Ligninger, der er kvadratiske med hensyn til logaritmen og andre ikke-standardteknikker. Logaritmer: eksempler og løsninger

Hvad er en logaritme?

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Hvad er en logaritme? Hvordan løser man logaritmer? Disse spørgsmål forvirrer mange kandidater. Traditionelt betragtes emnet logaritmer som komplekst, uforståeligt og skræmmende. Især ligninger med logaritmer.

Dette er absolut ikke sandt. Absolut! Tror du mig ikke? Bøde. Nu, på kun 10 - 20 minutter:

1. Du vil forstå hvad er en logaritme.

2. Lær at løse en hel klasse eksponentielle ligninger. Også selvom du ikke har hørt noget om dem.

3. Lær at beregne simple logaritmer.

Desuden behøver du kun at kende multiplikationstabellen og hvordan man hæver et tal til en potens...

Jeg føler, at du er i tvivl... Nå, okay, sæt tiden af! Gå!

Løs først denne ligning i dit hoved:

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Logaritmen af ​​et positivt tal b til grundtal a (a>0, a er ikke lig med 1) er et tal c, således at a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Bemærk, at logaritmen af ​​et ikke-positivt tal er udefineret. Derudover skal logaritmens basis være positivt tal, ikke lig med 1. Hvis vi for eksempel kvadrerer -2, får vi tallet 4, men det betyder ikke, at logaritmen til grundfladen -2 af 4 er lig med 2.

Grundlæggende logaritmisk identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Det er vigtigt, at definitionen af ​​højre og venstre side af denne formel er forskellig. Den venstre side er kun defineret for b>0, a>0 og a ≠ 1. Den højre side er defineret for enhver b og afhænger slet ikke af a. Således kan anvendelsen af ​​den grundlæggende logaritmiske "identitet" ved løsning af ligninger og uligheder føre til en ændring i OD.

To indlysende konsekvenser af definitionen af ​​logaritme

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Faktisk, når vi hæver tallet a til den første potens, får vi det samme tal, og når vi hæver det til nul-potensen, får vi en.

Logaritme af produktet og logaritme af kvotienten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Jeg vil gerne advare skolebørn mod tankeløst at anvende disse formler, når de løser problemet logaritmiske ligninger og uligheder. Når du bruger dem "fra venstre mod højre", indsnævres ODZ, og når du flytter fra summen eller forskellen af ​​logaritmer til logaritmen af ​​produktet eller kvotienten, udvides ODZ'en.

Faktisk er udtrykket log a (f (x) g (x)) defineret i to tilfælde: når begge funktioner er strengt positive, eller når f(x) og g(x) begge er mindre end nul.

Ved at transformere dette udtryk til summen log a f (x) + log a g (x), er vi tvunget til kun at begrænse os til tilfældet, når f(x)>0 og g(x)>0. Der sker en indsnævring af området acceptable værdier, og det er kategorisk uacceptabelt, fordi det kan føre til tab af løsninger. Et lignende problem eksisterer for formel (6).

Graden kan tages ud af logaritmens fortegn

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Og igen vil jeg gerne bede om nøjagtighed. Overvej følgende eksempel:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Venstre side af ligheden er naturligvis defineret for alle værdier af f(x) undtagen nul. Højre side er kun for f(x)>0! Ved at tage graden ud af logaritmen indsnævrer vi igen ODZ. Den omvendte procedure fører til en udvidelse af intervallet af acceptable værdier. Alle disse bemærkninger gælder ikke kun for effekt 2, men også for enhver jævn effekt.

Formel for at flytte til en ny fond

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Det sjældne tilfælde, hvor ODZ ikke ændres under transformation. Hvis du har valgt base c med omtanke (positiv og ikke lig med 1), er formlen for at flytte til en ny base helt sikker.

Hvis vi vælger tallet b som det nye grundtal c, får vi et vigtigt specialtilfælde af formlen (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nogle simple eksempler med logaritmer

Eksempel 1. Beregn: log2 + log50.
Løsning. log2 + log50 = log100 = 2. Vi brugte summen af ​​logaritmer formlen (5) og definitionen af ​​decimallogaritmen.

Eksempel 2. Beregn: lg125/lg5.
Løsning. log125/log5 = log 5 125 = 3. Vi brugte formlen til at flytte til en ny base (8).

