Funktioner kompleks type passer ikke altid til definitionen kompleks funktion. Hvis der er en funktion af formen y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, så kan den ikke betragtes som kompleks, i modsætning til y = sin 2 x.

Denne artikel vil vise begrebet en kompleks funktion og dens identifikation. Lad os arbejde med formler til at finde den afledede med eksempler på løsninger i konklusionen. Brugen af ​​derivattabellen og differentieringsregler reducerer tiden for at finde derivatet betydeligt.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Grundlæggende definitioner

Definition 1

En kompleks funktion er en, hvis argument også er en funktion.

Det er angivet på denne måde: f (g (x)). Vi har, at funktionen g (x) betragtes som et argument f (g (x)).

Definition 2

Hvis der er en funktion f og er en cotangens funktion, så er g(x) = ln x funktionen naturlig logaritme. Vi finder, at den komplekse funktion f (g (x)) vil blive skrevet som arctg(lnx). Eller en funktion f, som er en funktion hævet til 4. potens, hvor g (x) = x 2 + 2 x - 3 betragtes som en hel rationel funktion, får vi at f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Det er klart, at g(x) kan være kompleks. Fra eksemplet y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 er det tydeligt, at værdien af ​​g har terningroden af ​​brøken. Dette udtryk kan betegnes som y = f (f 1 (f 2 (x))). Hvorfra vi har, at f er en sinusfunktion, og f 1 er en funktion placeret under kvadratrod, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - rationel brøkfunktion.

Definition 3

Redegraden bestemmes af evt naturligt tal og skrives som y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Definition 4

Begrebet funktionssammensætning refererer til antallet af indlejrede funktioner i henhold til problemets betingelser. For at løse, brug formlen til at finde den afledede af en kompleks funktion af formen

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Eksempler

Eksempel 1

Find den afledede af en kompleks funktion på formen y = (2 x + 1) 2.

Løsning

Betingelsen viser, at f er en kvadratisk funktion, og g(x) = 2 x + 1 betragtes som en lineær funktion.

Lad os anvende den afledede formel for en kompleks funktion og skrive:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Det er nødvendigt at finde den afledede med en forenklet original form af funktionen. Vi får:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Det har vi herfra

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Resultaterne var de samme.

Når man løser problemer af denne type, er det vigtigt at forstå, hvor funktionen af ​​formen f og g (x) vil være placeret.

Eksempel 2

Du skal finde afledte af komplekse funktioner på formen y = sin 2 x og y = sin x 2.

Løsning

Den første funktionsnotation siger, at f er kvadratfunktionen og g(x) er sinusfunktionen. Så får vi det

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Den anden post viser, at f er en sinusfunktion, og g(x) = x 2 angiver en potensfunktion. Det følger heraf, at vi skriver produktet af en kompleks funktion som

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formlen for den afledte y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) vil blive skrevet som y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.). . ( f n (x)))) · f 1" (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . )) )) · . . . fn "(x)

Eksempel 3

Find den afledede af funktionen y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Løsning

Dette eksempel viser vanskeligheden ved at skrive og bestemme placeringen af ​​funktioner. Så angiver y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) hvor f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) er sinusfunktionen, funktionen til at hæve til 3 grader, funktion med logaritme og base e, arctangent og lineær funktion.

Fra formlen til at definere en kompleks funktion har vi det

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3" (f 4 (x)) f 4" (x)

Vi får det, vi skal finde

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) som den afledede af sinus ifølge tabellen over afledte, derefter f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) som den afledede af en potensfunktion, derefter f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) som en logaritmisk afledt, derefter f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) som derivatet af arctangensen, derefter f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Når du finder den afledede f 4 (x) = 2 x, skal du fjerne 2 fra fortegnet for den afledede ved hjælp af formlen for den afledede af en potensfunktion med en eksponent lig med 1, derefter f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Vi kombinerer mellemresultaterne og får det

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analyse af sådanne funktioner minder om rededukker. Differentieringsregler kan ikke altid anvendes eksplicit ved hjælp af en afledt tabel. Ofte skal du bruge en formel til at finde afledte af komplekse funktioner.

Der er nogle forskelle mellem komplekst udseende og komplekse funktioner. Med en klar evne til at skelne dette vil det være særligt nemt at finde derivater.

