Sådan læser du den grundlæggende logaritmiske identitet. Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Logaritme af et tal N baseret på EN kaldet eksponent x , som du skal bygge til EN for at få nummeret N

Forudsat at
,
,

Af definitionen af ​​logaritme følger det
, dvs.
- denne lighed er den grundlæggende logaritmiske identitet.

Logaritmer til base 10 kaldes decimallogaritmer. I stedet for
skrive
.

Logaritmer til basen e kaldes naturlige og betegnes
.

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer.

Logaritmen af ​​en er lig med nul for enhver base.

Logaritme af produktet lig med summen logaritmer af faktorer.

3) Kvotientens logaritme er lig med forskellen mellem logaritmerne

Faktor
kaldes overgangsmodulet fra logaritmer til basen -en til logaritmer ved basen b .

Ved at bruge egenskaberne 2-5 er det ofte muligt at reducere logaritmen af ​​et komplekst udtryk til resultatet af simple. aritmetiske operationer over logaritmer.

For eksempel,

Sådanne transformationer af en logaritme kaldes logaritmer. Transformationer omvendt til logaritmer kaldes potensering.

Kapitel 2. Elementer i højere matematik.

1. Grænser

Funktionens grænse
er et endeligt tal A hvis, som xx 0 for hver forudbestemt
, der er sådan et nummer
det så snart
, At
.

En funktion, der har en grænse, adskiller sig fra den med et uendeligt lille beløb:
, hvor- b.m.v., dvs.
.

Eksempel. Overvej funktionen
.

Når man stræber
, funktion y har en tendens til nul:

1.1. Grundlæggende teoremer om grænser.

Grænsen for en konstant værdi er lig med denne konstante værdi

.

Grænsen for summen (forskellen) af et begrænset antal funktioner er lig summen (forskellen) af grænserne for disse funktioner.

Grænsen for produktet af et begrænset antal funktioner er lig med produktet af grænserne for disse funktioner.

Grænsen for kvotienten af ​​to funktioner er lig med kvotienten af ​​grænserne for disse funktioner, hvis grænsen for nævneren ikke er nul.

Vidunderlige grænser

,
, Hvor

1.2. Eksempler på grænseberegning

Det er dog ikke alle grænser, der beregnes så let. Oftere kommer beregning af grænsen ned til at afsløre en usikkerhed af typen: eller .

.

2. Afledt af en funktion

Lad os have en funktion
, kontinuerlig på segmentet
.

Argument fået en vis stigning
. Så vil funktionen modtage en stigning
.

Argument værdi svarer til funktionsværdien
.

Argument værdi
svarer til funktionsværdien.

Derfor,.

Lad os finde grænsen for dette forhold ved
. Hvis denne grænse eksisterer, så kaldes den den afledede af den givne funktion.

Definition 3 Afledt af en given funktion
ved argumentation kaldes grænsen for forholdet mellem stigningen af ​​en funktion og stigningen af ​​argumentet, når stigningen af ​​argumentet vilkårligt har en tendens til nul.

Afledt af en funktion
kan betegnes som følger:

; ; ; .

Definition 4 Operationen med at finde den afledede af en funktion kaldes differentiering.

2.1. Mekanisk betydning af afledt.

Lad os overveje den retlinede bevægelse af et eller andet stift legeme eller materialepunkt.

Lad på et tidspunkt bevægende punkt
var på afstand fra startpositionen
.

Efter nogen tid
hun flyttede sig et stykke
. Holdning =- gennemsnitshastighed materiale punkt
. Lad os finde grænsen for dette forhold under hensyntagen til det
.

Som følge heraf reduceres bestemmelsen af ​​den øjeblikkelige bevægelseshastighed af et materialepunkt til at finde den afledede af stien med hensyn til tid.

2.2. Geometrisk værdi af afledt

Lad os have en grafisk defineret funktion
.

Ris. 1. Geometrisk betydning af afledt

Hvis
, så peg
, vil bevæge sig langs kurven og nærme sig punktet
.

Derfor
, dvs. værdien af ​​den afledte for en given værdi af argumentet numerisk lig med tangenten til den vinkel, der dannes af tangenten i et givet punkt med aksens positive retning
.

2.3. Tabel over grundlæggende differentieringsformler.

Power funktion

Eksponentiel funktion

Logaritmisk funktion

Trigonometrisk funktion

Baglæns trigonometrisk funktion

2.4. Regler for differentiering.

Afledt af

Afledt af summen (forskellen) af funktioner

Afledt af produktet af to funktioner

Afledt af kvotienten af ​​to funktioner

2.5. Afledt af en kompleks funktion.

Lad funktionen være givet
sådan at det kan repræsenteres i formen

Og
, hvor variablen er altså et mellemargument

Den afledte af en kompleks funktion er lig med produktet af den afledede af den givne funktion med hensyn til det mellemliggende argument og den afledte af det mellemliggende argument med hensyn til x.

Eksempel 1.

Eksempel 2.

3. Differentialfunktion.

Lad der være
, differentierbar på et bestemt interval
Giv slip på denne funktion har en afledt

,

så kan vi skrive

(1),

Hvor - en uendelig lille mængde,

siden hvornår

Multiplicer alle udtryk for ligestilling (1) med
vi har:

Hvor
- b.m.v. højere orden.

Størrelse
kaldes funktionens differentiale
og er udpeget

.

3.1. Geometrisk værdi af differentialet.

Lad funktionen være givet
.

Fig.2. Geometrisk betydning af differential.

.

Det er klart, differentialet af funktionen
er lig med inkrementet af tangentens ordinat i et givet punkt.

3.2. Derivater og differentialer af forskellige rækkefølger.

Hvis der
, Derefter
kaldes den første afledte.

Den afledte af den første afledte kaldes andenordens afledte og skrives
.

Afledt af funktionens n. orden
kaldes (n-1) ordens afledte og skrives:

.

Differentialet af differentialet af en funktion kaldes anden differential eller anden ordens differential.

.

.

3.3 Løsning af biologiske problemer ved hjælp af differentiering.

Opgave 1. Undersøgelser har vist, at væksten af ​​en koloni af mikroorganismer adlyder loven
, Hvor N - antal mikroorganismer (i tusindvis), t – tid (dage).

b) Vil koloniens befolkning stige eller falde i denne periode?

Svar. Størrelsen af ​​kolonien vil stige.

Opgave 2. Vandet i søen testes med jævne mellemrum for at overvåge indholdet af sygdomsfremkaldende bakterier. igennem t dage efter testning bestemmes koncentrationen af ​​bakterier af forholdet

.

Hvornår vil søen have en minimumskoncentration af bakterier, og vil det være muligt at svømme i den?

Løsning: En funktion når max eller min, når dens afledte er nul.

,

Lad os bestemme max eller min vil være om 6 dage. For at gøre dette, lad os tage den anden afledede.

Svar: Efter 6 dage vil der være en minimumskoncentration af bakterier.

