kan placeres femten bøger i den, mens der kun er femten tilbage. Vi bruger formlen P_15 = 15!.

Det viser sig, at totalen vil være A_30^15 ⋅ P_15 måder, men ud over dette skal produktet af alle tal fra tredive til seksten ganges med produktet af tal fra et til femten, i sidste ende får produktet af alle tal fra et til tredive, det vil sige, at svaret er lig med 30!

Men dette problem kan løses på en anden måde - nemmere. For at gøre dette kan du forestille dig, at der er en hylde til tredive bøger. Alle er placeret på dette fly, men da tilstanden kræver, at der er to hylder, så vi en lang i halvdelen, så vi får to af femten. Heraf viser det sig, at der kan være P_30 = 30 muligheder for arrangement!.

Eksempel løsning. Formel for kombinationsnummer

Nu vil vi overveje en version af det tredje problem fra kombinatorik. Det er nødvendigt at finde ud af, hvor mange måder der er at arrangere femten bøger på, forudsat at du skal vælge mellem tredive helt identiske.

For at løse vil formlen for antallet af kombinationer naturligvis blive anvendt. Af betingelsen bliver det klart, at rækkefølgen af ​​de identiske femten bøger ikke er vigtig. Derfor skal du først finde ud af det samlet antal kombinationer af tredive bøger af femten.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

Det er alt. Ved brug af denne formel, V korteste tid lykkedes at løse dette problem, er svaret derfor 155.117.520.

Eksempel løsning. Klassisk definition af sandsynlighed

Ved at bruge formlen ovenfor kan du finde svaret på et simpelt problem. Men dette vil hjælpe med tydeligt at se og spore handlingernes fremskridt.

Problemstillingen siger, at der er ti helt ens kugler i urnen. Af disse er fire gule og seks er blå. Den ene kugle tages fra urnen. Du skal finde ud af sandsynligheden for at blive blå.

For at løse problemet er det nødvendigt at udpege at få den blå bold som begivenhed A. Dette eksperiment kan have ti udfald, som igen er elementære og lige så mulige. Samtidig er seks ud af ti gunstige for begivenhed A. Vi løser ved hjælp af formlen:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Ved at anvende denne formel lærte vi, at sandsynligheden for at få den blå kugle er 0,6.

Eksempel løsning. Sandsynlighed for summen af ​​begivenheder

En mulighed vil nu blive præsenteret, der løses ved hjælp af sum-of-begivenheder-sandsynlighedsformlen. Så betingelsen er givet, at der er to kasser, den første indeholder en grå og fem hvide kugler, og den anden indeholder otte grå og fire hvide kugler. Som et resultat tog de en af ​​dem fra den første og anden kasse. Du skal finde ud af, hvad chancen er for, at de bolde, du får, bliver grå og hvide.

At løse denne opgave, skal begivenheder identificeres.

• Så A - tog en grå kugle fra den første boks: P(A) = 1/6.
• A’ - tog en hvid bold også fra den første boks: P(A") = 5/6.
• B - en grå kugle blev fjernet fra den anden boks: P(B) = 2/3.
• B’ - tog en grå kugle fra den anden boks: P(B") = 1/3.

I henhold til problemets betingelser er det nødvendigt, at et af fænomenerne sker: AB’ eller A’B. Ved hjælp af formlen får vi: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Nu er formlen til at gange sandsynligheden blevet brugt. Dernæst, for at finde ud af svaret, skal du anvende ligningen for deres addition:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Sådan kan du løse lignende problemer ved hjælp af formlen.

Bundlinie

Artiklen præsenterede oplysninger om emnet "Sandsynlighedsteori", hvor sandsynligheden for en begivenhed spiller vital rolle. Selvfølgelig blev ikke alt taget i betragtning, men baseret på den præsenterede tekst kan du teoretisk gøre dig bekendt med dette afsnit af matematik. Den pågældende videnskab kan være nyttig ikke kun i professionelt arbejde, men også i Hverdagen. Med dens hjælp kan du beregne enhver mulighed for enhver begivenhed.

Teksten berørte også vigtige datoer i historien om dannelsen af ​​sandsynlighedsteorien som en videnskab, og navnene på de personer, hvis arbejde blev investeret i den. Sådan førte menneskelig nysgerrighed til, at folk lærte at beregne selv tilfældige hændelser. Engang var de simpelthen interesserede i dette, men i dag ved alle allerede om det. Og ingen vil sige, hvad der venter os i fremtiden, hvilke andre strålende opdagelser relateret til den undersøgte teori vil blive gjort. Men én ting er sikkert – forskningen står ikke stille!

"Ulykker er ikke tilfældige"... Det lyder som noget, en filosof sagde, men faktisk er det at studere ulykker skæbnen stor videnskab matematik. I matematik håndteres tilfældigheder af sandsynlighedsteori. Formler og eksempler på opgaver samt de vigtigste definitioner af denne videnskab vil blive præsenteret i artiklen.

Hvad er sandsynlighedsteori?

Sandsynlighedsteori er en af ​​de matematiske discipliner, der studerer tilfældige hændelser.

