Temel logaritmik özdeşlik nasıl okunur? Logaritmanın temel özellikleri

Duvar kağıdı
27.09.2019

Bir sayının logaritması N dayalı A üs denir X oluşturmanız gereken A numarayı almak için N

Şartıyla
,
,

Logaritmanın tanımından şu sonuç çıkıyor
, yani
- bu eşitlik temel logaritmik özdeşliktir.

10 tabanına göre logaritmalara ondalık logaritma denir. Yerine
yazmak
.

Tabana göre logaritmalar e doğal olarak adlandırılır ve belirlenir
.

Logaritmanın temel özellikleri.

    Birin logaritması herhangi bir taban için sıfıra eşittir.

    Ürünün logaritması toplamına eşit Faktörlerin logaritmaları.

3) Bölümün logaritması logaritmaların farkına eşittir


Faktör
logaritmalardan tabana geçiş modülü denir A tabandaki logaritmalara B .

2-5 arasındaki özellikleri kullanarak, karmaşık bir ifadenin logaritmasını basit olanların sonucuna indirmek genellikle mümkündür. aritmetik işlemler logaritmalar üzerinden.

Örneğin,

Bir logaritmanın bu tür dönüşümlerine logaritma denir. Logaritmanın tersi olan dönüşümlere potansiyasyon denir.

Bölüm 2. Yüksek matematiğin unsurları.

1. Sınırlar

Fonksiyonun sınırı
sonlu bir sayıdır A eğer xx 0 önceden belirlenmiş her biri için
öyle bir sayı var ki
en kısa sürede
, O
.

Limiti olan bir fonksiyon ondan sonsuz küçük bir miktarda farklılık gösterir:
, nerede- b.m.v., yani.
.

Örnek. İşlevi düşünün
.

Çabalarken
, işlev sen sıfıra doğru eğilim gösterir:

1.1. Limitlerle ilgili temel teoremler.

    Sabit bir değerin limiti bu sabit değere eşittir

.

    Sonlu sayıda fonksiyonun toplamının (farkının) limiti, bu fonksiyonların limitlerinin toplamına (farkına) eşittir.

    Sonlu sayıda fonksiyonun çarpımının limiti, bu fonksiyonların limitlerinin çarpımına eşittir.

    Paydanın limiti sıfır değilse, iki fonksiyonun bölümünün limiti, bu fonksiyonların limitlerinin bölümüne eşittir.

Harika Sınırlar

,
, Nerede

1.2. Limit Hesaplama Örnekleri

Ancak tüm limitler bu kadar kolay hesaplanmıyor. Çoğu zaman, limitin hesaplanması şu türden bir belirsizliğin ortaya çıkarılmasına indirgenir: veya .

.

2. Bir fonksiyonun türevi

Bir fonksiyonumuz olsun
, segmentte sürekli
.

Argüman biraz artış var
. Daha sonra fonksiyon bir artış alacaktır
.

Bağımsız değişken değeri fonksiyon değerine karşılık gelir
.

Bağımsız değişken değeri
fonksiyon değerine karşılık gelir.

Buradan, .

Bu oranın limitini bulalım.
. Eğer bu limit mevcutsa buna verilen fonksiyonun türevi denir.

Tanım 3 Verilen bir fonksiyonun türevi
argümanla argümanın artışı keyfi olarak sıfıra yaklaştığında, bir fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir.

Bir fonksiyonun türevi
aşağıdaki gibi belirlenebilir:

; ; ; .

Tanım 4Bir fonksiyonun türevini bulma işlemine denir farklılaşma.

2.1. Türevin mekanik anlamı.

Katı bir cismin ya da maddesel bir noktanın doğrusal hareketini ele alalım.

Zamanın bir noktasında izin ver hareket noktası
uzaktaydı başlangıç ​​pozisyonundan
.

Bir süre sonra
mesafe kat etti
. Davranış =- ortalama hız maddi nokta
. Bunu dikkate alarak bu oranın limitini bulalım.
.

Sonuç olarak, maddi bir noktanın anlık hareket hızının belirlenmesi, yolun zamana göre türevinin bulunmasına indirgenir.

2.2. Türevin geometrik değeri

Grafiksel olarak tanımlanmış bir fonksiyonumuz olsun
.

Pirinç. 1. Türevin geometrik anlamı

Eğer
, sonra işaret et
, noktaya yaklaşarak eğri boyunca hareket edecek
.

Buradan
, yani argümanın belirli bir değeri için türevin değeri Belirli bir noktada tanjantın eksenin pozitif yönü ile oluşturduğu açının tanjantına sayısal olarak eşittir
.

2.3. Temel farklılaşma formülleri tablosu.

Güç fonksiyonu

Üstel fonksiyon

Logaritmik fonksiyon

Trigonometrik fonksiyon

Tersi trigonometrik fonksiyon

2.4. Farklılaşma kuralları.

Türevi

Fonksiyonların toplamının (farkının) türevi


İki fonksiyonun çarpımının türevi


İki fonksiyonun bölümünün türevi


2.5. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Fonksiyon verilsin
şeklinde temsil edilebilecek şekilde

Ve
değişken burada o zaman bir ara argümandır

Karmaşık bir fonksiyonun türevi, verilen fonksiyonun ara argümana göre türevi ile ara argümanın x'e göre türevinin çarpımına eşittir.

Örnek 1.

Örnek 2.

3. Diferansiyel fonksiyon.

Olsun
belirli bir aralıkta türevlenebilir
ve izin ver en bu fonksiyonun bir türevi var

,

o zaman yazabiliriz

(1),

Nerede - sonsuz küçük bir miktar,

ne zamandan beri

Tüm eşitlik koşullarını (1) ile çarpmak
sahibiz:

Nerede
- b.m.v. daha yüksek sipariş.

Büyüklük
fonksiyonun diferansiyeli denir
ve belirlenmiş

.

3.1. Diferansiyelin geometrik değeri.

Fonksiyon verilsin
.

Şekil 2. Diferansiyelin geometrik anlamı.

.