Instruktioner

Skriv det givne logaritmiske udtryk. Hvis udtrykket bruger logaritmen 10, forkortes dets notation og ser således ud: lg b er decimallogaritmen. Hvis logaritmen har tallet e som grundtal, så skriv udtrykket: ln b – naturlig logaritme. Det er underforstået, at resultatet af enhver er den potens, hvortil grundtallet skal hæves for at opnå tallet b.

Når du finder summen af ​​to funktioner, skal du blot differentiere dem en efter en og tilføje resultaterne: (u+v)" = u"+v";

Når man finder den afledede af produktet af to funktioner, er det nødvendigt at gange den afledede af den første funktion med den anden og tilføje den afledede af den anden funktion ganget med den første funktion: (u*v)" = u"*v +v"*u;

For at finde den afledte af kvotienten af ​​to funktioner, er det nødvendigt at trække produktet af den afledte af divisoren ganget med divisorfunktionen fra produktet af den afledte af divisoren ganget med funktionen af ​​divisoren, og dividere alt dette med divisorfunktionen i anden. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Hvis givet kompleks funktion, så er det nødvendigt at gange den afledte af den indre funktion og den afledede af den eksterne. Lad y=u(v(x)), derefter y"(x)=y"(u)*v"(x).

Ved hjælp af resultaterne opnået ovenfor kan du differentiere næsten enhver funktion. Så lad os se på et par eksempler:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Der er også problemer med at beregne den afledte på et punkt. Lad funktionen y=e^(x^2+6x+5) være givet, du skal finde værdien af ​​funktionen i punktet x=1.
1) Find den afledede af funktionen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Beregn værdien af ​​funktionen i et givet punkt y"(1)=8*e^0=8

Video om emnet

Nyttige råd

Lær tabellen over elementære derivater. Dette vil spare tid betydeligt.

Kilder:

• afledet af en konstant

Så hvad er forskellen? ir rationel ligning fra det rationelle? Hvis den ukendte variabel er under tegnet kvadrat rod, så betragtes ligningen som irrationel.

Instruktioner

Den vigtigste metode til at løse sådanne ligninger er metoden til at konstruere begge sider ligninger ind i en firkant. Imidlertid. dette er naturligt, det første du skal gøre er at slippe af med skiltet. Denne metode er ikke teknisk vanskelig, men nogle gange kan det føre til problemer. For eksempel er ligningen v(2x-5)=v(4x-7). Ved at kvadrere begge sider får du 2x-5=4x-7. At løse en sådan ligning er ikke svært; x=1. Men tallet 1 vil ikke blive givet ligninger. Hvorfor? Erstat en i ligningen i stedet for værdien af ​​x Og højre og venstre side vil indeholde udtryk, der ikke giver mening, dvs. Denne værdi er ikke gyldig for en kvadratrod. Derfor er 1 en uvedkommende rod, og derfor har denne ligning ingen rødder.

Så en irrationel ligning løses ved at bruge metoden til at kvadrere begge dens sider. Og efter at have løst ligningen, er det nødvendigt at afskære uvedkommende rødder. For at gøre dette skal du erstatte de fundne rødder i den oprindelige ligning.

Overvej en anden.
2х+vх-3=0
Selvfølgelig kan denne ligning løses ved hjælp af den samme ligning som den forrige. Flyt forbindelser ligninger, som ikke har en kvadratrod, til højre og brug derefter kvadratmetoden. løse den resulterende rationelle ligning og rødder. Men også en anden, mere elegant. Indtast en ny variabel; vх=y. Derfor vil du modtage en ligning på formen 2y2+y-3=0. Altså det sædvanlige andengradsligning. Find dens rødder; y1=1 og y2=-3/2. Løs derefter to ligninger vх=1; vх=-3/2. Den anden ligning har ingen rødder fra den første finder vi, at x=1. Glem ikke at tjekke rødderne.

At løse identiteter er ret simpelt. For at gøre dette er det nødvendigt at udføre identiske transformationer, indtil det fastsatte mål er nået. Ved hjælp af simple aritmetiske operationer løses opgaven således.

Du får brug for

• - papir;
• - pen.

Instruktioner

Den enkleste af sådanne transformationer er algebraiske forkortede multiplikationer (såsom kvadratet af summen (forskel), kvadratforskellen, sum (forskel), terning af summen (forskel)). Derudover er der mange trigonometriske formler, som i det væsentlige er de samme identiteter.

Faktisk er kvadratet af summen af ​​to led lig med kvadratet af det første plus to gange produktet af det første med det andet og plus kvadratet af det andet, det vil sige (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Forenkle begge dele

Generelle principper for løsningen

Gennemgå din calculus lærebog eller højere matematik, hvilket er et bestemt integral. Løsningen til et bestemt integral er som bekendt en funktion, hvis afledede vil give en integrand. Denne funktion kaldes antiderivat. Ud fra dette princip konstrueres hovedintegralerne.
Bestem ved formen af ​​integranden, hvilken af ​​tabelintegralerne der passer ind I dette tilfælde. Det er ikke altid muligt at fastslå dette med det samme. Ofte bliver tabelformen først mærkbar efter flere transformationer for at forenkle integranden.

Variabel udskiftningsmetode

Hvis integranden er en trigonometrisk funktion, hvis argument er et polynomium, så prøv at bruge ændring af variable-metoden. For at gøre dette skal du erstatte polynomiet i integrandens argument med en ny variabel. Baseret på forholdet mellem de nye og gamle variable, bestemme de nye grænser for integration. Ved at differentiere dette udtryk, find den nye differentiale i . Så du får den nye slags af det foregående integral, tæt på eller endda svarende til et hvilket som helst tabelformet.

Løsning af integraler af anden art

Hvis integralet er et integral af den anden slags, en vektorform af integranden, så skal du bruge reglerne for overgangen fra disse integraler til skalære. En sådan regel er Ostrogradsky-Gauss-forholdet. Denne lov tillader os at bevæge os fra rotorfluxen af ​​en bestemt vektorfunktion til det tredobbelte integral over divergensen af ​​et givet vektorfelt.

Substitution af integrationsgrænser

Efter at have fundet antiderivatet, er det nødvendigt at erstatte grænserne for integration. Først skal du erstatte værdien af ​​den øvre grænse med udtrykket for antiderivatet. Du får et nummer. Derefter trækkes et andet tal fra den nedre grænse fra det resulterende tal til antiderivatet. Hvis en af ​​grænserne for integration er uendelighed, så når man erstatter det med antiderivat funktion det er nødvendigt at gå til grænsen og finde, hvad udtrykket stræber efter.
Hvis integralet er todimensionelt eller tredimensionelt, så bliver du nødt til at repræsentere grænserne for integration geometrisk for at forstå, hvordan man kan evaluere integralet. Faktisk, i tilfælde af, f.eks. et tredimensionelt integral, kan grænserne for integration være hele planer, der begrænser det volumen, der integreres.

