Eksempel. Lad os gå tilbage til eksempel (1.13):

x = 1 + 12t 3t2

(koordinater måles i meter, tid i sekunder). Ved konsekvent at differentiere to gange får vi:

vx = x = 126t;

ax = vx = 6:

Som vi kan se, er accelerationen konstant i absolut værdi og lig med 6 m/s2. Accelerationen er rettet i retning modsat X-aksen.

Det givne eksempel er tilfældet med ensartet accelereret bevægelse, hvor accelerationens størrelse og retning er uændret. Ensartet accelereret bevægelse er en af ​​de vigtigste og hyppigst forekommende bevægelsestyper inden for mekanik.

Ud fra dette eksempel er det let at forstå, at med ensartet accelereret bevægelse er projektionen af ​​hastighed en lineær funktion af tiden, og koordinaten kvadratisk funktion. Vi vil tale mere om dette i det tilsvarende afsnit om ensartet accelereret bevægelse.

Eksempel. Lad os overveje en mere eksotisk sag:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 :

Lad os skelne:

vx = x = 3 8t + 15t2;

ax = vx = 8 + 30t:

Denne bevægelse accelereres ikke ensartet: acceleration afhænger af tid.

Eksempel. Lad kroppen bevæge sig langs X-aksen i henhold til følgende lov:

Vi ser, at kroppens koordinater ændrer sig periodisk, fra 5 til 5. Denne bevægelse er et eksempel harmoniske vibrationer, når koordinaten ændres over tid efter sinusloven.

Lad os skelne to gange:

vx = x = 5 cos 2t 2 = 10 cos 2t;

ax = vx = 20 sin 2t:

Hastighedsprojektionen ændres efter cosinusloven, og accelerationsprojektionen igen efter sinusloven. Mængdeaksen er proportional med x-koordinaten og modsat i fortegn (nemlig ax = 4x); generelt er en relation af formen ax = !2 x karakteristisk for harmoniske svingninger.

1.2.8 Loven om tilføjelse af hastigheder

Lad der være to referencesystemer. En af dem er forbundet med et stationært referencelegeme O. Vi vil betegne dette referencesystem med K og kalde det stationært.

Det andet referencesystem, betegnet med K0, er forbundet med referencelegemet O0, som bevæger sig i forhold til legemet O med en hastighed på ~u. Vi kalder dette referencesystem i bevægelse. Derudover

Vi antager, at koordinatakserne i systemet K0 bevæger sig parallelt med sig selv (der er ingen rotation af koordinatsystemet), således at vektoren ~u kan betragtes som hastigheden af ​​det bevægelige system i forhold til det stationære.

Den faste referenceramme K er normalt relateret til jorden. Hvis et tog bevæger sig jævnt langs skinnerne med en hastighed på ~u, så vil referencerammen tilknyttet togvognen være en bevægelig referenceramme K0.

Bemærk, at hastigheden for ethvert punkt i bil3 er ~u. Hvis en flue sidder ubevægelig på et tidspunkt i vognen, så bevæger fluen sig i forhold til jorden med en hastighed på ~u. Fluen bæres af vognen, og derfor kaldes hastigheden ~u af det bevægelige system i forhold til det stationære den bærbare hastighed.

Antag nu, at en flue kravlede langs vognen. Så er der to hastigheder mere, der skal overvejes.

Fluens hastighed i forhold til bilen (det vil sige i det bevægelige system K0) er angivet med ~v0 og

kaldet relativ hastighed.

Fluens hastighed i forhold til jorden (det vil sige i en stationær K-ramme) er angivet med ~v og

kaldet absolut hastighed.

Lad os finde ud af, hvordan disse tre hastigheder - absolut, relativ og bærbar - er relateret til hinanden.

I fig. 1.11 fluen er angivet med punkt M. Dernæst:

~r radiusvektor for punkt M i et fast system K; ~r0 radiusvektor for punkt M i det bevægelige system K0 ;

~ radiusvektor for referencelegemet 0 i et stationært system.