For at gøre det lidt tydeligere, lad os give et lille eksempel: Hvis du kaster en mønt op, kan den lande på hoveder eller haler. Mens mønten er i luften, er begge disse sandsynligheder mulige. Altså sandsynligheden mulige konsekvenser forholdet er 1:1. Hvis man trækkes fra et spil med 36 kort, vil sandsynligheden blive angivet som 1:36. Det ser ud til, at der ikke er noget at udforske og forudsige her, især ved hjælp af matematiske formler. Men hvis du gentager en bestemt handling mange gange, kan du identificere et bestemt mønster og ud fra det forudsige udfaldet af begivenheder under andre forhold.

For at opsummere alt ovenstående studerer sandsynlighedsteori i klassisk forstand muligheden for forekomsten af ​​en af ​​de mulige begivenheder i en numerisk værdi.

Fra historiens sider

Sandsynlighedsteorien, formler og eksempler på de første opgaver dukkede op i den fjerne middelalder, da der først opstod forsøg på at forudsige udfaldet af kortspil.

I starten havde sandsynlighedsteori intet med matematik at gøre. Det var begrundet med empiriske fakta eller egenskaber ved en begivenhed, der kunne gengives i praksis. De første værker på dette område som en matematisk disciplin dukkede op i det 17. århundrede. Grundlæggerne var Blaise Pascal og Pierre Fermat. De studerede gambling i lang tid og så visse mønstre, som de besluttede at fortælle offentligheden om.

Den samme teknik blev opfundet af Christiaan Huygens, selvom han ikke var bekendt med resultaterne af Pascals og Fermats forskning. Begrebet "sandsynlighedsteori", formler og eksempler, som betragtes som de første i disciplinens historie, blev introduceret af ham.

Jacob Bernoullis værker, Laplaces og Poissons sætninger er også af ikke ringe betydning. De gjorde sandsynlighedsteori mere som en matematisk disciplin. Sandsynlighedsteori, formler og eksempler på grundlæggende opgaver fik deres nuværende form takket være Kolmogorovs aksiomer. Som et resultat af alle ændringerne blev sandsynlighedsteorien en af ​​de matematiske grene.

Grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori. Begivenheder

Hovedkonceptet for denne disciplin er "begivenhed". Der er tre typer begivenheder:

• Pålidelig. Dem, der vil ske alligevel (mønten vil falde).
• Umulig. Begivenheder, der under ingen omstændigheder vil ske (mønten forbliver hængende i luften).
• Tilfældig. Dem der vil ske eller ikke vil ske. De kan blive påvirket forskellige faktorer, som er meget svære at forudsige. Hvis vi taler om en mønt, så tilfældige faktorer, der kan påvirke resultatet: møntens fysiske egenskaber, dens form, udgangsposition, kastekraft mv.

Alle hændelser i eksemplerne er angivet med versaler med latinske bogstaver, med undtagelse af P, som har en anden rolle. For eksempel:

• A = "studerende kom til forelæsning."
• Ā = "studerende kom ikke til forelæsningen."

I praktiske opgaver Begivenheder registreres normalt i ord.

En af de vigtigste egenskaber begivenheder - deres lige muligheder. Det vil sige, at hvis du kaster en mønt, er alle varianter af det indledende fald mulige, indtil den falder. Men begivenheder er heller ikke lige mulige. Dette sker, når nogen bevidst påvirker et resultat. For eksempel "mærket" spillekort eller terninger, hvori tyngdepunktet forskydes.

Begivenheder kan også være kompatible og uforenelige. Kompatible begivenheder udelukker ikke hinandens forekomst. For eksempel:

• A = "den studerende kom til forelæsningen."
• B = "den studerende kom til forelæsningen."

Disse begivenheder er uafhængige af hinanden, og forekomsten af ​​en af ​​dem påvirker ikke forekomsten af ​​den anden. Inkompatible hændelser er defineret ved, at forekomsten af ​​en udelukker forekomsten af ​​en anden. Hvis vi taler om den samme mønt, gør tabet af "haler" det umuligt for udseendet af "hoveder" i det samme eksperiment.

Handlinger på begivenheder

Begivenheder kan multipliceres og tilføjes; derfor introduceres logiske forbindelser "AND" og "OR" i disciplinen.

Beløbet bestemmes af, at enten begivenhed A eller B, eller to, kan forekomme samtidigt. Hvis de er inkompatible, er den sidste mulighed umulig; enten A eller B vil blive rullet.

Multiplikation af begivenheder består i udseendet af A og B på samme tid.

Nu kan vi give flere eksempler for bedre at huske det grundlæggende, sandsynlighedsteori og formler. Eksempler på problemløsning nedenfor.

Øvelse 1: Virksomheden deltager i en konkurrence om at modtage kontrakter på tre typer arbejde. Mulige hændelser, der kan forekomme:

• A = "firmaet vil modtage den første kontrakt."
• A 1 = "firmaet vil ikke modtage den første kontrakt."
• B = "virksomheden vil modtage en anden kontrakt."
• B 1 = "virksomheden vil ikke modtage en anden kontrakt"
• C = "virksomheden vil modtage en tredje kontrakt."
• C 1 = "virksomheden vil ikke modtage en tredje kontrakt."