Som du ved, når man multiplicerer udtryk med potenser, summeres deres eksponenter altid (a b *a c = a b+c). Denne matematiske lov blev udledt af Arkimedes, og senere, i det 8. århundrede, skabte matematikeren Virasen en tabel med heltalseksponenter. Det var dem, der tjente til den videre opdagelse af logaritmer. Eksempler på brug af denne funktion kan findes næsten overalt, hvor du skal forenkle besværlig multiplikation ved simpel addition. Hvis du bruger 10 minutter på at læse denne artikel, vil vi forklare dig, hvad logaritmer er, og hvordan du arbejder med dem. I et enkelt og tilgængeligt sprog.

Definition i matematik

En logaritme er et udtryk af følgende form: log a b=c, dvs. logaritmen af ​​ethvert ikke-negativt tal (det vil sige ethvert positivt) "b" til dets grundtal "a" anses for at være potensen "c ”, hvortil grundtallet "a" skal hæves for i sidste ende at få værdien "b". Lad os analysere logaritmen ved hjælp af eksempler, lad os sige, at der er et udtryk log 2 8. Hvordan finder man svaret? Det er meget enkelt, du skal finde en potens, så du fra 2 til den nødvendige effekt får 8. Efter at have lavet nogle beregninger i dit hoved, får vi tallet 3! Og det er sandt, fordi 2 i 3 potens giver svaret som 8.

Typer af logaritmer

For mange elever og studerende virker dette emne kompliceret og uforståeligt, men faktisk er logaritmer ikke så skræmmende, det vigtigste er at forstå deres generelle betydning og huske deres egenskaber og nogle regler. Der er tre separate typer logaritmiske udtryk:

1. Naturlig logaritme ln a, hvor grundtallet er Euler-tallet (e = 2,7).
2. Decimal a, hvor grundtallet er 10.
3. Logaritme af ethvert tal b til grundtal a>1.

Hver af dem er besluttet på en standard måde, som omfatter forenkling, reduktion og efterfølgende reduktion til én logaritme ved hjælp af logaritmiske sætninger. For at opnå de korrekte værdier af logaritmer skal du huske deres egenskaber og rækkefølgen af ​​handlinger, når du løser dem.

Regler og nogle begrænsninger

I matematik er der flere regler-begrænsninger, der accepteres som et aksiom, det vil sige, at de ikke er genstand for diskussion og er sandheden. For eksempel er det umuligt at dividere tal med nul, og det er også umuligt at udtrække den lige rod af negative tal. Logaritmer har også deres egne regler, hvorefter du nemt kan lære at arbejde selv med lange og rummelige logaritmiske udtryk:

• Grundtallet "a" skal altid være større end nul og ikke lig med 1, ellers vil udtrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i enhver grad altid er lig med deres værdier;
• hvis a > 0, så a b > 0, viser det sig, at "c" også skal være større end nul.

Hvordan løser man logaritmer?

For eksempel gives opgaven at finde svaret på ligningen 10 x = 100. Dette er meget nemt, du skal vælge en potens ved at hæve tallet ti, som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 = 100.

Lad os nu repræsentere dette udtryk i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. Når man løser logaritmer, konvergerer alle handlinger praktisk talt for at finde den potens, som det er nødvendigt at indtaste logaritmen til for at få et givet tal.

For nøjagtigt at bestemme værdien af ​​en ukendt grad, skal du lære at arbejde med en tabel med grader. Det ser sådan ud:

Som du kan se, kan nogle eksponenter gættes intuitivt, hvis du har et teknisk sind og viden om multiplikationstabellen. Dog for store værdier du skal bruge en tabel med grader. Det kan bruges selv af dem, der slet ikke ved noget om komplekse matematiske emner. Den venstre kolonne indeholder tal (grundlag a), den øverste række af tal er værdien af ​​potensen c, som tallet a er hævet til. I skæringspunktet indeholder cellerne de talværdier, der er svaret (a c =b). Lad os for eksempel tage den allerførste celle med tallet 10 og kvadrere det, vi får værdien 100, som er angivet i skæringspunktet mellem vores to celler. Alt er så enkelt og nemt, at selv den mest sande humanist vil forstå!

Ligninger og uligheder

Det viser sig, at eksponenten under visse betingelser er logaritmen. Derfor kan ethvert matematisk numerisk udtryk skrives som en logaritmisk lighed. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som basis 3-logaritmen af ​​81 lig med fire (log 3 81 = 4). Til negative kræfter reglerne er de samme: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En af de mest fascinerende dele af matematik er emnet "logaritmer". Vi vil se på eksempler og løsninger på ligninger nedenfor umiddelbart efter at have studeret deres egenskaber. Lad os nu se på, hvordan uligheder ser ud, og hvordan man skelner dem fra ligninger.

Følgende udtryk er givet: log 2 (x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulighed, da den ukendte værdi "x" er under det logaritmiske fortegn. Og også i udtrykket sammenlignes to størrelser: logaritmen af ​​det ønskede tal til base to er større end tallet tre.

Den vigtigste forskel mellem logaritmiske ligninger og uligheder er, at ligninger med logaritmer (for eksempel logaritmen 2 x = √9) indebærer et eller flere specifikke svar. numeriske værdier, mens ulighederne ved løsning af defineres som regionen acceptable værdier, og brudpunkterne for denne funktion. Som en konsekvens er svaret ikke et simpelt sæt af individuelle tal, som i svaret på en ligning, men en kontinuerlig række eller sæt af tal.

Grundsætninger om logaritmer

Når du løser primitive opgaver med at finde værdierne af logaritmen, er dens egenskaber muligvis ikke kendt. Men når det kommer til logaritmiske ligninger eller uligheder, er det først og fremmest nødvendigt at forstå og anvende alle logaritmers grundlæggende egenskaber i praksis. Vi vil se på eksempler på ligninger senere, lad os først se nærmere på hver egenskab.

1. Hovedidentiteten ser således ud: a logaB =B. Det gælder kun, når a er større end 0, ikke lig med en, og B er større end nul.
2. Produktets logaritme kan repræsenteres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfælde forudsætning er: d, s1 og s2 > 0; a≠1. Du kan give et bevis for denne logaritmiske formel med eksempler og løsning. Lad log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2, så a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi opnår, at s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskaber ved grader ), og så per definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, hvilket er det, der skulle bevises.
3. Logaritmen for kvotienten ser således ud: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Sætningen i form af en formel har følgende form: log a q b n = n/q log a b.

Denne formel kaldes "egenskaben for graden af ​​logaritme." Det ligner egenskaberne ved almindelige grader, og det er ikke overraskende, for al matematik er baseret på naturlige postulater. Lad os se på beviset.

Lad log a b = t, det viser sig a t =b. Hvis vi hæver begge dele til potensen m: a tn = b n ;

men da a tn = (a q) nt/q = b n, derfor log a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Sætningen er blevet bevist.

Eksempler på problemer og uligheder

De mest almindelige typer problemer på logaritmer er eksempler på ligninger og uligheder. De findes i næsten alle opgavebøger og er også en obligatorisk del af matematikeksamener. For at komme ind på et universitet eller bestå optagelsesprøver i matematik skal du vide, hvordan du løser sådanne opgaver korrekt.

