Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik pecahan. Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan rasional

fasad
14.10.2019

Mari kita sambung bercakap tentang menyelesaikan persamaan. Dalam artikel ini kita akan pergi secara terperinci tentang persamaan rasional dan prinsip penyelesaian persamaan rasional dengan satu pembolehubah. Mula-mula, mari kita tentukan jenis persamaan yang dipanggil rasional, berikan takrifan bagi persamaan rasional keseluruhan dan pecahan, dan berikan contoh. Seterusnya, kami akan mendapatkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional, dan, sudah tentu, kami akan mempertimbangkan penyelesaian kepada contoh biasa dengan semua penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Berdasarkan definisi yang dinyatakan, kami memberikan beberapa contoh persamaan rasional. Contohnya, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , adalah semua persamaan rasional.

Daripada contoh yang ditunjukkan, jelas bahawa persamaan rasional, serta persamaan jenis lain, boleh dengan satu pembolehubah, atau dengan dua, tiga, dsb. pembolehubah. Dalam perenggan berikut kita akan bercakap tentang menyelesaikan persamaan rasional dengan satu pembolehubah. Menyelesaikan persamaan dalam dua pembolehubah dan mereka sebilangan besar patut diberi perhatian khusus.

Selain membahagikan persamaan rasional dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, ia juga dibahagikan kepada integer dan pecahan. Mari kita berikan definisi yang sepadan.

Definisi.

Persamaan rasional dipanggil keseluruhan, jika kedua-dua belah kiri dan kanannya ialah ungkapan rasional integer.

Definisi.

Jika sekurang-kurangnya satu daripada bahagian persamaan rasional ialah ungkapan pecahan, maka persamaan tersebut dipanggil rasional pecahan(atau rasional pecahan).

Adalah jelas bahawa keseluruhan persamaan tidak mengandungi pembahagian dengan pembolehubah; sebaliknya, persamaan rasional pecahan semestinya mengandungi pembahagian dengan pembolehubah (atau pembolehubah dalam penyebut). Jadi 3 x+2=0 dan (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– ini adalah persamaan rasional keseluruhan, kedua-dua bahagiannya ialah ungkapan keseluruhan. A dan x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ialah contoh persamaan rasional pecahan.

Menyimpulkan perkara ini, marilah kita memberi perhatian kepada fakta bahawa persamaan linear dan persamaan kuadratik yang diketahui pada titik ini adalah keseluruhan persamaan rasional.

Menyelesaikan persamaan keseluruhan

Salah satu pendekatan utama untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan ialah mengurangkannya kepada persamaan yang setara persamaan algebra. Ini sentiasa boleh dilakukan dengan melakukan transformasi setara berikut bagi persamaan:

  • pertama, ungkapan dari sebelah kanan persamaan integer asal dipindahkan ke sebelah kiri dengan tanda bertentangan untuk mendapatkan sifar di sebelah kanan;
  • selepas ini, di sebelah kiri persamaan yang terhasil pandangan standard.

Hasilnya ialah persamaan algebra yang setara dengan persamaan integer asal. Oleh itu, dalam kes yang paling mudah, menyelesaikan keseluruhan persamaan dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan linear atau kuadratik, dan dalam kes umum, untuk menyelesaikan persamaan algebra darjah n. Untuk kejelasan, mari kita lihat penyelesaian kepada contoh.

Contoh.

Cari punca bagi keseluruhan persamaan 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Penyelesaian.

Mari kita kurangkan penyelesaian keseluruhan persamaan ini kepada penyelesaian persamaan algebra yang setara. Untuk melakukan ini, pertama sekali, kami memindahkan ungkapan dari sebelah kanan ke kiri, sebagai hasilnya kami tiba di persamaan 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Dan, kedua, kami mengubah ungkapan yang terbentuk di sebelah kiri menjadi polinomial bentuk standard dengan melengkapkan yang diperlukan: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Oleh itu, menyelesaikan persamaan integer asal dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan kuadratik x 2 −5·x−6=0.

Kami mengira diskriminasinya D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, ia adalah positif, yang bermaksud bahawa persamaan mempunyai dua punca nyata, yang kita dapati menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:

Untuk memastikan sepenuhnya, mari lakukannya memeriksa punca persamaan yang ditemui. Mula-mula kita periksa punca 6, gantikan bukan pembolehubah x dalam persamaan integer asal: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, yang sama, 63=63. Ini adalah persamaan berangka yang sah, oleh itu x=6 sememangnya punca persamaan. Sekarang kita semak akar −1, kita ada 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, dari mana, 0=0 . Apabila x=−1, persamaan asal juga bertukar menjadi kesamaan berangka yang betul, oleh itu, x=−1 juga merupakan punca persamaan.

Jawapan:

6 , −1 .

Di sini juga harus diperhatikan bahawa istilah "darjah keseluruhan persamaan" dikaitkan dengan perwakilan keseluruhan persamaan dalam bentuk persamaan algebra. Mari kita berikan definisi yang sepadan:

Definisi.

Kuasa keseluruhan persamaan dipanggil darjah persamaan algebra yang setara.

Mengikut definisi ini, keseluruhan persamaan daripada contoh sebelumnya mempunyai ijazah kedua.

Ini boleh menjadi penamat untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan rasional, jika bukan untuk satu perkara…. Seperti yang diketahui, menyelesaikan persamaan algebra darjah yang lebih tinggi daripada yang kedua dikaitkan dengan kesukaran yang ketara, dan untuk persamaan darjah yang lebih tinggi daripada yang keempat tidak ada formula am akar Oleh itu, untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan ketiga, keempat dan banyak lagi darjat tinggi Selalunya anda perlu menggunakan kaedah penyelesaian lain.