Açıkçası, fonksiyonun diferansiyeli
belirli bir noktadaki teğetin koordinatındaki artışa eşittir.

3.2. Çeşitli mertebelerden türevler ve diferansiyeller.

eğer varsa
, Daha sonra
birinci türev denir.

Birinci türevin türevine ikinci dereceden türev denir ve şöyle yazılır:
.

Fonksiyonun n'inci dereceden türevi
(n-1)'inci dereceden türev olarak adlandırılır ve şöyle yazılır:

.

Bir fonksiyonun diferansiyelinin diferansiyeline ikinci diferansiyel veya ikinci derece diferansiyel denir.

.

.

3.3 Biyolojik problemlerin farklılaşmayı kullanarak çözülmesi.

Görev 1. Çalışmalar, bir mikroorganizma kolonisinin büyümesinin yasalara uygun olduğunu göstermiştir.
, Nerede N – mikroorganizmaların sayısı (bin olarak), T – zaman (günler).

b) Bu dönemde koloninin nüfusu artacak mı yoksa azalacak mı?

Cevap. Koloninin boyutu artacaktır.

Görev 2. Göldeki su, patojen bakterilerin içeriğini izlemek için periyodik olarak test edilir. Başından sonuna kadar T testten sonraki günler, bakteri konsantrasyonu orana göre belirlenir

.

Gölde ne zaman minimum bakteri konsantrasyonu olacak ve içinde yüzmek mümkün olacak mı?

Çözüm: Bir fonksiyon, türevi sıfır olduğunda maksimum veya minimuma ulaşır.

,

Maksimum veya minimumun 6 gün sonra olacağını belirleyelim. Bunu yapmak için ikinci türevi alalım.


Cevap: 6 gün sonra minimum bakteri konsantrasyonu olacaktır.

Talimatlar

Verilen logaritmik ifadeyi yazınız. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritmadır. Logaritmanın temelinde e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.

İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";

İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;

İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Eğer verilirse karmaşık fonksiyon, o zaman iç fonksiyonun türevi ile dış fonksiyonun türevini çarpmak gerekir. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.

Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevin hesaplanmasıyla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Belirli bir y"(1)=8*e^0=8 noktasında fonksiyonun değerini hesaplayın

Konuyla ilgili video

Faydalı tavsiyeler

Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman tasarrufu sağlayacaktır.

Kaynaklar:

  • bir sabitin türevi

Peki fark nedir? IR rasyonel denklem rasyonelden mi? Bilinmeyen değişken işaretin altındaysa karekök ise denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.

Talimatlar

Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alarak 2x-5=4x-7 elde edersiniz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir koyarsak sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alır. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle bu denklemin kökleri yoktur.

Yani irrasyonel bir denklem her iki tarafının karesi alma yöntemi kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.

Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler Karekökü olmayan , sağ tarafa ve ardından kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani olağan ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; birinciden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.

Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için, belirlenen hedefe ulaşılıncaya kadar aynı dönüşümlerin gerçekleştirilmesi gerekir. Böylece basit aritmetik işlemlerin yardımıyla eldeki görev çözülecektir.

İhtiyacın olacak

  • - kağıt;
  • - dolma kalem.

Talimatlar

Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca çok sayıda var ve trigonometrik formüller Bunlar aslında aynı kimliklerdir.

Nitekim iki terimin toplamının karesi, birincinin karesi artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesine eşittir, yani (a+b)^2= (a+) b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Her ikisini de basitleştirin

Çözümün genel ilkeleri

Ders kitabını matematiksel analizle ilgili tekrarlayın veya yüksek matematik belirli bir integraldir. Bilindiği gibi belirli bir integralin çözümü, türevi bir integral verecek olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyona antiderivatif denir. Bu prensibe dayanarak ana integraller inşa edilir.
İntegral formuna göre tablo integrallerinden hangisinin uyduğunu belirleyin bu durumda. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman tablo biçimi ancak integrandın basitleştirilmesi için yapılan birkaç dönüşümden sonra fark edilebilir hale gelir.

Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegral, argümanı bir polinom olan trigonometrik bir fonksiyonsa, değişkenlerin değişimi yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için integralin argümanındaki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişkenler arasındaki ilişkiye dayanarak entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Bu ifadenin türevini alarak yeni diferansiyeli bulun. Yani alacaksın yeni görünümönceki integralin herhangi bir tablodaki integrale yakın veya hatta karşılık gelen.

İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi

İntegral ikinci türden bir integral ise, integralin vektör biçimi ise, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçiş için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural Ostrogradsky-Gauss ilişkisidir. Bu yasa, belirli bir vektör fonksiyonunun rotor akısından, belirli bir vektör alanının diverjansı üzerinden üçlü integrale geçmemize izin verir.

Entegrasyon sınırlarının değiştirilmesi

Antiderivatifi bulduktan sonra integralin limitlerini yerine koymak gerekir. İlk olarak, üst limitin değerini ters türev ifadesinde değiştirin. Bir numara alacaksınız. Daha sonra, elde edilen sayıdan alt limitten elde edilen başka bir sayıyı antiderivatife çıkarın. İntegral limitlerinden biri sonsuzluk ise, o zaman onu yerine koyarken antiderivatif fonksiyon sınıra gitmek ve ifadenin neyi hedeflediğini bulmak gerekiyor.
İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl değerlendirileceğini anlamak için integralin sınırlarını geometrik olarak temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral durumunda, integralin sınırları, entegre edilen hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.

Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimet tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Logaritmanın daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemini basit toplama yoluyla basitleştirmenin gerekli olduğu hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.

Matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) “b”nin “a” tabanına göre logaritması, “c” kuvveti olarak kabul edilir. ” sonuçta "b" değerini elde etmek için "a" tabanını yükseltmek gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.

Logaritma türleri

Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç ayrı logaritmik ifade türü vardır:

  1. Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
  2. Tabanı 10 olan ondalık a.
  3. Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Her birine karar verildi standart bir şekilde Logaritmik teoremleri kullanarak basitleştirmeyi, indirgemeyi ve ardından bir logaritmaya indirgemeyi içerir. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamanız gerekir.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi negatif sayıların çift kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:

  • "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
  • a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritmalar nasıl çözülür?

Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik formda gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanına girmenin gerekli olduğu gücü bulmak için tüm eylemler pratik olarak birleşir.

Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak için büyük değerler bir derece tablosuna ihtiyacınız olacak. Karmaşık matematik konuları hakkında hiçbir şey bilmeyen kişiler tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!

Denklemler ve eşitsizlikler

Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifade logaritmik eşitlik olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. İçin negatif güçler kurallar aynı: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazıyoruz, log 2 (1/32) = -5 elde ediyoruz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.

Aşağıdaki ifade verilmiştir: log 2 (x-1) > 3 - bilinmeyen “x” değeri logaritmik işaretin altında olduğundan bu logaritmik bir eşitsizliktir. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örneğin logaritma 2 x = √9) bir veya daha fazla spesifik cevabı ima etmesidir. sayısal değerler eşitsizlikleri çözerken bölge olarak tanımlanırken kabul edilebilir değerler ve bu fonksiyonun kesme noktaları. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar dizisi değil, sürekli bir dizi veya sayı dizisidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.

  1. Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
  2. Çarpımın logaritması şu formülle temsil edilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda önkoşulşu şekildedir: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
  3. Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.

Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.

Sorun ve eşitsizlik örnekleri

Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve aynı zamanda matematik sınavlarının da zorunlu bir parçasıdırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri nasıl doğru bir şekilde çözeceğinizi bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini veya sonuçlanabileceğini öğrenmelisiniz. genel görünüm. Uzun logaritmik ifadeleri, özelliklerini doğru kullanırsanız basitleştirebilirsiniz. Onları hızlıca tanıyalım.

Karar verirken logaritmik denklemler, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.

İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Doğal logaritmaları çözmek için logaritmik kimlikleri veya bunların özelliklerini uygulamanız gerekir. Çeşitli türlerdeki logaritmik problemleri çözme örneklerine bakalım.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.

  1. Bir ürünün logaritmasının özelliği, genişletilmesi gereken görevlerde kullanılabilir. büyük değer b sayılarını daha basit çarpanlara ayırın. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - görebileceğiniz gibi, logaritmanın kuvvetinin dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üslü değerleri logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.

Birleşik Devlet Sınavından Ödevler

Logaritmalar sıklıkla bulunur giriş sınavları, özellikle Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik problem. Genellikle bu görevler yalnızca A kısmında (sınavın en kolay test kısmı) değil, aynı zamanda C kısmında da (en karmaşık ve hacimli görevler) mevcuttur. Sınav, “Doğal logaritmalar” konusunda doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.

Sorunlara ilişkin örnekler ve çözümler resmi kaynaklardan alınmıştır. Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.

  • Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
  • Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, bu nedenle logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.

Yani iki gücümüz var. Alt satırdaki sayıyı alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiyi yükseltmeniz gereken gücü kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16 elde etmek için ikinin dördüncü kuvvetini yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü elde etmek için ikinin altıncı gücünü artırmanız gerekir. Bu tablodan görülebilmektedir.

Ve şimdi - aslında logaritmanın tanımı:

x'in logaritması tabanı, x'i elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken kuvvettir.

Tanım: log a x = b, burada a tabandır, x argümandır, b ise logaritmanın gerçekte eşit olduğu şeydir.

Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2 3 = 8 olduğundan 8'in 2 tabanlı logaritması üçtür). Aynı başarı günlüğü ile 2 64 = 6, çünkü 2 6 = 64.

Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine logaritma denir. Şimdi tablomuza yeni bir satır ekleyelim:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
günlük 2 2 = 1günlük 2 4 = 2 günlük 2 8 = 3günlük 2 16 = 4 günlük 2 32 = 5günlük 2 64 = 6

Ne yazık ki tüm logaritmalar bu kadar kolay hesaplanamıyor. Örneğin, log 2 5'i bulmayı deneyin. Tabloda 5 sayısı yok ama mantık, logaritmanın parça üzerinde bir yerde olacağını söylüyor. Çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем daha fazla derece iki, sayı ne kadar büyükse.

Bu tür sayılara irrasyonel denir: Ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrarlanmaz. Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, onu bu şekilde bırakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Logaritmanın iki değişkenli (taban ve argüman) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta birçok kişi temelin nerede olduğunu ve argümanın nerede olduğunu karıştırır. Can sıkıcı yanlış anlamaları önlemek için resme bakın:

Önümüzde bir logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Hatırlamak: logaritma bir kuvvettir Bir argüman elde etmek için tabanın içine inşa edilmesi gerekir. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızıyla vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Öğrencilerime bu harika kuralı daha ilk derste anlatıyorum ve hiçbir kafa karışıklığı ortaya çıkmıyor.

Tanımı çözdük; geriye kalan tek şey logaritmanın nasıl sayılacağını öğrenmek. "log" işaretinden kurtulun. Başlangıç ​​olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını not ediyoruz:

  1. Argüman ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, bir derecenin rasyonel bir üsle tanımlanmasından kaynaklanır ve logaritmanın tanımı buna indirgenir.
  2. Bir, herhangi bir dereceye kadar hala bir olarak kaldığından, tabanın birden farklı olması gerekir. Bu nedenle “iki elde etmek için kişinin hangi güce yükseltilmesi gerekir” sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!

Bu tür kısıtlamalara denir kabul edilebilir değerler aralığı(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şu şekilde göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

B sayısı (logaritmanın değeri) üzerinde herhangi bir kısıtlama olmadığını unutmayın. Örneğin logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = −1, çünkü 0,5 = 2−1.

Ancak şimdi yalnızca logaritmanın VA'sını bilmenin gerekli olmadığı sayısal ifadeleri ele alıyoruz. Sorunların yazarları tarafından tüm kısıtlamalar zaten dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler devreye girdiğinde DL gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Sonuçta, temel ve argüman, yukarıdaki kısıtlamalara tam olarak uymayan çok güçlü yapılar içerebilir.