Desværre er der ingen enkelt plan eller skema til at løse og bestemme den ukendte værdi af logaritmen, men visse regler kan anvendes på hver matematisk ulighed eller logaritmisk ligning. Først og fremmest bør du finde ud af, om udtrykket kan forenkles eller føre til generelle udseende. Du kan forenkle lange logaritmiske udtryk, hvis du bruger deres egenskaber korrekt. Lad os lære dem hurtigt at kende.

Når man beslutter sig logaritmiske ligninger, bør vi bestemme, hvilken type logaritme vi har: et eksempeludtryk kan indeholde en naturlig logaritme eller en decimal.

Her er eksempler på ln100, ln1026. Deres løsning bunder i, at de skal bestemme den effekt, som basen 10 vil være lig med henholdsvis 100 og 1026. For at løse naturlige logaritmer skal du anvende logaritmiske identiteter eller deres egenskaber. Lad os se på eksempler på løsning af logaritmiske problemer af forskellige typer.

Sådan bruges logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så lad os se på eksempler på brug af de grundlæggende sætninger om logaritmer.

1. Egenskaben for et produkts logaritme kan bruges i opgaver, hvor det er nødvendigt at udvide stor betydning tal b til enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, lykkedes det ved hjælp af den fjerde egenskab af logaritmepotensen at løse et tilsyneladende komplekst og uløseligt udtryk. Du skal blot faktorisere basen og derefter tage eksponentværdierne ud af logaritmens fortegn.

Opgaver fra Unified State-eksamenen

Logaritmer findes ofte i adgangsprøver, især en masse logaritmiske problemer i Unified State Exam (statseksamen for alle skolekandidater). Typisk er disse opgaver ikke kun til stede i del A (den nemmeste testdel af eksamen), men også i del C (de mest komplekse og omfangsrige opgaver). Eksamen kræver nøjagtig og perfekt viden om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og løsninger på problemer er taget fra officielle Unified State Exam muligheder. Lad os se, hvordan sådanne opgaver løses.

Givet log 2 (2x-1) = 4. Løsning:
lad os omskrive udtrykket og simplificere det lidt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definitionen af ​​logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

• Det er bedst at reducere alle logaritmer til samme base, så løsningen ikke bliver besværlig og forvirrende.
• Alle udtryk under logaritmetegnet er angivet som positive, og derfor, når eksponenten af ​​et udtryk, der er under logaritmetegnet og som dets base, tages ud som en multiplikator, skal det udtryk, der er tilbage under logaritmen, være positivt.

Så vi har to beføjelser. Hvis du tager tallet fra bundlinjen, kan du nemt finde den styrke, som du skal hæve to til for at få dette tal. For eksempel, for at få 16, skal du hæve to til den fjerde potens. Og for at få 64 skal du hæve to til den sjette potens. Dette kan ses af tabellen.

Og nu - faktisk definitionen af ​​logaritmen:

Grundlaget a logaritmen af ​​x er den potens, som a skal hæves til for at få x.

Betegnelse: log a x = b, hvor a er grundtallet, x er argumentet, b er hvad logaritmen faktisk er lig med.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (grundtallet 2-logaritmen af ​​8 er tre, fordi 2 3 = 8). Med samme succeslog 2 64 = 6, da 2 6 = 64.

Operationen med at finde logaritmen af ​​et tal til en given base kaldes logaritmisering. Så lad os tilføje en ny linje til vores tabel:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Desværre er det ikke alle logaritmer, der beregnes så let. Prøv for eksempel at finde log 2 5 . Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsiger, at logaritmen vil ligge et sted på segmentet. Fordi 22< 5 < 2 3 , а чем mere grad toere, jo større tal.

Sådanne tal kaldes irrationelle: tallene efter decimaltegnet kan skrives i det uendelige, og de gentages aldrig. Hvis logaritmen viser sig at være irrationel, er det bedre at lade det være sådan: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det er vigtigt at forstå, at en logaritme er et udtryk med to variable (grundlaget og argumentet). I starten forvirrer mange mennesker, hvor grundlaget er, og hvor argumentet er. For at undgå irriterende misforståelser skal du blot se på billedet:

Foran os er intet andet end definitionen af ​​en logaritme. Husk: logaritme er en potens, som basen skal indbygges i for at få et argument. Det er basen, der er hævet til en magt – den er fremhævet med rødt på billedet. Det viser sig, at basen altid er i bunden! Jeg fortæller mine elever denne vidunderlige regel i den allerførste lektion – og der opstår ingen forvirring.

Vi har fundet ud af definitionen - det eneste, der er tilbage, er at lære at tælle logaritmer, dvs. slippe af med "log"-tegnet. Til at begynde med bemærker vi, at to vigtige fakta følger af definitionen:

1. Argumentet og grundtallet skal altid være større end nul. Dette følger af definitionen af ​​en grad ved en rationel eksponent, hvortil definitionen af ​​en logaritme er reduceret.
2. Basen skal være forskellig fra en, da en i nogen grad stadig forbliver en. På grund af dette er spørgsmålet "til hvilken magt skal man hæves for at få to" meningsløst. Der er ingen sådan grad!

Sådanne begrænsninger kaldes række acceptable værdier(ODZ). Det viser sig, at ODZ for logaritmen ser sådan ud: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Bemærk, at der ikke er nogen begrænsninger på tallet b (værdien af ​​logaritmen). For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 = −1, fordi 0,5 = 2 −1.

Men nu overvejer vi kun numeriske udtryk, hvor det ikke er nødvendigt at kende VA af logaritmen. Alle begrænsninger er allerede blevet taget i betragtning af forfatterne af problemerne. Men når logaritmiske ligninger og uligheder kommer i spil, bliver DL-krav obligatoriske. Grundlaget og argumentationen kan jo indeholde meget stærke konstruktioner, der ikke nødvendigvis svarer til ovenstående begrænsninger.

Lad os nu se på det generelle skema til beregning af logaritmer. Den består af tre trin:

1. Udtryk grundtallet a og argumentet x som en potens med mindst mulig grundtal større end én. Undervejs er det bedre at slippe af med decimaler;
2. Løs ligningen for variabel b: x = a b ;
3. Det resulterende tal b vil være svaret.

Det er alt! Hvis logaritmen viser sig at være irrationel, vil denne være synlig allerede i første trin. Kravet om, at grundlaget skal være større end én, er meget vigtigt: Dette reducerer sandsynligheden for fejl og forenkler beregningerne i høj grad. Det er det samme med decimalbrøker: Hvis du straks konverterer dem til almindelige, vil der være mange færre fejl.

Lad os se, hvordan denne ordning fungerer ved hjælp af specifikke eksempler:

Opgave. Beregn logaritmen: log 5 25

1. Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Lad os skabe og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Vi fik svaret: 2.

Opgave. Beregn logaritmen:

Opgave. Beregn logaritmen: log 4 64

1. Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Lad os skabe og løse ligningen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Vi fik svaret: 3.

Opgave. Beregn logaritmen: log 16 1

1. Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Lad os skabe og løse ligningen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Vi fik svaret: 0.