Eksempel 4

Det er nødvendigt at overveje at give et sådant eksempel. Hvis der er en funktion af formen y = t g 2 x + 3 t g x + 1, så kan den betragtes som en kompleks funktion af formen g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Det er klart, at det er nødvendigt at bruge formlen for et komplekst derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

En funktion af formen y = t g x 2 + 3 t g x + 1 betragtes ikke som kompleks, da den har summen af ​​t g x 2, 3 t g x og 1. Dog betragtes t g x 2 som en kompleks funktion, så får vi en potensfunktion af formen g (x) = x 2 og f, som er en tangentfunktion. For at gøre dette skal du differentiere efter beløb. Det forstår vi

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 for 2 x

Lad os gå videre til at finde den afledede af en kompleks funktion (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Vi får, at y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funktioner af en kompleks type kan indgå i komplekse funktioner, og komplekse funktioner i sig selv kan være komponenter af funktioner af en kompleks type.

Eksempel 5

Overvej for eksempel en kompleks funktion af formen y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Denne funktion kan repræsenteres som y = f (g (x)), hvor værdien af ​​f er en funktion af grundtallet 3-logaritmen, og g (x) betragtes som summen af ​​to funktioner på formen h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 og k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Det er klart, y = f (h (x) + k (x)).

Overvej funktionen h(x). Dette er forholdet l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 til m (x) = e x 2 + 3 3

Vi har, at l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) er summen af ​​to funktioner n (x) = x 2 + 7 og p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , hvor p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) er en kompleks funktion med numerisk koefficient 3, og p 1 er en terningfunktion, p 2 ved en cosinusfunktion, p 3 (x) = 2 x + 1 ved en lineær funktion.

Vi fandt ud af, at m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) er summen af ​​to funktioner q (x) = e x 2 og r (x) = 3 3, hvor q (x) = q 1 (q 2 (x)) - kompleks funktion, q 1 - funktion med eksponent, q 2 (x) = x 2 - power funktion.

Dette viser, at h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Når man går til et udtryk på formen k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), er det tydeligt, at funktionen præsenteres i form af et komplekst s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) med et rationelt heltal t (x) = x 2 + 1, hvor s 1 er en kvadratisk funktion, og s 2 (x) = ln x er logaritmisk med base e.

Det følger heraf, at udtrykket vil have formen k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Så får vi det

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Ud fra funktionens strukturer blev det klart, hvordan og hvilke formler der skal bruges for at forenkle udtrykket, når man differentierer det. For at blive fortrolig med sådanne problemer og for konceptet med deres løsning er det nødvendigt at vende sig til det punkt, hvor man differentierer en funktion, det vil sige at finde dens afledte.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Afledt af en kompleks funktion. Eksempler på løsninger

I denne lektion lærer vi at finde afledet af en kompleks funktion. Lektionen er logisk fortsættelse klasser Hvordan finder man derivatet?, hvor vi undersøgte de simpleste derivater, og også stiftede bekendtskab med reglerne for differentiering og nogle tekniske teknikker til at finde derivater. Så hvis du ikke er særlig god med afledte funktioner eller nogle punkter i denne artikel ikke er helt klare, så læs først ovenstående lektion. Kom venligst i seriøst humør - materialet er ikke simpelt, men jeg vil alligevel forsøge at præsentere det enkelt og overskueligt.

I praksis skal man beskæftige sig med den afledede af en kompleks funktion meget ofte, vil jeg endda sige, næsten altid, når man får opgaver med at finde afledte.

Vi ser på tabellen ved reglen (nr. 5) for at differentiere en kompleks funktion:

Lad os finde ud af det. Først og fremmest, lad os være opmærksomme på posten. Her har vi to funktioner - og , og funktionen er billedligt talt indlejret i funktionen . En funktion af denne type (når en funktion er indlejret i en anden) kaldes en kompleks funktion.

Jeg vil kalde funktionen ekstern funktion, og funktionen – intern (eller indlejret) funktion.

! Disse definitioner er ikke teoretiske og bør ikke indgå i den endelige udformning af opgaver. Jeg bruger uformelle udtryk "ekstern funktion", "intern" funktion kun for at gøre det nemmere for dig at forstå materialet.

For at afklare situationen skal du overveje:

Eksempel 1

Find den afledede af en funktion

Under sinus har vi ikke kun bogstavet "X", men et helt udtryk, så det virker ikke at finde den afledede med det samme fra tabellen. Vi bemærker også, at det er umuligt at anvende de første fire regler her, der ser ud til at være en forskel, men faktum er, at sinus ikke kan "rives i stykker":

I dette eksempel er det allerede intuitivt klart fra mine forklaringer, at en funktion er en kompleks funktion, og polynomiet er en intern funktion (indlejring) og en ekstern funktion.

Første skridt hvad du skal gøre, når du skal finde den afledede af en kompleks funktion er at forstå hvilken funktion der er intern og hvilken der er ekstern.