Ris. 1.11. Til afslutningen af ​​loven om addition af hastigheder

Som det kan ses af figuren,

~ 0 ~r = R + ~r:

Ved at differentiere denne lighed får vi:

Den afledte d~r=dt er hastigheden af ​​punktet M i K-systemet, det vil sige den absolutte hastighed:

d~r dt = ~v:

Tilsvarende er den afledte d~r 0 =dt hastigheden af ​​punktet M i K0-systemet, det vil sige den relative

fart:

d~r dt 0 = ~v0 :

3 Ud over roterende hjul, men vi tager ikke hensyn til dem.

Hvad er ~? Dette er hastigheden af ​​punkt 0 i et stationært system, det vil sige bærbart dR=dt O

hastighed ~u af et bevægeligt system i forhold til et stationært:

dR dt = ~u:

Som et resultat opnår vi fra (1.28):

~v = ~u + ~v 0 :

Loven om tilføjelse af hastigheder. Hastigheden af ​​et punkt i forhold til en stationær referenceramme er lig med vektorsummen af ​​hastigheden af ​​det bevægelige system og hastigheden af ​​punktet i forhold til det bevægelige system. Med andre ord er absolut hastighed summen af ​​bærbare og relative hastigheder.

Således, hvis en flue kravler langs en bevægelig vogn, så er fluens hastighed i forhold til jorden lig med vektorsummen af ​​vognens hastighed og fluens hastighed i forhold til vognen. Intuitivt indlysende resultat!

1.2.9 Typer af mekanisk bevægelse

De enkleste typer af mekanisk bevægelse af et materialepunkt er ensartet og retlinet bevægelse.

Bevægelsen kaldes ensartet, hvis størrelsen af ​​hastighedsvektoren forbliver konstant (hastighedens retning kan ændre sig).

Bevægelse kaldes retlinet, hvis den sker langs en bestemt ret linje (hastighedens størrelse kan ændre sig). Med andre ord er banen for retlinet bevægelse en lige linje.

For eksempel foretager en bil, der kører med konstant hastighed langs en snoet vej, ensartet (men ikke lineær) bevægelse. En bil, der accelererer på en lige del af motorvejen, bevæger sig i en lige linje (men ikke ensartet).

Men hvis både størrelsen af ​​hastigheden og dens retning under et legemes bevægelse forbliver konstant, så kaldes bevægelsen ensartet retlinet. Så:

ensartet bevægelse, j~vj = const;

uniform retlinet bevægelse, ~v = konst.

Det vigtigste særlige tilfælde af ujævn bevægelse er ensartet accelereret bevægelse, hvor accelerationsvektorens størrelse og retning forbliver konstant:

ensartet accelereret bevægelse, ~a = konst.

Sammen med det materielle punkt betragtes en anden idealisering i mekanikken - en stiv krop.

Et stift legeme er et system af materielle punkter, hvis afstande ikke ændrer sig over tid. Model solid bruges i tilfælde, hvor vi ikke kan negligere kroppens størrelse, men ikke kan tage højde for ændringen i kroppens størrelse og form under bevægelse.

De enkleste typer af mekanisk bevægelse af et fast legeme er translations- og rotationsbevægelse.

Bevægelsen af ​​en krop kaldes translationel, hvis en ret linje, der forbinder to punkter på kroppen, bevæger sig parallelt med dens oprindelige retning. Under translationel bevægelse er banerne for alle kroppens punkter identiske: de opnås fra hinanden ved et parallelt skift.

Så i fig. Figur 1.12 viser fremadgående bevægelse af en grå firkant. Et vilkårligt valgt grønt segment af denne firkant bevæger sig parallelt med sig selv. Banerne for enderne af segmentet er afbildet med blå stiplede linjer.

Ris. 1.12. Fremadgående bevægelse

Et legemes bevægelse kaldes roterende, hvis alle dets punkter beskriver cirkler, der ligger i parallelle planer. I dette tilfælde ligger disse cirklers centre på en lige linje, som er vinkelret på alle disse planer og kaldes rotationsaksen.

I fig. Figur 1.13 viser en kugle, der roterer omkring en lodret akse. Sådan plejer de at tegne jorden i tilsvarende dynamikproblemer.

Ris. 1.13. Rotationsbevægelse

Og dette referencesystem bevæger sig til gengæld i forhold til et andet system), opstår spørgsmålet om sammenhængen mellem hastighederne i de to referencesystemer.

Encyklopædisk YouTube

1 / 3

Tilføjelse af hastigheder (kinematik) ➽ Fysik klasse 10 ➽ Videolektion

Lektion 19. Bevægelses relativitet. Formel til at tilføje hastigheder.

