Afledt af en funktion. The Comprehensive Guide (2019). Afledte, grundlæggende definitioner og begreber

15.10.2019

I koordinatplan xOy overvej grafen for funktionen y=f(x). Lad os rette pointen M(x 0 ; f (x 0)). Lad os tilføje en abscisse x 0 stigning Δx. Vi får en ny abscisse x 0 +Δx. Dette er abscissen af punktet N, og ordinaten vil være ens f (x 0 +Δx). Ændringen i abscissen medførte en ændring i ordinaten. Denne ændring kaldes funktionstilvæksten og betegnes Δy.

Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Gennem prikker M Og N lad os tegne en sekant MN, som danner en vinkel φ med positiv akseretning Åh. Lad os bestemme tangens af vinklen φ fra retvinklet trekant MPN.

Lade Δx har en tendens til nul. Derefter sekanten MN vil have tendens til at indtage en tangentposition MT, og vinklen φ bliver en vinkel α . Altså tangens af vinklen α er grænseværdien for vinklens tangent φ :

Grænsen for forholdet mellem stigningen af en funktion og stigningen af argumentet, når sidstnævnte har en tendens til nul, kaldes den afledede af funktionen på et givet punkt:

Geometrisk betydning af afledte ligger i, at den numeriske afledede af funktionen i et givet punkt er lig med tangenten til den vinkel, der dannes af tangenten trukket gennem dette punkt til den givne kurve og den positive retning af aksen Åh:

Eksempler.

1. Find stigningen af argumentet og stigningen af funktionen y= x 2, hvis startværdien af argumentet var lig med 4 og nye - 4,01 .

Løsning.

Ny argumentværdi x=x0 +Δx. Lad os erstatte dataene: 4,01=4+Δх, deraf stigningen i argumentet Δx=4,01-4=0,01. Forøgelsen af en funktion er per definition lig med forskellen mellem de nye og tidligere værdier af funktionen, dvs. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Da vi har en funktion y=x2, At Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Svar: argumentstigning Δx=0,01; funktionstilvækst Δу=0,0801.

Funktionstilvæksten kunne findes anderledes: Δy=y (x0 +Δx) -y (x0)=y(4,01) -y(4)=4,012-42 =16,0801-16=0,0801.

2. Find hældningsvinklen for tangenten til grafen for funktionen y=f(x) på punktet x 0, hvis f "(x 0) = 1.

Løsning.

Værdien af den afledte på tangenspunktet x 0 og er værdien af tangenten til tangentvinklen ( geometrisk betydning afledte). Vi har: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, fordi tg45°=1.

Svar: tangenten til grafen for denne funktion danner en vinkel med den positive retning af Ox-aksen lig med 45°.

3. Udled formlen for den afledede af funktionen y=x n.

Differentiering er handlingen med at finde den afledede af en funktion.

Når du finder afledte, skal du bruge formler, der er afledt baseret på definitionen af en afledt, på samme måde som vi udledte formlen for den afledte grad: (x n)" = nx n-1.

Disse er formlerne.

Tabel over derivater Det vil være lettere at huske ved at udtale verbale formuleringer:

1. Den afledte af en konstant størrelse er nul.

2. X primtal er lig med en.

3. Konstantfaktoren kan tages ud af fortegn for den afledte.

4. Afledten af en grad er lig med produktet af eksponenten af denne grad med en grad med samme base, men eksponenten er en mindre.

5. Den afledte af en rod er lig med en divideret med to lige store rødder.

6. Den afledte af en divideret med x er lig med minus en divideret med x i anden.

7. Den afledte af sinus er lig med cosinus.

8. Den afledte af cosinus er lig med minus sinus.

9. Den afledede af tangenten er lig med én divideret med kvadratet af cosinus.

10. Den afledte af cotangens er lig med minus en divideret med kvadratet af sinus.

Vi underviser differentieringsregler.

1. Den afledte af en algebraisk sum er lig med algebraisk sum afledte udtryk.

2. Den afledte af et produkt er lig med produktet af den afledte faktor af den første faktor og den anden plus produktet af den første faktor og den afledte af den anden.

3. Den afledte af "y" divideret med "ve" er lig med en brøk, hvor tælleren er "y primtal ganget med "ve" minus "y ganget med ve primtal", og nævneren er "ve i anden".