Tabel over formler relateret til logaritmer

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Som du ved, når man multiplicerer udtryk med potenser, summeres deres eksponenter altid (a b *a c = a b+c). Denne matematiske lov blev udledt af Archimedes, og senere, i det 8. århundrede, skabte matematikeren Virasen en tabel med heltalseksponenter. Det var dem, der tjente til den videre opdagelse af logaritmer. Eksempler på brug af denne funktion kan findes næsten overalt, hvor du skal forenkle besværlig multiplikation ved simpel addition. Hvis du bruger 10 minutter på at læse denne artikel, vil vi forklare dig, hvad logaritmer er, og hvordan du arbejder med dem. I et enkelt og tilgængeligt sprog.

Definition i matematik

En logaritme er et udtryk af følgende form: log a b=c, dvs. logaritmen af ​​ethvert ikke-negativt tal (det vil sige ethvert positivt) "b" til dets grundtal "a" anses for at være potensen "c ”, hvortil grundtallet "a" skal hæves for i sidste ende at få værdien "b". Lad os analysere logaritmen ved hjælp af eksempler, lad os sige, at der er et udtryk log 2 8. Hvordan finder man svaret? Det er meget enkelt, du skal finde en potens, sådan at du fra 2 til den nødvendige effekt får 8. Efter at have lavet nogle beregninger i dit hoved, får vi tallet 3! Og det er sandt, fordi 2 i 3 potens giver svaret som 8.

Typer af logaritmer

For mange elever og studerende virker dette emne kompliceret og uforståeligt, men faktisk er logaritmer ikke så skræmmende, det vigtigste er at forstå deres generelle betydning og huske deres egenskaber og nogle regler. Der er tre separate typer logaritmiske udtryk:

1. Naturlig logaritme ln a, hvor grundtallet er Euler-tallet (e = 2,7).
2. Decimal a, hvor grundtallet er 10.
3. Logaritme af ethvert tal b til grundtal a>1.

Hver af dem er bestemt på en standard måde, som omfatter forenkling, reduktion og efterfølgende reduktion til én logaritme ved hjælp af logaritmiske sætninger. For at opnå de korrekte værdier af logaritmer skal du huske deres egenskaber og rækkefølgen af ​​handlinger, når du løser dem.

Regler og nogle restriktioner

I matematik er der flere regler-begrænsninger, der accepteres som et aksiom, det vil sige, at de ikke er genstand for diskussion og er sandheden. For eksempel er det umuligt at dividere tal med nul, og det er også umuligt at udtrække den lige rod af negative tal. Logaritmer har også deres egne regler, hvorefter du nemt kan lære at arbejde selv med lange og rummelige logaritmiske udtryk:

• Grundtallet "a" skal altid være større end nul og ikke lig med 1, ellers vil udtrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i enhver grad altid er lig med deres værdier;
• hvis a > 0, så a b >0, viser det sig, at "c" også skal være større end nul.

Hvordan løser man logaritmer?

For eksempel gives opgaven at finde svaret på ligningen 10 x = 100. Dette er meget nemt, du skal vælge en potens ved at hæve tallet ti, som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 = 100.

Lad os nu repræsentere dette udtryk i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. Når man løser logaritmer, konvergerer alle handlinger praktisk talt for at finde den potens, som det er nødvendigt at indtaste logaritmen til for at få et givet tal.

For nøjagtigt at bestemme værdien af ​​en ukendt grad, skal du lære at arbejde med en tabel med grader. Det ser sådan ud:

Som du kan se, kan nogle eksponenter gættes intuitivt, hvis du har et teknisk sind og viden om multiplikationstabellen. Dog for store værdier du skal bruge en tabel med grader. Det kan bruges selv af dem, der slet ikke ved noget om komplekse matematiske emner. Den venstre kolonne indeholder tal (grundlag a), den øverste række af tal er værdien af ​​potensen c, som tallet a er hævet til. I skæringspunktet indeholder cellerne de talværdier, der er svaret (a c =b). Lad os for eksempel tage den allerførste celle med tallet 10 og kvadrere det, vi får værdien 100, som er angivet i skæringspunktet mellem vores to celler. Alt er så enkelt og nemt, at selv den mest sande humanist vil forstå!

