Eksempler på derivater af komplekse funktioner. Afledt af en kompleks funktion. Eksempler på løsninger

Funktioner kompleks type passer ikke altid til definitionen kompleks funktion. Hvis der er en funktion af formen y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, så kan den ikke betragtes som kompleks, i modsætning til y = sin 2 x.

Denne artikel vil vise begrebet en kompleks funktion og dens identifikation. Lad os arbejde med formler til at finde den afledede med eksempler på løsninger i konklusionen. Brugen af ​​derivattabellen og differentieringsregler reducerer tiden for at finde derivatet betydeligt.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Grundlæggende definitioner

Definition 1

En kompleks funktion er en, hvis argument også er en funktion.

Det er angivet på denne måde: f (g (x)). Vi har, at funktionen g (x) betragtes som et argument f (g (x)).

Definition 2

Hvis der er en funktion f og er en cotangens funktion, så er g(x) = ln x funktionen naturlig logaritme. Vi finder, at den komplekse funktion f (g (x)) vil blive skrevet som arctg(lnx). Eller en funktion f, som er en funktion hævet til 4. potens, hvor g (x) = x 2 + 2 x - 3 betragtes som en hel rationel funktion, får vi at f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Det er klart, at g(x) kan være kompleks. Fra eksemplet y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 er det tydeligt, at værdien af ​​g har terningroden af ​​brøken. Dette udtryk kan betegnes som y = f (f 1 (f 2 (x))). Hvorfra vi har, at f er en sinusfunktion, og f 1 er en funktion placeret under kvadrat rod, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - rationel brøkfunktion.

Definition 3

Redegraden bestemmes af evt naturligt tal og skrives som y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Definition 4

Begrebet funktionssammensætning refererer til antallet af indlejrede funktioner i henhold til problemets betingelser. For at løse, brug formlen til at finde den afledede af en kompleks funktion af formen

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Eksempler

Eksempel 1

Find den afledede af en kompleks funktion på formen y = (2 x + 1) 2.

Løsning

Betingelsen viser, at f er en kvadratisk funktion, og g(x) = 2 x + 1 betragtes som en lineær funktion.

Lad os anvende den afledede formel for en kompleks funktion og skrive:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Det er nødvendigt at finde den afledede med en forenklet original form af funktionen. Vi får:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Det har vi herfra

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Resultaterne var de samme.

Når man løser problemer af denne type, er det vigtigt at forstå, hvor funktionen af ​​formen f og g (x) vil være placeret.

Eksempel 2

Du skal finde afledte af komplekse funktioner på formen y = sin 2 x og y = sin x 2.

Løsning

Den første funktionsnotation siger, at f er kvadratfunktionen og g(x) er sinusfunktionen. Så får vi det

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Den anden post viser, at f er en sinusfunktion, og g(x) = x 2 er angivet power funktion. Det følger heraf, at vi skriver produktet af en kompleks funktion som

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formlen for den afledte y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) vil blive skrevet som y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.). . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

Eksempel 3

Find den afledede af funktionen y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Løsning

Dette eksempel viser vanskeligheden ved at skrive og bestemme placeringen af ​​funktioner. Så angiver y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) hvor f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) er sinusfunktionen, funktionen til at hæve til 3 grader, funktion med logaritme og base e, arctangent og lineær funktion.

Fra formlen til at definere en kompleks funktion har vi det

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3" (f 4 (x)) f 4" (x)

Vi får det, vi skal finde

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) som den afledede af sinus ifølge tabellen over afledte, derefter f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) som den afledede af en potensfunktion, derefter f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) som en logaritmisk afledt, derefter f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) som derivatet af arctangensen, derefter f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Når du finder den afledede f 4 (x) = 2 x, skal du fjerne 2 fra fortegnet for den afledede ved hjælp af formlen for den afledede af en potensfunktion med en eksponent lig med 1, derefter f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Vi kombinerer mellemresultaterne og får det

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analyse af sådanne funktioner minder om rededukker. Differentieringsregler kan ikke altid anvendes eksplicit ved hjælp af en afledt tabel. Ofte skal du bruge en formel til at finde afledte af komplekse funktioner.