I tilfælde af simple eksempler Det synes klart, at et polynomium er indlejret under sinus. Men hvad nu hvis alt ikke er indlysende? Hvordan bestemmer man præcist, hvilken funktion der er ekstern og hvilken der er intern? For at gøre dette foreslår jeg at bruge følgende teknik, som kan gøres mentalt eller i et udkast.

Lad os forestille os, at vi skal bruge en lommeregner til at beregne værdien af ​​udtrykket ved (i stedet for et kan der være et hvilket som helst tal).

Hvad beregner vi først? Først og fremmest du skal udføre følgende handling: , derfor vil polynomiet være en intern funktion:

For det andet skal findes, så sinus – vil være en ekstern funktion:

Efter vi UDSOLGT Med interne og eksterne funktioner er det tid til at anvende reglen om differentiering af komplekse funktioner.

Lad os begynde at beslutte. Fra klassen Hvordan finder man derivatet? vi husker, at designet af en løsning til en hvilken som helst afledt altid begynder sådan - vi omslutter udtrykket i parentes og sætter et streg øverst til højre:

Først find den afledede af den ydre funktion (sinus), se på tabellen over afledte elementære funktioner og det bemærker vi. Alle tabelformler er også anvendelige, hvis "x" erstattes med et komplekst udtryk, V i dette tilfælde:

Bemærk venligst, at den indre funktion har ikke ændret sig, vi rører det ikke.

Tja, det er helt indlysende

Det endelige resultat af at anvende formlen ser således ud:

Konstantfaktoren placeres normalt i begyndelsen af ​​udtrykket:

Hvis der er en misforståelse, så skriv løsningen ned på papir og læs forklaringerne igen.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion

Eksempel 3

Find den afledede af en funktion

Som altid skriver vi ned:

Lad os finde ud af, hvor vi har en ekstern funktion, og hvor vi har en intern. For at gøre dette forsøger vi (mentalt eller i et udkast) at beregne værdien af ​​udtrykket ved . Hvad skal du gøre først? Først og fremmest skal du beregne, hvad basen er lig med: derfor er polynomiet den interne funktion:

Og kun derefter udføres eksponentieringen, derfor er potensfunktionen en ekstern funktion:

Ifølge formlen skal du først finde den afledede af den eksterne funktion, i dette tilfælde graden. Vi leder efter den nødvendige formel i tabellen: . Vi gentager igen: enhver tabelformel er ikke kun gyldig for "X", men også for et komplekst udtryk. Således er resultatet af at anvende reglen for differentiering af en kompleks funktion som følger:

Jeg understreger igen, at når vi tager den afledte af den eksterne funktion, ændres vores interne funktion ikke:

Nu er der kun tilbage at finde en meget simpel afledning af den interne funktion og justere resultatet lidt:

Eksempel 4

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel på selvstændig beslutning(svar i slutningen af ​​lektionen).

For at konsolidere din forståelse af den afledte funktion af en kompleks funktion, vil jeg give et eksempel uden kommentarer, prøve at finde ud af det på egen hånd, begrunde hvor den eksterne og hvor den interne funktion er, hvorfor opgaverne løses på denne måde?

Eksempel 5

a) Find den afledede af funktionen

b) Find den afledede af funktionen

Eksempel 6

Find den afledede af en funktion

Her har vi en rod, og for at kunne differentiere roden skal den repræsenteres som en magt. Derfor bringer vi først funktionen i den form, der er passende til differentiering:

Ved at analysere funktionen kommer vi til den konklusion, at summen af ​​de tre led er en intern funktion, og at hæve til en potens er en ekstern funktion. Vi anvender reglen om differentiering af komplekse funktioner:

Vi repræsenterer igen graden som en radikal (rod), og for den afledede af den interne funktion anvender vi en simpel regel til at differentiere summen:

Parat. Du kan også angive udtrykket i parentes til fællesnævner og skriv alt ned som en brøk. Det er selvfølgelig smukt, men når du får besværlige lange derivater, er det bedre ikke at gøre dette (det er nemt at blive forvirret, lave en unødvendig fejl, og det vil være ubelejligt for læreren at tjekke).

Eksempel 7

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

Det er interessant at bemærke, at nogle gange i stedet for reglen for at differentiere en kompleks funktion, kan du bruge reglen til at differentiere en kvotient , men sådan en løsning vil ligne en sjov perversion. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Find den afledede af en funktion

Her kan du bruge reglen om differentiering af kvotienten , men det er meget mere rentabelt at finde den afledede gennem reglen om differentiering af en kompleks funktion:

Vi forbereder funktionen til differentiering - vi flytter minus ud af det afledte fortegn og hæver cosinus til tælleren:

Cosinus er en intern funktion, eksponentiering er en ekstern funktion.
Lad os bruge vores regel:

Vi finder den afledede af den interne funktion og nulstiller cosinus igen:

Parat. I det betragtede eksempel er det vigtigt ikke at blive forvirret i skiltene. Prøv i øvrigt at løse det ved hjælp af reglen , skal svarene stemme overens.