Şimdi logaritmaları hesaplamak için genel şemaya bakalım. Üç adımdan oluşur:

  1. A tabanını ve x argümanını, mümkün olan minimum tabanı birden büyük olacak şekilde bir kuvvet olarak ifade edin. Bu arada ondalık sayılardan kurtulmak daha iyidir;
  2. b değişkeninin denklemini çözün: x = a b ;
  3. Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.

İşte bu! Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın birden büyük olması gerekliliği çok önemlidir: bu, hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Ondalık kesirlerde de durum aynıdır: Bunları hemen sıradan kesirlere dönüştürürseniz, çok daha az hata olacaktır.

Belirli örnekleri kullanarak bu şemanın nasıl çalıştığını görelim:

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 5 25

  1. Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak düşünelim: 5 = 5 1; 25 = 52;

    2. Denklemi oluşturup çözelim:
    log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

  2. Cevabını aldık: 2.

Görev. Logaritmayı hesaplayın:

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 4 64

  1. Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 4 = 2 2; 64 = 26;
  2. Denklemi oluşturup çözelim:
    log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
  3. Cevabını aldık: 3.

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1

  1. Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak düşünelim: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
  2. Denklemi oluşturup çözelim:
    log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
  3. Cevabını aldık: 0.

Görev. Logaritmayı hesaplayın: log 7 14

  1. Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak düşünelim: 7 = 7 1; 7 1 olduğundan 14 yedinin kuvveti olarak temsil edilemez< 14 < 7 2 ;
  2. Önceki paragraftan logaritmanın sayılmadığı anlaşılmaktadır;
  3. Cevap değişiklik yok: log 7 14.

Son örnekle ilgili küçük bir not. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olabilirsiniz? Çok basit; bunu asal çarpanlara ayırmanız yeterli. Genişlemenin en az iki farklı faktörü varsa, sayı tam bir kuvvet değildir.

Görev. Sayıların tam kuvvetleri olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tam derece, çünkü yalnızca bir çarpan vardır;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - tam bir kuvvet değildir, çünkü iki çarpan vardır: 3 ve 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tam derece;
35 = 7 · 5 - yine kesin bir kuvvet değil;
14 = 7 · 2 - yine kesin bir derece değil;

Şunu da belirtelim ki biz kendimiz asal sayılar her zaman kendilerinin kesin dereceleridir.

Ondalık logaritma

Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki özel bir isme ve sembole sahiptirler.

X'in ondalık logaritması, 10 tabanına göre logaritmasıdır; X sayısını elde etmek için 10 sayısının yükseltilmesi gereken kuvvet. Tanım: lg x.

Örneğin log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.

Artık bir ders kitabında "Lg 0.01'i bul" gibi bir ifade göründüğünde şunu bilin: bu bir yazım hatası değil. Bu bir ondalık logaritmadır. Ancak bu gösterime aşina değilseniz, istediğiniz zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x

Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık logaritmalar için de doğrudur.

Doğal logaritma

Kendi tanımı olan başka bir logaritma var. Bazı yönlerden ondalık sayıdan bile daha önemlidir. bu yaklaşık Doğal logaritma hakkında.

X'in doğal logaritması e tabanının logaritmasıdır, yani. x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken güç. Tanım: ln x .

Birçoğu şunu soracak: e sayısı nedir? Bu irrasyonel bir sayıdır; kesin değeri bulunup yazılamaz. Sadece ilk rakamları vereceğim:
e = 2,718281828459...

Bu sayının ne olduğu ve neden ihtiyaç duyulduğu konusunda detaya girmeyeceğiz. Sadece e'nin doğal logaritmanın tabanı olduğunu unutmayın:
ln x = log e x

Böylece ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak herhangi bir sayının doğal logaritması rasyonel sayı mantıksız. Elbette birlik hariç: ln 1 = 0.

Doğal logaritmalar için sıradan logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.

logaritmanın tanımı

b'nin a tabanına göre logaritması, b'yi elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken üstür.

e numarası matematikte bir ifadenin ulaşmaya çalıştığı sınırı belirtmek gelenekseldir

e numarasıöyle irrasyonel sayı- Bir ile ölçülemeyen bir sayı, ne tam sayı ne de kesir olarak doğru bir şekilde ifade edilemez. akılcı sayı.

Mektup e- Latince bir kelimenin ilk harfi ifade- gösteriş yapmak, dolayısıyla matematikteki adı üstel- üstel fonksiyon.

Sayı e matematikte ve şu ya da bu şekilde matematiksel hesaplamaları kendi ihtiyaçları için kullanan tüm bilimlerde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Logaritmalar. Logaritmanın özellikleri

Tanım: Logaritma pozitif sayı B tabanı, b sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken c üssüdür.

Temel bilgiler logaritmik özdeşlik:

7) Yeni bir üsse geçmenin formülü:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Logaritmalar konusundaki problemler ve testler. Logaritmanın özellikleri"

  • Logaritmalar - Matematikte Birleşik Devlet Sınavının gözden geçirilmesi için önemli konular

Bu konudaki görevleri başarıyla tamamlamak için logaritmanın tanımını, logaritmanın özelliklerini, temel logaritmik özdeşliği, ondalık ve doğal logaritmanın tanımlarını bilmeniz gerekir. Bu konudaki ana problem türleri logaritmik ifadelerin hesaplanması ve dönüştürülmesini içeren problemlerdir. Aşağıdaki örnekleri kullanarak çözümlerini ele alalım.

Çözüm: Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:

Çözüm: Derecelerin özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Logaritmanın özellikleri, formülasyonları ve ispatları.

Logaritmaların bir takım karakteristik özellikleri vardır. Bu yazıda ana konulara bakacağız. logaritmanın özellikleri. Burada bunların formülasyonlarını vereceğiz, logaritmanın özelliklerini formül biçiminde yazacağız, uygulama örneklerini göstereceğiz ve ayrıca logaritmanın özelliklerinin kanıtını sunacağız.