Ved at bruge handlinger på begivenheder vil vi forsøge at udtrykke følgende situationer:

• K = "virksomheden vil modtage alle kontrakter."

På matematisk form vil ligningen have følgende form: K = ABC.

• M = "virksomheden vil ikke modtage en eneste kontrakt."

M = A 1 B 1 C 1.

Lad os komplicere opgaven: H = "virksomheden vil modtage én kontrakt." Da det ikke vides, hvilken kontrakt virksomheden vil modtage (første, anden eller tredje), er det nødvendigt at registrere hele rækken af ​​mulige begivenheder:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Og 1 BC 1 er en række begivenheder, hvor firmaet ikke modtager den første og tredje kontrakt, men modtager den anden. Andre mulige hændelser blev registreret ved hjælp af den passende metode. Symbolet υ i disciplinen betegner det bindende "ELLER". Hvis vi oversætter ovenstående eksempel til et menneskeligt sprog, modtager virksomheden enten den tredje kontrakt, den anden eller den første. På lignende måde kan du nedskrive andre forhold i disciplinen ”Sandsynlighedsteori”. Formlerne og eksemplerne på problemløsning præsenteret ovenfor vil hjælpe dig med at gøre dette selv.

Faktisk sandsynligheden

Måske i denne matematiske disciplin er sandsynligheden for en begivenhed det centrale begreb. Der er 3 definitioner af sandsynlighed:

• klassisk;
• statistisk;
• geometriske.

Hver har sin plads i studiet af sandsynlighed. Sandsynlighedsteori, formler og eksempler (9. klasse) bruger hovedsageligt den klassiske definition, som lyder således:

• Sandsynligheden for situation A er lig med forholdet mellem antallet af udfald, der favoriserer dets forekomst, og antallet af alle mulige udfald.

Formlen ser således ud: P(A)=m/n.

A er faktisk en begivenhed. Hvis der vises et tilfælde modsat A, kan det skrives som  eller A 1 .

m er antallet af mulige gunstige tilfælde.

n - alle begivenheder, der kan ske.

For eksempel, A = "træk et kort af hjertefarven." Der er 36 kort i et standardspil, 9 af dem er af hjerter. Følgelig vil formlen til løsning af problemet se ud som:

P(A)=9/36=0,25.

Som et resultat vil sandsynligheden for, at et kort i hjertefarven trækkes fra bunken være 0,25.

Mod højere matematik

Nu er det blevet lidt kendt, hvad sandsynlighedsteori er, formler og eksempler på løsning af problemer, der støder på i skolepensum. Sandsynlighedsteori findes dog også i højere matematik, som undervises på universiteterne. Oftest arbejder de med geometriske og statistiske definitioner af teorien og komplekse formler.

Sandsynlighedsteorien er meget interessant. Formler og eksempler ( højere matematik) er det bedre at begynde at studere småt - med den statistiske (eller frekvens) definition af sandsynlighed.

Den statistiske tilgang modsiger ikke den klassiske, men udvider den lidt. Hvis det i det første tilfælde var nødvendigt at bestemme med hvilken sandsynlighed en begivenhed vil forekomme, så er det i denne metode nødvendigt at angive, hvor ofte det vil forekomme. Her introduceres et nyt begreb "relativ frekvens", som kan betegnes med W n (A). Formlen adskiller sig ikke fra den klassiske:

Hvis den klassiske formel beregnes til forudsigelse, så beregnes den statistiske i henhold til eksperimentets resultater. Lad os tage en lille opgave for eksempel.

Den teknologiske kontrolafdeling kontrollerer produkter for kvalitet. Blandt 100 produkter blev 3 fundet at være af dårlig kvalitet. Hvordan finder man frekvenssandsynligheden for et kvalitetsprodukt?

A = "udseendet af et kvalitetsprodukt."

Wn(A)=97/100=0,97

Således er frekvensen af ​​et kvalitetsprodukt 0,97. Hvor har du 97 fra? Ud af 100 produkter, der blev kontrolleret, blev 3 fundet at være af dårlig kvalitet. Vi trækker 3 fra 100 og får 97, dette er mængden af ​​kvalitetsvarer.

Lidt om kombinatorik

En anden metode til sandsynlighedsteori kaldes kombinatorik. Dens grundlæggende princip er, at hvis et bestemt valg A kan træffes m forskellige veje, og valget af B er på n forskellige måder, så kan valget af A og B ske ved multiplikation.

For eksempel er der 5 veje, der fører fra by A til by B. Der er 4 stier fra by B til by C. På hvor mange måder kan du komme fra by A til by C?

Det er enkelt: 5x4=20, det vil sige på tyve forskellige måder kan du komme fra punkt A til punkt C.

Lad os komplicere opgaven. Hvor mange måder er der til at lægge kort i kabale? Der er 36 kort i bunken - dette er udgangspunktet. For at finde ud af antallet af måder, skal du "trække" et kort ad gangen fra startpunktet og gange.