Der er nogle forskelle mellem komplekst udseende og komplekse funktioner. Med en klar evne til at skelne dette vil det være særligt nemt at finde derivater.

Eksempel 4

Det er nødvendigt at overveje at give et sådant eksempel. Hvis der er en funktion af formen y = t g 2 x + 3 t g x + 1, så kan den betragtes som en kompleks funktion af formen g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Det er klart, at det er nødvendigt at bruge formlen for et komplekst derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

En funktion af formen y = t g x 2 + 3 t g x + 1 betragtes ikke som kompleks, da den har summen af ​​t g x 2, 3 t g x og 1. Dog betragtes t g x 2 som en kompleks funktion, så får vi en potensfunktion af formen g (x) = x 2 og f, som er en tangentfunktion. For at gøre dette skal du differentiere efter beløb. Det forstår vi

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 for 2 x

Lad os gå videre til at finde den afledede af en kompleks funktion (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Vi får, at y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funktioner af en kompleks type kan indgå i komplekse funktioner, og komplekse funktioner i sig selv kan være komponenter af funktioner af en kompleks type.

Eksempel 5

Overvej for eksempel en kompleks funktion af formen y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Denne funktion kan repræsenteres som y = f (g (x)), hvor værdien af ​​f er en funktion af grundtallet 3-logaritmen, og g (x) betragtes som summen af ​​to funktioner på formen h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 og k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Det er klart, y = f (h (x) + k (x)).

Overvej funktionen h(x). Dette er forholdet l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 til m (x) = e x 2 + 3 3

Vi har, at l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) er summen af ​​to funktioner n (x) = x 2 + 7 og p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , hvor p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) er en kompleks funktion med numerisk koefficient 3, og p 1 er en terningfunktion, p 2 ved en cosinusfunktion, p 3 (x) = 2 x + 1 ved en lineær funktion.

Vi fandt ud af, at m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) er summen af ​​to funktioner q (x) = e x 2 og r (x) = 3 3, hvor q (x) = q 1 (q 2 (x)) er en kompleks funktion, q 1 er en funktion med en eksponentiel, q 2 (x) = x 2 er en potensfunktion.

Dette viser, at h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Når man går til et udtryk på formen k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), er det tydeligt, at funktionen præsenteres i form af et komplekst s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) med et rationelt heltal t (x) = x 2 + 1, hvor s 1 er en kvadratisk funktion, og s 2 (x) = ln x er logaritmisk med base e.

Det følger heraf, at udtrykket vil have formen k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Så får vi det

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Ud fra funktionens strukturer blev det klart, hvordan og hvilke formler der skal bruges for at forenkle udtrykket, når man differentierer det. For at blive fortrolig med sådanne problemer og for konceptet med deres løsning er det nødvendigt at vende sig til det punkt, hvor man differentierer en funktion, det vil sige at finde dens afledte.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Definition. Lad funktionen \(y = f(x) \) defineres i et bestemt interval, der indeholder punktet \(x_0\) i sig selv. Lad os give argumentet en stigning \(\Delta x \), således at det ikke forlader dette interval. Lad os finde den tilsvarende forøgelse af funktionen \(\Delta y \) (når vi flytter fra punktet \(x_0 \) til punktet \(x_0 + \Delta x \)) og komponere relationen \(\frac(\Delta) y)(\Delta x) \). Hvis der er en grænse for dette forhold ved \(\Delta x \rightarrow 0\), så kaldes den angivne grænse afledet af en funktion\(y=f(x) \) ved punktet \(x_0 \) og angiv \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolet y bruges ofte til at betegne den afledede. Bemærk, at y" = f(x) er en ny funktion, men naturligt relateret til funktionen y = f(x), defineret i alle punkter x, hvor ovenstående grænse findes . Denne funktion kaldes sådan: afledet af funktionen y = f(x).