Opgave. Beregn logaritmen: log 7 14

1. Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af syv: 7 = 7 1 ; 14 kan ikke repræsenteres som en potens af syv, da 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Af det foregående afsnit følger, at logaritmen ikke tæller;
3. Svaret er ingen ændring: log 7 14.

En lille bemærkning til det sidste eksempel. Hvordan kan du være sikker på, at et tal ikke er en nøjagtig potens af et andet tal? Det er meget enkelt - tag det blot ind i hovedfaktorer. Hvis udvidelsen har mindst to forskellige faktorer, er tallet ikke en nøjagtig potens.

Opgave. Find ud af, om tallene er nøjagtige potenser: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - nøjagtig grad, fordi der er kun én multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - er ikke en nøjagtig potens, da der er to faktorer: 3 og 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - nøjagtig grad;
35 = 7 · 5 - igen ikke en nøjagtig potens;
14 = 7 · 2 - igen ikke en nøjagtig grad;

Lad os også bemærke, at vi selv Primtal er altid nøjagtige grader af sig selv.

Decimal logaritme

Nogle logaritmer er så almindelige, at de har et særligt navn og symbol.

Decimallogaritmen af ​​x er logaritmen til grundtal 10, dvs. Den potens, som tallet 10 skal hæves til for at opnå tallet x. Betegnelse: lg x.

For eksempel log 10 = 1; Ig 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nu af, når en sætning som "Find lg 0.01" vises i en lærebog, skal du vide, at dette ikke er en tastefejl. Dette er en decimallogaritme. Men hvis du ikke er bekendt med denne notation, kan du altid omskrive den:
log x = log 10 x

Alt, hvad der er sandt for almindelige logaritmer, gælder også for decimallogaritmer.

Naturlig logaritme

Der er en anden logaritme, der har sin egen betegnelse. På nogle måder er det endnu vigtigere end decimal. Det handler om om den naturlige logaritme.

Den naturlige logaritme af x er logaritmen til basis e, dvs. den potens, hvortil tallet e skal hæves for at opnå tallet x. Betegnelse: ln x .

Mange vil spørge: hvad er tallet e? Dette er et irrationelt tal, dets nøjagtige værdi kan ikke findes og nedskrives. Jeg vil kun give de første tal:
e = 2,718281828459...

Vi vil ikke gå i detaljer om, hvad dette nummer er, og hvorfor det er nødvendigt. Bare husk, at e er basis for den naturlige logaritme:
ln x = log e x

Således ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den anden side er ln 2 et irrationelt tal. Generelt er den naturlige logaritme af evt rationelt tal irrationel. Bortset naturligvis fra enhed: ln 1 = 0.

For naturlige logaritmer er alle de regler, der er sande for almindelige logaritmer, gyldige.

Definition af logaritme

Logaritmen af ​​b til grundtal a er den eksponent, som a skal hæves til for at få b.

Nummer e i matematik er det sædvanligt at betegne den grænse, som et udtryk stræber efter

Nummer e er irrationelt tal- et tal, der ikke kan sammenlignes med et, kan det ikke udtrykkes nøjagtigt som hverken et heltal eller en brøk rationel nummer.

Brev e- første bogstav i et latinsk ord exponere- at vise sig frem, deraf navnet i matematik eksponentiel- eksponentiel funktion.

Nummer e meget brugt i matematik, og i alle videnskaber, der på den ene eller anden måde bruger matematiske beregninger til deres behov.

Logaritmer. Egenskaber for logaritmer

Definition: Logaritme positivt tal Grundtallet b er eksponenten af ​​c, hvortil tallet a skal hæves for at opnå tallet b.

Grundlæggende logaritmisk identitet:

7) Formel for at flytte til en ny base:

lna = log e a, e ≈ 2,718...

Problemer og test om emnet "Logarithms. Egenskaber for logaritmer"

• Logaritmer - Vigtige emner til gennemgang af Unified State Examination i matematik

For at udføre opgaver om dette emne med succes skal du kende definitionen af ​​en logaritme, logaritmers egenskaber, den grundlæggende logaritmiske identitet, definitionerne af decimale og naturlige logaritmer. Hovedtyperne af problemer om dette emne er problemer, der involverer beregning og transformation af logaritmiske udtryk. Lad os overveje deres løsning ved at bruge følgende eksempler.

Løsning: Ved at bruge logaritmers egenskaber får vi

Løsning: Ved at bruge gradernes egenskaber får vi

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Egenskaber for logaritmer, formuleringer og beviser.

Logaritmer har en række karakteristiske egenskaber. I denne artikel vil vi se på det vigtigste egenskaber ved logaritmer. Her vil vi give deres formuleringer, nedskrive logaritmers egenskaber i form af formler, vise eksempler på deres anvendelse og også give bevis for logaritmers egenskaber.

Sidenavigation.

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer, formler

For at lette at huske og bruge, lad os forestille os logaritmers grundlæggende egenskaber i form af en liste over formler. I næste afsnit vil vi give deres formuleringer, beviser, eksempler på brug og nødvendige forklaringer.

Egenskab for enhedslogaritmen: log a 1=0 for enhver a>0, a≠1.

Logaritme af et tal lig med grundtallet: log a a=1 for a>0, a≠1.

Egenskab for logaritmen af ​​basens potens: log a a p =p, hvor a>0, a≠1 og p – evt. reelle tal.

Logaritme af produktet af to positive tal: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
og egenskaben for logaritmen af ​​produktet af n positive tal: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0.

Egenskab for logaritmen af ​​en kvotient: hvor a>0, a≠1, x>0, y>0.

Logaritme af potensen af ​​et tal: log a b p =p·log a |b| , hvor a>0, a≠1, b og p er tal, således at graden b p giver mening og b p >0.

Følge: , hvor a>0, a≠1, n – naturligt tal, større end én, b>0.

Konsekvens 1: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.

Konsekvens 2: , a>0, a≠1, b>0, p og q er reelle tal, q≠0, især for b=a har vi .

Formuleringer og beviser for egenskaber

Vi går videre til formuleringen og beviset for logaritmers skriftlige egenskaber. Alle logaritmers egenskaber er bevist ud fra definitionen af ​​logaritmen og den grundlæggende logaritmiske identitet, der følger af den, samt gradens egenskaber.

Lad os starte med egenskaber ved logaritmen af ​​en. Dens formulering er som følger: logaritmen af ​​enhed er lig med nul, dvs. log a 1=0 for enhver a>0, a≠1. Beviset er ikke svært: da a 0 =1 for enhver a, der opfylder ovenstående betingelser a>0 og a≠1, så følger lighedslog a 1=0, der skal bevises, umiddelbart af definitionen af ​​logaritmen.

Lad os give eksempler på anvendelsen af ​​den betragtede egenskab: log 3 1=0, log1=0 og .

Lad os gå videre til den næste ejendom: logaritmen af ​​et tal lig med grundtallet er lig med en, det er, log a a=1 for a>0, a≠1. Faktisk, da a 1 =a for ethvert a, så logaritmen logaritmen log a a = 1.

Eksempler på brug af denne egenskab ved logaritmer er lighederne log 5 5=1, log 5,6 5,6 og lne=1.