Dalam kes sedemikian, pendekatan untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan rasional berdasarkan kaedah pemfaktoran. Dalam kes ini, algoritma berikut dipatuhi:

  • pertama, mereka memastikan bahawa terdapat sifar di sebelah kanan persamaan, untuk melakukan ini, mereka memindahkan ungkapan dari sebelah kanan keseluruhan persamaan ke kiri;
  • maka, ungkapan yang terhasil di sebelah kiri dibentangkan sebagai hasil daripada beberapa faktor, yang membolehkan kita beralih kepada satu set beberapa persamaan yang lebih mudah.

Algoritma yang diberikan untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan melalui pemfaktoran memerlukan penjelasan terperinci menggunakan contoh.

Contoh.

Selesaikan keseluruhan persamaan (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Penyelesaian.

Pertama, seperti biasa, kami memindahkan ungkapan dari sebelah kanan ke sebelah kiri persamaan, tidak lupa untuk menukar tanda, kami mendapat (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Di sini agak jelas bahawa adalah tidak digalakkan untuk menukar sebelah kiri persamaan yang terhasil kepada polinomial bentuk piawai, kerana ini akan memberikan persamaan algebra bagi darjah keempat bentuk x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, penyelesaian yang sukar.

Sebaliknya, adalah jelas bahawa di sebelah kiri persamaan yang terhasil kita boleh x 2 −10 x+13 , dengan itu mengemukakannya sebagai hasil darab. Kami ada (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Persamaan yang terhasil adalah bersamaan dengan keseluruhan persamaan asal, dan ia, seterusnya, boleh digantikan dengan satu set dua persamaan kuadratik x 2 −10·x+13=0 dan x 2 −2·x−1=0. Mencari akarnya menggunakan formula akar yang diketahui melalui diskriminasi tidaklah sukar; akarnya adalah sama. Mereka adalah punca yang dikehendaki bagi persamaan asal.

Jawapan:

Juga berguna untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan rasional kaedah untuk memperkenalkan pembolehubah baru. Dalam sesetengah kes, ia membolehkan anda beralih ke persamaan yang darjahnya lebih rendah daripada darjah keseluruhan persamaan asal.

Contoh.

Cari punca sebenar bagi persamaan rasional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Penyelesaian.

Mengurangkan keseluruhan persamaan rasional ini kepada persamaan algebra adalah, secara sederhana, bukanlah idea yang sangat baik, kerana dalam kes ini kita akan sampai kepada keperluan untuk menyelesaikan persamaan darjah empat yang tidak mempunyai akar rasional. Oleh itu, anda perlu mencari penyelesaian lain.

Di sini adalah mudah untuk melihat bahawa anda boleh memperkenalkan pembolehubah baharu y dan menggantikan ungkapan x 2 +3·x dengannya. Penggantian ini membawa kita kepada keseluruhan persamaan (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , yang, selepas mengalihkan ungkapan −2·(y−4) ke sebelah kiri dan penjelmaan seterusnya bagi ungkapan tersebut terbentuk di sana, dikurangkan kepada persamaan kuadratik y 2 +4·y+3=0. Punca-punca persamaan y=−1 dan y=−3 ini mudah dicari, contohnya, ia boleh dipilih berdasarkan songsang teorem kepada teorem Vieta.

Sekarang kita beralih ke bahagian kedua kaedah memperkenalkan pembolehubah baru, iaitu, untuk melakukan penggantian terbalik. Selepas melakukan penggantian songsang, kita memperoleh dua persamaan x 2 +3 x=−1 dan x 2 +3 x=−3, yang boleh ditulis semula sebagai x 2 +3 x+1=0 dan x 2 +3 x+3 =0 . Menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, kita mencari punca-punca persamaan pertama. Dan yang kedua persamaan kuadratik tidak mempunyai punca sebenar, kerana diskriminasinya adalah negatif (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Jawapan:

Secara umum, apabila kita berurusan dengan keseluruhan persamaan darjah tinggi, kita mesti sentiasa bersedia untuk mencari kaedah bukan standard atau teknik buatan untuk menyelesaikannya.

Menyelesaikan persamaan rasional pecahan

Pertama, adalah berguna untuk memahami cara menyelesaikan persamaan rasional pecahan dalam bentuk , dengan p(x) dan q(x) ialah ungkapan rasional integer. Dan kemudian kami akan menunjukkan bagaimana untuk mengurangkan penyelesaian persamaan rasional pecahan lain kepada penyelesaian persamaan jenis yang ditunjukkan.

Satu pendekatan untuk menyelesaikan persamaan adalah berdasarkan pernyataan berikut: pecahan berangka u/v, di mana v ialah nombor bukan sifar (jika tidak, kita akan temui , yang tidak ditentukan), adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika pengangkanya ialah sama dengan sifar, maka ialah, jika dan hanya jika u=0 . Berdasarkan pernyataan ini, menyelesaikan persamaan dikurangkan kepada memenuhi dua syarat p(x)=0 dan q(x)≠0.

Kesimpulan ini sepadan dengan perkara berikut algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan. Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan bagi bentuk , anda perlukan

  • selesaikan keseluruhan persamaan rasional p(x)=0 ;
  • dan semak sama ada keadaan q(x)≠0 dipenuhi bagi setiap punca yang ditemui, manakala
    • jika benar, maka punca ini ialah punca bagi persamaan asal;
    • jika ia tidak berpuas hati, maka punca ini adalah luar, iaitu, ia bukan punca persamaan asal.