Geometrisk betydning af afledte er som følgende. Hvis det er muligt at tegne en tangent til grafen for funktionen y = f(x) i punktet med abscisse x=a, som ikke er parallel med y-aksen, så udtrykker f(a) hældningen af ​​tangenten :
\(k = f"(a)\)

Da \(k = tg(a) \), så er ligheden \(f"(a) = tan(a) \) sand.

Lad os nu fortolke definitionen af ​​derivat ud fra synspunktet om omtrentlige ligheder. Lad funktionen \(y = f(x)\) have en afledet i et bestemt punkt \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Dette betyder, at nær punktet x den omtrentlige lighed \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), dvs. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Den meningsfulde betydning af den resulterende omtrentlige lighed er som følger: stigningen af ​​funktionen er "næsten proportional" med stigningen af ​​argumentet, og proportionalitetskoefficienten er værdien af ​​den afledede i et givet punkt x. For eksempel, for funktionen \(y = x^2\) er den omtrentlige lighed \(\Delta y \ca. 2x \cdot \Delta x \) gyldig. Hvis vi omhyggeligt analyserer definitionen af ​​en afledt, vil vi opdage, at den indeholder en algoritme til at finde den.

Lad os formulere det.

Hvordan finder man den afledede af funktionen y = f(x)?

1. Ret værdien af ​​\(x\), find \(f(x)\)
2. Giv argumentet \(x\) en stigning \(\Delta x\), gå til et nyt punkt \(x+ \Delta x \), find \(f(x+ \Delta x) \)
3. Find tilvæksten af ​​funktionen: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Opret relationen \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Beregn $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Denne grænse er den afledede af funktionen i punkt x.

Hvis en funktion y = f(x) har en afledet i et punkt x, så kaldes den differentiabel i et punkt x. Fremgangsmåden for at finde den afledede af funktionen y = f(x) kaldes differentiering funktioner y = f(x).

Lad os diskutere følgende spørgsmål: hvordan er kontinuitet og differentierbarhed af en funktion på et punkt relateret til hinanden?

Lad funktionen y = f(x) være differentiabel i punktet x. Derefter kan der tegnes en tangent til grafen for funktionen i punktet M(x; f(x)), og husk, tangens vinkelkoefficient er lig med f "(x). En sådan graf kan ikke "knække" ved punkt M, dvs. funktionen skal være kontinuert i punkt x.

Disse var "hands-on" argumenter. Lad os give en mere stringent begrundelse. Hvis funktionen y = f(x) er differentiabel i punktet x, så gælder den omtrentlige lighed \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Hvis i denne lighed \(\Delta x \) har en tendens til nul, så vil \(\Delta y \) vende mod nul, og dette er betingelsen for kontinuiteten af ​​funktionen i et punkt.

Så, hvis en funktion er differentierbar i et punkt x, så er den kontinuert på det punkt.

Det omvendte udsagn er ikke sandt. For eksempel: funktion y = |x| er kontinuert overalt, især i punktet x = 0, men tangenten til grafen for funktionen i "forbindelsespunktet" (0; 0) eksisterer ikke. Hvis en tangent på et tidspunkt ikke kan trækkes til grafen for en funktion, så eksisterer den afledede ikke på det punkt.

Endnu et eksempel. Funktionen \(y=\sqrt(x)\) er kontinuert på hele tallinjen, inklusive i punktet x = 0. Og tangenten til funktionens graf findes på ethvert punkt, inklusive i punktet x = 0 Men på dette tidspunkt falder tangenten sammen med y-aksen, dvs. den er vinkelret på abscisseaksen, dens ligning har formen x = 0. Hældningskoefficient sådan en linje har ikke, hvilket betyder at \(f"(0) \) heller ikke eksisterer

Så vi stiftede bekendtskab med en ny egenskab ved en funktion - differentiabilitet. Hvordan kan man ud fra grafen for en funktion konkludere, at den er differentierbar?