Fysik. Lektion nr. 1. Kinematik. Loven om tilføjelse af hastigheder

Undertekster

Klassisk mekanik

V → a = v → r + v → e. (\displaystyle (\vec (v))_(a)=(\vec (v))_(r)+(\vec (v))_(e).)

Denne lighed repræsenterer indholdet af sætningen i sætningen om addition af hastigheder.

Enkelt sagt: Bevægelseshastigheden af ​​et legeme i forhold til en fast referenceramme er lig med vektorsummen af ​​hastigheden af ​​dette legeme i forhold til en bevægelig referenceramme og hastigheden (i forhold til en fast ramme) af det punkt i den bevægelige ramme reference, hvorpå dette øjeblik tidspunkt hvor kroppen er lokaliseret.

Eksempler

1. Den absolutte hastighed af en flue, der kravler langs radius af en roterende grammofonplade, er lig med summen af ​​hastigheden af ​​dens bevægelse i forhold til pladen og den hastighed, som punktet af plade under fluen har i forhold til jorden (dvs. , som posten bærer den med på grund af dens rotation).
2. Hvis en person går langs en vogns korridor med en hastighed på 5 kilometer i timen i forhold til vognen, og vognen bevæger sig med en hastighed på 50 kilometer i timen i forhold til Jorden, så bevæger personen sig i forhold til Jorden med en hastighed på 50 + 5 = 55 kilometer i timen, når han går i retning af toget, og med en hastighed på 50 - 5 = 45 kilometer i timen, når han går til omvendt retning. Hvis en person i vognkorridoren bevæger sig i forhold til Jorden med en hastighed på 55 kilometer i timen og et tog med en hastighed på 50 kilometer i timen, så er personens hastighed i forhold til toget 55 - 50 = 5 kilometer Per time.
3. Hvis bølgerne bevæger sig i forhold til kysten med en hastighed på 30 kilometer i timen, og skibet også bevæger sig med en hastighed på 30 kilometer i timen, så bevæger bølgerne sig i forhold til skibet med en hastighed på 30 - 30 = 0 kilometer pr. time, det vil sige, at de bliver ubevægelige i forhold til skibet.

Relativistisk mekanik

I det 19. århundrede stod klassisk mekanik over for problemet med at udvide denne regel for at tilføje hastigheder til optiske (elektromagnetiske) processer. I det væsentlige var der en konflikt mellem to ideer om klassisk mekanik, overført til nyt område elektromagnetiske processer.

Hvis vi for eksempel betragter eksemplet med bølger på vandoverfladen fra det foregående afsnit og forsøger at generalisere det til elektromagnetiske bølger, vil vi få en modsigelse med observationer (se f.eks. Michelsons eksperiment).

Den klassiske regel for at tilføje hastigheder svarer til transformationen af ​​koordinater fra et system af akser til et andet system, der bevæger sig i forhold til det første uden acceleration. Hvis vi med en sådan transformation bevarer begrebet simultanitet, det vil sige, vi kan betragte to begivenheder samtidige, ikke kun når de er registreret i et koordinatsystem, men også i et hvilket som helst andet inertisystem, så kaldes transformationerne galilæisk. Derudover er den rumlige afstand mellem to punkter med galileiske transformationer - forskellen mellem deres koordinater i en inertiramme - altid lig med deres afstand i en anden inertieramme.

Den anden idé er relativitetsprincippet. At være på et skib, der bevæger sig ensartet og retlinet, kan dets bevægelse ikke detekteres af nogen indre mekaniske effekter. Gælder dette princip for optiske effekter? Er det ikke muligt at detektere den absolutte bevægelse af et system af den optiske eller, hvad er det samme, elektrodynamiske effekter forårsaget af denne bevægelse? Intuition (ret klart relateret til klassiske princip relativitetsteori) siger, at absolut bevægelse ikke kan detekteres af nogen observationer. Men hvis lys udbreder sig med en vis hastighed i forhold til hver af de bevægelige inertisystemer, så vil denne hastighed ændre sig, når du flytter fra et system til et andet. Dette følger af den klassiske regel om at tilføje hastigheder. I matematiske termer vil lysets hastighed ikke være invariabel under galilæiske transformationer. Dette er i strid med relativitetsprincippet, eller rettere sagt, tillader ikke, at relativitetsprincippet udvides til optiske processer. Elektrodynamikken ødelagde således forbindelsen mellem to tilsyneladende åbenlyse bestemmelser i klassisk fysik - reglen om at tilføje hastigheder og relativitetsprincippet. Desuden viste disse to bestemmelser i relation til elektrodynamik sig at være uforenelige.