Det vil sige, 36x35x34x33x32...x2x1= resultatet passer ikke på lommeregnerens skærm, så det kan blot betegnes 36!. Skilt "!" ved siden af ​​tallet angiver, at hele rækken af ​​tal er ganget sammen.

I kombinatorik er der sådanne begreber som permutation, placering og kombination. Hver af dem har sin egen formel.

Et ordnet sæt af elementer i et sæt kaldes et arrangement. Placeringer kan gentages, det vil sige, at et element kan bruges flere gange. Og uden gentagelse, når elementer ikke gentages. n er alle elementer, m er elementer, der deltager i placeringen. Formlen for placering uden gentagelse vil se sådan ud:

A n m =n!/(n-m)!

Forbindelser af n elementer, der kun adskiller sig i rækkefølgen af ​​placering, kaldes permutationer. I matematik ser det sådan ud: P n = n!

Kombinationer af n elementer af m er de forbindelser, hvor det er vigtigt, hvilke grundstoffer de var, og hvad deres samlede antal er. Formlen vil se sådan ud:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoullis formel

I sandsynlighedsteori, såvel som i enhver disciplin, er der værker af fremragende forskere inden for deres felt, der bragte det til nyt niveau. Et af disse værker er Bernoulli-formlen, som giver dig mulighed for at bestemme sandsynligheden for, at en bestemt begivenhed finder sted under uafhængige forhold. Dette tyder på, at forekomsten af ​​A i et eksperiment ikke afhænger af forekomsten eller ikke-forekomsten af ​​den samme hændelse i tidligere eller efterfølgende forsøg.

Bernoullis ligning:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Sandsynligheden (p) for forekomsten af ​​hændelsen (A) er konstant for hvert forsøg. Sandsynligheden for, at situationen vil opstå præcis m gange i n antal eksperimenter, vil blive beregnet ved hjælp af formlen præsenteret ovenfor. Derfor opstår spørgsmålet om, hvordan man finder ud af tallet q.

Hvis hændelse A forekommer p antal gange, vil den muligvis ikke forekomme. Enhed er et tal, der bruges til at udpege alle udfald af en situation i en disciplin. Derfor er q et tal, der angiver muligheden for, at en begivenhed ikke indtræffer.

Nu kender du Bernoullis formel (sandsynlighedsteori). Vi vil overveje eksempler på problemløsning (første niveau) nedenfor.

Opgave 2: En butiksbesøgende vil foretage et køb med sandsynlighed 0,2. 6 besøgende kom selvstændigt ind i butikken. Hvad er sandsynligheden for, at en besøgende vil foretage et køb?

Løsning: Da det er uvist, hvor mange besøgende der skal foretage et køb, en eller alle seks, er det nødvendigt at beregne alle mulige sandsynligheder ved hjælp af Bernoulli-formlen.

A = "den besøgende vil foretage et køb."

I dette tilfælde: p = 0,2 (som angivet i opgaven). Følgelig er q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (da der er 6 kunder i butikken). Tallet m vil variere fra 0 (ikke en enkelt kunde vil foretage et køb) til 6 (alle besøgende i butikken vil købe noget). Som et resultat får vi løsningen:

P6(0) = C06xp0xq6 =q6 = (0,8)6 = 0,2621.

Ingen af ​​køberne vil foretage et køb med sandsynlighed 0,2621.

Hvordan bruges Bernoullis formel (sandsynlighedsteori) ellers? Eksempler på problemløsning (andet niveau) nedenfor.

Efter ovenstående eksempel opstår der spørgsmål om, hvor C og r gik hen. I forhold til p vil et tal i potensen 0 være lig med én. Hvad angår C, kan det findes ved formlen:

C n m = n! /m!(n-m)!

Da i det første eksempel henholdsvis m = 0 er C = 1, hvilket i princippet ikke påvirker resultatet. Lad os ved hjælp af den nye formel prøve at finde ud af, hvad der er sandsynligheden for, at to besøgende køber varer.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Sandsynlighedsteorien er ikke så kompliceret. Bernoullis formel, som eksempler er præsenteret ovenfor, er et direkte bevis på dette.

Poissons formel

Poissons ligning bruges til at beregne tilfældige situationer med lav sandsynlighed.

Grundformel:

Pn(m)=λm/m! x e (-λ).

I dette tilfælde λ = n x p. Her er en simpel Poisson-formel (sandsynlighedsteori). Vi vil overveje eksempler på problemløsning nedenfor.

Opgave 3: Fabrikken producerede 100.000 dele. Forekomst af en defekt del = 0,0001. Hvad er sandsynligheden for, at der vil være 5 defekte dele i en batch?

Som du kan se, er ægteskab en usandsynlig begivenhed, og derfor bruges Poisson-formlen (sandsynlighedsteori) til beregning. Eksempler på løsning af problemer af denne art adskiller sig ikke fra andre opgaver i disciplinen; vi erstatter de nødvendige data i den givne formel:

A = "en tilfældigt valgt del vil være defekt."

p = 0,0001 (ifølge opgavebetingelserne).

n = 100000 (antal dele).

m = 5 (defekte dele). Vi erstatter dataene i formlen og får:

R 100.000 (5) = 10 5 /5! Xe-10 = 0,0375.