Svaret er faktisk givet ovenfor. Hvis det på et tidspunkt er muligt at tegne en tangent til grafen for en funktion, der ikke er vinkelret på abscisseaksen, så er funktionen på dette tidspunkt differentierbar. Hvis tangenten til grafen for en funktion på et tidspunkt ikke eksisterer, eller den er vinkelret på abscisseaksen, så er funktionen på dette tidspunkt ikke differentierbar.

Regler for differentiering

Operationen med at finde den afledede kaldes differentiering. Når du udfører denne operation, skal du ofte arbejde med kvotienter, summer, produkter af funktioner såvel som "funktioner af funktioner", det vil sige komplekse funktioner. Ud fra definitionen af ​​afledt kan vi udlede differentieringsregler, der gør dette arbejde lettere. Hvis C er et konstant tal, og f=f(x), g=g(x) er nogle differentiable funktioner, så er følgende sande differentieringsregler:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Afledt af en kompleks funktion:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel over afledte funktioner af nogle funktioner

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Hvis du følger definitionen, så er den afledede af en funktion i et punkt grænsen for forholdet mellem tilvæksten af ​​funktionen Δ y til argumenttilvæksten Δ x:

Alt ser ud til at være klart. Men prøv at bruge denne formel til at beregne f.eks. den afledede af funktionen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Hvis du gør alt pr. definition, falder du simpelthen i søvn efter et par siders beregninger. Derfor er der enklere og mere effektive måder.

Til at begynde med bemærker vi, at vi fra hele rækken af ​​funktioner kan skelne de såkaldte elementære funktioner. Det er relativt simple udtryk, hvis afledninger længe er blevet beregnet og opstillet i tabelform. Sådanne funktioner er ret nemme at huske - sammen med deres derivater.

Afledte af elementære funktioner

Elementære funktioner er alle dem, der er anført nedenfor. Afledte af disse funktioner skal kendes udenad. Desuden er det slet ikke svært at huske dem - det er derfor, de er elementære.

Så afledte af elementære funktioner:

Navn	Fungere	Afledte
Konstant	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, nul!)
Power med rationel eksponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Bihule	f(x) = synd x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	−synd x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	− 1/synd 2 x
Naturlig logaritme	f(x) = log x	1/x
Vilkårlig logaritme	f(x) = log -en x	1/(x ln -en)
Eksponentiel funktion	f(x) = e x	e x(intet ændrede sig)

Hvis en elementær funktion ganges med en vilkårlig konstant, beregnes den afledede af den nye funktion også let:

(C · f)’ = C · f ’.

Generelt kan konstanter tages ud af fortegn for den afledte. For eksempel:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Det er klart, at elementære funktioner kan lægges til hinanden, ganges, divideres - og meget mere. Sådan vil nye funktioner fremstå, ikke længere særligt elementære, men også differentierede efter bestemte regler. Disse regler diskuteres nedenfor.

Afledt af sum og forskel

Lad funktionerne være givet f(x) Og g(x), hvis afledte er kendt af os. For eksempel kan du tage de elementære funktioner diskuteret ovenfor. Så kan du finde den afledede af summen og forskellen af ​​disse funktioner:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Så den afledte af summen (forskel) af to funktioner er lig summen (forskel) af de afledte. Der kan være flere vilkår. For eksempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strengt taget er der ikke noget begreb om "subtraktion" i algebra. Der er et begreb om "negativt element". Derfor forskellen f − g kan omskrives som en sum f+ (−1) g, og så er der kun én formel tilbage - den afledede af summen.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungere f(x) er summen af ​​to elementære funktioner, derfor:

f ’(x) = (x 2 + synd x)’ = (x 2)’ + (synd x)’ = 2x+ cos x;