Sayfada gezinme.

Logaritmanın temel özellikleri, formüller

Hatırlama ve kullanım kolaylığı için hayal edelim logaritmanın temel özellikleri formüllerin bir listesi şeklinde. Bir sonraki paragrafta bunların formülasyonlarını, kanıtlarını, kullanım örneklerini ve gerekli açıklamaları vereceğiz.

  • Birlik logaritmasının özelliği: herhangi bir a>0, a≠1 için log a 1=0.
  • Tabana eşit bir sayının logaritması: a>0, a≠1 için log a a=1.
  • Tabanın kuvvetinin logaritmasının özelliği: log a a p =p, burada a>0, a≠1 ve p – herhangi biri gerçek sayı.
  • İki pozitif sayının çarpımının logaritması: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
    ve n pozitif sayının çarpımının logaritmasının özelliği: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .
  • Bir bölümün logaritmasının özelliği: , burada a>0, a≠1, x>0, y>0.
  • Bir sayının kuvvetinin logaritması: log a b p =p·log a |b| burada a>0, a≠1, b ve p, b p derecesi anlamlı ve b p >0 olacak şekilde sayılardır.
  • Sonuçlar: , burada a>0, a≠1, n – doğal sayı, birden büyük, b>0.
  • Sonuç 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
  • Sonuç 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p ve q gerçek sayılardır, q≠0 , özellikle b=a için elimizde .

    • Formülasyonlar ve özelliklerin kanıtları

    Logaritmanın yazılı özelliklerinin formülasyonuna ve ispatına geçiyoruz. Logaritmanın tüm özellikleri, logaritmanın tanımı ve ondan çıkan temel logaritmik özdeşliğin yanı sıra derecenin özellikleri temelinde kanıtlanmıştır.

    Şununla başlayalım: bir logaritmasının özellikleri. Formülasyonu şu şekildedir: Birliğin logaritması sıfıra eşittir, yani, 1=0'ı günlüğe kaydet herhangi bir a>0 için a≠1. Kanıt zor değildir: Yukarıdaki a>0 ve a≠1 koşullarını karşılayan herhangi bir a için a 0 = 1 olduğundan, kanıtlanacak log a 1=0 eşitliği logaritmanın tanımından hemen çıkar.

    Dikkate alınan özelliğin uygulamasına örnekler verelim: log 3 1=0, log1=0 ve .

    Bir sonraki özelliğe geçelim: tabanına eşit bir sayının logaritması bire eşittir yani log a=1 a>0 için a≠1. Aslında, herhangi bir a için a 1 =a olduğundan logaritmanın tanımı gereği log a a=1 olur.

    Logaritmanın bu özelliğinin kullanımına örnek olarak log 5 5=1, log 5,6 5,6 ve lne=1 eşitlikleri gösterilebilir.

    Logaritmanın tabanına eşit bir sayının kuvvetinin logaritması, göstergeye eşit derece. Logaritmanın bu özelliği şu formdaki bir formüle karşılık gelir: log a a p =p, burada a>0, a≠1 ve p – herhangi bir gerçek sayı. Bu özellik doğrudan logaritmanın tanımından kaynaklanmaktadır. Logaritmanın değerini hemen belirtmenize izin verdiğini unutmayın, eğer logaritma işaretinin altındaki sayıyı tabanın kuvveti olarak temsil etmek mümkünse; logaritmayı hesaplama makalesinde bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

    Örneğin, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ve .

    İki pozitif sayının çarpımının logaritması x ve y bu sayıların logaritmasının çarpımına eşittir: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Bir çarpımın logaritmasının özelliğini kanıtlayalım. Derecenin özelliklerinden dolayı a log a x+log a y =a log a x ·a log a y ve ana logaritmik özdeşliğe göre a log a x =x ve a log a y =y olduğundan, a log a x ·a log a y =x·y. Böylece, logaritmanın tanımına göre eşitliğin kanıtlandığı log a x+log a y =x·y olur.

    Bir çarpımın logaritması özelliğinin kullanımına ilişkin örnekler gösterelim: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ve .

    Bir çarpımın logaritmasının özelliği, x 1 , x 2 , …, x n pozitif sayılarından oluşan sonlu bir n sayısının çarpımına şu şekilde genelleştirilebilir: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Bu eşitlik matematiksel tümevarım yöntemi kullanılarak sorunsuz bir şekilde kanıtlanabilir.

    Örneğin, çarpımın doğal logaritması 4, e ve sayılarının üç doğal logaritmasının toplamı ile değiştirilebilir.

    İki pozitif sayının bölümünün logaritması x ve y bu sayıların logaritmaları arasındaki farka eşittir. Bir bölümün logaritmasının özelliği, formun formülüne karşılık gelir a>0, a≠1, x ve y bazı pozitif sayılardır. Bu formülün geçerliliği, bir çarpımın logaritması formülünün yanı sıra kanıtlanmıştır: çünkü , o zaman logaritmanın tanımı gereği .

    Logaritmanın bu özelliğini kullanmanın bir örneği: .

    Hadi devam edelim kuvvetin logaritmasının özelliği. Bir derecenin logaritması, üssün çarpımına ve bu derecenin tabanının modülünün logaritmasına eşittir. Bir kuvvetin logaritmasının bu özelliğini formül olarak yazalım: log a b p =p·log a |b| burada a>0, a≠1, b ve p, b p derecesi anlamlı ve b p >0 olacak şekilde sayılardır.

    Öncelikle bu özelliği pozitif b için kanıtlayalım. Temel logaritmik özdeşlik, b sayısını a log a b, ardından b p =(a log a b) p olarak temsil etmemize olanak tanır ve ortaya çıkan ifade, kuvvet özelliği nedeniyle a p·log a b'ye eşittir. Böylece b p =a p·log a b eşitliğine ulaşıyoruz ve bundan logaritmanın tanımına göre log a b p =p·log a b sonucunu çıkarıyoruz.