4. Et særligt tilfælde af formlen 3.

Lad os lære sammen!

Side 1 af 1 1

Når man beslutter sig forskellige opgaver geometri, mekanik, fysik og andre grene af viden blev nødvendige ved at bruge den samme analytiske proces fra denne funktion y=f(x) få en ny funktion kaldet afledt funktion(eller simpelthen afledet) af en given funktion f(x) og er angivet med symbolet

Den proces, hvorved fra en given funktion f(x) få en ny funktion f" (x), hedder differentiering og den består af følgende tre trin: 1) giv argumentet x stigning  x og bestemme den tilsvarende forøgelse af funktionen  y = f(x+ x) -f(x); 2) lav en relation

3) tælle x konstant og  x0, finder vi
, som vi betegner med f" (x), som om at understrege, at den resulterende funktion kun afhænger af værdien x, hvor vi går til grænsen. Definition: Afledt y " =f " (x) givet funktion y=f(x) for et givet x kaldes grænsen for forholdet mellem stigningen af en funktion og stigningen af argumentet, forudsat at stigningen af argumentet har en tendens til nul, hvis denne grænse naturligvis eksisterer, dvs. begrænset. Dermed,
, eller

Bemærk, at hvis for en vis værdi x, for eksempel hvornår x=a, holdning
på  x0 har ikke tendens til den endelige grænse, så i dette tilfælde siger de, at funktionen f(x) på x=a(eller på punktet x=a) har ingen afledt eller er ikke differentierbar på punktet x=a.

2. Geometrisk betydning af derivatet.

Overvej grafen for funktionen y = f (x), der kan differentieres i nærheden af punktet x 0

f(x)

Lad os betragte en vilkårlig ret linje, der går gennem et punkt på grafen for en funktion - punkt A(x 0, f (x 0)) og skærer grafen i et eller andet punkt B(x;f(x)). En sådan linje (AB) kaldes en sekant. Fra ∆ABC: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Siden AC || Ox, så ALO = BAC = β (som svarer til parallel). Men ALO er hældningsvinklen af sekanten AB til den positive retning af Ox-aksen. Dette betyder tanβ = k - hældning lige AB.

Nu vil vi reducere ∆x, dvs. ∆х→ 0. I dette tilfælde vil punkt B nærme sig punkt A ifølge grafen, og sekant AB vil rotere. Grænsepositionen for sekanten AB ved ∆x→ 0 vil være en ret linje (a), kaldet tangenten til grafen for funktionen y = f (x) i punkt A.

Hvis vi går til grænsen som ∆x → 0 i ligheden tgβ =∆y/∆x, får vi
ortg =f "(x 0), siden
-hældningsvinkel af tangenten til den positive retning af Ox-aksen
, per definition af et derivat. Men tg = k er vinkelkoefficienten for tangenten, hvilket betyder k = tg = f "(x 0).

Så den geometriske betydning af derivatet er som følger:

Afledt af en funktion i punkt x 0 lig med hældningen af tangenten til grafen for funktionen tegnet i punktet med abscissen x 0 .

3. Fysisk betydning af derivatet.

Overvej bevægelsen af et punkt langs en lige linje. Lad koordinaten for et punkt til enhver tid x(t) være givet. Man ved (fra et fysikkursus), at gennemsnitshastigheden over en periode er lig med forholdet mellem den tilbagelagte distance i denne tidsperiode og tiden, dvs.

Vav = ∆x/∆t. Lad os gå til grænsen i den sidste lighed som ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - øjeblikkelig hastighed på tidspunktet t 0, ∆t → 0.

og lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (efter definition af afledt).

Så (t) =x"(t).

Den fysiske betydning af den afledte er som følger: afledt af funktioneny = f(x) på et tidspunktx 0 er ændringshastigheden af funktionenf(x) ved punktx 0

Den afledte bruges i fysik til at finde hastighed fra en kendt funktion af koordinater versus tid, acceleration fra en kendt funktion af hastighed versus tid.

(t) = x"(t) - hastighed,

a(f) = "(t) - acceleration, eller

Hvis bevægelsesloven for et materialepunkt i en cirkel er kendt, så kan man finde vinkelhastigheden og vinkelaccelerationen under rotationsbevægelse:

φ = φ(t) - ændring i vinkel over tid,

ω = φ"(t) - vinkelhastighed,

ε = φ"(t) - vinkelacceleration, eller ε = φ"(t).