Eksempel 9

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

Indtil videre har vi set på tilfælde, hvor vi kun havde én rede i en kompleks funktion. I praktiske opgaver kan du ofte finde derivater, hvor der, ligesom nesting-dukker, den ene inde i den anden, er indlejret 3 eller endda 4-5 funktioner på én gang.

Eksempel 10

Find den afledede af en funktion

Lad os forstå vedhæftninger af denne funktion. Lad os prøve at beregne udtrykket ved hjælp af den eksperimentelle værdi. Hvordan ville vi regne med en lommeregner?

Først skal du finde , hvilket betyder, at arcsine er den dybeste indlejring:

Denne arcsinus af en skal så kvadreres:

Og til sidst hæver vi syv til en magt:

Det vil sige, at vi i dette eksempel har tre forskellige funktioner og to indlejringer, mens den inderste funktion er arcsinus, og den yderste funktion er den eksponentielle funktion.

Lad os begynde at beslutte

Ifølge reglen skal du først tage den afledte af den eksterne funktion. Vi ser på tabellen over afledte og finder den afledte eksponentiel funktion: Den eneste forskel er, at vi har i stedet for "X". komplekst udtryk, hvilket ikke afkræfter gyldigheden af ​​denne formel. Så resultatet af at anvende reglen for at differentiere en kompleks funktion er som følger:

Under slaget har vi igen en kompleks funktion! Men det er allerede nemmere. Det er let at verificere, at den indre funktion er arcsinus, den ydre funktion er graden. Ifølge reglen for differentiering af en kompleks funktion skal du først tage den afledede af potensen.

Efter indledende artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 rede af funktioner være mindre skræmmende. Måske vil de følgende to eksempler virke komplicerede for nogle, men hvis du forstår dem (nogen vil lide), så næsten alt andet i differentialregning Det vil virke som en barnejoke.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion

Som allerede nævnt, når man finder derivatet af en kompleks funktion, er det først og fremmest nødvendigt Højre FORSTÅ dine investeringer. I tilfælde, hvor der er tvivl, minder jeg dig om brugbart trick: vi tager for eksempel den eksperimentelle værdi af "x", og forsøger (mentalt eller i et udkast) at erstatte givet værdi til et "forfærdeligt udtryk".

1) Først skal vi beregne udtrykket, hvilket betyder, at summen er den dybeste indlejring.

2) Så skal du beregne logaritmen:

4) Sæt derefter cosinus i terninger:

5) På det femte trin er forskellen:

6) Og endelig er den yderste funktion kvadratroden:

Formel til at differentiere en kompleks funktion vil blive brugt i omvendt rækkefølge, fra den yderste funktion til den inderste. Vi beslutter:

Der ser ikke ud til at være nogen fejl:

1) Tag den afledede af kvadratroden.

2) Tag den afledede af forskellen ved hjælp af reglen

3) Den afledte af en tripel er nul. I andet led tager vi den afledede af graden (terningen).

4) Tag derivatet af cosinus.

6) Og endelig tager vi derivatet af den dybeste indlejring.

Det kan virke for svært, men dette er ikke det mest brutale eksempel. Tag for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sætte pris på al skønheden og enkelheden i det analyserede derivat. Jeg bemærkede, at de kan lide at give en lignende ting i en eksamen for at kontrollere, om en studerende forstår, hvordan man finder den afledede af en kompleks funktion eller ikke forstår.

Følgende eksempel skal du løse på egen hånd.

Eksempel 3

Find den afledede af en funktion

Tip: Først anvender vi linearitetsreglerne og produktdifferentieringsreglen

Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Det er tid til at gå videre til noget mindre og pænere.
Det er ikke ualmindeligt, at et eksempel viser produktet af ikke to, men tre funktioner. Hvordan finder man den afledte af produktet af tre faktorer?

Eksempel 4

Find den afledede af en funktion

Lad os først se, om det er muligt at omdanne produktet af tre funktioner til produktet af to funktioner? For eksempel, hvis vi havde to polynomier i produktet, så kunne vi åbne parenteserne. Men i det undersøgte eksempel er alle funktionerne forskellige: grad, eksponent og logaritme.