Relativitetsteorien giver svaret på dette spørgsmål. Det udvider begrebet relativitetsprincippet og udvider det til optiske processer. I dette tilfælde annulleres reglen for tilføjelse af hastigheder ikke fuldstændigt, men forfines kun for høje hastigheder ved hjælp af Lorentz-transformationen:

Det kan bemærkes, at i sagen hvornår v / c → 0 (\displaystyle v/c\rightarrow 0), Lorentz transformationer bliver til galilæiske transformationer. Dette tyder på, at speciel relativitet reduceres til Newtonsk mekanik ved små hastigheder sammenlignet med lysets hastighed. Dette forklarer, hvordan disse to teorier hænger sammen - den første er en generalisering af den anden.

Vi sagde, at lysets hastighed er maksimal mulig hastighed signaludbredelse. Men hvad sker der, hvis lys udsendes af en bevægende kilde i retning af dens hastighed? V? Ifølge loven om addition af hastigheder, efter Galileos transformationer, skulle lysets hastighed være lig med c + V. Men i relativitetsteorien er dette umuligt. Lad os se, hvilken lov om hastighedsaddition, der følger af Lorentz-transformationerne. For at gøre dette skriver vi dem for uendelige små mængder:

Ved at bestemme hastigheden, dens komponenter i referencerammen K findes som forholdet mellem de tilsvarende bevægelser og tidsintervaller:

Hastigheden af ​​et objekt i en bevægelig referenceramme bestemmes på samme måde K", kun rumlige afstande og tidsintervaller skal tages i forhold til dette system:

Derfor opdele udtrykket dx til udtrykket dt, vi får:

At dividere tæller og nævner med dt", finder vi en sammenhæng x-hastighedskomponent i forskellige systemer reference, som adskiller sig fra den galilæiske regel for at tilføje hastigheder:

Hertil kommer, at i modsætning til klassisk fysik ændres hastighedskomponenterne ortogonalt i forhold til bevægelsesretningen også. Lignende beregninger for andre hastighedskomponenter giver:

Således opnås formler for transformation af hastigheder i relativistisk mekanik. Formler for den omvendte transformation opnås ved at erstatte primede værdier med ikke-primede og omvendt og erstatte V på –V.

Nu kan vi besvare spørgsmålet stillet i begyndelsen af ​​dette afsnit. Lad ved punktet 0" bevægende referenceramme K" der er installeret en laser, der sender en lysimpuls i den positive akseretning 0"x". Hvad vil hastigheden af ​​impulsen være for en stationær observatør i referencerammen TIL? I dette tilfælde lysimpulsens hastighed i referencerammen TIL" har komponenter

Ved at anvende loven om relativistisk addition af hastigheder finder vi for komponenterne af momentumhastigheden i forhold til det stationære system TIL :

Vi finder, at hastigheden af ​​lysimpulsen i den stationære referenceramme i forhold til hvilken lyskilden bevæger sig er lig med

Det samme resultat vil blive opnået i enhver retning for udbredelse af pulsen. Dette er naturligt, da uafhængigheden af ​​lyshastigheden fra kildens og observatørens bevægelse er iboende i et af relativitetsteoriens postulater. Den relativistiske lov om addition af hastigheder er en konsekvens af dette postulat.

Faktisk, når hastigheden af ​​bevægelse af den bevægelige referenceramme V<<c, Lorentz-transformationer bliver til galilæiske transformationer, får vi den sædvanlige lov om addition af hastigheder

I dette tilfælde vil tidens gang og linealens længde være den samme i begge referencesystemer. Den klassiske mekaniks love gælder således, hvis objekternes hastighed er meget mindre end lysets hastighed. Relativitetsteorien slettede ikke resultaterne af klassisk fysik, den etablerede rammerne for deres gyldighed.

Eksempel. Krop med fart v 0 kolliderer vinkelret med en væg, der bevæger sig mod den med hastighed v. Ved hjælp af formler for relativistisk addition af hastigheder finder vi hastigheden v 1 krop efter rebound. Slaget er absolut elastisk, væggens masse er meget større end kroppens masse.

Lad os bruge formler, der udtrykker den relativistiske lov om addition af hastigheder.

Lad os rette aksen x langs kroppens begyndelseshastighed v 0 og tilslut referencesystemet K" med en væg. Derefter v x= v 0 og V= –v. I referencerammen forbundet med væggen, starthastigheden v" 0 krop er lig

Lad os nu vende tilbage til laboratoriets referenceramme TIL. Substituering i den relativistiske lov om addition af hastigheder v" 1 i stedet for v"x og overvejer igen V = –v, finder vi efter transformationer:

Lad kroppen i referencerammen K" have en hastighed v", rettet langs x" (og x) aksen: . I referencerammen K vil hastigheden af ​​denne krop være
. Lad os finde ud af, hvad sammenhængen er mellem hastighederne v" og v. Overvej den afledede som forholdet mellem differentialerne dx og dt, som vi finder ved hjælp af Lorentz-transformationer:

Divider tælleren og nævneren på højre side med dt" og få

de der. i modsætning til Galileos transformationer er den samlede hastighed ikke lig med summen af ​​hastighederne, men i
gange lavere. Lad kroppen bevæge sig i raketten med lysets hastighed v" x = c, og raketten bevæger sig med lysets hastighed i forhold til det faste koordinatsystem v 0 = c. Med hvilken hastighed v x bevæger kroppen sig i forhold til det faste koordinatsystem. koordinatsystem?

Ifølge Galileo-transformationen er denne hastighed v = v" x + v 0 = 2c. Ifølge Lorentz-transformationen

Begrebet relativistisk dynamik. Love om forholdet mellem masse og energi. Total og kinetisk energi. Forholdet mellem den samlede energi og momentum af en partikel.

Bevægelsen af ​​ikke for små kroppe med ikke særlig høje hastigheder adlyder den klassiske mekaniks love. I slutningen af ​​det 19. århundrede blev det eksperimentelt fastslået, at massen af ​​et legeme m ikke er en konstant værdi, men afhænger af hastigheden v af dets bevægelse. Denne afhængighed har formen

hvor m 0 er hvilemassen.

Hvis v = 300 km/s, så er v 2 /c 2 = 1∙ 10 -6 og m > m 0 med en mængde på 5 ∙ 10 -7 m 0 .

Afvisningen af ​​en af ​​de grundlæggende bestemmelser (m = const) i klassisk mekanik førte til behovet for en kritisk analyse af en række af dens øvrige grundlag. Udtrykket af momentum i relativistisk dynamik har formen

Mekanikkens love bevarer deres form i relativistisk dynamik. Momentumændring d(mv ) lig med kraftimpulsen Fdt

dp = d(mv) = F dt.

Derfor er dp/dt = F- udtrykket for den relativistiske dynamiks grundlov for et materielt punkt.

I begge tilfælde er massen inkluderet i disse udtryk en variabel størrelse (m ≠ const), og den skal også differentieres med hensyn til tid.

Lad os etablere forbindelsen mellem masse og energi. Stigningen i energi, som i klassisk mekanik, er forårsaget af kraftværket F. Derfor er dE = Fds. Ved at dividere venstre og højre side med dt, får vi

Afløser her

Hvis vi multiplicerer venstre og højre side af den resulterende lighed med dt, får vi

Fra udtrykket for masse
lad os definere

.

Lad os skelne mellem udtrykket v 2 .

Lad os erstatte v 2 og d(v 2) i udtrykket for dE

Ved at integrere dette udtryk får vi E = mc 2.

Den samlede energi af systemet E er lig med massen ganget med kvadratet af lysets hastighed i vakuum. Forholdet mellem energi og momentum for partikler uden hvilemasse i relativistisk dynamik er givet af relationen

som er let at opnå matematisk: E=mc 2 ,p=mv . Lad os kvadrere begge ligheder og gange begge sider af sekundet med c 2

E 2 = m 2 c 4, p 2 c 2 = m 2 v 2 c 2.

Træk led for led fra den første lighed den anden

E 2 – p 2 c 2 = m 2 c 4 -m 2 v 2 c 2 = m 2 c 4 (1-v 2 / c 2).

Overvejer det
vi får

Da hvilemassen m 0 og lysets hastighed c er størrelser, der er invariable for Lorentz-transformationer, er relationen (E 2 - p 2 c 2) også invariant for Lorentz-transformationer. Fra dette forhold får vi et udtryk for den samlede energi

Ud fra denne ligning kan vi således konkludere:

Materiale partikler, der ikke har hvilemasse (fotoner, neutrinoer) har også energi. For disse partikler er formlen for sammenhængen mellem energi og momentum E = pc.

Fra ovenstående transformationer opnåede vi dE=c 2 dm. Integrering af venstre side fra E 0 til E, og højre side fra m 0 til m, giver

E – E 0 = c 2 (m – m 0) = mc 2 – m 0 c 2 ,

hvor E = mc 2 er den samlede energi af materialepunktet,

E 0 =m 0 c 2 - hvileenergi af et materialepunkt.

Forskellen E – E 0 er den kinetiske energi T af materialepunktet.

Ved hastigheder v « c , udvider vi
i en række:

=
.

I betragtning af at v «c begrænser vi os til de to første led i rækken.

Derefter

de der. ved hastigheder v meget lavere end lysets hastighed i vakuum bliver den relativistiske formel for kinetisk energi til den klassiske formel for kinetisk energi
.

Nu vil vi se dybere på Einsteins kinematiks love. I dette tilfælde vil vi hovedsageligt begrænse os til planet.Konklusionerne i dette tilfælde er slet ikke svære at generalisere til tilfældet med firedimensionelt rum, så vi vil kun nævne det undervejs.

Fig. 125. Firedimensionelle segmenter. a - tidslignende afstand rumlignende afstand

Lyslinjer defineret af ligningen Inddel planet i fire kvadranter (fig. 116). Naturligvis bevarer det samme tegn i hver kvadrant, og i to modsatte kvadranter, der indeholder grene af hyperbelen i to modsatte kvadranter, der indeholder grene. En ret verdenslinje, der går gennem oprindelsen af ​​koordinaterne O, kan opfattes som en akse eller akse, afhængigt af om den ligger i en kvadrant eller i en kvadrant. Derfor opdeler vi verdenslinjer i "rumlignende" og "tidslignende" ” (Fig. 125, a).

I ethvert inertisystem adskiller aksen verdenspunkterne fra "fortiden" fra verdenspunkterne i "fremtiden." Men denne opdeling er forskellig i hvert inertisystem, da med en anden position af aksen, peger verden, der tidligere lægge sig over det, det vil sige i fremtiden kan

at være under aksen i fortiden, og omvendt. Kun de begivenheder, der er repræsenteret af verdenspunkter, der ligger i kvadranter, hører entydigt til enten "fortiden" eller "fremtiden" i ethvert inertisystem. For et sådant verdenspunkt (fig. 125, a) har vi, i enhver tilladelig referenceramme, to begivenheder adskilt af et tidsinterval, der er større end den tid, hvori lyset dækker vejen fra det ene af disse punkter til det andet. Følgelig kan vi altid vælge et inertisystem, så dets akse passerer gennem et punkt, dvs. et sådant system, hvor det repræsenterer en begivenhed, der forekommer ved den rumlige oprindelse. Fra et andet inertisystems synspunkt vil vores inertisystem bevæge sig ensartet og retlinet på en sådan måde, at dets begyndelse nøjagtigt falder sammen med begivenhederne.Så skal vi naturligvis sætte for en begivenhed i systemet

I ethvert inertisystem repræsenterer aksen stedet for verdenspunkterne svarende til begivenheder, der forekommer ved det rumlige udgangspunkt på X-aksen (dvs. ved punktet og adskiller (på en todimensional figur) punkterne, der ligger til venstre for oprindelse og de punkter, der ligger til højre for den Men i et andet inertisystem med en anden akse vil denne skelnen være anderledes. Den er kun entydigt defineret for verdenspunkter, der ligger i kvadranter, uanset om de ligger "før" eller "efter" den rumlige oprindelse For et sådant punkt (fig. 125, b) dvs. i enhver tilladelig referenceramme, er tidsintervallet mellem hændelser mindre end den tid, det tager lys at rejse afstanden fra punkt O til punkt. Således kan man indføre en passende udvalgt bevægende inertieramme med en akse, der går igennem, hvorigennem begge hændelser viser sig at være samtidige. I dette system er det derfor oplagt for en hændelse,

Det følger heraf, at invarianten for ethvert verdenspunkt er en målbar størrelse, der har en let fortolkelig visuel betydning. Ved at indføre et passende referencesystem kan verdenspunktet enten oversættes "til det samme sted", hvor hændelsen O fandt sted, og derefter tidsforskellen mellem hændelser, der forekommer på det samme rumlige punkt i systemet, eller kan oversættes til "kl. det samme tidspunkt”, hvor begivenhed O indtraf, og derefter den rumlige afstand mellem to begivenheder i systemet