Vi ræsonnerer på samme måde for funktionen g(x). Kun der er allerede tre udtryk (fra et algebra synspunkt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Afledt af produktet

Matematik er en logisk videnskab, så mange mennesker tror, ​​at hvis den afledede af en sum er lig med summen af ​​afledte, så er den afledte af produktet strejke">lig med produktet af derivater. Men pyt dig! Den afledte af et produkt beregnes ved hjælp af en helt anden formel. Nemlig:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formlen er enkel, men den bliver ofte glemt. Og ikke kun skolebørn, men også studerende. Resultatet er forkert løste problemer.

Opgave. Find afledede funktioner: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Fungere f(x) er produktet af to elementære funktioner, så alt er enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− synd x) = x 2 (3 cos x − x synd x)

Fungere g(x) den første multiplikator er lidt mere kompliceret, men den generelle ordning ændres ikke. Det er klart, den første faktor af funktionen g(x) er et polynomium, og dets afledte er den afledede af summen. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Bemærk venligst at på sidste skridt derivatet er faktoriseret. Formelt set skal dette ikke gøres, men de fleste afledte beregnes ikke alene, men for at undersøge funktionen. Det betyder, at yderligere vil den afledede blive lig med nul, dens fortegn vil blive bestemt, og så videre. I et sådant tilfælde er det bedre at få et udtryk faktoriseret.

Hvis der er to funktioner f(x) Og g(x), og g(x) ≠ 0 på det sæt, vi er interesseret i, kan vi definere en ny funktion h(x) = f(x)/g(x). For en sådan funktion kan du også finde den afledede:

Ikke svag, vel? Hvor kom minuset fra? Hvorfor g 2? Og sådan her! Dette er en af ​​de mest komplekse formler- Du kan ikke finde ud af det uden en flaske. Derfor er det bedre at studere det på konkrete eksempler.

Opgave. Find afledede funktioner:

Tælleren og nævneren for hver brøk indeholder elementære funktioner, så alt, hvad vi behøver, er formlen for den afledede af kvotienten:

Ifølge traditionen, lad os faktorisere tælleren - dette vil i høj grad forenkle svaret:

En kompleks funktion er ikke nødvendigvis en halv kilometer lang formel. For eksempel er det nok at tage funktionen f(x) = synd x og erstatte variablen x, siger, på x 2 + ln x. Det vil nok gå f(x) = synd ( x 2 + ln x) - dette er en kompleks funktion. Det har også en derivat, men det vil ikke være muligt at finde det ved at bruge reglerne diskuteret ovenfor.

Hvad skal jeg gøre? I sådanne tilfælde hjælper det at erstatte en variabel og formel for den afledede af en kompleks funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', hvis x er erstattet af t(x).

Som regel er situationen med at forstå denne formel endnu mere trist end med kvotientens afledte. Derfor er det også bedre at forklare det med konkrete eksempler, med Detaljeret beskrivelse hvert skridt.

Opgave. Find afledede funktioner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2 + ln x)

Bemærk, at hvis i funktionen f(x) i stedet for udtryk 2 x+ 3 vil være let x, så går det nok elementær funktion f(x) = e x. Derfor laver vi en erstatning: lad 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi leder efter den afledede af en kompleks funktion ved hjælp af formlen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Og nu - opmærksomhed! Vi udfører den omvendte udskiftning: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Lad os nu se på funktionen g(x). Det er klart, at det skal udskiftes x 2 + ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (synd t)’ · t’ = cos t · t ’

Omvendt udskiftning: t = x 2 + ln x. Derefter:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Det er alt! Som det fremgår af det sidste udtryk, er hele problemet reduceret til at beregne den afledte sum.

Svar:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) fordi ( x 2 + ln x).