I sådanne tilfælde er det nødvendigt sekventielt anvende produktdifferentieringsreglen to gange

Tricket er, at vi med "y" betegner produktet af to funktioner: , og med "ve" betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette lade sig gøre? Er det virkelig - dette er ikke et produkt af to faktorer, og reglen virker ikke?! Der er ikke noget kompliceret:

Nu er det tilbage at anvende reglen en anden gang til parentes:

Du kan også blive snoet og sætte noget ud af parentes, men i dette tilfælde er det bedre at forlade svaret nøjagtigt i denne formular - det vil være lettere at kontrollere.

Det betragtede eksempel kan løses på den anden måde:

Begge løsninger er absolut ligeværdige.

Eksempel 5

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning i prøven, den er løst ved hjælp af den første metode.

Lad os se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Find den afledede af en funktion

Der er flere måder, du kan gå her:

Eller sådan her:

Men løsningen bliver skrevet mere kompakt, hvis vi først bruger reglen om differentiering af kvotienten , tager for hele tælleren:

I princippet er eksemplet løst, og hvis det efterlades som det er, vil det ikke være en fejl. Men hvis du har tid, er det altid tilrådeligt at tjekke en kladde for at se, om svaret kan forenkles?

Lad os reducere udtrykket af tælleren til en fællesnævner og slippe af med brøkens tre-etagers struktur:

Ulempen ved yderligere forenklinger er, at der er risiko for at begå en fejl, ikke når man finder den afledte, men under banale skoletransformationer. På den anden side afviser lærere ofte opgaven og beder om at "bringe det i tankerne" om det afledte.

Et lettere eksempel at løse på egen hånd:

Eksempel 7

Find den afledede af en funktion

Vi fortsætter med at mestre metoderne til at finde den afledede, og nu vil vi overveje et typisk tilfælde, hvor en "forfærdelig" logaritme foreslås til differentiering

Komplekse derivater. Logaritmisk afledt.
Afledt af en potenseksponentiel funktion

Vi fortsætter med at forbedre vores differentieringsteknik. I denne lektion vil vi konsolidere det materiale, vi har dækket, se på mere komplekse afledte og også stifte bekendtskab med nye teknikker og tricks til at finde en afledt, især med den logaritmiske afledte.

De læsere, der har et lavt forberedelsesniveau, bør henvise til artiklen Hvordan finder man derivatet? Eksempler på løsninger, som giver dig mulighed for at hæve dine færdigheder næsten fra bunden. Dernæst skal du omhyggeligt studere siden Afledt af en kompleks funktion, forstå og løse Alle de eksempler jeg gav. Denne lektion logisk den tredje, og efter at have mestret det, vil du trygt differentiere ret komplekse funktioner. Det er uønsket at indtage holdningen "Hvor ellers? Ja, det er nok”, da alle eksempler og løsninger er taget fra ægte tests og ses ofte i praksis.

Lad os starte med gentagelser. I klassen Afledt af en kompleks funktion Vi så på en række eksempler med detaljerede kommentarer. I løbet af studiet af differentialregning og andre grene af matematisk analyse bliver du nødt til at differentiere meget ofte, og det er ikke altid praktisk (og ikke altid nødvendigt) at beskrive eksempler i detaljer. Derfor vil vi øve os i at finde derivater mundtligt. De mest egnede "kandidater" til dette er afledte af de enkleste af komplekse funktioner, for eksempel:

Ifølge reglen om differentiering af komplekse funktioner :

Når man studerer andre matan-emner i fremtiden, er en sådan detaljeret optagelse oftest ikke nødvendig, antages det, at eleven ved, hvordan man finder sådanne afledte på autopilot. Lad os forestille os, at der ved 3-tiden om morgenen var en telefonopkald, og en behagelig stemme spurgte: "Hvad er den afledte af tangenten af ​​to X'er?" Dette bør efterfølges af et næsten øjeblikkeligt og høfligt svar: .

Det første eksempel vil umiddelbart være beregnet til uafhængig løsning.

Eksempel 1

Find følgende derivater mundtligt, i én handling, for eksempel: . For at fuldføre opgaven skal du kun bruge tabel over afledte elementære funktioner(hvis du ikke har husket det endnu). Hvis du har problemer, anbefaler jeg, at du læser lektionen igen Afledt af en kompleks funktion.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Svar i slutningen af ​​lektionen

Komplekse derivater

Efter indledende artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 rede af funktioner være mindre skræmmende. De følgende to eksempler kan virke komplicerede for nogle, men hvis du forstår dem (nogen vil lide), så vil næsten alt andet i differentialregning virke som en barnejoke.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion

Som allerede nævnt, når man finder derivatet af en kompleks funktion, er det først og fremmest nødvendigt Højre FORSTÅ dine investeringer. I tilfælde, hvor der er tvivl, minder jeg dig om en nyttig teknik: vi tager for eksempel den eksperimentelle værdi af "x", og forsøger (mentalt eller i et udkast) at erstatte denne værdi med det "forfærdelige udtryk".