Ligninger og uligheder

Det viser sig, at eksponenten under visse betingelser er logaritmen. Derfor kan ethvert matematisk numerisk udtryk skrives som en logaritmisk lighed. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som basis 3-logaritmen af ​​81 lig med fire (log 3 81 = 4). Til negative kræfter reglerne er de samme: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En af de mest fascinerende dele af matematik er emnet "logaritmer". Vi vil se på eksempler og løsninger på ligninger nedenfor, umiddelbart efter at have studeret deres egenskaber. Lad os nu se på, hvordan uligheder ser ud, og hvordan man skelner dem fra ligninger.

Følgende udtryk er givet: log 2 (x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulighed, da den ukendte værdi "x" er under det logaritmiske fortegn. Og også i udtrykket sammenlignes to størrelser: logaritmen af ​​det ønskede tal til base to er større end tallet tre.

Den vigtigste forskel mellem logaritmiske ligninger og uligheder er, at ligninger med logaritmer (for eksempel logaritmen 2 x = √9) indebærer et eller flere specifikke svar. numeriske værdier, mens ved løsning af uligheden bestemmes både intervallet af tilladte værdier og brudpunkterne for denne funktion. Som en konsekvens er svaret ikke et simpelt sæt af individuelle tal, som i svaret på en ligning, men en kontinuerlig række eller sæt af tal.

Grundsætninger om logaritmer

Når du løser primitive opgaver med at finde værdierne af logaritmen, er dens egenskaber muligvis ikke kendt. Men når det kommer til logaritmiske ligninger eller uligheder, er det først og fremmest nødvendigt at forstå og anvende alle logaritmers grundlæggende egenskaber i praksis. Vi vil se på eksempler på ligninger senere; lad os først se på hver egenskab mere detaljeret.

1. Hovedidentiteten ser således ud: a logaB =B. Det gælder kun, når a er større end 0, ikke lig med en, og B er større end nul.
2. Produktets logaritme kan repræsenteres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfælde forudsætning er: d, s1 og s2 > 0; a≠1. Du kan give et bevis for denne logaritmiske formel med eksempler og løsning. Lad log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2, så a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi opnår, at s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskaber ved grader ), og så per definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, hvilket er det, der skulle bevises.
3. Logaritmen for kvotienten ser således ud: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Sætningen i form af en formel har følgende form: log a q b n = n/q log a b.

Denne formel kaldes "egenskaben for graden af ​​logaritme." Det ligner egenskaberne ved almindelige grader, og det er ikke overraskende, for al matematik er baseret på naturlige postulater. Lad os se på beviset.

Lad log a b = t, det viser sig a t =b. Hvis vi hæver begge dele til potensen m: a tn = b n ;

men da a tn = (a q) nt/q = b n, derfor log a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Sætningen er blevet bevist.

Eksempler på problemer og uligheder

De mest almindelige typer problemer på logaritmer er eksempler på ligninger og uligheder. De findes i næsten alle opgavebøger og er også en obligatorisk del af matematikeksamener. For at komme ind på et universitet eller bestå optagelsesprøver i matematik skal du vide, hvordan du løser sådanne opgaver korrekt.

Desværre er der ingen enkelt plan eller skema til at løse og bestemme den ukendte værdi af logaritmen, men visse regler kan anvendes på hver matematisk ulighed eller logaritmisk ligning. Først og fremmest bør du finde ud af, om udtrykket kan forenkles eller føre til generelle udseende. Du kan forenkle lange logaritmiske udtryk, hvis du bruger deres egenskaber korrekt. Lad os lære dem hurtigt at kende.

Når vi løser logaritmiske ligninger, skal vi bestemme, hvilken type logaritme vi har: et eksempeludtryk kan indeholde en naturlig logaritme eller en decimal.

Her er eksempler på ln100, ln1026. Deres løsning bunder i, at de skal bestemme den effekt, som basen 10 vil være lig med henholdsvis 100 og 1026. For løsninger af naturlige logaritmer skal du anvende logaritmiske identiteter eller deres egenskaber. Lad os se på eksempler på løsning af logaritmiske problemer af forskellige typer.

Sådan bruges logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så lad os se på eksempler på brug af de grundlæggende sætninger om logaritmer.

1. Egenskaben for et produkts logaritme kan bruges i opgaver, hvor det er nødvendigt at udvide stor betydning tal b til enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, lykkedes det ved hjælp af den fjerde egenskab af logaritmepotensen at løse et tilsyneladende komplekst og uløseligt udtryk. Du skal blot faktorisere basen og derefter tage eksponentværdierne ud af logaritmens fortegn.