Mari lihat contoh penggunaan algoritma yang diumumkan semasa menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Contoh.

Cari punca-punca persamaan.

Penyelesaian.

Ini ialah persamaan rasional pecahan, dan dalam bentuk , di mana p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Menurut algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan jenis ini, kita perlu terlebih dahulu menyelesaikan persamaan 3 x−2=0. ini persamaan linear, yang puncanya ialah x=2/3.

Ia kekal untuk memeriksa punca ini, iaitu, semak sama ada ia memenuhi syarat 5 x 2 −2≠0. Kami menggantikan nombor 2/3 ke dalam ungkapan 5 x 2 −2 bukannya x, dan kami mendapat . Syarat dipenuhi, jadi x=2/3 ialah punca persamaan asal.

Jawapan:

2/3 .

Anda boleh mendekati penyelesaian persamaan rasional pecahan dari kedudukan yang sedikit berbeza. Persamaan ini bersamaan dengan persamaan integer p(x)=0 pada pembolehubah x persamaan asal. Iaitu, anda boleh berpegang pada ini algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan :

  • selesaikan persamaan p(x)=0 ;
  • cari ODZ bagi pembolehubah x;
  • berakar umbi kepunyaan kawasan tersebut nilai yang boleh diterima, - ia adalah punca yang dikehendaki bagi persamaan rasional pecahan asal.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma ini.

Contoh.

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian.

Mula-mula, kita selesaikan persamaan kuadratik x 2 −2·x−11=0. Akarnya boleh dikira menggunakan formula akar untuk pekali kedua genap, yang kita ada D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Dan .

Kedua, kita dapati ODZ bagi pembolehubah x untuk persamaan asal. Ia terdiri daripada semua nombor yang mana x 2 +3·x≠0, yang sama dengan x·(x+3)≠0, dari mana x≠0, x≠−3.

Ia kekal untuk memeriksa sama ada akar yang terdapat dalam langkah pertama dimasukkan ke dalam ODZ. Jelas sekali ya. Oleh itu, persamaan rasional pecahan asal mempunyai dua punca.

Jawapan:

Ambil perhatian bahawa pendekatan ini lebih menguntungkan daripada yang pertama jika ODZ mudah dicari, dan amat berfaedah jika punca-punca persamaan p(x) = 0 adalah tidak rasional, sebagai contoh, atau rasional, tetapi dengan pengangka yang agak besar dan /atau penyebut, sebagai contoh, 127/1101 dan −31/59. Ini disebabkan oleh fakta bahawa dalam kes sedemikian, menyemak keadaan q(x)≠0 akan memerlukan usaha pengiraan yang ketara, dan lebih mudah untuk mengecualikan punca luar menggunakan ODZ.

Dalam kes lain, apabila menyelesaikan persamaan, terutamanya apabila punca persamaan p(x) = 0 adalah integer, adalah lebih menguntungkan untuk menggunakan algoritma pertama yang diberikan. Iaitu, adalah dinasihatkan untuk segera mencari punca keseluruhan persamaan p(x)=0, dan kemudian semak sama ada keadaan q(x)≠0 berpuas hati untuknya, daripada mencari ODZ, dan kemudian menyelesaikan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini . Ini disebabkan oleh fakta bahawa dalam kes sedemikian biasanya lebih mudah untuk memeriksa daripada mencari DZ.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian dua contoh untuk menggambarkan nuansa yang ditentukan.

Contoh.

Cari punca-punca persamaan.

Penyelesaian.

Pertama, mari kita cari punca keseluruhan persamaan (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, digubah menggunakan pengangka pecahan. Bahagian kiri persamaan ini ialah hasil darab, dan bahagian kanan ialah sifar, oleh itu, mengikut kaedah penyelesaian persamaan melalui pemfaktoran, persamaan ini bersamaan dengan set empat persamaan 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tiga daripada persamaan ini adalah linear dan satu adalah kuadratik; kita boleh menyelesaikannya. Daripada persamaan pertama kita dapati x=1/2, daripada yang kedua - x=6, daripada yang ketiga - x=7, x=−2, daripada yang keempat - x=−1.

Dengan akar yang ditemui, agak mudah untuk memeriksa sama ada penyebut pecahan di sebelah kiri persamaan asal hilang, tetapi menentukan ODZ, sebaliknya, tidak begitu mudah, kerana untuk ini anda perlu menyelesaikan satu persamaan algebra darjah kelima. Oleh itu, kami akan meninggalkan mencari ODZ memihak kepada memeriksa akar. Untuk melakukan ini, kami menggantikannya satu demi satu dan bukannya pembolehubah x dalam ungkapan x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, diperoleh selepas penggantian, dan bandingkan dengan sifar: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Oleh itu, 1/2, 6 dan −2 ialah punca yang dikehendaki bagi persamaan rasional pecahan asal, dan 7 dan −1 ialah punca luar.

Jawapan:

1/2 , 6 , −2 .

Contoh.

Cari punca bagi persamaan rasional pecahan.

Penyelesaian.

Pertama, mari kita cari punca-punca persamaan (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Persamaan ini bersamaan dengan set dua persamaan: persegi 5 x 2 −7 x−1=0 dan linear x−2=0. Menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, kita dapati dua punca, dan daripada persamaan kedua kita mempunyai x=2.

Menyemak sama ada penyebut pergi ke sifar pada nilai x yang ditemui agak tidak menyenangkan. Dan menentukan julat nilai yang dibenarkan pembolehubah x dalam persamaan asal adalah agak mudah. Oleh itu, kami akan bertindak melalui ODZ.