1) Først skal vi beregne udtrykket, hvilket betyder, at summen er den dybeste indlejring.

2) Så skal du beregne logaritmen:

4) Sæt derefter cosinus i terninger:

5) På det femte trin er forskellen:

6) Og endelig er den yderste funktion kvadratroden:

Formel til at differentiere en kompleks funktion anvendes i omvendt rækkefølge, fra den yderste funktion til den inderste. Vi beslutter:

Der er vist ingen fejl...

(1) Tag den afledede af kvadratroden.

(2) Vi tager den afledede af forskellen ved at bruge reglen

(3) Den afledte af en tripel er nul. I andet led tager vi den afledede af graden (terningen).

(4) Tag derivatet af cosinus.

(5) Tag den afledede af logaritmen.

(6) Og endelig tager vi derivatet af den dybeste indlejring.

Det kan virke for svært, men dette er ikke det mest brutale eksempel. Tag for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sætte pris på al skønheden og enkelheden i det analyserede derivat. Jeg bemærkede, at de kan lide at give en lignende ting i en eksamen for at kontrollere, om en studerende forstår, hvordan man finder den afledede af en kompleks funktion eller ikke forstår.

Følgende eksempel skal du løse på egen hånd.

Eksempel 3

Find den afledede af en funktion

Tip: Først anvender vi linearitetsreglerne og produktdifferentieringsreglen

Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Det er tid til at gå videre til noget mindre og pænere.
Det er ikke ualmindeligt, at et eksempel viser produktet af ikke to, men tre funktioner. Hvordan finder man den afledte af produktet af tre faktorer?

Eksempel 4

Find den afledede af en funktion

Lad os først se, om det er muligt at omdanne produktet af tre funktioner til produktet af to funktioner? For eksempel, hvis vi havde to polynomier i produktet, så kunne vi åbne parenteserne. Men i det undersøgte eksempel er alle funktionerne forskellige: grad, eksponent og logaritme.

I sådanne tilfælde er det nødvendigt sekventielt anvende produktdifferentieringsreglen to gange

Tricket er, at vi med "y" betegner produktet af to funktioner: , og med "ve" betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette lade sig gøre? Er det virkelig – dette er ikke et produkt af to faktorer, og reglen virker ikke?! Der er ikke noget kompliceret:

Nu er det tilbage at anvende reglen en anden gang til parentes:

Du kan også blive snoet og sætte noget ud af parentes, men i dette tilfælde er det bedre at forlade svaret nøjagtigt i denne formular - det vil være lettere at kontrollere.

Det betragtede eksempel kan løses på den anden måde:

Begge løsninger er absolut ligeværdige.

Eksempel 5

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning i prøven, den er løst ved hjælp af den første metode.

Lad os se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Find den afledede af en funktion

Der er flere måder, du kan gå her:

Eller sådan her:

Men løsningen bliver skrevet mere kompakt, hvis vi først bruger reglen om differentiering af kvotienten , tager for hele tælleren:

I princippet er eksemplet løst, og hvis det efterlades som det er, vil det ikke være en fejl. Men hvis du har tid, er det altid tilrådeligt at tjekke en kladde for at se, om svaret kan forenkles? Lad os reducere tællerens udtryk til en fællesnævner og lad os slippe af med den tre-etagers fraktion:

Ulempen ved yderligere forenklinger er, at der er risiko for at begå en fejl, ikke når man finder den afledte, men under banale skoletransformationer. På den anden side afviser lærere ofte opgaven og beder om at "bringe det i tankerne" om det afledte.

Et lettere eksempel at løse på egen hånd:

Eksempel 7

Find den afledede af en funktion

Vi fortsætter med at mestre metoderne til at finde den afledede, og nu vil vi overveje et typisk tilfælde, hvor en "forfærdelig" logaritme foreslås til differentiering

Eksempel 8

Find den afledede af en funktion

Her kan du gå den lange vej ved at bruge reglen til at differentiere en kompleks funktion:

Men det allerførste skridt kaster dig straks ud i modløshed - du er nødt til at tage den ubehagelige afledning af brøkkraft, og så også fra brøken.

Det er derfor før hvordan man tager den afledede af en "sofistikeret" logaritme, det er først forenklet ved hjælp af velkendte skoleegenskaber:

! Hvis du har en øvelsesnotesbog ved hånden, skal du kopiere disse formler direkte dertil. Hvis du ikke har en notesbog, så kopier den over på et stykke papir, da de resterende eksempler i lektionen vil dreje sig om disse formler.

Selve løsningen kan skrives sådan her:

Lad os omdanne funktionen:

Sådan finder du den afledede:

Forhåndskonvertering af selve funktionen forenklede løsningen betydeligt. Når en lignende logaritme foreslås til differentiering, er det derfor altid tilrådeligt at "nedbryde den".

Og nu et par enkle eksempler, som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 9

Find den afledede af en funktion

Eksempel 10

Find den afledede af en funktion

Alle transformationer og svar er i slutningen af ​​lektionen.

Logaritmisk afledt

Hvis afledten af ​​logaritmer er så sød musik, så opstår spørgsmålet: er det i nogle tilfælde muligt at organisere logaritmen kunstigt? Kan! Og endda nødvendigt.

Eksempel 11

Find den afledede af en funktion

Vi har for nylig set på lignende eksempler. Hvad skal man gøre? Du kan sekventielt anvende reglen om differentiering af kvotienten og derefter reglen om differentiering af produktet. Ulempen ved denne metode er, at du ender med en enorm tre-etagers fraktion, som du slet ikke ønsker at beskæftige dig med.

Men i teori og praksis er der sådan en vidunderlig ting som den logaritmiske afledte. Logaritmer kan organiseres kunstigt ved at "hænge" dem på begge sider:

Nu skal du "bryde" logaritmen af ​​højre side så meget som muligt (formler foran dine øjne?). Jeg vil beskrive denne proces meget detaljeret:

Lad os starte med differentiering.
Vi afslutter begge dele under primeord:

Den afledte højre side er ret enkel, jeg vil ikke kommentere den, for hvis du læser denne tekst, burde du være i stand til at håndtere den med tillid.

Hvad med venstre side?

På venstre side har vi kompleks funktion. Jeg forudser spørgsmålet: "Hvorfor, er der et bogstav "Y" under logaritmen?"

Faktum er, at dette "et bogstavsspil" - ER SELV EN FUNKTION(hvis det ikke er meget tydeligt, henvises til artiklen Afledt af en funktion angivet implicit). Derfor er logaritmen en ekstern funktion, og "y" er en intern funktion. Og vi bruger reglen til at differentiere en kompleks funktion :

På venstre side, som ved et trylleslag tryllestav vi har en afledt . Dernæst overfører vi ifølge proportionsreglen "y" fra nævneren på venstre side til toppen af ​​højre side:

Og lad os nu huske, hvilken slags "spiller"-funktion vi talte om under differentieringen? Lad os se på tilstanden:

Endeligt svar:

Eksempel 12

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Et eksempeldesign af et eksempel af denne type er i slutningen af ​​lektionen.

Ved hjælp af den logaritmiske afledte var det muligt at løse et hvilket som helst af eksemplerne nr. 4-7, en anden ting er, at funktionerne der er mere simple, og måske er brugen af ​​den logaritmiske afledte ikke særlig berettiget.

Afledt af en potenseksponentiel funktion

Vi har ikke overvejet denne funktion endnu. En potenseksponentiel funktion er en funktion, for hvilken både graden og grundtallet afhænger af "x". Klassisk eksempel, som vil blive givet til dig i enhver lærebog eller ved enhver forelæsning:

Hvordan finder man den afledede af en potenseksponentiel funktion?

Det er nødvendigt at bruge den netop omtalte teknik - den logaritmiske afledte. Vi hænger logaritmer på begge sider:

Som regel tages graden på højre side fra under logaritmen:

Som et resultat har vi på højre side produktet af to funktioner, som vil blive differentieret i henhold til standardformlen .

Vi finder den afledede for at gøre dette, vi omslutter begge dele under streger:

Yderligere handlinger er enkle:

Endelig:

Hvis en konvertering ikke er helt klar, bedes du genlæse forklaringerne i eksempel #11 omhyggeligt.

I praktiske opgaver Power-eksponentialfunktionen vil altid være mere kompleks end det eksempel, der blev diskuteret i forelæsningen.

Eksempel 13

Find den afledede af en funktion

Vi bruger den logaritmiske afledte.

På højre side har vi en konstant og produktet af to faktorer - "x" og "logaritme af logaritme x" (en anden logaritme er indlejret under logaritmen). Når man differentierer, som vi husker, er det bedre straks at flytte konstanten ud af det afledte tegn, så det ikke kommer i vejen; og vi anvender selvfølgelig den velkendte regel :

Som du kan se, indeholder algoritmen til at bruge den logaritmiske afledte ingen specielle tricks eller tricks, og at finde den afledede af en potenseksponentiel funktion er normalt ikke forbundet med "pine."

Der gives et bevis på formlen for den afledede af en kompleks funktion. Tilfælde, hvor en kompleks funktion afhænger af en eller to variable, overvejes i detaljer. Der foretages en generalisering til tilfældet med et vilkårligt antal variable.

Her giver vi udledningen af ​​følgende formler for afledningen af ​​en kompleks funktion.
Hvis, så
.
Hvis, så
.
Hvis, så
.

Afledt af en kompleks funktion fra en variabel

Lad en funktion af variabel x repræsenteres som en kompleks funktion i følgende form:
,
hvor der er nogle funktioner. Funktionen er differentierbar for en eller anden værdi af variablen x.
Funktionen er differentierbar ved værdien af ​​variablen.
(1) .

Så er den komplekse (sammensatte) funktion differentierbar ved punkt x, og dens afledte bestemmes af formlen:
;
.

Formel (1) kan også skrives som følger:

Bevis
;
.
Lad os introducere følgende notation.

Her er der en funktion af variablerne og , der er en funktion af variablerne og .
;
.

Men vi vil udelade argumenterne for disse funktioner for ikke at rode i beregningerne.
.
Da funktionerne og er differentiable i henholdsvis punkterne x og , så er der ved disse punkter afledte af disse funktioner, som er følgende grænser:
.
Overvej følgende funktion:
.

For en fast værdi af variablen u, er en funktion af .
.
Overvej følgende funktion:
.

Det er indlysende

.

Så

Da funktionen er en differentierbar funktion på punktet, er den kontinuerlig på det punkt. Det er derfor

Nu finder vi den afledte.
,
Formlen er bevist.
.
Følge

For at bevise denne formel beregner vi sekventielt den afledede ved hjælp af reglen til differentiering af en kompleks funktion.
Overvej den komplekse funktion
.
Dens afledte
.
Overvej den oprindelige funktion
.
Dens afledte
.

Afledt af en kompleks funktion fra to variable

Lad nu den komplekse funktion afhænge af flere variable. Lad os først se på tilfælde af en kompleks funktion af to variable.

Lad en funktion afhængig af variablen x være repræsenteret som en kompleks funktion af to variable i følgende form:
,
Hvor
og der er differentierbare funktioner for en eller anden værdi af variablen x;
- en funktion af to variable, der kan differentieres ved punktet , .
(2) .

Formel (1) kan også skrives som følger:

Så er den komplekse funktion defineret i et bestemt område af punktet og har en afledt, som bestemmes af formlen:
;
.
Da funktionerne og er differentierbare ved punktet, er de defineret i et bestemt område af dette punkt, er kontinuerte i punktet, og deres afledte eksisterer i punktet, som er følgende grænser:
;
.
Her
;
.

På grund af kontinuiteten i disse funktioner på et tidspunkt har vi:
(3) .
Da funktionerne og er differentierbare ved punktet, er de defineret i et bestemt område af dette punkt, er kontinuerte i punktet, og deres afledte eksisterer i punktet, som er følgende grænser:

Da funktionen er differentierbar på punktet, er den defineret i et bestemt område af dette punkt, er kontinuerlig på dette punkt, og dens stigning kan skrives i følgende form:
;

- forøgelse af en funktion, når dens argumenter øges med værdier og ;
- partielle afledninger af funktionen med hensyn til variablerne og .
;
.
For faste værdier af og , og er funktioner af variablerne og .
;
.

De har en tendens til nul ved og:

. :
.
Siden og, da



.

Så

Funktionsstigning:

Lad os erstatte (3):

Afledt af en kompleks funktion fra flere variable Ovenstående konklusion kan let generaliseres til det tilfælde, hvor antallet af variable i en kompleks funktion er mere end to. For eksempel, hvis f er
,
Hvor
funktion af tre variable
, Det
, og der er differentierbare funktioner for en eller anden værdi af variablen x;
(4)
.
- differentierbar funktion af tre variable ved punkt , , .
; ; ,
Så, fra definitionen af ​​differentiabilitet af funktionen, har vi:
;
;
.

Fordi på grund af kontinuitet,
.

At Ved at dividere (4) med og gå til grænsen får vi:.
Og endelig, lad os overveje
,
Hvor
det mest generelle tilfælde
Lad en funktion af variabel x repræsenteres som en kompleks funktion af n variable i følgende form:
, , ... , .
Overvej følgende funktion:
.