Logaritme af en potens af et tal lig med logaritmens basis, lig med indikatoren grader. Denne egenskab for logaritmen svarer til en formel for formen log a a p =p, hvor a>0, a≠1 og p – et hvilket som helst reelt tal. Denne egenskab følger direkte af definitionen af ​​logaritmen. Bemærk, at det giver dig mulighed for straks at angive værdien af ​​logaritmen, hvis det er muligt at repræsentere tallet under logaritmetegnet som en potens af basen, vil vi tale mere om dette i artiklen, der beregner logaritmer.

For eksempel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 og .

Logaritme af produktet af to positive tal x og y er lig med produktet af logaritmerne af disse tal: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Lad os bevise egenskaben for logaritmen af ​​et produkt. På grund af gradens egenskaber a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, og da ved den logaritmiske hovedidentitet a log a x =x og en log a y =y, så a log a x ·a log a y =x·y. Altså en log a x+log a y =x·y, hvorfra, ved definitionen af ​​en logaritme, følger den lighed, der bevises.

Lad os vise eksempler på brug af egenskaben for logaritmen for et produkt: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 og .

Egenskaben ved et produkts logaritme kan generaliseres til produktet af et endeligt tal n af positive tal x 1 , x 2 , …, x n som log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Denne lighed kan bevises uden problemer ved at bruge metoden til matematisk induktion.

For eksempel kan produktets naturlige logaritme erstattes af summen af ​​tre naturlige logaritmer af tallene 4, e og.

Logaritme af kvotienten af ​​to positive tal x og y er lig med forskellen mellem logaritmerne af disse tal. Egenskaben for kvotientens logaritme svarer til en formel for formen , hvor a>0, a≠1, x og y er nogle positive tal. Gyldigheden af ​​denne formel er bevist såvel som formlen for logaritmen af ​​et produkt: siden , derefter ved definition af logaritmen .

Her er et eksempel på brug af denne egenskab for logaritmen: .

Lad os gå videre til egenskaben for potensens logaritme. Logaritmen af ​​en grad er lig med produktet af eksponenten og logaritmen af ​​modulet for basis af denne grad. Lad os skrive denne egenskab af logaritmen af ​​en potens som en formel: log a b p =p·log a |b|, hvor a>0, a≠1, b og p er tal, således at graden b p giver mening og b p >0.

Først beviser vi denne egenskab for positiv b. Den grundlæggende logaritmiske identitet giver os mulighed for at repræsentere tallet b som en log a b , så er b p =(a log a b) p , og det resulterende udtryk, på grund af magtegenskaben, er lig med en p·log a b . Så vi kommer til ligheden b p =a p·log a b, hvorfra vi ved definitionen af ​​en logaritme konkluderer, at log a b p = p·log a b.

Det er tilbage at bevise denne egenskab for negativ b. Her bemærker vi, at udtrykket log a b p for negativ b kun giver mening for lige eksponenter p (da værdien af ​​graden b p skal være større end nul, ellers vil logaritmen ikke give mening), og i dette tilfælde b p =|b| s. Derefter b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , hvorfra log a b p =p·log a |b| .

For eksempel, og ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

Det følger af den tidligere ejendom egenskaben for logaritmen fra roden: logaritmen af ​​den n. rod er lig med produktet af brøken 1/n ved logaritmen af ​​det radikale udtryk, dvs. hvor a>0, a≠1, n er et naturligt tal større end en, b>0 .

Beviset er baseret på ligheden (se definition af eksponent med en brøkeksponent), som er gyldig for enhver positiv b, og egenskaben for eksponentens logaritme: .

Her er et eksempel på brug af denne egenskab: .

Lad os nu bevise formel for at flytte til en ny logaritmebase type . For at gøre dette er det nok at bevise gyldigheden af ​​lighedsloggen c b=log a b·log c a. Den grundlæggende logaritmiske identitet giver os mulighed for at repræsentere tallet b som en log a b , derefter log c b=log c a log a b . Det er tilbage at bruge egenskaben for gradens logaritme: log c a log a b =log a b·log c a . Dette beviser lighedslog c b=log a b·log c a, hvilket betyder, at formlen for overgang til en ny logaritmebasis også er bevist .

Lad os vise et par eksempler på brug af denne egenskab ved logaritmer: og .

Formlen for at flytte til en ny base giver dig mulighed for at gå videre til at arbejde med logaritmer, der har en "praktisk" base. For eksempel kan den bruges til at skifte til naturlige eller decimale logaritmer, så du kan beregne værdien af ​​en logaritme ud fra en tabel med logaritmer. Formlen for at flytte til en ny logaritmebase giver også i nogle tilfælde mulighed for at finde værdien af ​​en given logaritme, når værdierne af nogle logaritmer med andre baser er kendt.

Et særligt tilfælde af formlen for overgang til en ny logaritmebase for formens c=b bruges ofte. Dette viser, at log a b og log b a er gensidigt omvendte tal. F.eks, .

Formlen bruges også ofte, hvilket er praktisk til at finde værdierne af logaritmer. For at bekræfte vores ord, vil vi vise, hvordan det kan bruges til at beregne værdien af ​​en logaritme af formen. Vi har . For at bevise formlen er det nok at bruge formlen til at flytte til en ny base af logaritmen a: .

Det er tilbage at bevise egenskaberne ved sammenligning af logaritmer.

Lad os bruge den modsatte metode. Antag, at for a 1 >1, a 2 >1 og a 1 2 og for 0 1 er log a 1 b≤log a 2 b sand. Baseret på logaritmers egenskaber kan disse uligheder omskrives som Og hhv., og af dem følger, at henholdsvis log b a 1 ≤log b a 2 og log b a 1 ≥log b a 2. Derefter skal lighederne b log b a 1 ≥b log b a 2 og b log b a 1 ≥b log b a 2 ifølge egenskaberne for potenser med samme grundtal holde, det vil sige a 1 ≥a 2 . Så vi kom til en modsætning til betingelsen a 1 2. Dette fuldender beviset.

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

• Materiale til lektionen
• Download alle formler

Logaritmer, som alle tal, kan tilføjes, trækkes fra og transformeres på alle måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes hovedejendomme.

Du skal helt sikkert kende disse regler - uden dem kan ikke et eneste alvorligt logaritmisk problem løses. Derudover er der meget få af dem – du kan lære alt på én dag. Så lad os komme i gang.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer

Overvej to logaritmer med samme grundtal: log a x og log a y. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

Så summen af ​​logaritmer er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskellen er lig med logaritmen af ​​kvotienten. Bemærk venligst: det vigtigste her er identiske grunde. Hvis årsagerne er forskellige, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper dig med at beregne et logaritmisk udtryk, selv når dets individuelle dele ikke tages i betragtning (se lektionen "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 6 4 + log 6 9.

Da logaritmer har de samme baser, bruger vi sumformlen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 2 48 − log 2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men efter transformationerne opnås helt normale tal. Mange er bygget på dette faktum prøvepapirer. Ja, testlignende udtryk tilbydes i fuld alvor (nogle gange med stort set ingen ændringer) på Unified State Examination.