Dalam kes kami, ODZ bagi pembolehubah x bagi persamaan rasional pecahan asal terdiri daripada semua nombor kecuali nombor yang syarat x 2 +5·x−14=0 dipenuhi. Punca-punca persamaan kuadratik ini ialah x=−7 dan x=2, dari mana kita membuat kesimpulan tentang ODZ: ia terdiri daripada semua x sehingga .

Ia kekal untuk menyemak sama ada punca yang ditemui dan x=2 tergolong dalam julat nilai yang boleh diterima. Akar-akar tergolong, oleh itu, ia adalah punca-punca persamaan asal, dan x=2 tidak tergolong, oleh itu, ia adalah punca luar.

Jawapan:

Ia juga berguna untuk membincangkan secara berasingan kes apabila dalam persamaan rasional pecahan dalam bentuk terdapat nombor dalam pengangka, iaitu, apabila p(x) diwakili oleh beberapa nombor. Di mana

  • jika nombor ini bukan sifar, maka persamaan itu tidak mempunyai punca, kerana pecahan sama dengan sifar jika dan hanya jika pengangkanya sama dengan sifar;
  • jika nombor ini sifar, maka punca persamaan ialah sebarang nombor daripada ODZ.

Contoh.

Penyelesaian.

Oleh kerana pengangka bagi pecahan di sebelah kiri persamaan mengandungi nombor bukan sifar, maka bagi mana-mana x nilai pecahan ini tidak boleh sama dengan sifar. Oleh itu, persamaan ini tidak mempunyai punca.

Jawapan:

tiada akar.

Contoh.

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian.

Pengangka bagi pecahan di sebelah kiri persamaan rasional pecahan ini mengandungi sifar, jadi nilai pecahan ini adalah sifar untuk mana-mana x yang mana ia masuk akal. Dalam erti kata lain, penyelesaian kepada persamaan ini ialah sebarang nilai x daripada ODZ pembolehubah ini.

Ia kekal untuk menentukan julat nilai yang boleh diterima ini. Ia termasuk semua nilai x yang mana x 4 +5 x 3 ≠0. Penyelesaian kepada persamaan x 4 +5 x 3 =0 ialah 0 dan −5, kerana persamaan ini bersamaan dengan persamaan x 3 (x+5)=0, dan ia pula bersamaan dengan gabungan dua persamaan x 3 =0 dan x +5=0, dari mana akar-akar ini kelihatan. Oleh itu, julat nilai yang boleh diterima yang dikehendaki ialah sebarang x kecuali x=0 dan x=−5.

Oleh itu, persamaan rasional pecahan mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, iaitu sebarang nombor kecuali sifar dan tolak lima.

Jawapan:

Akhir sekali, sudah tiba masanya untuk bercakap tentang menyelesaikan persamaan rasional pecahan bentuk arbitrari. Ia boleh ditulis sebagai r(x)=s(x), dengan r(x) dan s(x) ialah ungkapan rasional, dan sekurang-kurangnya satu daripadanya ialah pecahan. Memandang ke hadapan, katakan penyelesaian mereka datang kepada menyelesaikan persamaan bentuk yang sudah biasa kepada kita.

Adalah diketahui bahawa memindahkan sebutan dari satu bahagian persamaan ke bahagian lain dengan tanda bertentangan membawa kepada persamaan yang setara, oleh itu persamaan r(x)=s(x) adalah bersamaan dengan persamaan r(x)−s(x) )=0.

Kami juga tahu bahawa mana-mana , yang sama dengan ungkapan ini, adalah mungkin. Oleh itu, kita sentiasa boleh mengubah ungkapan rasional di sebelah kiri persamaan r(x)−s(x)=0 menjadi pecahan rasional yang sama dengan bentuk .

Jadi kita beralih daripada persamaan rasional pecahan asal r(x)=s(x) kepada persamaan, dan penyelesaiannya, seperti yang kita dapati di atas, berkurangan kepada menyelesaikan persamaan p(x)=0.

Tetapi di sini adalah perlu untuk mengambil kira fakta bahawa apabila menggantikan r(x)−s(x)=0 dengan , dan kemudian dengan p(x)=0, julat nilai yang dibenarkan pembolehubah x boleh berkembang .

Akibatnya, persamaan asal r(x)=s(x) dan persamaan p(x)=0 yang kita perolehi mungkin berubah menjadi tidak sama, dan dengan menyelesaikan persamaan p(x)=0, kita boleh mendapatkan punca. itu akan menjadi punca luar bagi persamaan asal r(x)=s(x) . Anda boleh mengenal pasti dan tidak memasukkan punca luar dalam jawapan sama ada dengan melakukan semakan atau dengan menyemak bahawa ia tergolong dalam ODZ persamaan asal.

Mari kita ringkaskan maklumat ini dalam algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x). Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x) , anda perlukan

  • Dapatkan sifar di sebelah kanan dengan menggerakkan ungkapan dari sebelah kanan dengan tanda yang bertentangan.
  • Lakukan operasi dengan pecahan dan polinomial di sebelah kiri persamaan, dengan itu mengubahnya menjadi pecahan rasional bagi bentuk.
  • Selesaikan persamaan p(x)=0.
  • Kenal pasti dan hapuskan punca luar, yang dilakukan dengan menggantikannya ke dalam persamaan asal atau dengan memeriksa kepunyaannya dalam ODZ persamaan asal.