Ligesom Bernoulli-formlen (sandsynlighedsteori), eksempler på løsninger, som er skrevet ovenfor, har Poisson-ligningen en ukendt e. Faktisk kan den findes ved formlen:

e -λ = lim n -> ∞ (1-λ/n) n .

Der er dog specielle tabeller, der indeholder næsten alle værdier af f.

De Moivre-Laplace sætning

Hvis antallet af forsøg i Bernoulli-skemaet er tilstrækkeligt stort, og sandsynligheden for forekomst af begivenhed A i alle skemaer er den samme, så kan sandsynligheden for forekomst af begivenhed A et vist antal gange i en række tests findes ved at Laplaces formel:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

For bedre at huske Laplaces formel (sandsynlighedsteori), er eksempler på problemer nedenfor for at hjælpe.

Lad os først finde X m, erstatte dataene (de er alle anført ovenfor) i formlen og få 0,025. Ved hjælp af tabeller finder vi tallet ϕ(0,025), hvis værdi er 0,3988. Nu kan du erstatte alle data i formlen:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Således er sandsynligheden for, at flyeren virker præcis 267 gange, 0,03.

Bayes formel

Bayes-formlen (sandsynlighedsteori), eksempler på løsning af problemer ved hjælp af hvilken vil blive givet nedenfor, er en ligning, der beskriver sandsynligheden for en begivenhed baseret på de omstændigheder, der kunne være forbundet med den. Grundformlen er som følger:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A og B er bestemte begivenheder.

P(A|B) er en betinget sandsynlighed, dvs. begivenhed A kan forekomme, forudsat at begivenhed B er sand.

P (B|A) - betinget sandsynlighed for begivenhed B.

Så den sidste del af det korte kursus "Sandsynlighedsteori" er Bayes-formlen, eksempler på løsninger på problemer med som er nedenfor.

Opgave 5: Telefoner fra tre firmaer blev bragt til lageret. Samtidig er andelen af ​​telefoner, der fremstilles på den første fabrik, 25%, på den anden - 60%, på den tredje - 15%. Det er også kendt, at den gennemsnitlige procentdel af defekte produkter på den første fabrik er 2%, på den anden - 4% og på den tredje - 1%. Du skal finde sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt telefon vil være defekt.

A = "tilfældigt valgt telefon."

B 1 - telefonen som den første fabrik producerede. Følgelig vil indledende B 2 og B 3 fremkomme (for anden og tredje fabrik).

Som et resultat får vi:

P (B1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - dermed fandt vi sandsynligheden for hver mulighed.

Nu skal du finde de betingede sandsynligheder for den ønskede begivenhed, det vil sige sandsynligheden for defekte produkter i virksomheder:

P (A/B1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B3) = 0,01.

Lad os nu erstatte dataene i Bayes-formlen og få:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Artiklen præsenterer sandsynlighedsteori, formler og eksempler på problemløsning, men dette er kun toppen af ​​isbjerget af en stor disciplin. Og efter alt, hvad der er skrevet, vil det være logisk at stille spørgsmålet om, hvorvidt sandsynlighedsteorien er nødvendig i livet. Til den almindelige mand Det er svært at svare på, det er bedre at spørge nogen, der har brugt det til at vinde jackpotten mere end én gang.

Sandsynlighedsteori er en gren af ​​matematikken, der studerer mønstrene for tilfældige fænomener: tilfældige hændelser, tilfældige variabler, deres egenskaber og operationer på dem.

I lang tid havde sandsynlighedsteorien ikke en klar definition. Det blev først formuleret i 1929. Fremkomsten af ​​sandsynlighedsteori som en videnskab går tilbage til middelalderen og de første forsøg på matematisk analyse af gambling (flake, terninger, roulette). Franske matematikere fra det 17. århundrede, Blaise Pascal og Pierre Fermat, opdagede, mens de studerede forudsigelsen af ​​gevinster i gambling, de første probabilistiske mønstre, der opstår, når de kaster terninger.

Sandsynlighedsteori opstod som en videnskab fra troen på, at tilfældige massehændelser er baseret på bestemte mønstre. Sandsynlighedsteori studerer disse mønstre.

Sandsynlighedsteori beskæftiger sig med studiet af begivenheder, hvis forekomst ikke er kendt med sikkerhed. Det giver dig mulighed for at bedømme graden af ​​sandsynlighed for forekomsten af ​​nogle begivenheder sammenlignet med andre.

For eksempel: det er umuligt entydigt at bestemme resultatet af "hoveder" eller "haler" som et resultat af at kaste en mønt, men når man kaster den flere gange, er resultatet ca. samme nummer"hoveder" og "haler", hvilket betyder, at sandsynligheden for at få "hoveder" eller "haler" er 50%.

Prøve i dette tilfælde kaldes implementeringen af ​​et bestemt sæt betingelser, det vil sige i dette tilfælde kastet af en mønt. Udfordringen kan spilles et ubegrænset antal gange. I dette tilfælde inkluderer sættet af betingelser tilfældige faktorer.