Opgaver fra Unified State-eksamenen

Logaritmer findes ofte i adgangsprøver, især en masse logaritmiske problemer i Unified State Exam (statseksamen for alle skolekandidater). Disse opgaver er typisk ikke kun til stede i del A (den nemmeste testdel af eksamen), men også i del C (de mest komplekse og omfangsrige opgaver). Eksamen kræver nøjagtig og perfekt viden om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og løsninger på problemer er taget fra officielle Muligheder for Unified State Exam. Lad os se, hvordan sådanne opgaver løses.

Givet log 2 (2x-1) = 4. Løsning:
lad os omskrive udtrykket og simplificere det lidt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definitionen af ​​logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

• Det er bedst at reducere alle logaritmer til samme base, så løsningen ikke bliver besværlig og forvirrende.
• Alle udtryk under logaritmetegnet er angivet som positive, og derfor, når eksponenten af ​​et udtryk, der er under logaritmetegnet, og som dets base tages ud som en multiplikator, skal det udtryk, der er tilbage under logaritmen, være positivt.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Mange elever bliver hængende i ligninger af denne type. Samtidig er opgaverne i sig selv på ingen måde komplekse - det er nok blot at udføre en kompetent variabel udskiftning, som du skal lære at identificere stabile udtryk for.

Ud over denne lektion finder du et ret omfangsrigt selvstændigt værk, der består af to muligheder med hver 6 opgaver.

Grupperingsmetode

I dag vil vi analysere to logaritmiske ligninger, hvoraf den ene ikke kan løses med det samme og kræver specielle transformationer, og den anden... men jeg vil ikke fortælle dig alt på én gang. Se videoen, download det selvstændige arbejde - og lær at løse komplekse problemer.

Så gruppering og anbringelse af fælles faktorer uden for parentes. Derudover vil jeg fortælle dig, hvilke faldgruber logaritmers definitionsdomæne har, og hvordan små bemærkninger til definitionsdomænet kan ændre både rødderne og hele løsningen markant.

Lad os starte fra grupperingen. Vi skal løse følgende logaritmiske ligning:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Bemærk først og fremmest, at x 2 − 3x kan faktoriseres:

log 2 x (x - 3)

Husk så den vidunderlige formel:

log a fg = log a f + log a g

Bare en hurtig bemærkning: denne formel fungerer godt, når a, f og g er regulære tal. Men når de erstattes af funktioner, holder disse udtryk op med at være ens. Forestil dig denne hypotetiske situation:

f< 0; g < 0

I dette tilfælde vil produktet fg være positivt, derfor vil log a (fg) eksistere, men log a f og log a g vil ikke eksistere separat, og vi vil ikke være i stand til at udføre en sådan transformation.

Ignorerer dette faktum vil føre til en indsnævring af definitionsområdet og som følge heraf tab af rødder. Før du udfører en sådan transformation, skal du derfor på forhånd sikre dig, at funktionerne f og g er positive.

I vores tilfælde er alt enkelt. Da den oprindelige ligning indeholder funktionen log 2 x, så er x > 0 (trods alt er variablen x i argumentet). Der er også log 2 (x − 3), så x − 3 > 0.

Derfor vil hver faktor i funktionen log 2 x (x − 3) være større end nul. Derfor kan du sikkert nedbryde produktet i mængden:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

Ved første øjekast kan det se ud til, at tingene ikke er blevet nemmere. Tværtimod: antallet af terminer er kun steget! For at forstå, hvordan man fortsætter, lad os introducere nye variabler:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

a · b + 1 − a − b = 0

Lad os nu gruppere det tredje led med det første:

(a · b − a ) + (1 − b ) = 0

a (1 · b − 1) + (1 − b ) = 0

Bemærk, at både den første og anden parentes indeholder b − 1 (i det andet tilfælde skal du tage "minus" ud af parentesen). Lad os faktorisere vores konstruktion:

a (1 · b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(a 1 − 1) = 0

Og lad os nu huske vores vidunderlige regel: produktet er lig med nul, når mindst en af ​​faktorerne er lig nul:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Lad os huske, hvad b og a er. Vi får to simple logaritmiske ligninger, hvor der kun er tilbage at slippe af med log-tegnene og sidestille argumenterne:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Vi har to rødder, men det er ikke løsninger til den oprindelige logaritmiske ligning, men kun kandidater til svaret. Lad os nu tjekke definitionsdomænet. Til det første argument:

x > 0

Begge rødder opfylder det første krav. Lad os gå videre til det andet argument:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Men her tilfredsstiller x = 2 os ikke, men x = 5 passer os ret godt. Derfor er det eneste svar x = 5.