Untuk lebih jelas, kami akan menunjukkan keseluruhan rantaian menyelesaikan persamaan rasional pecahan:
.

Mari kita lihat penyelesaian kepada beberapa contoh dengan penerangan terperinci kemajuan penyelesaian untuk menjelaskan blok maklumat yang diberikan.

Contoh.

Selesaikan persamaan rasional pecahan.

Penyelesaian.

Kami akan bertindak mengikut algoritma penyelesaian yang baru diperolehi. Dan mula-mula kita memindahkan istilah dari sebelah kanan persamaan ke kiri, sebagai hasilnya kita beralih ke persamaan.

Dalam langkah kedua, kita perlu menukar ungkapan rasional pecahan di sebelah kiri persamaan yang terhasil kepada bentuk pecahan. Untuk melakukan ini, kami mengurangkan pecahan rasional kepada penyebut biasa dan memudahkan ungkapan yang terhasil: . Jadi kita datang ke persamaan.

Dalam langkah seterusnya, kita perlu menyelesaikan persamaan −2·x−1=0. Kami dapati x=−1/2.

Ia kekal untuk memeriksa sama ada nombor yang ditemui −1/2 bukan punca luar bagi persamaan asal. Untuk melakukan ini, anda boleh menyemak atau mencari VA bagi pembolehubah x persamaan asal. Mari kita tunjukkan kedua-dua pendekatan.

Mari kita mulakan dengan menyemak. Kami menggantikan nombor −1/2 ke dalam persamaan asal dan bukannya pembolehubah x, dan kami mendapat perkara yang sama, −1=−1. Penggantian memberikan kesamaan berangka yang betul, jadi x=−1/2 ialah punca persamaan asal.

Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana titik terakhir algoritma dilakukan melalui ODZ. Julat nilai yang dibenarkan bagi persamaan asal ialah set semua nombor kecuali −1 dan 0 (pada x=−1 dan x=0 penyebut pecahan lenyap). Punca x=−1/2 yang terdapat dalam langkah sebelumnya tergolong dalam ODZ, oleh itu, x=−1/2 ialah punca bagi persamaan asal.

Jawapan:

−1/2 .

Mari kita lihat contoh lain.

Contoh.

Cari punca-punca persamaan.

Penyelesaian.

Kita perlu menyelesaikan persamaan rasional pecahan, mari kita melalui semua langkah algoritma.

Mula-mula, kita alihkan istilah dari sebelah kanan ke kiri, kita dapat .

Kedua, kami mengubah ungkapan yang terbentuk di sebelah kiri: . Akibatnya, kita sampai pada persamaan x=0.

Akarnya jelas - ia adalah sifar.

Pada langkah keempat, ia kekal untuk mengetahui sama ada punca yang ditemui adalah luar daripada persamaan rasional pecahan asal. Apabila ia digantikan ke dalam persamaan asal, ungkapan itu diperolehi. Jelas sekali, ia tidak masuk akal kerana ia mengandungi pembahagian dengan sifar. Dari mana kita membuat kesimpulan bahawa 0 ialah punca luar. Oleh itu, persamaan asal tidak mempunyai punca.

7, yang membawa kepada Persamaan. Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa ungkapan dalam penyebut bahagian kiri mestilah sama dengan bahagian kanan, iaitu, . Sekarang kita tolak daripada kedua-dua belah tiga: . Dengan analogi, dari mana, dan seterusnya.

Semakan menunjukkan bahawa kedua-dua punca yang ditemui adalah punca bagi persamaan rasional pecahan asal.

Jawapan:

Bibliografi.

  • Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A. G. Algebra. Gred 8. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan/ A. G. Mordkovich. - ed. ke-11, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Algebra: darjah 9: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.

T. Kosyakova,
Sekolah No. 80, Krasnodar

Penyelesaian segi empat sama dan persamaan rasional pecahan mengandungi parameter

Pelajaran 4

Topik pelajaran:

Tujuan pelajaran: membangunkan keupayaan untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang mengandungi parameter.

Jenis pelajaran: pengenalan bahan baru.

1. (Secara lisan) Selesaikan persamaan:

Contoh 1. Selesaikan persamaan

Penyelesaian.

Mari cari nilai yang tidak sah a:

Jawab. Jika Jika a = – 19 , maka tiada akar.

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Penyelesaian.

Mari cari nilai parameter yang tidak sah a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Jawab. Jika a = 5 a № 5 , Itu x=10– a .

Contoh 3. Pada nilai parameter apa b persamaan Ia ada:

a) dua akar; b) satu-satunya akar?

Penyelesaian.

1) Cari nilai parameter tidak sah b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 atau b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 atau b = – 2.

2) Selesaikan persamaan x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

A)

Tidak termasuk nilai parameter tidak sah b , kita dapati bahawa persamaan mempunyai dua punca jika b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, tetapi ini ialah nilai parameter yang tidak sah b ; Jika b 2 –1=0 , iaitu b=1 atau.

Jawapan: a) jika b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , kemudian dua akar; b) jika b=1 atau b=–1 , maka satu-satunya akar.

Kerja bebas

Pilihan 1

Selesaikan persamaan:

Pilihan 2

Selesaikan persamaan:

Jawapan

DALAM 1. dan jika a=3 , maka tiada akar; Jika b) jika jika a № 2 , maka tiada akar.

PADA 2. Jika a=2 , maka tiada akar; Jika a=0 , maka tiada akar; Jika
b) jika a=– 1 , maka persamaan menjadi tidak bermakna; jika tiada akar;
Jika

Kerja rumah.