Udtræk af eksponenten fra logaritmen

Lad os nu komplicere opgaven lidt. Hvad hvis basen eller argumentet for en logaritme er en potens? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

• log a x n = n · log a x ;
• 
• 

Det er let at se, at den sidste regel følger de to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af ​​beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ af logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt , dvs. Du kan indtaste tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Det er det, der oftest kræves.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 7 49 6 .

Lad os slippe af med graden i argumentet ved at bruge den første formel:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

[Billedtekst til billedet]

Bemærk, at nævneren indeholder en logaritme, hvis basis og argument er nøjagtige potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

[Billedtekst til billedet]

Jeg synes, det sidste eksempel kræver en vis afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil sidste øjeblik arbejder vi kun med nævneren. Vi præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af potenser og tog eksponenterne ud - vi fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren indeholder det samme tal: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 bliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket er hvad der blev gjort. Resultatet blev svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis årsagerne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til et nyt fundament kommer til undsætning. Lad os formulere dem i form af en sætning:

Lad logaritmen log a x gives. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

[Billedtekst til billedet]

Især hvis vi sætter c = x, får vi:

[Billedtekst til billedet]

Af den anden formel følger det, at logaritmens basis og argument kan byttes, men i dette tilfælde "vendes hele udtrykket", dvs. logaritmen vises i nævneren.

Disse formler findes sjældent i konventionelle numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor praktiske de er, når man løser logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog problemer, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os se på et par af disse:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 5 16 log 2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer indeholder nøjagtige potenser. Lad os tage indikatorerne ud: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lad os nu "vende" den anden logaritme:

[Billedtekst til billedet]

Da produktet ikke ændrer sig ved omarrangering af faktorer, gangede vi roligt fire og to, og beskæftigede os derefter med logaritmer.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive dette ned og slippe af med indikatorerne:

[Billedtekst til billedet]

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

[Billedtekst til billedet]

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprocessen er det nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil følgende formler hjælpe os:

1. n = log a a n

2. I det første tilfælde bliver tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er en logaritmeværdi.

   Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det er det, det hedder: den grundlæggende logaritmiske identitet.

   Faktisk, hvad sker der, hvis tallet b hæves til en sådan potens, at tallet b i denne potens giver tallet a? Det er rigtigt: resultatet er det samme tal a. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker bliver hængende i det.

   Ligesom formler for at flytte til en ny base, er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

   [Billedtekst til billedet]

   Bemærk at log 25 64 = log 5 8 - vi tog simpelthen kvadratet fra logaritmens grundtal og argument. Under hensyntagen til reglerne for multiplikation af potenser med den samme base, får vi:

   [Billedtekst til billedet]

   Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Exam :)

   Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

   Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, der næppe kan kaldes egenskaber - derimod er de konsekvenser af definitionen af ​​logaritmen. De optræder konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

   1. log a a = 1 er en logaritmisk enhed. Husk én gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a af selve basen er lig med én.
   2. log a 1 = 0 er logaritmisk nul. Grundlaget a kan være hvad som helst, men hvis argumentet indeholder en, er logaritmen lig nul! Fordi et 0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

   Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af ​​lektionen, print det ud og løs problemerne.

   Logaritme. Egenskaber for logaritmen (addition og subtraktion).

   Egenskaber for logaritmen følge af dens definition. Og så logaritmen af ​​tallet b baseret på EN er defineret som den eksponent, som et tal skal hæves til -en for at få nummeret b(logaritme findes kun for positive tal).

   Af denne formulering følger, at beregningen x=log a b, svarer til at løse ligningen a x =b. For eksempel, log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 . Formuleringen af ​​logaritmen gør det muligt at begrunde, at if b=a c, derefter logaritmen af ​​tallet b baseret på -en lige med Med. Det er også klart, at emnet logaritmer er tæt forbundet med emnet potenser.

   Med logaritmer, som med alle tal, kan du gøre operationer med addition, subtraktion og transformere på alle mulige måder. Men på grund af at logaritmer ikke er helt almindelige tal, gælder deres egne særlige regler her, som kaldes hovedejendomme.

   Tilføjelse og subtrahering af logaritmer.

   Lad os tage to logaritmer med de samme baser: log et x Og log et y. Så er det muligt at udføre additions- og subtraktionsoperationer:

   Som vi ser, summen af ​​logaritmer er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskel logaritmer- logaritme af kvotienten. Desuden er dette sandt, hvis tallene EN, X Og på positiv og a ≠ 1.

   Det er vigtigt at bemærke, at hovedaspektet i disse formler er de samme baser. Hvis begrundelsen er anderledes, gælder disse regler ikke!

   Reglerne for at addere og trække logaritmer med de samme baser læses ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt. Som et resultat har vi sætningerne for produktets logaritme og kvotientens logaritme.

   Logaritme af produktet to positive tal er lig med summen af ​​deres logaritmer ; ved at omskrive denne sætning får vi følgende hvis tallene EN, x Og på positiv og a ≠ 1, At:

   Logaritme af kvotienten to positive tal er lig med forskellen mellem logaritmerne af udbyttet og divisoren. For at sige det på en anden måde, hvis tallene EN, x Og på positiv og a ≠ 1, At:

   Lad os anvende ovenstående sætninger til at løse eksempler:

   Hvis tallene x Og på er altså negative produktlogaritmeformel bliver meningsløst. Det er derfor forbudt at skrive:

   da udtrykkene log 2 (-8) og log 2 (-4) slet ikke er defineret (logaritmisk funktion på= log 2 x kun defineret for positive værdier argument x).

   Produktsætning gælder ikke kun for to, men også for et ubegrænset antal faktorer. Det betyder, at for enhver naturlig k og eventuelle positive tal x 1 , x 2 , . . . ,x n der er en identitet:

   Fra logaritmekvotientsætning endnu en egenskab for logaritmen kan opnås. Det er almindelig kendt, at log -en 1 = 0, derfor

   Det betyder, at der er en lighed:

   Logaritmer af to gensidige tal af samme grund vil adskille sig fra hinanden udelukkende ved tegn. Så:

   Logaritme. Egenskaber for logaritmer

   Logaritme. Egenskaber for logaritmer

   Lad os overveje ligestilling. Fortæl os værdierne af og, og vi ønsker at finde værdien af ​​.

   Det vil sige, at vi leder efter den eksponent, som vi skal spænde den for at få .

   Lade en variabel kan antage en hvilken som helst reel værdi, så er følgende begrænsninger pålagt variablerne: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />

   Hvis vi kender værdierne af og , og vi står over for opgaven med at finde det ukendte, så introduceres til dette formål en matematisk operation, som kaldes logaritme.

   For at finde den værdi, vi tager logaritme af et tal Ved basis :

   Logaritmen af ​​et tal til dets base er den eksponent, som det skal hæves til for at få .

   Det er grundlæggende logaritmisk identitet:

   o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

   er i bund og grund en matematisk notation definitioner af logaritme.