    Geriye bu özelliği negatif b için kanıtlamak kalıyor. Burada negatif b için log a b p ifadesinin yalnızca çift p üsleri için anlamlı olduğunu görüyoruz (çünkü b p derecesinin değeri sıfırdan büyük olmalıdır, aksi takdirde logaritmanın bir anlamı olmayacaktır) ve bu durumda b p =|b| P. O halde b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , buradan log a b p =p·log a |b| .

    Örneğin, ve ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Önceki mülkten kaynaklanmaktadır kökten logaritmanın özelliği: n'inci kökün logaritması, 1/n kesrinin radikal ifadenin logaritmasına göre çarpımına eşittir, yani a>0, a≠1, n birden büyük bir doğal sayıdır, b>0 .

    Kanıt, herhangi bir pozitif b için geçerli olan eşitliğe (kesirli üslü üs tanımına bakınız) ve üssün logaritmasının özelliğine dayanmaktadır: .

    Bu özelliği kullanmanın bir örneğini burada bulabilirsiniz: .

    Şimdi kanıtlayalım yeni bir logaritma tabanına geçme formülü tür . Bunu yapmak için log c b=log a b·log c a eşitliğinin geçerliliğini kanıtlamak yeterlidir. Temel logaritmik kimlik, b sayısını a log a b olarak temsil etmemize ve ardından log c b=log ca log a b olarak göstermemize olanak tanır. Geriye derecenin logaritması özelliğini kullanmak kalır: log c a log a b =log a b·log ca . Bu, log c b=log a b·log c a eşitliğini kanıtlar; bu, logaritmanın yeni tabanına geçiş formülünün de kanıtlanmış olduğu anlamına gelir .

    Logaritmanın bu özelliğini kullanmaya ilişkin birkaç örnek gösterelim: ve .

    Yeni bir tabana geçme formülü, "uygun" bir tabana sahip logaritmalarla çalışmaya devam etmenizi sağlar. Örneğin, bir logaritma tablosundan bir logaritmanın değerini hesaplayabilmeniz için doğal veya ondalık logaritmalara geçmek için kullanılabilir. Yeni bir logaritma tabanına geçme formülü, bazı durumlarda, bazı logaritmaların diğer tabanlarla değerleri bilindiğinde belirli bir logaritmanın değerini bulmayı da sağlar.

    Formun c=b için yeni bir logaritma tabanına geçiş için formülün özel bir durumu sıklıkla kullanılır. Bu, log a b ve log b a'nın karşılıklı olarak ters sayılar olduğunu gösterir. Örneğin, .

    Logaritmanın değerlerini bulmak için uygun olan formül de sıklıkla kullanılır. Sözlerimizi doğrulamak için, formun logaritmasının değerini hesaplamak için nasıl kullanılabileceğini göstereceğiz. Sahibiz . Formülü kanıtlamak için, logaritmanın yeni bir tabanına geçmek için formülü kullanmak yeterlidir: .

    Logaritmaların karşılaştırılması özelliklerini kanıtlamak için kalır.

    Tam tersi yöntemi kullanalım. a 1 >1, a 2 >1 ve a 1 2 ve 0 1 için log a 1 b≤log a 2 b'nin doğru olduğunu varsayalım. Logaritmanın özelliklerine dayanarak bu eşitsizlikler şu şekilde yeniden yazılabilir: Ve sırasıyla log b a 1 ≤log b a 2 ve log b a 1 ≥log b a 2 olur. O halde aynı tabanlara sahip kuvvetlerin özelliklerine göre b log b a 1 ≥b log b a 2 ve b log b a 1 ≥b log b a 2 eşitlikleri geçerli olmalıdır, yani a 1 ≥a 2 . Böylece a 1 2 koşuluyla bir çelişkiye geldik. Bu ispatı tamamlar.

    Logaritmanın temel özellikleri

    • Ders için materyaller
    • Tüm formülleri indir

      • Logaritmalar da diğer sayılar gibi her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar tam olarak sıradan sayılar olmadığından burada kurallar vardır. ana özellikler.

      Bu kuralları kesinlikle bilmeniz gerekir; onlar olmadan tek bir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca bunlardan çok azı var - her şeyi bir günde öğrenebilirsiniz. Öyleyse başlayalım.

      Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

      Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: log a x ve log a y. Daha sonra bunlar eklenebilir ve çıkarılabilir ve:

      Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta aynı gerekçeler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz!

      Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmasa bile logaritmik bir ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır (“Logaritma nedir” dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve şunu görün:

      Görev. İfadenin değerini bulun: log 6 4 + log 6 9.

      Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız:
      log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

      Görev. İfadenin değerini bulun: log 2 48 – log 2 3.

      Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
      log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

      Görev. İfadenin değerini bulun: log 3 135 – log 3 5.

      Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde:
      log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

      Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçoğu bu gerçek üzerine inşa edilmiştir testler. Evet, Birleşik Devlet Sınavında test benzeri ifadeler tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır.

      Üslü logaritmadan çıkarma

      Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

    • log a x n = n · log a x ;

      • Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

      Elbette, logaritmanın ODZ'sine uyulursa tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde uygulamayı öğrenin. , yani Logaritma işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

      Görev. İfadenin değerini bulun: log 7 49 6 .

      İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım:
      günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12

      Görev. İfadenin anlamını bulun:

      [Resmin başlığı]

      Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Sahibiz:

      [Resmin başlığı]

      Son örneğin biraz açıklama gerektirdiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik.

      Şimdi ana kesirlere bakalım. Pay ve payda aynı sayıyı içerir: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 olduğundan kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dörtlü paya aktarılabilir ki yapılan da budur. Sonuç şuydu: 2.

      Yeni bir temele geçiş

      Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsederken bunların sadece aynı tabanlarla çalıştığını özellikle vurguladım. Peki ya sebepler farklıysa? Ya aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

      Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim:

      Logaritma log a x verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

      [Resmin başlığı]

      Özellikle c = x değerini ayarlarsak şunu elde ederiz:

      [Resmin başlığı]

      İkinci formülden, logaritmanın tabanı ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.