Selesaikan persamaan:

Jawapan: a) Jika a № –2 , Itu x= a ; Jika a=–2 , maka tiada penyelesaian; b) jika a № –2 , Itu x=2; Jika a=–2 , maka tiada penyelesaian; c) jika a=–2 , Itu x– sebarang nombor kecuali 3 ; Jika a № –2 , Itu x=2; d) jika a=–8 , maka tiada akar; Jika a=2 , maka tiada akar; Jika

Pelajaran 5

Topik pelajaran:"Menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang mengandungi parameter."

Objektif pelajaran:

latihan dalam menyelesaikan persamaan dengan keadaan bukan piawai;
asimilasi sedar oleh pelajar tentang konsep algebra dan perkaitan antara mereka.

Jenis pelajaran: sistematisasi dan generalisasi.

Menyemak kerja rumah.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

a) relatif kepada x; b) relatif kepada y.

Penyelesaian.

a) Cari nilai yang tidak sah y: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y,

y=0– nilai parameter tidak sah y.

Jika y№ 0 , Itu x=y–2; Jika y=0, maka persamaan menjadi tidak bermakna.

b) Cari nilai parameter tidak sah x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– nilai parameter tidak sah x; y(2+x–y)=0, y=0 atau y=2+x;

y=0 tidak memenuhi syarat y(y–x)№ 0 .

Jawapan: a) jika y=0, maka persamaan menjadi tidak bermakna; Jika y№ 0 , Itu x=y–2; b) jika x=0 x№ 0 , Itu y=2+x .

Contoh 2. Untuk apakah nilai integer parameter a adalah punca persamaan tergolong dalam selang

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Jika a № 0 atau a № – 1 , Itu

Jawapan: 5 .

Contoh 3. Cari secara relatif x penyelesaian integer kepada persamaan

Jawab. Jika y=0, maka persamaan itu tidak masuk akal; Jika y=–1, Itu x– sebarang integer kecuali sifar; Jika y№ 0, y№ – 1, maka tiada penyelesaian.

Contoh 4. Selesaikan persamaan dengan parameter a Dan b .

Jika a№ –b , Itu

Jawab. Jika a= 0 atau b= 0 , maka persamaan menjadi tidak bermakna; Jika a№ 0, b№ 0, a=–b , Itu x– sebarang nombor kecuali sifar; Jika a№ 0, b№ 0, a№ –b, Itu x=–a, x=–b .

Contoh 5. Buktikan bahawa untuk sebarang nilai parameter n selain sifar, persamaan mempunyai satu punca sama dengan – n .

Penyelesaian.

i.e. x=–n, itulah yang perlu dibuktikan.

Kerja rumah.

1. Cari penyelesaian integer kepada persamaan

2. Apakah nilai parameter c persamaan Ia ada:
a) dua akar; b) satu-satunya akar?

3. Cari semua punca integer bagi persamaan Jika a TENTANG N .

4. Selesaikan persamaan 3xy – 5x + 5y = 7: a) secara relatif y; b) secara relatif x .

1. Persamaan dipenuhi oleh sebarang nilai integer sama x dan y selain daripada sifar.
2. a) Bila
b) pada atau
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Jika kemudian tidak ada akar; Jika
b) jika kemudian tidak ada akar; Jika

Ujian

Pilihan 1

1. Tentukan jenis persamaan 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 bila: a) c=–3; b) c=2 ; V) c=4 .

2. Selesaikan persamaan: a) x 2 –bx=0 ; b) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Selesaikan persamaan 3x–xy–2y=1:

a) secara relatif x ;
b) secara relatif y .

nx 2 – 26x + n = 0, mengetahui bahawa parameter n hanya menerima nilai integer.

5. Untuk nilai b apakah persamaan itu Ia ada:

a) dua akar;
b) satu-satunya akar?

Pilihan 2

1. Tentukan jenis persamaan 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 bila: a) c=–4 ; b) c=7 ; V) c=1 .

2. Selesaikan persamaan: a) y 2 +cy=0 ; b) ny 2 –8y+2=0 ; V)

3. Selesaikan persamaan 6x–xy+2y=5:

a) secara relatif x ;
b) secara relatif y .

4. Cari punca integer bagi persamaan nx 2 –22x+2n=0 , mengetahui bahawa parameter n hanya menerima nilai integer.

5. Untuk apakah nilai parameter a melakukan persamaan Ia ada:

a) dua akar;
b) satu-satunya akar?

Jawapan

DALAM 1. 1. a) Persamaan linear;
b) persamaan kuadratik tidak lengkap; c) persamaan kuadratik.
2. a) Jika b=0, Itu x=0; Jika b№ 0, Itu x=0, x=b;
b) Jika cО (9;+Ґ ), maka tiada akar;
c) jika a=–4 , maka persamaan menjadi tidak bermakna; Jika a№ –4 , Itu x=– a .
3. a) Jika y=3, maka tiada akar; Jika);
b) a=–3, a=1.

Tugas tambahan

Selesaikan persamaan:

kesusasteraan

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Mengenai parameter dari awal lagi. – Tutor, Bil. 2/1991, hlm. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Syarat yang perlu dalam masalah dengan parameter. – Kvant, No. 11/1991, hlm. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. Penyelesaian masalah mengandungi parameter. Bahagian 2. – M., Perspektif, 1990, hlm. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Lima ratus empat belas masalah dengan parameter. – Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Masalah dengan parameter. – M., Pendidikan, 1986.

Persamaan dengan pecahan itu sendiri tidak sukar dan sangat menarik. Mari kita lihat jenis-jenis persamaan pecahan dan cara menyelesaikannya.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan pecahan - x dalam pengangka

Jika persamaan pecahan diberikan, di mana yang tidak diketahui berada dalam pengangka, penyelesaiannya tidak memerlukan syarat tambahan dan diselesaikan tanpa kerumitan yang tidak perlu. Borang am persamaan tersebut ialah x/a + b = c, di mana x ialah yang tidak diketahui, a, b dan c ialah nombor biasa.

Cari x: x/5 + 10 = 70.

Untuk menyelesaikan persamaan, anda perlu menyingkirkan pecahan. Darabkan setiap sebutan dalam persamaan dengan 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x dan 5 dibatalkan, 10 dan 70 didarab dengan 5 dan kita dapat: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Cari x: x/5 + x/10 = 90.

Contoh ini ialah versi yang lebih rumit daripada yang pertama. Terdapat dua penyelesaian yang mungkin di sini.

  • Pilihan 1: Kita menyingkirkan pecahan dengan mendarab semua sebutan persamaan dengan penyebut yang lebih besar, iaitu, dengan 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
  • Pilihan 2: Tambahkan bahagian kiri persamaan. x/5 + x/10 = 90. Penyebut sepunya ialah 10. Bahagi 10 dengan 5, darab dengan x, kita dapat 2x. Bahagi 10 dengan 10, darab dengan x, kita dapat x: 2x+x/10 = 90. Oleh itu 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.


Sering dijumpai persamaan pecahan, di mana X terletak di sisi yang berbeza tanda sama. Dalam situasi sedemikian, adalah perlu untuk memindahkan semua pecahan dengan X ke satu sisi, dan nombor ke sisi yang lain.

  • Cari x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
  • Gerakkan 2x/5 ke kanan dengan tanda bertentangan: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
  • Kami mengurangkan 5x/5 dan mendapat: x = 130.


Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan pecahan - x dalam penyebut

Persamaan pecahan jenis ini memerlukan penulisan syarat tambahan. Petunjuk syarat-syarat ini adalah bahagian wajib dan penting keputusan yang betul. Dengan tidak menambahnya, anda menghadapi risiko, kerana jawapan (walaupun betul) mungkin tidak dikira.

Bentuk umum persamaan pecahan, di mana x berada dalam penyebut, ialah: a/x + b = c, di mana x ialah yang tidak diketahui, a, b, c ialah nombor biasa. Sila ambil perhatian bahawa x mungkin bukan sebarang nombor. Sebagai contoh, x tidak boleh sama dengan sifar, kerana ia tidak boleh dibahagikan dengan 0. Ini adalah syarat tambahan yang mesti kami nyatakan. Ini dipanggil julat nilai yang dibenarkan, disingkatkan sebagai VA.

Cari x: 15/x + 18 = 21.

Kami segera menulis ODZ untuk x: x ≠ 0. Sekarang ODZ ditunjukkan, kami menyelesaikan persamaan mengikut skema piawai, menyingkirkan pecahan. Darab semua sebutan persamaan dengan x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.


Selalunya terdapat persamaan di mana penyebut mengandungi bukan sahaja x, tetapi juga beberapa operasi lain dengannya, sebagai contoh, penambahan atau penolakan.

Cari x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Kita sudah tahu bahawa penyebut tidak boleh sama dengan sifar, yang bermaksud x-3 ≠ 0. Kami bergerak -3 ke sebelah kanan, menukar tanda "-" kepada "+" dan kami mendapat bahawa x ≠ 3. ODZ ialah ditunjukkan.

Kami menyelesaikan persamaan, darabkan semuanya dengan x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Gerakkan X ke kanan, nombor ke kiri: 24 = 3x => x = 8.


Persamaan pecahan. ODZ.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Kami terus menguasai persamaan. Kita sudah tahu bagaimana untuk bekerja dengan persamaan linear dan kuadratik. Kekal pandangan terakhir – persamaan pecahan. Atau mereka juga dipanggil lebih terhormat - persamaan rasional pecahan. Ia adalah sama.

Persamaan pecahan.

Seperti namanya, persamaan ini semestinya mengandungi pecahan. Tetapi bukan hanya pecahan, tetapi pecahan yang mempunyai tidak diketahui dalam penyebut. Sekurang-kurangnya dalam satu. Sebagai contoh:

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa jika penyebutnya sahaja nombor, ini adalah persamaan linear.

Bagaimana untuk membuat keputusan persamaan pecahan? Pertama sekali, buang pecahan! Selepas ini, persamaan paling kerap bertukar menjadi linear atau kuadratik. Dan kemudian kita tahu apa yang perlu dilakukan... Dalam sesetengah kes, ia boleh bertukar menjadi identiti, seperti 5=5 atau ungkapan yang salah, seperti 7=2. Tetapi ini jarang berlaku. Saya akan sebutkan ini di bawah.

Tetapi bagaimana untuk menghilangkan pecahan!? Sangat ringkas. Mengaplikasikan transformasi yang sama.

Kita perlu mendarabkan keseluruhan persamaan dengan ungkapan yang sama. Supaya semua penyebut dikurangkan! Segala-galanya akan segera menjadi lebih mudah. Biar saya terangkan dengan contoh. Mari kita perlu menyelesaikan persamaan:

Bagaimana anda diajar di sekolah rendah? Kami memindahkan segala-galanya ke satu pihak, membawanya ke penyebut yang sama, dsb. Lupakan ia seperti mimpi buruk! Inilah yang perlu anda lakukan apabila anda menambah atau menolak pecahan. Atau anda bekerja dengan ketidaksamaan. Dan dalam persamaan, kita serta-merta mendarab kedua-dua belah dengan ungkapan yang akan memberi kita peluang untuk mengurangkan semua penyebut (iaitu, pada dasarnya, dengan penyebut biasa). Dan apakah ungkapan ini?