Meget ofte i mine lektioner, i stedet for udtrykket "afledt", bruger jeg ordet "prime". For eksempel en prime fra beløbet lig med summen slagtilfælde. Er det klarere? Det var da godt.

Beregning af den afledte kommer således ned til at slippe af med de samme slag i henhold til reglerne diskuteret ovenfor. Som et sidste eksempel, lad os vende tilbage til den afledte potens med en rationel eksponent:

(x n)’ = n · x n − 1

De færreste kender det i rollen n kan godt handle et brøktal. Roden er f.eks x 0,5. Hvad hvis der er noget fancy under roden? Igen bliver resultatet en kompleks funktion - de giver gerne sådanne konstruktioner til tests og eksamener.

Opgave. Find den afledede af funktionen:

Lad os først omskrive roden som en potens med en rationel eksponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nu laver vi en erstatning: lad x 2 + 8x − 7 = t. Vi finder den afledede ved hjælp af formlen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Lad os gøre den omvendte udskiftning: t = x 2 + 8x− 7. Vi har:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Til sidst tilbage til rødderne:

I denne artikel vil vi tale om et så vigtigt matematisk begreb som en kompleks funktion, og lære at finde den afledede af en kompleks funktion.

Før vi lærer at finde derivatet af en kompleks funktion, lad os forstå begrebet en kompleks funktion, hvad det er, "hvad det spises med" og "hvordan man tilbereder det korrekt."

Overvej en vilkårlig funktion, for eksempel denne:

Bemærk, at argumentet på højre og venstre side af funktionsligningen er det samme tal eller udtryk.

I stedet for en variabel kan vi f.eks. sætte følgende udtryk: . Og så får vi funktionen

Lad os kalde udtrykket et mellemargument, og funktionen en ydre funktion. Det er ikke strenge matematiske begreber, men de hjælper med at forstå betydningen af ​​begrebet en kompleks funktion.

En streng definition af begrebet en kompleks funktion lyder således:

Lad en funktion defineres på et sæt og vær værdisættet for denne funktion. Lad mængden (eller dens delmængde) være definitionsdomænet for funktionen. Lad os tildele et nummer til hver af dem. Således vil funktionen blive defineret på sættet. Det kaldes funktionssammensætning eller kompleks funktion.

I denne definition, hvis vi bruger vores terminologi, er en ekstern funktion et mellemargument.

Den afledte af en kompleks funktion findes i henhold til følgende regel:

For at gøre det mere klart skriver jeg gerne denne regel som følger:

I dette udtryk betegner brug en mellemfunktion.

Så. For at finde den afledede af en kompleks funktion, skal du bruge

1. Bestem hvilken funktion der er ekstern, og find den tilsvarende afledede fra tabellen over afledte.

2. Definer et mellemargument.

I denne procedure er den største vanskelighed at finde den eksterne funktion. En simpel algoritme bruges til dette:

EN. Skriv funktionens ligning ned.

b. Forestil dig, at du skal beregne værdien af ​​en funktion for en eller anden værdi af x. For at gøre dette erstatter du denne værdi af x i funktionens ligning og producerer aritmetiske operationer. Den sidste handling, du gør, er den eksterne funktion.

For eksempel i funktionen

Den sidste handling er eksponentiering.

Lad os finde den afledede af denne funktion. For at gøre dette skriver vi et mellemargument

Der gives et bevis på formlen for den afledede af en kompleks funktion. Tilfælde, hvor en kompleks funktion afhænger af en eller to variable, overvejes i detaljer. Der foretages en generalisering til tilfældet med et vilkårligt antal variable.

Her giver vi udledningen af ​​følgende formler for afledningen af ​​en kompleks funktion.
Hvis så
.
Hvis så
.
Hvis så
.