      Bu formüller nadiren geleneksel olarak bulunur. sayısal ifadeler. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklem ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

      Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım:

      Görev. İfadenin değerini bulun: log 5 16 log 2 25.

      Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; günlük 2 25 = günlük 2 5 2 = 2 günlük 2 5;

      Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”:

      [Resmin başlığı]

      Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık.

      Görev. İfadenin değerini bulun: log 9 100 lg 3.

      Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

      [Resmin başlığı]

      Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

      [Resmin başlığı]

      Temel logaritmik kimlik

      Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır:

    1. n = log a a n

    2. İlk durumda, n sayısı argümandaki üs haline gelir. N sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir.

      İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna denir: temel logaritmik özdeşlik.

      Aslında b sayısının b kuvveti bu kuvvete a sayısını verecek kadar yükseltilirse ne olur? Doğru: sonuç aynı a sayısıdır. Bu paragrafı dikkatlice tekrar okuyun; birçok kişi buna takılıp kalıyor.

      Yeni bir tabana geçiş formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik de bazen mümkün olan tek çözümdür.

      [Resmin başlığı]

      Log 25 64 = log 5 8 olduğuna dikkat edin - basitçe logaritmanın tabanından ve argümanından kareyi aldık. Aynı tabanla kuvvetleri çarpma kurallarını hesaba katarsak şunu elde ederiz:

      [Resmin başlığı]

      Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :)

      Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

      Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması pek mümkün olmayan iki kimlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak sorunlarla karşılaşıyorlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri düzey" öğrenciler için bile sorunlar yaratıyorlar.

      1. log a a = 1 logaritmik bir birimdir. Bir kere şunu unutmayın: o tabanın herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
      2. log a 1 = 0 logaritmik sıfırdır. A tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir içeriyorsa logaritma sıfıra eşittir! Çünkü 0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.

      Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın! Dersin başındaki kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

      Logaritma. Logaritmanın özellikleri (toplama ve çıkarma).

      Logaritmanın özellikleri tanımından takip edin. Ve böylece sayının logaritması B dayalı A bir sayının yükseltilmesi gereken üs olarak tanımlanır A numarayı almak için B(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).

      Bu formülasyondan, hesaplama şu şekildedir: x=log a b, denklemi çözmeye eşdeğerdir a x =b.Örneğin, günlük 2 8 = 3Çünkü 8 = 2 3 . Logaritmanın formülasyonu şunu doğrulamayı mümkün kılar: b=a c, sonra sayının logaritması B dayalı A eşittir İle. Logaritma konusunun kuvvetler konusuyla yakından ilişkili olduğu da açıktır.

      Herhangi bir sayıda olduğu gibi logaritmalarla da şunları yapabilirsiniz: toplama, çıkarma işlemleri ve mümkün olan her şekilde dönüştürün. Ancak logaritmalar tamamen sıradan sayılar olmadığı için burada kendi özel kuralları geçerlidir. ana özellikler.

      Logaritmaların toplanması ve çıkarılması.

      Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı alalım: x'i günlüğe kaydet Ve bir y'yi günlüğe kaydet. Daha sonra toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek mümkündür:

      Gördüğümüz gibi, logaritmaların toplamıürünün logaritmasına eşittir ve fark logaritmalar- bölümün logaritması. Üstelik sayılar doğruysa bu doğrudur. A, X Ve en pozitif ve a ≠ 1.

      Bu formüllerdeki ana hususun aynı temeller olduğuna dikkat etmek önemlidir. Gerekçeler farklı ise bu kurallar geçerli değildir!

      Aynı tabanlara sahip logaritmaların eklenmesi ve çıkarılmasına ilişkin kurallar yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde de okunur. Sonuç olarak, çarpımın logaritması ve bölümün logaritması için teoremlerimiz var.

      Ürünün logaritması iki pozitif sayı logaritmalarının toplamına eşittir ; bu teoremi başka kelimelerle ifade edersek aşağıdakileri elde ederiz: eğer sayılar A, X Ve en pozitif ve bir ≠ 1, O:

      Bölümün logaritması iki pozitif sayı, bölünenin logaritması ile bölenin logaritması arasındaki farka eşittir. Başka bir deyişle, sayılar A, X Ve en pozitif ve bir ≠ 1, O:

      Yukarıdaki teoremleri çözmek için uygulayalım. örnekler:

      Eğer sayılar X Ve en o zaman negatif çarpım logaritması formülü anlamsız hale gelir. Bu nedenle aşağıdakileri yazmak yasaktır:

      log 2 (-8) ve log 2 (-4) ifadeleri hiç tanımlı olmadığından (logaritmik fonksiyon) en= günlük 2 X yalnızca şunun için tanımlanmış: pozitif değerler argüman X).

      Ürün teoremi sadece iki faktör için değil aynı zamanda sınırsız sayıda faktör için de geçerlidir. Bu şu anlama gelir; her doğal k ve herhangi bir pozitif sayı X 1 , X 2 , . . . ,xn bir kimlik var:

      İtibaren logaritma bölüm teoremi Logaritmanın bir özelliği daha elde edilebilir. Günlüğe kaydetmenin yaygın bir bilgi olduğu A 1= 0 dolayısıyla

      Bu, bir eşitliğin olduğu anlamına gelir:

      Karşılıklı iki sayının logaritması aynı nedenden ötürü birbirinden yalnızca işaret açısından farklılık gösterecektir. Bu yüzden:

      Logaritma. Logaritmanın özellikleri

      Logaritma. Logaritmanın özellikleri

      Eşitliği ele alalım. ve değerlerini bize bildirin ve değerini bulmak istiyoruz.

      Yani, elde etmek için kurmamız gereken üssü arıyoruz.

      İzin vermek Bir değişken herhangi bir gerçek değeri alabiliyorsa, değişkenlere aşağıdaki kısıtlamalar uygulanır: o" title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″ />

      Ve değerlerini biliyorsak ve bilinmeyeni bulma göreviyle karşı karşıya kalırsak, bu amaçla adı verilen matematiksel bir işlem uygulanır. logaritma.

      Aldığımız değeri bulmak için bir sayının logaritmasıİle temel :

      Bir sayının tabanına göre logaritması, elde edilmesi için yükseltilmesi gereken üstür.

      yani temel logaritmik kimlik:

      o» başlık=»a>o»/> , 1″ başlık=»a1″/>, 0″ başlık=»b>0″/>

      aslında matematiksel bir gösterimdir logaritmanın tanımları.

      Logaritmanın matematiksel işlemi üstel alma işleminin tersidir, dolayısıyla logaritmanın özellikleri derecenin özellikleriyle yakından ilişkilidir.

      Başlıcalarını listeleyelim logaritmanın özellikleri:

      (o" başlık='a>o"/> , 1″ başlık=»a1″/>, 0″ başlık=»b>0″/>, 0,

      d>0″/>, 1″ başlık=”d1″/>

      4.

      Aşağıdaki özellik grubu, bir ifadenin üssünü logaritmanın işareti altında temsil etmenize veya logaritmanın tabanında logaritmanın işaretinin önünde bir katsayı biçiminde durmanıza olanak tanır:

      6.

      7.

      8.

      9.

      Bir sonraki formül grubu, belirli bir tabana sahip bir logaritmadan keyfi bir tabana sahip bir logaritmaya geçmenizi sağlar ve denir yeni bir tabana geçiş formülleri:

      10.

      12. (özellik 11'in sonucu)

      Aşağıdaki üç özellik iyi bilinmemektedir, ancak logaritmik denklemleri çözerken veya logaritma içeren ifadeleri basitleştirirken sıklıkla kullanılırlar:

      13.

      14.

      15.

      Özel durumlar:

      — ondalık logaritma

      — doğal logaritma

      Logaritma içeren ifadeleri basitleştirirken genel bir yaklaşım kullanılır:

      1. Tanıtım ondalık sayılar sıradan olanlar şeklinde.

      2. Karışık sayıları bileşik kesirler olarak temsil ediyoruz.

      3. Logaritmanın tabanındaki ve logaritmanın işareti altındaki sayıları basit faktörlere ayırıyoruz.

      4. Tüm logaritmaları aynı tabana indirmeye çalışıyoruz.

      5. Logaritmanın özelliklerini uygulayabilecektir.

      Logaritma içeren ifadeleri basitleştirme örneklerine bakalım.

      Örnek 1.

      Hesaplamak:

      Tüm üsleri basitleştirelim: Görevimiz onları, üssü üssüyle aynı sayı olan logaritmaya indirgemektir.

      ==(özellik 7'ye göre)=(özellik 6'ya göre) =

      Aldığımız göstergeleri orijinal ifadede yerine koyalım. Şunu elde ederiz:

      Cevap: 5.25

      Örnek 2. Hesaplayın:

      Tüm logaritmaları 6 tabanına indirelim (bu durumda kesrin paydasındaki logaritmalar paya "geçecektir"):

      Logaritma işaretinin altındaki sayıları basit faktörlere ayıralım:

      4 ve 6 numaralı özellikleri uygulayalım:

      Değiştirmeyi tanıtalım

      Şunu elde ederiz:

      Cevap: 1

      Logaritma . Temel logaritmik özdeşlik.

      Logaritmanın özellikleri. Ondalık logaritma. Doğal logaritma.

      Logaritma pozitif sayı N'den tabana (B > 0, B 1) N elde etmek için b'nin yükseltilmesi gereken x üssü .

      Bu giriş aşağıdakine eşdeğerdir: b x = N .

      Örnekler: log 3 81 = 4, çünkü 3 4 = 81;

      günlük 1/3 27 = – 3, çünkü (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

      Logaritmanın yukarıdaki tanımı bir özdeşlik olarak yazılabilir:

      Logaritmanın temel özellikleri.

      2) log 1 = 0, çünkü B 0 = 1 .

      3) Ürünün logaritması, faktörlerin logaritmasının toplamına eşittir:

      4) Bölümün logaritması, bölenin logaritması ile bölenin logaritması arasındaki farka eşittir:

      5) Bir kuvvetin logaritması üssün çarpımı ile tabanının logaritmasına eşittir:

      Bu özelliğin sonucu şudur: kökün logaritması radikal sayının logaritmasının kökün kuvvetine bölünmesine eşittir:

      6) Logaritmanın tabanı bir derece ise, o zaman değer üssün tersi bir log kafiye olarak çıkarılabilir:

      Son iki özellik tek bir özellikte birleştirilebilir:

      7) Geçiş modülü formülü (yani bir logaritma tabanından diğer tabana geçiş):

      Özel durumda ne zaman N=a sahibiz:

      Ondalık logaritma isminde taban logaritması 10. lg ile gösterilir, yani. günlük 10 N= günlük N. 10, 100, 1000, . p sırasıyla 1, 2, 3,…'dir, yani. o kadar çok olumlu şey var ki

      Birimler, logaritmik bir sayıda birden sonra kaç tane sıfır vardır? 0,1, 0,01, 0,001, . p sırasıyla –1, –2, –3,…, yani. logaritmik sayıdaki birden önceki sıfır sayısı kadar (sıfır tamsayılar dahil) negatif olan sayısı vardır. Diğer sayıların logaritmalarının kesirli kısmı vardır. mantis. Bütün kısım logaritma denir karakteristik. Pratik kullanım için ondalık logaritmalar en uygunu.

      Doğal logaritma isminde taban logaritması e. ln ile gösterilir, yani kayıt e N= günlük N. Sayı e irrasyoneldir, yaklaşık değeri 2,718281828'dir. Sayının yöneldiği sınırdır (1 + 1 / N) N sınırsız artışla N(santimetre. ilk harika sınır"Numara Sırası Sınırları" sayfasında).
      Garip görünse de, fonksiyonların analiziyle ilgili çeşitli işlem türlerini gerçekleştirirken doğal logaritmaların çok kullanışlı olduğu ortaya çıktı. Tabana göre logaritmaların hesaplanması e diğer nedenlerden çok daha hızlı gerçekleştirilir.