Di sebelah kiri, mengurangkan penyebut memerlukan pendaraban dengan x+2. Dan di sebelah kanan, pendaraban dengan 2 diperlukan. Ini bermakna persamaan mesti didarab dengan 2(x+2). darab:

Ini ialah pendaraban biasa bagi pecahan, tetapi saya akan menerangkannya secara terperinci:

Sila ambil perhatian bahawa saya tidak membuka kurungan lagi (x + 2)! Jadi, secara keseluruhannya, saya menulisnya:

Di sebelah kiri ia menguncup sepenuhnya (x+2), dan di sebelah kanan 2. Manakah yang diperlukan! Selepas pengurangan kita dapat linear persamaan:

Dan semua orang boleh menyelesaikan persamaan ini! x = 2.

Mari kita selesaikan contoh lain, sedikit lebih rumit:

Jika kita ingat bahawa 3 = 3/1, dan 2x = 2x/ 1, kita boleh menulis:

Dan sekali lagi kita menyingkirkan perkara yang kita tidak suka - pecahan.

Kita melihat bahawa untuk mengurangkan penyebut dengan X, kita perlu mendarab pecahan dengan (x – 2). Dan segelintir bukan penghalang kepada kami. Baik, mari kita membiak. Semua sebelah kiri dan semua sebelah kanan:

Tanda kurung lagi (x – 2) Saya tidak mendedahkan. Saya bekerja dengan kurungan secara keseluruhan seolah-olah ia adalah satu nombor! Ini mesti sentiasa dilakukan, jika tidak, tiada apa yang akan dikurangkan.

Dengan perasaan kepuasan yang mendalam kami mengurangkan (x – 2) dan kita mendapat persamaan tanpa sebarang pecahan, dengan pembaris!

Sekarang mari buka kurungan:

Kami membawa yang serupa, alihkan semuanya ke sebelah kiri dan dapatkan:

Tetapi sebelum itu kita akan belajar untuk menyelesaikan masalah lain. Atas minat. Itu adalah garu, dengan cara itu!

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Menyelesaikan persamaan rasional pecahan

Panduan Rujukan

Persamaan rasional adalah persamaan di mana kedua-dua belah kiri dan kanan adalah ungkapan rasional.

(Ingat: ungkapan rasional ialah ungkapan integer dan pecahan tanpa radikal, termasuk operasi tambah, tolak, darab atau bahagi - contohnya: 6x; (m – n)2; x/3y, dsb.)

Persamaan rasional pecahan biasanya dikurangkan kepada bentuk:

di mana P(x) Dan Q(x) ialah polinomial.

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, darabkan kedua-dua belah persamaan dengan Q(x), yang boleh membawa kepada kemunculan punca luar. Oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan rasional pecahan, adalah perlu untuk menyemak punca yang ditemui.

Persamaan rasional dipanggil keseluruhan, atau algebra, jika ia tidak dibahagikan dengan ungkapan yang mengandungi pembolehubah.

Contoh persamaan rasional keseluruhan:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Jika dalam persamaan rasional terdapat pembahagian dengan ungkapan yang mengandungi pembolehubah (x), maka persamaan itu dipanggil rasional pecahan.

Contoh persamaan rasional pecahan:

15
x + - = 5x – 17
x

Persamaan rasional pecahan biasanya diselesaikan seperti berikut:

1) cari penyebut sepunya bagi pecahan dan darab kedua-dua belah persamaan dengannya;

2) selesaikan persamaan keseluruhan yang terhasil;

3) kecualikan daripada akarnya yang mengurangkan penyebut sepunya pecahan kepada sifar.

Contoh penyelesaian integer dan persamaan rasional pecahan.

Contoh 1. Mari kita selesaikan keseluruhan persamaan

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Penyelesaian:

Mencari penyebut biasa terendah. Ini ialah 6. Bahagi 6 dengan penyebut dan darab hasil yang terhasil dengan pengangka setiap pecahan. Kami memperoleh persamaan yang setara dengan ini:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Oleh kerana bahagian kiri dan kanan mempunyai penyebut yang sama, ia boleh diabaikan. Kemudian kita mendapat persamaan yang lebih mudah:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Kami menyelesaikannya dengan membuka kurungan dan menggabungkan istilah yang serupa:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Contoh diselesaikan.

Contoh 2. Selesaikan persamaan rasional pecahan

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Mencari penyebut biasa. Ini ialah x(x – 5). Jadi:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Sekarang kita menyingkirkan penyebut sekali lagi, kerana ia adalah sama untuk semua ungkapan. Kami mengurangkan sebutan yang serupa, menyamakan persamaan dengan sifar dan mendapatkan persamaan kuadratik:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Setelah menyelesaikan persamaan kuadratik, kita dapati puncanya: –2 dan 5.

Mari kita semak sama ada nombor ini adalah punca kepada persamaan asal.

Pada x = –2, penyebut sepunya x(x – 5) tidak lenyap. Ini bermakna –2 ialah punca bagi persamaan asal.

Pada x = 5, penyebut sepunya menjadi sifar, dan dua daripada tiga ungkapan menjadi tidak bermakna. Ini bermakna nombor 5 bukan punca persamaan asal.

Jawapan: x = –2

Lebih banyak contoh

Contoh 1.

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

Jawapan: -2,2;6.

Contoh 2.