Afledt af en kompleks funktion fra en variabel

Lad en funktion af variabel x repræsenteres som en kompleks funktion i følgende form:
,
hvor der er nogle funktioner. Funktionen er differentierbar for en eller anden værdi af variablen x. Funktionen er differentierbar ved værdien af ​​variablen.
Så er den komplekse (sammensatte) funktion differentierbar ved punkt x, og dens afledte bestemmes af formlen:
(1) .

Formel (1) kan også skrives som følger:
;
.

Bevis

Lad os introducere følgende notation.
;
.
Her er der en funktion af variablerne og , der er en funktion af variablerne og . Men vi vil udelade argumenterne for disse funktioner for ikke at rode i beregningerne.

Da funktionerne og er differentiable i henholdsvis punkterne x og , så er der ved disse punkter afledte af disse funktioner, som er følgende grænser:
;
.

Overvej følgende funktion:
.
For en fast værdi af variablen u, er en funktion af . Det er indlysende
.
Derefter
.

Da funktionen er en differentierbar funktion på punktet, er den kontinuerlig på det punkt. Derfor
.
Derefter
.

Nu finder vi den afledte.

.

Formlen er bevist.

Følge

Hvis en funktion af en variabel x kan repræsenteres som en kompleks funktion af en kompleks funktion
,
så bestemmes dens afledte af formlen
.
Her og der er nogle differentierbare funktioner.

For at bevise denne formel beregner vi sekventielt den afledede ved hjælp af reglen til differentiering af en kompleks funktion.
Overvej den komplekse funktion
.
Dens afledte
.
Overvej den oprindelige funktion
.
Dens afledte
.

Afledt af en kompleks funktion fra to variable

Lad nu den komplekse funktion afhænge af flere variable. Lad os først se på tilfælde af en kompleks funktion af to variable.

Lad en funktion afhængig af variablen x være repræsenteret som en kompleks funktion af to variable i følgende form:
,
Hvor
og der er differentierbare funktioner for en eller anden værdi af variablen x;
- en funktion af to variable, der kan differentieres ved punktet , . Så er den komplekse funktion defineret i et bestemt område af punktet og har en afledt, som bestemmes af formlen:
(2) .

Bevis

Da funktionerne og er differentierbare ved punktet, er de defineret i et bestemt område af dette punkt, er kontinuerte i punktet, og deres afledte eksisterer i punktet, som er følgende grænser:
;
.
Her
;
.
På grund af kontinuiteten i disse funktioner på et tidspunkt har vi:
;
.

Da funktionen er differentierbar på punktet, er den defineret i et bestemt område af dette punkt, er kontinuerlig på dette punkt, og dens stigning kan skrives i følgende form:
(3) .
Her

- stigning af en funktion, når dens argumenter øges med værdier og ;
;

- partielle afledninger af funktionen med hensyn til variablerne og .
For faste værdier af og , og er funktioner af variablerne og . De har en tendens til at nulstille ved og:
;
.
Siden og da
;
.

Funktionsstigning:

. :
.
Lad os erstatte (3):



.

Formlen er bevist.

Afledt af en kompleks funktion fra flere variable

Ovenstående konklusion kan let generaliseres til det tilfælde, hvor antallet af variable i en kompleks funktion er mere end to.

For eksempel, hvis f er funktion af tre variable, At
,
Hvor
, og der er differentierbare funktioner for en eller anden værdi af variablen x;
- differentierbar funktion af tre variable ved punkt , , .
Så har vi fra definitionen af ​​differentiabilitet af funktionen:
(4)
.
Fordi på grund af kontinuitet,
; ; ,
At
;
;
.

Ved at dividere (4) med og gå til grænsen får vi:
.

Og endelig, lad os overveje det mest generelle tilfælde.
Lad en funktion af variabel x repræsenteres som en kompleks funktion af n variable i følgende form:
,
Hvor
der er differentiable funktioner for en eller anden værdi af variablen x;
- differentierbar funktion af n variable i et punkt
, , ... , .
Derefter
.