Hvis loven om massefordeling af en inhomogen stang er kendt, kan den lineære tæthed af den inhomogene stang findes:

m = m(x) - masse,

x  , l - længden af stangen,

p = m"(x) - lineær tæthed.

Ved hjælp af derivatet løses problemer fra teorien om elasticitet og harmoniske vibrationer. Altså ifølge Hookes lov

F = -kx, x – variabel koordinat, k – fjederelasticitetskoefficient. Sætter vi ω 2 =k/m, får vi differentialligningen for fjederpendulet x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

hvor ω = √k/√m oscillationsfrekvens (l/c), k - fjederstivhed (H/m).

En ligning af formen y" + ω 2 y = 0 kaldes ligningen for harmoniske svingninger (mekaniske, elektriske, elektromagnetiske). Løsningen til sådanne ligninger er funktionen

y = Asin(ωt + φ 0) eller y = Acos(ωt + φ 0), hvor

A - amplitude af oscillationer, ω - cyklisk frekvens,

φ 0 - indledende fase.

Dato: 20.11.2014

Hvad er et derivat?

Tabel over derivater.

Afledt er et af hovedbegreberne højere matematik. I denne lektion vil vi introducere dette koncept. Lad os lære hinanden at kende, uden strenge matematiske formuleringer og beviser.

Dette bekendtskab giver dig mulighed for at:

Forstå essensen af simple opgaver med derivater;

Løs disse enkleste opgaver med succes;

Forbered dig på mere seriøse lektioner om derivater.

Først - en behagelig overraskelse.)

Den strenge definition af derivatet er baseret på teorien om grænser, og sagen er ret kompliceret. Det er foruroligende. Men den praktiske anvendelse af derivater kræver som regel ikke så omfattende og dyb viden!

For at gennemføre de fleste opgaver på skole og universitet med succes er det nok at vide blot et par vilkår- at forstå opgaven, og bare et par regler- at løse det. Det er alt. Det gør mig glad.

Lad os begynde at blive bekendt?)

Vilkår og betegnelser.

Der er mange forskellige matematiske operationer i elementær matematik. Addition, subtraktion, multiplikation, eksponentiering, logaritme osv. Hvis du tilføjer en operation mere til disse operationer, bliver elementær matematik højere. Denne nye operation kaldes differentiering. Definitionen og betydningen af denne operation vil blive diskuteret i separate lektioner.

Det er vigtigt at forstå her, at differentiering blot er en matematisk operation på en funktion. Vi tager enhver funktion og transformerer den ifølge visse regler. Resultatet bliver en ny funktion. Denne nye funktion hedder: afledte.

Differentiering- handling på en funktion.

Afledte- resultatet af denne handling.

Ligesom f.eks. sum- resultatet af tilføjelse. Eller privat- resultatet af division.

Når du kender vilkårene, kan du i det mindste forstå opgaverne.) Formuleringerne er som følger: find den afledede af en funktion; tage den afledte; differentiere funktionen; beregne afledt og så videre. Dette er alt samme. Der er selvfølgelig også mere komplekse opgaver, hvor det at finde den afledede (differentiering) blot vil være et af trinene i løsningen af problemet.

Den afledte er angivet med en bindestreg øverst til højre i funktionen. Sådan her: y" eller f"(x) eller S"(t) og så videre.

Læsning igrek slag, ef slag fra x, es slag fra te, ja, du forstår...)

Et primtal kan også angive den afledede af en bestemt funktion, for eksempel: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etc. Ofte er derivater angivet ved hjælp af differentialer, men vi vil ikke overveje en sådan notation i denne lektion.

Lad os antage, at vi har lært at forstå opgaverne. Det eneste, der er tilbage, er at lære, hvordan man løser dem.) Lad mig minde dig om endnu en gang: at finde den afledede er transformation af en funktion efter bestemte regler. Overraskende nok er der meget få af disse regler.

For at finde den afledede af en funktion skal du kun vide tre ting. Tre søjler, som al differentiering står på. Her er de tre søjler:

1. Tabel over derivater (differentieringsformler).

3. Afledt kompleks funktion.

Lad os starte i rækkefølge. I denne lektion vil vi se på tabellen over derivater.

Tabel over derivater.