I ethvert koordinatsystem repræsenterer lyslinjer bevægelser, der sker med lysets hastighed. Ifølge denne repræsenterer hver tidslignende verdenslinje bevægelse med en hastighed mindre end lysets hastighed c. Eller, for at nærme sig spørgsmålet fra den anden side, kan enhver bevægelse, der sker med en hastighed, der er mindre end lysets hastighed, "bringes til en hviletilstand", da der er en tidslignende verdenslinje, der svarer til denne bevægelse.

Hvad med bevægelser, der sker hurtigere end lysets hastighed? I lyset af de ovenfor udtrykte domme synes det indlysende, at Einsteins relativitetsteori skulle erklære sådanne bevægelser umulige. Faktisk ville den nye kinematik miste al sin betydning, hvis der var signaler, der gjorde det muligt for os at kontrollere ures samtidighed ved hjælp af midler, der involverer hastigheder hurtigere end lysets hastighed. Tilsyneladende er der nogle vanskeligheder her.

Lad systemet bevæge sig med hastighed i forhold til et andet system og lad kroppen K bevæge sig med hastighed u i forhold til systemet. Ifølge almindelig kinematik er den relative hastighed af kroppen K i systemet lig med

Nu, hvis hver overstiger halvdelen af ​​lysets hastighed, så er den også større end lysets hastighed c, og dette burde være umuligt ifølge relativitetsteorien.

Denne sofisme er selvfølgelig forbundet med det faktum, at hastigheder i relativistisk kinematik ikke bare kan opsummeres, da hvert referencesystem har sine egne længde- og tidsenheder.

Behovet for at tage højde for denne omstændighed følger klart af det faktum, at i et hvilket som helst to systemer, der bevæger sig i forhold til hinanden, antages lysets hastighed altid at være den samme - et faktum, der allerede blev brugt tidligere i udledningen af ​​Lorentz-transformationen (kapitel VI, § 2, s. 230) . Den sande lov om addition af hastigheder kan udledes af denne transformation [formel (70)]. Lad os betragte et legeme i bevægelse i systemet. Dets bevægelse kan forekomme i x-, y-planet, og derfor vil dets hastighed have to komponenter, og bevægelsen kan begynde på tidspunktet for tiden fra oprindelsen. Kroppens verdenslinje er så givet af ligningerne

Det kan forudses, at bevægelsen vil være retlinet, og i systemet vil hastigheden have to konstante komponenter Verdenslinjen for et bevægeligt legeme i systemet vil være givet ved ligningerne

For at opnå sammenhængen mellem kroppens hastigheder i systemerne introducerer vi udtryk for i ligningerne og ved hjælp af Lorentz transformationsformlerne (70a). I stedet for den første ligning får vi

Sammenligner vi dette resultat med ligningen, vi får

som udtrykker sætningen om lysets hastigheds konstanthed. Desuden ser vi, at for enhver krop, der bevæger sig langs den rumlige akse, så længe . Faktisk, ved at dividere formel (77a) med c, kan vi transformere resultatet til formen

Vores udsagn følger direkte af denne formel, da det andet led til højre under ovenstående forhold altid er mindre end 1 (nævneren er større end 1, og hver faktor i tælleren er mindre end 1). En lignende konklusion er naturligvis gyldig for bevægelser, der forekommer på tværs af den rumlige akse, og for bevægelser i enhver retning.

Så lysets hastighed er kinematisk den begrænsende hastighed, der ikke kan overskrides. Dette postulat af Einsteins teori mødte stædig modstand. Det virkede som en uberettiget begrænsning af planer for forskere, der forventede fremtidige opdagelser af hastigheder, der oversteg lysets hastighed.

Vi ved, at -stråler fra radioaktive stoffer er elektroner, der bevæger sig med hastigheder tæt på lysets hastighed. Hvorfor er det umuligt at accelerere dem, så de bevæger sig med hastigheder, der er større end lysets hastighed?

Einsteins teori siger dog, at dette i princippet er umuligt, da inertimodstanden, eller massen af ​​et legeme, stiger, når dets hastighed nærmer sig lysets hastighed. Dermed når vi frem til ny dynamik baseret på Einsteins kinematik.