Lad os gå videre til den anden logaritmiske ligning. Ved første øjekast er det meget enklere. Men i processen med at løse det, vil vi overveje subtile punkter relateret til definitionens omfang, hvor uvidenhed betydeligt komplicerer livet for begyndende studerende.

log 0,7 (x 2 − 6x + 2) = log 0,7 (7 − 2x)

Foran os er den kanoniske form af den logaritmiske ligning. Der er ingen grund til at transformere noget - selv baserne er de samme. Derfor sidestiller vi blot argumenterne:

x 2 − 6x + 2 = 7 − 2x

x 2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0

x 2 − 4x − 5 = 0

Det vi har foran os er andengradsligning, kan det nemt løses ved hjælp af Vietas formler:

(x - 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Men disse rødder er ikke de endelige svar. Det er nødvendigt at finde definitionsdomænet, da den oprindelige ligning indeholder to logaritmer, dvs. under hensyntagen til definitionsdomænet er strengt nødvendigt.

Så lad os skrive definitionsdomænet. På den ene side skal argumentet for den første logaritme være større end nul:

x 2 − 6x + 2 > 0

På den anden side skal det andet argument også være større end nul:

7 − 2x > 0

Disse krav skal opfyldes samtidigt. Og det er her det sjove begynder. Selvfølgelig kan vi løse hver af disse uligheder, derefter skære dem og finde domænet for hele ligningen. Men hvorfor gøre livet så svært for dig selv?

Lad os bemærke en subtilitet. Ved at fjerne log-tegnene sidestiller vi argumenterne. Det følger heraf, at kravene x 2 − 6x + 2 > 0 og 7 − 2x > 0 er ækvivalente. Som en konsekvens kan en af ​​de to uligheder elimineres. Lad os strege den sværeste del ud og efterlade os selv med den sædvanlige lineære ulighed:

−2x > −7

x< 3,5

Da vi delte begge dele efter et negativt tal, har ulighedstegnet ændret sig.

Så vi fandt ODZ uden kvadratiske uligheder, diskriminanter og skæringspunkter. Nu er der kun tilbage at vælge de rødder, der ligger på dette interval. Det er klart, at kun x = −1 vil passe os, fordi x = 5 > 3,5.

Vi kan skrive svaret: x = 1 er den eneste løsning på den oprindelige logaritmiske ligning.

Konklusionerne fra denne logaritmiske ligning er som følger:

1. Vær ikke bange for at faktorisere logaritmer, og derefter faktorisere faktorerne med summen af ​​logaritmerne. Husk dog, at ved at dele produktet i summen af ​​to logaritmer, indsnævrer man dermed definitionsområdet. Før du udfører en sådan konvertering, skal du derfor sørge for at tjekke, hvad omfangskravene er. Oftest opstår der dog ingen problemer endnu engang Det skader ikke at være på den sikre side.
2. Når du slipper af med den kanoniske form, så prøv at optimere beregningerne. Især hvis det kræves, at vi har f > 0 og g > 0, men i selve ligningen f = g, så kan vi roligt overstrege en af ​​ulighederne, så kun den simpleste bliver tilbage. Domænet for definition og svar vil ikke blive påvirket på nogen måde, men mængden af ​​beregninger vil blive væsentligt reduceret.

Det var dybest set alt, jeg ville fortælle dig om gruppen. :)

Typiske fejl ved løsning

I dag skal vi se på to typiske logaritmiske ligninger, som mange elever snubler over. Ved at bruge disse ligninger som eksempel, vil vi se, hvilke fejl der oftest begås i processen med at løse og transformere de oprindelige udtryk.

Fraktionelle rationelle ligninger med logaritmer

Det skal med det samme bemærkes, at der er tale om en ret snigende ligningstype, hvor der på ingen måde altid er en brøk med logaritme et sted i nævneren. Men i transformationsprocessen vil en sådan fraktion helt sikkert opstå.

Samtidig skal du være forsigtig: under transformationsprocessen kan det oprindelige definitionsdomæne for logaritmer ændre sig betydeligt!

Vi går videre til endnu mere stringente logaritmiske ligninger, der indeholder brøker og basisvariable. For at få mere gjort i en kort lektion vil jeg ikke fortælle dig den elementære teori. