Find den mindste værdi af en funktion eksempler. At studere grafen for en funktion

Med denne service kan du find den største og mindste værdi af en funktionén variabel f(x) med løsningen formateret i Word. Hvis funktionen f(x,y) er givet, er det derfor nødvendigt at finde yderpunktet for funktionen af ​​to variable. Du kan også finde intervallerne for stigende og faldende funktioner.

Find den største og mindste værdi af en funktion

y =

på segmentet [ ;]

Inkluder teori

Regler for indtastning af funktioner:

Nødvendig betingelse for ekstremum af en funktion af en variabel

Ligningen f" 0 (x *) = 0 er nødvendig betingelse ekstremum af en funktion af én variabel, dvs. ved punkt x * skal den første afledede af funktionen forsvinde. Den identificerer stationære punkter x c, hvor funktionen ikke øges eller falder.

Tilstrækkelig betingelse for ekstremum af en funktion af én variabel

Lad f 0 (x) være to gange differentierbar med hensyn til x, der tilhører mængden D. Hvis betingelsen i punkt x * er opfyldt:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Så er punkt x * det lokale (globale) minimumspunkt for funktionen.

Hvis betingelsen i punkt x * er opfyldt:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Så er punkt x * et lokalt (globalt) maksimum.

Eksempel nr. 1. Find den største og mindste værdi funktioner: på segmentet .
Løsning.

Det kritiske punkt er et x 1 = 2 (f'(x)=0). Dette punkt hører til segmentet. (Punkt x=0 er ikke kritisk, da 0∉).
Vi beregner værdierne af funktionen i enderne af segmentet og på det kritiske punkt.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Svar: f min = 5 / 2 ved x=2; fmax =9 ved x=1

Eksempel nr. 2. Brug højere ordens afledte, find ekstremum af funktionen y=x-2sin(x) .
Løsning.
Find den afledede af funktionen: y'=1-2cos(x) . Lad os finde de kritiske punkter: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Vi finder y’’=2sin(x), beregne , hvilket betyder x= π / 3 +2πk, k∈Z er minimumspunkterne for funktionen; , hvilket betyder x=- π / 3 +2πk, k∈Z er funktionens maksimumpunkter.

Eksempel nr. 3. Undersøg ekstremumfunktionen i nærheden af ​​punktet x=0.
Løsning. Her er det nødvendigt at finde yderpunkterne for funktionen. Hvis ekstremum x=0, så find ud af dens type (minimum eller maksimum). Hvis der blandt de fundne punkter ikke er x = 0, så beregn værdien af ​​funktionen f(x=0).
Det skal bemærkes, at når den afledede på hver side af et givet punkt ikke ændrer sit fortegn, er de mulige situationer ikke udtømte, selv for differentiable funktioner: det kan ske, at for et vilkårligt lille kvarter på den ene side af punktet x 0 eller på begge sider skifter den afledte fortegn. På disse punkter er det nødvendigt at bruge andre metoder til at studere funktioner på et ekstremum.

Og for at løse det har du brug for minimal viden om emnet. Endnu et skoleår slutter, alle vil på ferie, og for at bringe dette øjeblik tættere på, vil jeg straks komme til punktet:

Lad os starte med området. Det område, der henvises til i betingelsen, er begrænset lukket sæt punkter på et fly. For eksempel sættet af punkter afgrænset af en trekant, inklusive HELE trekanten (hvis fra grænser"stik ud" mindst et punkt, så vil regionen ikke længere være lukket). I praksis er der også områder med rektangulære, runde og lidt mere komplekse former. Det skal bemærkes, at der i teorien om matematisk analyse er givet strenge definitioner begrænsninger, isolation, grænser mv., men jeg tror, ​​at alle er bevidste om disse begreber på et intuitivt niveau, og nu er der ikke behov for mere.

Et fladt område er standard betegnet med bogstavet , og er som regel specificeret analytisk - ved flere ligninger (ikke nødvendigvis lineær); sjældnere uligheder. Typisk ordsprog: "lukket område, afgrænset af linjer ».

En integreret del af den pågældende opgave er opførelsen af ​​et område på tegningen. Hvordan gør man det? Du skal tegne alle de listede linjer (i I dette tilfælde 3 lige) og analysere, hvad der skete. Det søgte område er normalt let skraveret, og dets grænse er markeret med en tyk streg:


Det samme område kan også indstilles lineære uligheder: , som af en eller anden grund ofte skrives som en opregnet liste frem for system.
Da grænsen tilhører regionen, så er alle uligheder selvfølgelig, slap.

Og nu essensen af ​​opgaven. Forestil dig, at aksen kommer lige ud mod dig fra oprindelsen. Overvej en funktion, der sammenhængende i hver område punkt. Grafen for denne funktion repræsenterer nogle overflade, og den lille lykke er, at for at løse dagens problem behøver vi ikke at vide, hvordan denne overflade ser ud. Det kan være placeret højere, lavere, skære flyet - alt dette betyder ikke noget. Og følgende er vigtigt: iflg Weierstrass' sætninger, sammenhængende V begrænset lukket område funktionen når sin største værdi (den højeste") og det mindste (den laveste") værdier, der skal findes. Sådanne værdier opnås eller V stationære punkter, tilhørende regionenD , eller på punkter, der ligger på grænsen til dette område. Dette fører til en enkel og gennemsigtig løsningsalgoritme:

Eksempel 1

I begrænset lukket område

Løsning: Først og fremmest skal du afbilde området på tegningen. Desværre er det teknisk svært for mig at lave en interaktiv model af problemet, og derfor vil jeg straks præsentere den endelige illustration, som viser alle de “mistænkelige” punkter fundet under researchen. De er normalt listet efter hinanden, efterhånden som de opdages:

Baseret på præamblen kan afgørelsen bekvemt opdeles i to punkter:

I) Find stationære punkter. Dette er en standardhandling, som vi udførte gentagne gange i klassen. om ekstrema af flere variable:

Fundet stationært punkt hører til områder: (mærk det på tegningen), hvilket betyder, at vi skal beregne værdien af ​​funktionen på et givet punkt:

- som i artiklen De største og mindste værdier af en funktion på et segment, vil jeg fremhæve vigtige resultater med fed skrift. Det er praktisk at spore dem i en notesbog med en blyant.

Vær opmærksom på vores anden lykke – det nytter ikke noget at tjekke tilstrækkelig betingelse for et ekstremum. Hvorfor? Selvom funktionen på et tidspunkt når f.eks. lokalt minimum, så BETYDER dette IKKE, at den resulterende værdi bliver minimal i hele regionen (se begyndelsen af ​​lektionen om ubetingede ekstremer) .

Hvad skal man gøre, hvis det stationære punkt IKKE hører til regionen? Næsten ingenting! Det skal bemærkes, og gå videre til næste punkt.

II) Vi udforsker grænsen til regionen.

Da grænsen består af siderne af en trekant, er det praktisk at opdele undersøgelsen i 3 underafsnit. Men det er bedre ikke at gøre det alligevel. Fra mit synspunkt er det først mere fordelagtigt at betragte segmenterne parallelt med koordinatakserne, og først og fremmest dem, der ligger på selve akserne. For at forstå hele rækkefølgen og logikken af ​​handlinger, prøv at studere slutningen "i ét åndedrag":

1) Lad os beskæftige os med den nederste side af trekanten. For at gøre dette skal du erstatte direkte i funktionen:

Alternativt kan du gøre det sådan her:

Geometrisk betyder det det koordinatplan (som også er givet af ligningen)"skærer" ud af overflader en "rumlig" parabel, hvis top straks kommer under mistanke. Lad os finde ud af det hvor befinder hun sig:

– den resulterende værdi "faldt" ind i området, og det kan det godt vise sig på det tidspunkt (markeret på tegningen) funktionen når den største eller mindste værdi i hele regionen. Lad os på en eller anden måde lave beregningerne:

De andre "kandidater" er selvfølgelig enderne af segmentet. Lad os beregne værdierne af funktionen i punkter (markeret på tegningen):

Her kan du i øvrigt udføre et mundtligt minitjek ved hjælp af en "strippet" version:

2) For at studere den højre side af trekanten skal du erstatte den med funktionen og "sæt tingene i rækkefølge":

Her vil vi straks udføre en grov kontrol og "ringe" den allerede behandlede ende af segmentet:
, Store.

Den geometriske situation er relateret til det foregående punkt:

- den resulterende værdi "kom også ind i vores interessesfære", hvilket betyder, at vi skal beregne, hvad funktionen på det viste punkt er lig med:

Lad os undersøge den anden ende af segmentet:

Brug af funktionen , lad os udføre et kontroltjek:

3) Sandsynligvis kan alle gætte, hvordan man udforsker den resterende side. Vi erstatter det i funktionen og udfører forenklinger:

Ender af segmentet er allerede blevet undersøgt, men i udkastet tjekker vi stadig, om vi har fundet funktionen korrekt :
– faldt sammen med resultatet af 1. afsnit;
– faldt sammen med resultatet af 2. afsnit.

Det er tilbage at finde ud af, om der er noget interessant inde i segmentet:

- Der er! Ved at erstatte den rette linje i ligningen får vi ordinaten af ​​denne "interessante":

Vi markerer et punkt på tegningen og finder den tilsvarende værdi af funktionen:

Lad os tjekke beregningerne ved hjælp af "budget"-versionen :
, ordre.

Og det sidste skridt: Vi ser omhyggeligt alle de "fed" numre igennem, jeg anbefaler, at begyndere endda laver en enkelt liste:

hvorfra vi vælger de største og mindste værdier. Svar Lad os skrive ned i stil med problemet med at finde de største og mindste værdier af en funktion på et segment:

For en sikkerheds skyld kommenterer jeg igen geometrisk betydning resultat:
– her er det højeste punkt på overfladen i regionen;
– her er overfladens laveste punkt i området.

I den analyserede opgave identificerede vi 7 "mistænkelige" punkter, men deres antal varierer fra opgave til opgave. For en trekantet region består det mindste "forskningssæt" af tre punkter. Dette sker, når funktionen f.eks. specificerer fly– det er helt klart, at der ikke er nogen stationære punkter, og funktionen kan kun nå sine maksimale/mindste værdier ved trekantens spidser. Men der er kun et eller to lignende eksempler – normalt skal man forholde sig til nogle overflade af 2. orden.

Hvis du prøver at løse sådanne opgaver lidt, så kan trekanter få dit hoved til at snurre, og det er derfor, jeg forberedte dig til dig usædvanlige eksempler så det bliver firkantet :))

Eksempel 2

Find de største og mindste værdier af en funktion i et lukket område afgrænset af linjer

Eksempel 3

Find de største og mindste værdier af en funktion i et begrænset lukket område.

Særlig opmærksomhed Vær opmærksom på den rationelle rækkefølge og teknik til at studere grænsen af ​​regionen, samt til kæden af ​​mellemliggende kontroller, som næsten helt vil undgå beregningsfejl. Generelt kan du løse det som du vil, men i nogle problemer, for eksempel i eksempel 2, er der alle muligheder for at gøre dit liv meget sværere. Et omtrentligt udsnit af de afsluttende opgaver i slutningen af ​​lektionen.

Lad os systematisere løsningsalgoritmen, ellers forsvandt den med min flid som edderkop i den lange tråd af kommentarer i det første eksempel:

– Ved det første trin bygger vi et område, det er tilrådeligt at skygge det og fremhæve grænsen med en fed streg. Under løsningen vil der dukke punkter op, som skal markeres på tegningen.

- Find stationære punkter og beregn værdierne for funktionen kun i dem af dem der hører til regionen. Vi fremhæver de resulterende værdier i teksten (cirkel dem for eksempel med en blyant). Hvis et stationært punkt IKKE hører til regionen, så markerer vi dette faktum med et ikon eller verbalt. Hvis der slet ikke er stationære punkter, så drager vi en skriftlig konklusion om, at de er fraværende. Under alle omstændigheder kan dette punkt ikke springes over!

- Vi udforsker grænsen til regionen. For det første er det en fordel at forstå de rette linjer, der er parallelle med koordinatakserne (hvis der overhovedet er nogen). Vi fremhæver også funktionsværdierne beregnet på "mistænkelige" punkter. Der er sagt meget ovenfor om løsningsteknikken og noget andet vil blive sagt nedenfor - læs, genlæs, dyk ned i det!

– Fra de valgte tal skal du vælge den største og mindste værdi og give svaret. Nogle gange sker det, at en funktion når sådanne værdier på flere punkter på én gang - i dette tilfælde skal alle disse punkter afspejles i svaret. Lad f.eks. og det viste sig, at dette er den mindste værdi. Så skriver vi det ned

De sidste eksempler er dedikeret til andre nyttige ideer som vil være nyttige i praksis:

Eksempel 4

Find de største og mindste værdier af en funktion i et lukket område .

Jeg har bibeholdt forfatterens formulering, hvor området er angivet i skemaet dobbelt ulighed. Denne betingelse kan skrives af et tilsvarende system eller i en mere traditionel form til dette problem:

Jeg minder dig om, at med ikke-lineær vi stødte på uligheder på, og hvis du ikke forstår den geometriske betydning af notationen, så lad være med at forsinke og afklare situationen lige nu;-)

Løsning, som altid begynder med at konstruere et område, der repræsenterer en slags "sål":

Hmm, nogle gange skal man ikke kun tygge videnskabens granit...

I) Find stationære punkter:

Systemet er en idiots drøm :)

Et stationært punkt hører til regionen, nemlig ligger på dens grænse.

Og så, det er okay... lektionen gik godt - det er, hvad det vil sige at drikke den rigtige te =)

II) Vi udforsker grænsen til regionen. Uden videre, lad os starte med x-aksen:

1) Hvis, så

Lad os finde ud af, hvor parablens toppunkt er:
– værdsæt sådanne øjeblikke – du har "ramt" lige til det punkt, hvorfra alt allerede er klart. Men vi glemmer stadig ikke at tjekke:

Lad os beregne værdierne af funktionen i enderne af segmentet:

2) Lad os beskæftige os med den nederste del af "sålen" "i ét møde" - uden komplekser erstatter vi den i funktionen, og vi vil kun være interesserede i segmentet:

Styring:

Dette giver allerede en vis spænding til den monotone kørsel langs den riflede bane. Lad os finde kritiske punkter:

Lad os bestemme andengradsligning, kan du huske noget andet om dette? ...Husk dog selvfølgelig, ellers ville du ikke læse disse linjer =) Hvis i to tidligere eksempler beregningerne var praktiske decimaler(hvilket i øvrigt er sjældent), så venter de sædvanlige os her almindelige brøker. Vi finder "X"-rødderne og bruger ligningen til at bestemme de tilsvarende "spil"-koordinater for "kandidat"-punkterne:


Lad os beregne værdierne af funktionen ved de fundne punkter:

Tjek selv funktionen.

Nu studerer vi omhyggeligt de vundne trofæer og skriver ned svar:

Det er "kandidater", det er "kandidater"!

For at løse det selv:

Eksempel 5

Find de mindste og største værdier af en funktion i et lukket område

En post med krøllede seler lyder sådan her: "et sæt punkter sådan."

Nogle gange i sådanne eksempler bruger de Lagrange multiplikator metode, men der er næppe et reelt behov for at bruge det. Så for eksempel, hvis en funktion med det samme område "de" er givet, så efter substitution i det - med afledt fra ingen vanskeligheder; Desuden er alt tegnet i "en linje" (med tegn) uden behov for at overveje de øvre og nedre halvcirkler separat. Men der er selvfølgelig også mere komplekse sager, hvor uden Lagrange-funktionen (hvor for eksempel er den samme ligning af en cirkel) Det er svært at klare sig - ligesom det er svært at klare sig uden et godt hvil!

God fornøjelse alle sammen og på gensyn i næste sæson!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: Lad os afbilde området på tegningen:

I denne artikel vil jeg tale om algoritme til at finde den største og mindste værdi funktioner, minimum og maksimum point.

Fra teorien vil det helt sikkert være nyttigt for os afledt tabel Og differentieringsregler. Det hele er på denne tallerken:

Algoritme til at finde de største og mindste værdier.

Det er mere praktisk for mig at forklare konkret eksempel. Overveje:

Eksempel: Find den største værdi af funktionen y=x^5+20x^3–65x på segmentet [–4;0].

Trin 1. Vi tager den afledte.

Y" = (x^5+20x^3-65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Trin 2. At finde ekstremum punkter.

Ekstremt punkt vi kalder de punkter, hvor funktionen når sin største eller mindste værdi.

For at finde ekstremumpunkterne skal du sidestille den afledede af funktionen til nul (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Lad os nu løse denne bi andengradsligning og de fundne rødder er vores yderpunkter.

Jeg løser sådanne ligninger ved at erstatte t = x^2, derefter 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Lad os reducere ligningen med 5, vi får: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Vi foretager den omvendte ændring x^2 = t:

X_(1 og 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 og 4) = ±sqrt(-13) (vi ekskluderer, der kan ikke være negative tal, medmindre vi taler om komplekse tal)

Total: x_(1) = 1 og x_(2) = -1 - det er vores ekstremumpunkter.

Trin 3. Bestem den største og mindste værdi.

Substitutionsmetode.

I betingelsen fik vi segmentet [b][–4;0]. Punktet x=1 er ikke inkluderet i dette segment. Så vi overvejer det ikke. Men ud over punktet x=-1 skal vi også overveje venstre og højre grænser for vores segment, det vil sige punkterne -4 og 0. For at gøre dette erstatter vi alle disse tre punkter i den oprindelige funktion. Bemærk, at den originale er den, der er givet i betingelsen (y=x^5+20x^3-65x), nogle mennesker begynder at erstatte den med den afledede...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Det betyder, at den største værdi af funktionen er [b]44, og den opnås ved punkt [b]-1, som kaldes det maksimale punkt for funktionen på segmentet [-4; 0].

Vi besluttede og fik et svar, vi er gode, du kan slappe af. Men stop! Synes du ikke, at det på en eller anden måde er for svært at beregne y(-4)? I forhold med begrænset tid er det bedre at bruge en anden metode, jeg kalder det dette:

Gennem intervaller af tegnkonstans.

Disse intervaller findes for den afledede af funktionen, det vil sige for vores biquadratiske ligning.

Jeg gør det sådan her. Jeg tegner et rettet segment. Jeg placerer punkterne: -4, -1, 0, 1. På trods af at 1 ikke er inkluderet i det givne segment, skal det stadig noteres for korrekt at bestemme fortegnskonstansintervallerne. Lad os tage et tal mange gange større end 1, f.eks. 100, og mentalt erstatte det i vores biquadratiske ligning 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Selv uden at tælle noget, bliver det indlysende, at ved punkt 100 funktion har plustegn. Det betyder, at for intervaller fra 1 til 100 har den et plustegn. Når man passerer gennem 1 (vi går fra højre mod venstre), vil funktionen skifte fortegn til minus. Når man passerer gennem punkt 0, vil funktionen beholde sit fortegn, da dette kun er segmentets grænse og ikke ligningens rod. Når man passerer gennem -1, vil funktionen igen skifte fortegn til plus.

Fra teorien ved vi, at hvor den afledede af funktionen er (og vi tegnede det netop for det) skifter fortegn fra plus til minus (punkt -1 i vores tilfælde) funktion når sit lokale maksimum (y(-1)=44, som beregnet tidligere) på dette segment (dette er logisk meget forståeligt, funktionen holdt op med at stige, fordi den nåede sit maksimum og begyndte at falde).

Følgelig, hvor den afledede af funktionen skifter fortegn fra minus til plus, er opnået lokalt minimum af en funktion. Ja, ja, vi fandt også, at det lokale minimumspunkt er 1, og y(1) er minimumsværdien af ​​funktionen på segmentet, f.eks. fra -1 til +∞. Bemærk venligst, at dette kun er et LOKALT MINIMUM, det vil sige et minimum på et bestemt segment. Da det reelle (globale) minimum af funktionen vil nå et sted der, ved -∞.

Efter min mening er den første metode mere simpel teoretisk, og den anden er enklere set fra et synspunkt aritmetiske operationer, men meget mere kompliceret ud fra et teoretisk synspunkt. Når alt kommer til alt, er der nogle gange tilfælde, hvor funktionen ikke skifter fortegn, når den passerer gennem roden af ​​ligningen, og generelt kan du blive forvekslet med disse lokale, globale maksima og minima, selvom du alligevel skal mestre dette godt, hvis du planlægger at gå ind på et teknisk universitet (og hvorfor ellers tage profilen Unified State Exam og løse denne opgave). Men øvelse og kun øvelse vil lære dig at løse sådanne problemer én gang for alle. Og du kan træne på vores hjemmeside. Her .

Hvis du har spørgsmål eller noget er uklart, så spørg endelig. Jeg vil med glæde svare dig og foretage ændringer og tilføjelser til artiklen. Husk, at vi laver denne side sammen!

I praksis er det ret almindeligt at bruge den afledede til at beregne den største og mindste værdi af en funktion. Vi udfører denne handling, når vi finder ud af, hvordan vi kan minimere omkostningerne, øge fortjenesten, beregne optimal belastning til produktion mv., det vil sige i tilfælde, hvor det er nødvendigt at bestemme den optimale værdi af en parameter. For at løse sådanne problemer korrekt, skal du have en god forståelse af, hvad de største og mindste værdier af en funktion er.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Typisk definerer vi disse værdier inden for et bestemt interval x, som igen kan svare til hele domænet af funktionen eller en del af den. Det kan være som et segment [a; b ] , og åbent interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), uendeligt interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) eller uendeligt interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞ ), (- ∞ ; + ∞) .

I dette materiale vil vi fortælle dig, hvordan du beregner de største og mindste værdier af en eksplicit defineret funktion med en variabel y=f(x) y = f (x) .

Grundlæggende definitioner

Lad os starte, som altid, med formuleringen af ​​grundlæggende definitioner.

Definition 1

Den største værdi af funktionen y = f (x) på et bestemt interval x er værdien m a x y = f (x 0) x ∈ X, som for enhver værdi x x ∈ X, x ≠ x 0 gør uligheden f (x) ≤ f (x) gyldig 0) .

Definition 2

Den mindste værdi af funktionen y = f (x) på et bestemt interval x er værdien m i n x ∈ X y = f (x 0) , som for enhver værdi x ∈ X, x ≠ x 0 gør uligheden f(X f) (x) ≥ f (x 0).

Disse definitioner er ret indlysende. Endnu enklere kan vi sige dette: den største værdi af en funktion er dens mest stor betydning på et kendt interval ved abscisse x 0, og den mindste er den mindste accepterede værdi på det samme interval ved x 0.

Definition 3

Stationære punkter er de værdier af argumentet for en funktion, hvor dens afledte bliver 0.

Hvorfor skal vi vide, hvad stationære punkter er? For at besvare dette spørgsmål skal vi huske Fermats sætning. Det følger heraf, at et stationært punkt er det punkt, hvor yderpunktet af den differentiable funktion er placeret (dvs. dets lokale minimum eller maksimum). Følgelig vil funktionen tage den mindste eller største værdi på et bestemt interval præcist i et af de stationære punkter.

En funktion kan også antage den største eller mindste værdi på de punkter, hvor selve funktionen er defineret, og dens første afledede ikke eksisterer.

Det første spørgsmål, der opstår, når man studerer dette emne: i alle tilfælde kan vi bestemme den største eller mindste værdi af en funktion på et givet interval? Nej, det kan vi ikke, når grænserne for et givet interval falder sammen med grænserne for definitionsområdet, eller hvis vi har at gøre med et uendeligt interval. Det sker også, at en funktion i et givent segment eller ved uendelig vil tage uendeligt lille eller uendeligt store værdier. I disse tilfælde er det ikke muligt at bestemme den største og/eller mindste værdi.

Disse punkter vil blive tydeligere efter at være afbildet på graferne:

Den første figur viser os en funktion, der tager de største og mindste værdier (m a x y og m i n y) ved stationære punkter placeret på segmentet [-6; 6].

Lad os undersøge i detaljer det tilfælde, der er angivet i den anden graf. Lad os ændre værdien af ​​segmentet til [ 1 ; 6 ] og vi finder, at den største værdi af funktionen vil blive opnået ved punktet med abscissen på højre grænse af intervallet, og den mindste ved stationært punkt.

I den tredje figur repræsenterer punkternes abscisser segmentets grænsepunkter [-3; 2]. De svarer til den største og mindste værdi af en given funktion.

Lad os nu se på det fjerde billede. I den tager funktionen m a x y (den største værdi) og m i n y (den mindste værdi) ved stationære punkter på det åbne interval (- 6; 6).

Hvis vi tager intervallet [ 1 ; 6), så kan vi sige, at den mindste værdi af funktionen på den vil blive opnået ved et stationært punkt. Den største værdi vil være ukendt for os. Funktionen kunne tage sin maksimale værdi ved x lig med 6, hvis x = 6 hørte til intervallet. Dette er præcis tilfældet vist i graf 5.

I graf 6 får denne funktion sin mindste værdi ved den højre grænse af intervallet (- 3; 2 ], og vi kan ikke drage sikre konklusioner om den største værdi.

I figur 7 ser vi, at funktionen vil have m a x y i et stationært punkt med en abscisse lig med 1. Funktionen vil nå sin minimumsværdi ved grænsen af ​​intervallet på højre side. Ved minus uendelig vil funktionsværdierne asymptotisk nærme sig y = 3.

Hvis vi tager intervallet x ∈ 2 ; + ∞ , så vil vi se, at den givne funktion hverken vil tage den mindste eller den største værdi på den. Hvis x har en tendens til 2, så vil værdierne af funktionen have en tendens til minus uendelig, da den lige linje x = 2 er en lodret asymptote. Hvis abscissen har en tendens til plus uendelig, vil funktionsværdierne asymptotisk nærme sig y = 3. Dette er præcis tilfældet vist i figur 8.

I dette afsnit vil vi præsentere rækkefølgen af ​​handlinger, der skal udføres for at finde den største eller mindste værdi af en funktion på et bestemt segment.

1. Lad os først finde definitionsdomænet for funktionen. Lad os kontrollere, om det segment, der er angivet i betingelsen, er inkluderet i det.
2. Lad os nu beregne de punkter, der er indeholdt i dette segment, hvor den første afledte ikke eksisterer. Oftest kan de findes i funktioner, hvis argument er skrevet under modultegnet eller i magt funktioner, hvis eksponent er et fraktionelt rationelt tal.
3. Dernæst vil vi finde ud af, hvilke stationære punkter der falder i det givne segment. For at gøre dette skal du beregne den afledede af funktionen, derefter sidestille den med 0 og løse den resulterende ligning og derefter vælge de relevante rødder. Hvis vi ikke får et enkelt stationært punkt, eller de ikke falder ind i det givne segment, så går vi videre til næste trin.
4. Vi bestemmer, hvilke værdier funktionen vil tage ved givne stationære punkter (hvis nogen), eller på de punkter, hvor den første afledede ikke eksisterer (hvis der er nogen), eller vi beregner værdierne for x = a og x = b.
5. 5. Vi har en række funktionsværdier, hvorfra vi nu skal vælge den største og mindste. Disse vil være de største og mindste værdier af funktionen, som vi skal finde.

Lad os se, hvordan du korrekt anvender denne algoritme, når du løser problemer.

Eksempel 1

Tilstand: funktionen y = x 3 + 4 x 2 er givet. Bestem dens største og mindste værdier på segmenterne [1; 4] og [-4; -1].

Løsning:

Lad os starte med at finde definitionsdomænet for en given funktion. I dette tilfælde vil hun have meget af alle reelle tal undtagen 0. Med andre ord, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Begge segmenter angivet i betingelsen vil være inden for definitionsområdet.

Nu beregner vi den afledede af funktionen i henhold til reglen om brøkdifferentiering:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Vi lærte, at den afledede af en funktion vil eksistere på alle punkter af segmenterne [1; 4] og [-4; -1].

Nu skal vi bestemme funktionens stationære punkter. Lad os gøre dette ved at bruge ligningen x 3 - 8 x 3 = 0. Den har kun én rigtig rod, som er 2. Det vil være et stationært punkt i funktionen og vil falde ind i det første segment [1; 4].

Lad os beregne værdierne af funktionen i enderne af det første segment og på dette tidspunkt, dvs. for x = 1, x = 2 og x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Vi fandt, at den største værdi af funktionen m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 vil blive opnået ved x = 1, og den mindste m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – ved x = 2.

Det andet segment inkluderer ikke et enkelt stationært punkt, så vi skal kun beregne funktionsværdierne i enderne af det givne segment:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Dette betyder m a x y x ∈ [-4; -1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [-4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Svar: For segmentet [1; 4] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, for segmentet [-4; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; -1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [-4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Se billede:

Før du studerer denne metode, råder vi dig til at gennemgå, hvordan man korrekt beregner den ensidige grænse og grænsen ved uendelig, samt lære de grundlæggende metoder til at finde dem. For at finde den største og/eller mindste værdi af en funktion på et åbent eller uendeligt interval skal du udføre følgende trin sekventielt.

1. Først skal du kontrollere, om det givne interval vil være en delmængde af domænet for den givne funktion.
2. Lad os bestemme alle punkter, der er indeholdt i det krævede interval, og hvor den første afledte ikke eksisterer. De forekommer normalt for funktioner, hvor argumentet er indesluttet i modultegnet, og for potensfunktioner med en brøkrationel eksponent. Hvis disse punkter mangler, kan du fortsætte til næste trin.
3. Lad os nu bestemme, hvilke stationære punkter der falder inden for det givne interval. Først sætter vi lighedstegn mellem den afledede og 0, løser ligningen og vælger passende rødder. Hvis vi ikke har et enkelt stationært punkt, eller de ikke falder inden for det givne interval, så går vi straks til yderligere tiltag. De bestemmes af typen af ​​interval.

• Hvis intervallet er af formen [ a ; b) , så skal vi beregne værdien af ​​funktionen i punktet x = a og den ensidige grænse lim x → b - 0 f (x) .
• Hvis intervallet har formen (a; b ], så skal vi beregne værdien af ​​funktionen i punktet x = b og den ensidige grænse lim x → a + 0 f (x).
• Hvis intervallet har formen (a; b), så skal vi beregne de ensidige grænser lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Hvis intervallet er af formen [ a ; + ∞), så skal vi beregne værdien ved punktet x = a og grænsen ved plus uendelig lim x → + ∞ f (x) .
• Hvis intervallet ser ud som (- ∞ ; b ] , beregner vi værdien i punktet x = b og grænsen ved minus uendelig lim x → - ∞ f (x) .
• Hvis - ∞ ; b , så betragter vi den ensidige grænse lim x → b - 0 f (x) og grænsen ved minus uendelig lim x → - ∞ f (x)
• Hvis - ∞; + ∞ , så betragter vi grænserne på minus og plus uendeligt lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Til sidst skal du drage en konklusion baseret på de opnåede funktionsværdier og grænser. Der er mange muligheder her. Så hvis den ensidige grænse er lig med minus uendelig eller plus uendelig, så er det umiddelbart klart, at der ikke kan siges noget om de mindste og største værdier af funktionen. Nedenfor vil vi se på en typisk eksempel. Detaljerede beskrivelser vil hjælpe dig med at forstå, hvad der er hvad. Om nødvendigt kan du vende tilbage til figur 4 - 8 i den første del af materialet.

Eksempel 2

Betingelse: givet funktion y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Beregn dens største og mindste værdi i intervallerne - ∞; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ], (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ), 2 ; +∞, [4; + ∞).

Løsning

Først og fremmest finder vi funktionens definitionsdomæne. Brøkens nævner indeholder kvadratisk trinomium, som ikke bør gå til 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Vi har fået definitionsdomænet for den funktion, som alle de intervaller, der er angivet i betingelsen, tilhører.

Lad os nu differentiere funktionen og få:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Følgelig eksisterer afledte af en funktion gennem hele dens definitionsdomæne.

Lad os gå videre til at finde stationære punkter. Den afledede af funktionen bliver 0 ved x = - 1 2 . Dette er et stationært punkt, der ligger i intervallerne (- 3 ; 1 ] og (- 3 ; 2) .

Lad os beregne værdien af ​​funktionen ved x = - 4 for intervallet (- ∞ ; - 4 ], samt grænsen ved minus uendelig:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Da 3 e 1 6 - 4 > - 1 betyder det, at m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Dette tillader os ikke entydigt at bestemme den mindste værdi af Vi kan kun konkludere, at der er en begrænsning under - 1, da det er til denne værdi, at funktionen nærmer sig asymptotisk ved minus uendelig.

Det særlige ved det andet interval er, at der ikke er et enkelt stationært punkt og ikke en enkelt streng grænse i det. Vi vil derfor ikke være i stand til at beregne hverken den største eller mindste værdi af funktionen. Efter at have defineret grænsen ved minus uendeligt og da argumentet har en tendens til - 3 på venstre side, får vi kun et interval af værdier:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Dette betyder, at funktionsværdierne vil være placeret i intervallet - 1; +∞

For at finde den største værdi af funktionen i det tredje interval, bestemmer vi dens værdi ved det stationære punkt x = - 1 2, hvis x = 1. Vi bliver også nødt til at kende den ensidige grænse for sagen, når argumentet har en tendens til - 3 på højre side:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Det viste sig, at funktionen vil tage den største værdi i et stationært punkt m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Hvad angår den mindste værdi, kan vi ikke bestemme den. Alt hvad vi ved , er tilstedeværelsen af ​​en nedre grænse til -4.

For intervallet (- 3 ; 2) skal du tage resultaterne af den foregående beregning og igen beregne, hvad den ensidige grænse er lig med, når du har tendens til 2 i venstre side:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Det betyder, at m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, og den mindste værdi kan ikke bestemmes, og værdierne af funktionen begrænses nedefra af tallet - 4 .

Ud fra det, vi fik i de to foregående beregninger, kan vi sige, at på intervallet [1; 2) funktionen vil tage den største værdi ved x = 1, men det er umuligt at finde den mindste.

På intervallet (2 ; + ∞) når funktionen hverken den største eller den mindste værdi, dvs. det vil tage værdier fra intervallet - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Efter at have beregnet, hvad værdien af ​​funktionen vil være lig ved x = 4, finder vi ud af, at m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , og den givne funktion ved plus uendelig vil asymptotisk nærme sig den rette linje y = - 1 .

Lad os sammenligne, hvad vi fik i hver beregning med grafen for den givne funktion. På figuren er asymptoterne vist med stiplede linjer.

Det var alt, hvad vi ville fortælle dig om at finde de største og mindste værdier af en funktion. De handlingssekvenser, vi har givet, hjælper dig med at foretage de nødvendige beregninger så hurtigt og enkelt som muligt. Men husk, at det ofte er nyttigt først at finde ud af, med hvilke intervaller funktionen vil falde, og med hvilken den øges, hvorefter du kan drage yderligere konklusioner. På denne måde kan du mere præcist bestemme de største og mindste værdier af funktionen og retfærdiggøre de opnåede resultater.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Lad funktionen y =f(X) er kontinuerlig i intervallet [ a, b]. Som det er kendt, når en sådan funktion sine maksimum- og minimumværdier på dette segment. Funktionen kan tage disse værdier enten ved segmentets indre punkt [ a, b], eller på segmentets grænse.

For at finde de største og mindste værdier af en funktion på segmentet [ a, b] nødvendigt:

1) find de kritiske punkter for funktionen i intervallet ( a, b);

2) beregn værdierne af funktionen ved de fundne kritiske punkter;

3) beregn værdierne af funktionen i enderne af segmentet, det vil sige hvornår x=EN og x = b;

4) fra alle beregnede værdier af funktionen, vælg den største og mindste.

Eksempel. Find de største og mindste værdier af en funktion

på segmentet.

Find kritiske punkter:

Disse punkter ligger inde i segmentet; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

på punktet x= 3 og på punktet x= 0.

Undersøgelse af en funktion for konveksitet og bøjningspunkt.

Fungere y = f (x) hedder konveks ind i mellem (-en, b) , hvis dens graf ligger under tangenten tegnet på et hvilket som helst punkt i dette interval, og kaldes konveks ned (konkav), hvis dens graf ligger over tangenten.

Punktet, hvorigennem konveksiteten erstattes af konkavitet eller omvendt, kaldes bøjningspunkt.

Algoritme til undersøgelse af konveksitet og bøjningspunkt:

1. Find kritiske punkter af den anden slags, det vil sige punkter, hvor den anden afledede er lig med nul eller ikke eksisterer.

2. Plot kritiske punkter på tallinjen, opdel den i intervaller. Find tegnet for den anden afledede på hvert interval; hvis , så er funktionen konveks opad, hvis, så er funktionen konveks nedad.

3. Hvis fortegnet ændres, når man passerer gennem et kritisk punkt af den anden art, og på dette tidspunkt er den anden afledede lig med nul, så er dette punkt abscissen af ​​bøjningspunktet. Find dens ordinat.

Asymptoter af grafen for en funktion. Undersøgelse af en funktion for asymptoter.

Definition. Asymptoten af ​​grafen for en funktion kaldes lige, som har den egenskab, at afstanden fra ethvert punkt på grafen til denne linje har en tendens til nul, da punktet på grafen bevæger sig uendeligt fra origo.

Der er tre typer af asymptoter: lodret, vandret og skråtstillet.

Definition. Den rette linje kaldes lodret asymptote funktionsgrafik y = f(x), hvis mindst en af ​​de ensidige grænser for funktionen på dette tidspunkt er lig med uendelig, dvs.

hvor er diskontinuitetspunktet for funktionen, det vil sige, den hører ikke til definitionsdomænet.

Eksempel.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – knækpunkt.

Definition. Lige y =EN hedder vandret asymptote funktionsgrafik y = f(x) kl, hvis

Eksempel.

x
y

Definition. Lige y =kx +b (k≠ 0) kaldes skrå asymptote funktionsgrafik y = f(x) Hvor

Generelt skema til undersøgelse af funktioner og konstruktion af grafer.

Funktionsforskningsalgoritmey = f(x) :

1. Find funktionens domæne D (y).

2. Find (hvis muligt) skæringspunkterne for grafen med koordinatakserne (hvis x= 0 og at y = 0).

3. Undersøg funktionens jævnhed og mærkværdighed ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ ulige).

4. Find asymptoterne for funktionens graf.

5. Find intervallerne for monotoni af funktionen.

6. Find yderpunkterne for funktionen.

7. Find funktionsgrafens intervaller for konveksitet (konkavitet) og bøjningspunkter.

8. Konstruer en graf over funktionen på baggrund af den udførte forskning.

Eksempel. Udforsk funktionen og byg dens graf.

1) D (y) =

x= 4 – knækpunkt.

2) Hvornår x = 0,

(0; ‒ 5) – skæringspunkt med åh.

På y = 0,

3) y(‒ x)= fungere generel opfattelse(hverken lige eller ulige).

4) Vi undersøger for asymptoter.

a) lodret

b) vandret

c) find de skrå asymptoter hvor

‒skrå asymptote-ligning

5) I denne ligning er det ikke nødvendigt at finde intervaller for monotoni af funktionen.

6)

Disse kritiske punkter opdeler hele definitionsdomænet af funktionen i intervallet (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) og (10; +∞). Det er praktisk at præsentere de opnåede resultater i form af følgende tabel.