Der er et uendeligt antal funktioner i verden. Blandt denne sort er der funktioner, der er vigtigst for praktisk ansøgning. Disse funktioner findes i alle naturlove. Ud fra disse funktioner, som fra mursten, kan du konstruere alle de andre. Denne klasse af funktioner kaldes elementære funktioner. Det er disse funktioner, der studeres i skolen - lineære, kvadratiske, hyperbel osv.

Differentiering af funktioner "fra bunden", dvs. Baseret på definitionen af derivat og teorien om grænser er dette en ret arbejdskrævende ting. Og matematikere er også mennesker, ja, ja!) Så de forenklede deres (og os) liv. De beregnede afledte af elementære funktioner før os. Resultatet er en tabel med derivater, hvor alt er klar.)

Her er den, denne plade til de mest populære funktioner. Venstre - elementær funktion, til højre er dens afledte.

	Fungere y	Afledt af funktion y y"
1	C (konstant værdi)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - ethvert tal)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	synd x	(sin x)" = cosx
	fordi x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	-en x
4	e x
5	log -en x
5	ln x ( a = e)

Jeg anbefaler at være opmærksom på den tredje gruppe af funktioner i denne tabel over afledte. Afledte power funktion- en af de mest almindelige formler, hvis ikke den mest almindelige! Får du tippet?) Ja, det er tilrådeligt at kende tabellen over afledte værdier udenad. Det er i øvrigt ikke så svært, som det måske ser ud til. Prøv at bestemme flere eksempler, selve bordet vil blive husket!)

At finde tabelværdien af den afledte, som du forstår, er ikke den sværeste opgave. Derfor er der meget ofte i sådanne opgaver yderligere chips. Enten i opgavens ordlyd eller i den oprindelige funktion, som ikke ser ud til at være i tabellen...

Lad os se på et par eksempler:

1. Find den afledede af funktionen y = x 3

Der er ingen sådan funktion i tabellen. Men der er en afledning af magtfunktionen i generel opfattelse(tredje gruppe). I vores tilfælde er n=3. Så vi erstatter tre i stedet for n og skriver omhyggeligt resultatet ned:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Det er det.

Svar: y" = 3x 2

2. Find værdien af den afledede af funktionen y = sinx i punktet x = 0.

Denne opgave betyder, at du først skal finde den afledede af sinus, og derefter erstatte værdien x = 0 ind i netop denne afledte. Præcis i den rækkefølge! Ellers sker det, at de straks erstatter nul i den oprindelige funktion... Vi bliver bedt om ikke at finde værdien af den oprindelige funktion, men værdien dets afledte. Den afledte, lad mig minde dig om, er en ny funktion.

Ved hjælp af tabletten finder vi sinus og den tilsvarende afledte:

y" = (sin x)" = cosx

Vi erstatter nul i den afledede:

y"(0) = cos 0 = 1

Dette vil være svaret.

3. Differentier funktionen:

Hvad, inspirerer det?) Der er ingen sådan funktion i tabellen over afledte.

Lad mig minde dig om, at at differentiere en funktion er simpelthen at finde den afledede af denne funktion. Hvis du glemmer elementær trigonometri, er det ret besværligt at lede efter den afledede af vores funktion. Bordet hjælper ikke...

Men hvis vi ser, at vores funktion er dobbelt vinkel cosinus, så bliver alt bedre med det samme!

Ja Ja! Husk at transformere den oprindelige funktion før differentiering ganske acceptabelt! Og det sker for at gøre livet meget lettere. Brug af dobbeltvinkel cosinusformlen:

De der. vores vanskelige funktion er intet andet end y = cosx. Og dette er en tabelfunktion. Vi får straks:

Svar: y" = - sin x.

Eksempel for avancerede kandidater og studerende:

4. Find den afledede af funktionen:

Der er selvfølgelig ingen sådan funktion i derivattabellen. Men hvis du husker elementær matematik, operationer med potenser... Så er det sagtens muligt at forenkle denne funktion. Sådan her:

Og x i en tiendedel potens er allerede en tabelfunktion! Tredje gruppe, n=1/10. Vi skriver direkte efter formlen:

Det er alt. Dette vil være svaret.

Jeg håber, at alt er klart med den første søjle af differentiering - tabellen over derivater. Det er tilbage at håndtere de to resterende hvaler. I den næste lektion lærer vi reglerne for differentiering.