   Den matematiske operation af logaritmen er det omvendte af operationen af ​​eksponentiering, så egenskaber ved logaritmer er tæt forbundet med gradens egenskaber.

   Lad os liste de vigtigste egenskaber ved logaritmer:

   (o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

   4.

   Følgende gruppe af egenskaber giver dig mulighed for at repræsentere eksponenten af ​​et udtryk under logaritmens fortegn eller stående ved bunden af ​​logaritmen i form af en koefficient foran logaritmens fortegn:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Den næste gruppe af formler giver dig mulighed for at flytte fra en logaritme med en given grundtal til en logaritme med en vilkårlig basis, og kaldes formler for overgang til en ny base:

   10.

   12. (følger af ejendom 11)

   

   De følgende tre egenskaber er ikke velkendte, men de bruges ofte ved løsning af logaritmiske ligninger eller ved forenkling af udtryk, der indeholder logaritmer:

   13.

   14.

   15.

   Særlige tilfælde:

   — decimallogaritme

   — naturlig logaritme

   Ved forenkling af udtryk, der indeholder logaritmer, anvendes en generel tilgang:

   1. Introduktion decimaler i form af almindelige.

   2. Vi repræsenterer blandede tal som uægte brøker.

   3. Vi opdeler tallene i bunden af ​​logaritmen og under logaritmens fortegn i simple faktorer.

   4. Vi forsøger at reducere alle logaritmer til samme base.

   5. Anvend egenskaberne for logaritmer.

   Lad os se på eksempler på forenkling af udtryk, der indeholder logaritmer.

   Eksempel 1.

   Beregn:

   Lad os forenkle alle eksponenter: Vores opgave er at reducere dem til logaritmer, hvis basis er det samme tal som eksponentens basis.

   ==(ved egenskab 7)=(ved egenskab 6) =

   Lad os erstatte de indikatorer, vi fik i det oprindelige udtryk. Vi får:

   Svar: 5,25

   Eksempel 2. Beregn:

   

   Lad os reducere alle logaritmer til basis 6 (i dette tilfælde vil logaritmerne fra nævneren af ​​brøken "migrere" til tælleren):

   Lad os opdele tallene under logaritmetegnet i simple faktorer:

   Lad os anvende egenskab 4 og 6:

   Lad os introducere erstatningen

   Vi får:

   Svar: 1

   Logaritme . Grundlæggende logaritmisk identitet.

   Egenskaber for logaritmer. Decimal logaritme. Naturlig logaritme.

   Logaritme positivt tal N til base (b > 0, b 1) er eksponenten x, som b skal hæves til for at få N .

   Denne post svarer til følgende: b x = N .

   Eksempler: log 3 81 = 4, da 3 4 = 81;

   log 1/3 27 = – 3, da (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

   Ovenstående definition af logaritme kan skrives som en identitet:

   

   Grundlæggende egenskaber ved logaritmer.

   2) log 1 = 0, siden b 0 = 1 .

   3) Produktets logaritme er lig med summen af ​​logaritmerne af faktorerne:

   4) Logaritmen af ​​kvotienten er lig med forskellen mellem logaritmerne af dividenden og divisoren:

   5) Logaritmen af ​​en potens er lig med produktet af eksponenten og logaritmen af ​​dens grundtal:

   Konsekvensen af ​​denne ejendom er følgende: logaritme af roden lig med logaritmen af ​​det radikale tal divideret med magten af ​​roden:

   

   6) Hvis basen af ​​logaritmen er en grad, så værdien det omvendte af eksponenten kan tages ud som et log rim:

   

   De sidste to ejendomme kan kombineres til én:

   

   7) Overgangsmodulformel (dvs. overgang fra en logaritmebase til en anden base):

   

   I det særlige tilfælde hvornår N=a vi har:

   

   Decimal logaritme hedder grundlogaritme 10. Det er betegnet lg, dvs. log 10 N= log N. Logaritmer af tallene 10, 100, 1000, . p er henholdsvis 1, 2, 3, …, dvs. har så mange positive

   enheder, hvor mange nuller er der i et logaritmisk tal efter et. Logaritmer af tal 0,1, 0,01, 0,001, . p er henholdsvis –1, –2, –3, …, dvs. har lige så mange negative som der er nuller i det logaritmiske tal før et (inklusive nul heltal). Logaritmer af andre tal har en brøkdel kaldet mantisse. Hele delen logaritmen kaldes egenskab. Til praktisk brug decimallogaritmer mest bekvemme.

   Naturlig logaritme hedder grundlogaritme e. Det er betegnet med ln, dvs. log e N= log N. Nummer e er irrationel, dens omtrentlige værdi er 2,718281828. Det er grænsen, som tallet har tendens til (1 + 1 / n) n med ubegrænset stigning n(cm. første vidunderlige grænse på siden "Nummersekvensgrænser").
   Hvor mærkeligt det end kan virke, viste naturlige logaritmer sig at være meget praktiske, når man udfører forskellige typer operationer relateret til analyse af funktioner. Beregning af logaritmer til basis e udføres meget hurtigere end af nogen anden grund.

• Hvad skal der i dag til for at adoptere et barn i Rusland? Adoption i Rusland, foruden en ansvarlig personlig beslutning, involverer en række procedurer for statslig verifikation af kandidater. Hårdt udvalg til forberedende fase bidrager til mere […]
• Gratis information om TIN eller OGRN fra skatteregistret i hele Rusland - online På Unified Tax Services Portal kan du få oplysninger om statsregistrering juridiske enheder, individuelle iværksættere, […]
• Straf for kørsel uden dokumenter (kørekort, forsikring, STS) Nogle gange sætter bilister sig på grund af glemsel bag rattet uden kørekort og får en bøde for at køre uden dokumenter. Vi vil gerne minde dig om, at en bilentusiast skal have […]
• Blomster til mænd. Hvilke blomster kan du give en mand? Hvilke blomster kan du give en mand? Der er ikke mange "mandlige" blomster, men der er nogle, der gives til mænd. En lille blomsterliste foran dig: Krysantemum. Roser. Nelliker. […]
• Servicenotat er en særlig form for dokument, der bruges i indre miljø virksomheder og tjener til hurtigt at løse aktuelle produktionsproblemer. Typisk er dette dokument udarbejdet med det formål at introducere nogle […]
• Hvornår og hvordan modtager du den finansierede del af din pension fra Sberbank? Sberbank er en partnerbank i statens pensionsfond. På baggrund heraf kunne borgere, der tilmeldte sig en fondspension, overføre den finansierede del […]
• Børneydelser i Ulyanovsk og Ulyanovsk-regionen i 2018 Derudover fungerer programmer godkendt af føderal lovgivning i alle regioner. Lad os se på, hvem der kan regne med hvilke fordele. Hvordan regionale myndigheder […]
• Detaljeret vejledning hvordan man udarbejder en fuldmagt til at varetage interesser individuel i retten I et civil- eller voldgiftssag, i en administrativ eller strafferetlig sag kan både sagsøgerens og sagsøgtes interesser repræsenteres af en advokat: […]