Testresultatet er begivenhed. Arrangementet sker:

1. Pålidelig (opstår altid som et resultat af test).
2. Umuligt (skeder aldrig).
3. Tilfældig (kan eller ikke forekomme som et resultat af testen).

For eksempel, når man kaster en mønt, en umulig begivenhed - mønten vil lande på kanten, en tilfældig begivenhed - udseendet af "hoveder" eller "haler". Det specifikke testresultat kaldes elementær begivenhed. Som et resultat af testen forekommer kun elementære hændelser. Sættet af alle mulige, forskellige, specifikke testresultater kaldes rum af elementære begivenheder.

Grundlæggende begreber i teorien

Sandsynlighed- graden af ​​mulighed for, at en begivenhed indtræffer. Når årsagerne til, at en eventuel hændelse faktisk opstår, opvejer de modsatte årsager, så kaldes denne hændelse sandsynlig, ellers - usandsynlig eller usandsynlig.

Tilfældig værdi- det er en mængde, der som følge af test kan tage en eller anden værdi, og det vides ikke på forhånd hvilken. Eksempelvis: antal pr. brandstation pr. dag, antal hits med 10 skud osv.

Tilfældige variable kan opdeles i to kategorier.

1. Diskret tilfældig variabel er en størrelse, der, som et resultat af test, kan antage bestemte værdier med en vis sandsynlighed og danne et tælleligt sæt (et sæt, hvis elementer kan nummereres). Dette sæt kan enten være endeligt eller uendeligt. For eksempel er antallet af skud før det første hit på målet en diskret tilfældig variabel, fordi denne mængde kan antage et uendeligt, omend tælleligt antal værdier.
2. Kontinuerlig tilfældig variabel er en størrelse, der kan tage en hvilken som helst værdi fra et endeligt eller uendeligt interval. Det er klart, at antallet af mulige værdier af en kontinuerlig tilfældig variabel er uendelig.

Sandsynlighedsrum- koncept introduceret af A.N. Kolmogorov i 30'erne af det 20. århundrede for at formalisere begrebet sandsynlighed, hvilket gav anledning til den hurtige udvikling af sandsynlighedsteori som en streng matematisk disciplin.

Et sandsynlighedsrum er et tredobbelt (nogle gange omgivet af vinkelparenteser: , hvor

Dette er et vilkårligt sæt, hvis elementer kaldes elementære begivenheder, udfald eller point;
- sigma algebra af delmængder kaldet (tilfældige) hændelser;
- sandsynlighedsmål eller sandsynlighed, dvs. sigma-additivt endeligt mål sådan, at .

De Moivre-Laplace sætning- en af ​​sandsynlighedsteoriens grænsesætninger, etableret af Laplace i 1812. Den angiver, at antallet af succeser ved gentagelse af det samme tilfældige eksperiment igen og igen med to mulige udfald er tilnærmelsesvis normalfordelt. Det giver dig mulighed for at finde en omtrentlig sandsynlighedsværdi.

Hvis sandsynligheden for forekomsten af ​​en tilfældig hændelse for hvert af de uafhængige forsøg er lig med () og er antallet af forsøg, hvori den faktisk forekommer, så er sandsynligheden for, at uligheden er sand, tæt på (for store værdier) værdien af ​​Laplace-integralet.

Fordelingsfunktion i sandsynlighedsteori- en funktion, der karakteriserer fordelingen af ​​en tilfældig variabel eller tilfældig vektor; sandsynligheden for, at en stokastisk variabel X vil tage en værdi mindre end eller lig med x, hvor x er vilkårlig reelle tal. Hvis kendte betingelser er opfyldt, bestemmer den fuldstændigt den stokastiske variabel.

Forventet værdi- gennemsnitsværdien af ​​en stokastisk variabel (dette er sandsynlighedsfordelingen af ​​en stokastisk variabel, betragtet i sandsynlighedsteorien). I engelsksproget litteratur er det betegnet med , på russisk - . I statistik bruges notationen ofte.

Lad et sandsynlighedsrum og en stokastisk variabel defineret på det være givet. Det er per definition en målbar funktion. Så, hvis der er et Lebesgue-integral af overrum, så kaldes det den matematiske forventning eller middelværdien og betegnes .

Varians af en tilfældig variabel- et mål for spredningen af ​​en given stokastisk variabel, dvs. dens afvigelse fra den matematiske forventning. Det er udpeget i russisk og udenlandsk litteratur. I statistik bruges ofte notationen eller. Kvadrat rod af variansen kaldes standardafvigelsen, standardafvigelsen eller standardspredningen.

Lade være en tilfældig variabel defineret på et sandsynlighedsrum. Derefter

hvor symbolet angiver den matematiske forventning.

I sandsynlighedsteori kaldes to tilfældige hændelser uafhængig, hvis forekomsten af ​​en af ​​dem ikke ændrer sandsynligheden for forekomsten af ​​den anden. På samme måde kaldes to stokastiske variable afhængig, hvis værdien af ​​en af ​​dem påvirker sandsynligheden for værdierne af den anden.