At løse fysiske problemer eller eksempler i matematik er fuldstændig umuligt uden kendskab til den afledede og metoder til at beregne den. Den afledte er et af de vigtigste begreber i matematisk analyse. Vi besluttede at afsætte dagens artikel til dette grundlæggende emne. Hvad er en afledt, hvad er dens fysiske og geometriske betydning, hvordan beregner man den afledede af en funktion? Alle disse spørgsmål kan kombineres til ét: hvordan forstår man derivatet?

Geometrisk og fysisk betydning af afledte

Lad der være en funktion f(x) , angivet i et bestemt interval (a, b) . Punkterne x og x0 hører til dette interval. Når x ændres, ændres selve funktionen. Ændring af argumentet - forskellen i dets værdier x-x0 . Denne forskel er skrevet som delta x og kaldes argumenttilvækst. En ændring eller stigning af en funktion er forskellen mellem værdierne af en funktion i to punkter. Definition af derivat:

Den afledede af en funktion i et punkt er grænsen for forholdet mellem funktionens stigning i et givet punkt og stigningen i argumentet, når sidstnævnte har en tendens til nul.

Ellers kan det skrives sådan her:

Hvad er meningen med at finde en sådan grænse? Og her er hvad det er:

den afledede af en funktion i et punkt er lig med tangenten af vinklen mellem OX-aksen og tangenten til grafen for funktionen i et givet punkt.

Fysisk betydning af derivatet: den afledte af stien med hensyn til tid er lig med hastigheden af retlinet bevægelse.

Faktisk, siden skoletiden ved alle, at hastighed er en bestemt vej x=f(t) og tid t . gennemsnitshastighed i en vis periode:

For at finde ud af bevægelseshastigheden på et tidspunkt t0 du skal beregne grænsen:

Regel 1: Indstil en konstant

Konstanten kan tages ud af det afledte tegn. Desuden skal dette gøres. Når du løser eksempler i matematik, så tag det som en regel - Hvis du kan forenkle et udtryk, skal du sørge for at forenkle det .

Eksempel. Lad os beregne den afledede:

Regel to: afledet af summen af funktioner

Den afledte af summen af to funktioner er lig med summen af disse funktioners afledte. Det samme gælder for den afledte af forskellen mellem funktioner.

Vi vil ikke give et bevis for denne sætning, men snarere overveje et praktisk eksempel.

Find den afledede af funktionen:

Regel tre: afledt af produktet af funktioner

Den afledte af produktet af to differentiable funktioner beregnes ved formlen:

Eksempel: find den afledede af en funktion:

Løsning:

Det er vigtigt at tale om beregning af afledte af komplekse funktioner her. Den afledte af en kompleks funktion er lig med produktet af den afledede af denne funktion med hensyn til det mellemliggende argument og den afledte af det mellemliggende argument med hensyn til den uafhængige variabel.

I ovenstående eksempel støder vi på udtrykket:

I I dette tilfælde mellemargumentet er 8x i femte potens. For at beregne den afledede af et sådant udtryk, beregner vi først den afledede af den eksterne funktion i forhold til mellemargumentet og derefter gange den med den afledede af selve mellemargumentet i forhold til den uafhængige variabel.

Regel fire: afledt af kvotienten af to funktioner

Formel til bestemmelse af den afledede af kvotienten af to funktioner:

Vi forsøgte at tale om derivater til dummies fra bunden. Dette emne er ikke så simpelt, som det ser ud til, så vær advaret: Der er ofte faldgruber i eksemplerne, så vær forsigtig, når du beregner derivater.

Ved spørgsmål om dette og andre emner kan du kontakte elevservicen. Bag kort sigt Vi hjælper dig med at løse de sværeste tests og løse problemer, selvom du aldrig har lavet afledte beregninger før.

Afledt af en funktion af en variabel.

Introduktion.

Ægte metodiske udviklinger beregnet til studerende fra Fakultetet for Industriel og Anlæg. De blev samlet i forhold til matematikkursusprogrammet i afsnittet "Differentialregning af funktioner af en variabel."

Udviklingen repræsenterer en enkelt metodisk vejledning, herunder: kort teoretisk information; "standard" problemer og øvelser med detaljerede løsninger og forklaringer til disse løsninger; test muligheder.

Der er yderligere øvelser i slutningen af hvert afsnit. Denne udviklingsstruktur gør dem velegnede til selvstændig beherskelse af afsnittet med minimal assistance fra læreren.

§1. Definition af afledt.

Mekanisk og geometrisk betydning

afledte.

Begrebet afledt er et af de vigtigste begreber inden for matematisk analyse, det opstod tilbage i det 17. århundrede. Dannelsen af begrebet afledet er historisk forbundet med to problemer: problemet med hastigheden af vekslende bevægelse og problemet med tangenten til en kurve.

Disse problemer fører trods deres forskellige indhold til den samme matematiske operation, som skal udføres på funktionen.Denne operation fik et særligt navn i matematik. Det kaldes operationen af differentiering af en funktion. Resultatet af differentieringsoperationen kaldes den afledede.

Så den afledede af funktionen y=f(x) i punktet x0 er grænsen (hvis den findes) for forholdet mellem funktionens stigning og argumentets stigning
på
.

Den afledte betegnes normalt som følger:
.

Altså per definition

Symbolerne bruges også til at angive derivater
.

Mekanisk betydning af afledt.

Hvis s=s(t) er loven om retlinet bevægelse af et materielt punkt, så
er hastigheden af dette punkt på tidspunktet t.

Geometrisk betydning af afledte.

Hvis funktionen y=f(x) har en afledet i punktet , derefter vinkelkoefficienten for tangenten til grafen for funktionen i punktet
lige med
.

Eksempel.

Find den afledede af funktionen
på punktet =2:

1) Lad os give det et punkt = 2 stigninger
. Læg mærke til det.

2) Find tilvæksten af funktionen ved punktet =2:

3) Lad os skabe forholdet mellem funktionens stigning og argumentets stigning:

Lad os finde grænsen for forholdet ved
:

Dermed,
.

§ 2. Afledte af nogle

enkleste funktioner.

Eleven skal lære at beregne afledte funktioner af specifikke funktioner: y=x,y= og generelt = .

Lad os finde den afledede af funktionen y=x.

de der. (x)′=1.

Lad os finde den afledede af funktionen

Afledte

Lade
Derefter

Det er let at bemærke et mønster i udtrykkene for potensfunktionens afledte
med n=1,2,3.

Derfor,

. (1)

Denne formel er gyldig for enhver reel n.

Ved at bruge formel (1) har vi især:

;

Eksempel.

Find den afledede af funktionen

Denne funktion er et specialtilfælde af en funktion af formen

på
.

Ved at bruge formel (1) har vi

Afledninger af funktionerne y=sin x og y=cos x.

Lad y=sinx.

Divider med ∆x, får vi

Vi har passeret til grænsen ved ∆x→0

Lad y=cosx.

Når vi passerer til grænsen ved ∆x→0, får vi

;
. (2)

§3. Grundlæggende regler for differentiering.

Lad os overveje reglerne for differentiering.

Sætning1 . Hvis funktionerne u=u(x) og v=v(x) er differentiable ved et givet punktx, så er deres sum på dette tidspunkt også differentierbar, og den afledede af summen er lig med summen af de afledte led. : (u+v)"=u"+v".(3 )

Bevis: overvej funktionen y=f(x)=u(x)+v(x).

Tilvæksten ∆x af argumentet x svarer til stigningerne ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) af funktionerne u og v. Så vil funktionen y øges

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Derfor,

Altså (u+v)"=u"+v".

Sætning2. Hvis funktionerne u=u(x) og v=v(x) er differentiable ved et givet punktx, så er deres produkt differentiabelt i samme punkt. I dette tilfælde findes produktets afledte ved følgende formel: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Bevis: Lad y=uv, hvor u og v er nogle differentiable funktioner af x. Lad os give x en stigning på ∆x; så vil u modtage en stigning på ∆u, v vil modtage en stigning på ∆v, og y vil modtage en stigning på ∆y.

Vi har y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), eller

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Derfor er ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Herfra

Går vi til grænsen ved ∆x→0 og tager højde for, at u og v ikke afhænger af ∆x, vil vi have

Sætning 3. Den afledte af kvotienten af to funktioner er lig med en brøk, hvis nævner er lig med kvadratet af divisoren, og tælleren er forskellen mellem produktet af den afledte af dividenden og divisoren og produktet af udbytte og divisorens afledte, dvs.

Hvis
At
(5)