Den enkleste form for loven om store tal er Bernoullis sætning, som siger, at hvis sandsynligheden for en begivenhed er den samme i alle forsøg, så når antallet af forsøg stiger, tenderer frekvensen af ​​begivenheden til sandsynligheden for begivenheden og ophører med at være tilfældig.

Loven om store tal i sandsynlighedsteori siger, at det aritmetiske middelværdi af en endelig stikprøve fra en fast fordeling er tæt på det teoretiske gennemsnit af denne fordeling. Afhængigt af typen af ​​konvergens skelnes der mellem den svage lov for store tal, når konvergens opstår efter sandsynlighed, og den stærke lov for store tal, når konvergens er næsten sikker.

Den generelle betydning af loven om store tal er, at den fælles handling af et stort antal identiske og uafhængige tilfældige faktorer fører til et resultat, der i grænsen ikke afhænger af tilfældigheder.

Metoder til at estimere sandsynlighed baseret på endelig prøveanalyse er baseret på denne egenskab. Et tydeligt eksempel er en prognose for valgresultater baseret på en undersøgelse af et udvalg af vælgere.

Centrale grænsesætninger- en klasse af sætninger i sandsynlighedsteori, der siger, at summen er tilstrækkelig stor mængde svagt afhængige stokastiske variable, der har nogenlunde samme skala (ingen led dominerer eller bidrager afgørende til summen) har en fordeling tæt på normalen.

Da mange tilfældige variable i applikationer dannes under indflydelse af flere svagt afhængige tilfældige faktorer, anses deres fordeling for normal. I dette tilfælde skal betingelsen være opfyldt, at ingen af ​​faktorerne er dominerende. Centrale grænsesætninger i disse tilfælde retfærdiggør brugen af ​​normalfordelingen.

Præsenteret til dato i den åbne bank af Unified State Exam-problemer i matematik (mathege.ru), hvis løsning er baseret på kun én formel, som er den klassiske definition af sandsynlighed.

Den nemmeste måde at forstå formlen på er med eksempler.
Eksempel 1. Der er 9 røde bolde og 3 blå bolde i kurven. Kuglerne adskiller sig kun i farve. Vi tager en af ​​dem ud tilfældigt (uden at kigge). Hvad er sandsynligheden for, at den valgte bold på denne måde bliver blå?

En kommentar. I sandsynlighedsproblemer sker der noget (i dette tilfælde vores handling med at trække bolden), der kan have anderledes resultat- udfald. Det skal bemærkes, at resultatet kan ses på forskellige måder. "Vi trak en slags bold ud" er også et resultat. "Vi trak den blå bold ud" - resultatet. "Vi trak præcis denne bold ud fra alle mulige bolde" - denne mindst generaliserede opfattelse af resultatet kaldes et elementært resultat. Det er de elementære udfald, der menes i formlen til beregning af sandsynligheden.

Løsning. Lad os nu beregne sandsynligheden for at vælge den blå bold.
Hændelse A: "den valgte bold viste sig at være blå"
Samlet antal af alle mulige udfald: 9+3=12 (antallet af alle bolde, som vi kunne trække)
Antal gunstige udfald for hændelse A: 3 (antallet af sådanne udfald, hvor hændelse A fandt sted - det vil sige antallet blå kugler)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Svar: 0,25

For det samme problem, lad os beregne sandsynligheden for at vælge en rød bold.
Det samlede antal mulige udfald vil forblive det samme, 12. Antal gunstige udfald: 9. Sandsynlighed søgt: 9/12=3/4=0,75

Sandsynligheden for enhver hændelse ligger altid mellem 0 og 1.
Nogle gange i daglig tale (men ikke i sandsynlighedsteori!) estimeres sandsynligheden for hændelser i procent. Overgangen mellem matematik og samtaleresultater opnås ved at gange (eller dividere) med 100 %.
Så,
Desuden er sandsynligheden nul for begivenheder, der ikke kan ske - utroligt. For eksempel vil dette i vores eksempel være sandsynligheden for at trække en grøn bold fra kurven. (Antallet af gunstige resultater er 0, P(A)=0/12=0, hvis det beregnes ved hjælp af formlen)
Sandsynlighed 1 har hændelser, der er helt sikre, uden muligheder. For eksempel er sandsynligheden for, at "den valgte bold enten rød eller blå" for vores opgave. (Antal gunstige resultater: 12, P(A)=12/12=1)

Vi har anmeldt klassisk eksempel, der illustrerer definitionen af ​​sandsynlighed. Alle lignende problemer i Unified State Exam i sandsynlighedsteori løses ved at bruge denne formel.
I stedet for de røde og blå kugler kan der være æbler og pærer, drenge og piger, lærde og ulærde billetter, billetter, der indeholder og ikke indeholder et spørgsmål om et eller andet emne (prototyper,), defekte tasker af høj kvalitet eller havepumper (prototyper) ,) - princippet forbliver det samme.

De adskiller sig lidt i formuleringen af ​​problemet med sandsynlighedsteorien for Unified State Examination, hvor du skal beregne sandsynligheden for, at en begivenhed finder sted på en bestemt dag. ( , ) Som i tidligere opgaver skal du bestemme, hvad det elementære resultat er, og derefter anvende den samme formel.

Eksempel 2. Konferencen varer tre dage. På første og anden dag er der 15 talere, på tredjedagen - 20. Hvad er sandsynligheden for, at professor M.s rapport falder på tredjedagen, hvis rækkefølgen af ​​rapporter bestemmes ved lodtrækning?

Hvad er det elementære resultat her? – At tildele en professors rapport én af alle mulige serienumre for en forestilling. 15+15+20=50 personer deltager i lodtrækningen. Professor M.s rapport kan således modtage et af 50 numre. Det betyder, at der kun er 50 elementære resultater.
Hvad er de gunstige resultater? - Dem, hvor det viser sig, at professoren taler på tredjedagen. Altså de sidste 20 numre.
Ifølge formlen er sandsynlighed P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Svar: 0,4

Lodtrækningen repræsenterer her etableringen af ​​en tilfældig korrespondance mellem personer og bestilte pladser. I eksempel 2 blev etableringen af ​​korrespondance overvejet ud fra, hvilken af ​​pladserne der kunne optages speciel person. Du kan nærme dig den samme situation fra den anden side: hvem af personerne med hvilken sandsynlighed kunne komme til et bestemt sted (prototyper , , , ):

Eksempel 3. Lodtrækningen omfatter 5 tyskere, 8 franskmænd og 3 estere. Hvad er sandsynligheden for, at den første (/anden/syvende/sidste – det gør ikke noget) bliver en franskmand.

Antallet af elementære udfald er antallet af alle mulige personer, der kunne komme ind på et givet sted ved lodtrækning. 5+8+3=16 personer.
Gunstige resultater - fransk. 8 personer.
Påkrævet sandsynlighed: 8/16=1/2=0,5
Svar: 0,5

Prototypen er lidt anderledes. Der er stadig problemer med mønter () og terning(), noget mere kreativt. Løsningen på disse problemer kan findes på prototypesiderne.

Her er et par eksempler på at kaste en mønt eller terning.

Eksempel 4. Når vi kaster en mønt, hvad er sandsynligheden for at lande på hoveder?
Der er 2 udfald – hoveder eller haler. (det menes, at mønten aldrig lander på kanten) Et gunstigt resultat er haler, 1.
Sandsynlighed 1/2=0,5
Svar: 0,5.

Eksempel 5. Hvad hvis vi kaster en mønt to gange? Hvad er sandsynligheden for at få hoveder begge gange?
Det vigtigste er at bestemme, hvilke elementære resultater vi vil overveje, når vi kaster to mønter. Efter at have kastet to mønter, kan et af følgende resultater forekomme:
1) PP – begge gange kom det op i hovedet
2) PO – første gang hoveder, anden gang hoveder
3) OP – heads første gang, tails anden gang
4) OO – der kom hoveder op begge gange
Der er ingen andre muligheder. Det betyder, at der er 4 elementære udfald. Kun det første, 1, er gunstigt.
Sandsynlighed: 1/4=0,25
Svar: 0,25

Hvad er sandsynligheden for, at to møntkast vil resultere i haler?
Antallet af elementære udfald er det samme, 4. Gunstige resultater er det andet og tredje, 2.
Sandsynlighed for at få én hale: 2/4=0,5

I sådanne problemer kan en anden formel være nyttig.
Hvis under ét kast med en mønt mulige muligheder vi har 2 resultater, så for to kast vil resultaterne være 2 2 = 2 2 = 4 (som i eksempel 5), for tre kast 2 2 2 = 2 3 = 8, for fire: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... for N kast vil de mulige resultater være 2·2·...·2=2 N .

Så du kan finde sandsynligheden for at få 5 hoveder ud af 5 møntkast.
Samlet antal elementære udfald: 2 5 =32.
Gunstige resultater: 1. (RRRRRR – hoveder alle 5 gange)
Sandsynlighed: 1/32=0,03125

Det samme gælder for terninger. Med et kast er der 6 mulige resultater. Så for to kast: 6 6 = 36, for tre 6 6 6 = 216 osv.

Eksempel 6. Vi kaster terningerne. Hvad er sandsynligheden for, at et lige tal bliver kastet?

Samlede resultater: 6, i henhold til antallet af sider.
Gunstig: 3 udfald. (2, 4, 6)
Sandsynlighed: 3/6=0,5

Eksempel 7. Vi kaster to terninger. Hvad er sandsynligheden for, at totalen bliver 10? (afrund til nærmeste hundrededel)

For én terning er der 6 mulige udfald. Det betyder, at for to, ifølge ovenstående regel, 6·6=36.
Hvilke resultater vil være gunstige for totalen til at rulle 10?
10 skal dekomponeres i summen af ​​to tal fra 1 til 6. Dette kan gøres på to måder: 10=6+4 og 10=5+5. Det betyder, at følgende muligheder er mulige for kuberne:
(6 på den første og 4 på den anden)
(4 på den første og 6 på den anden)
(5 på den første og 5 på den anden)
I alt 3 muligheder. Påkrævet sandsynlighed: 3/36=1/12=0,08
Svar: 0,08

Andre typer af B6-problemer vil blive diskuteret i en fremtidig How to Solve-artikel.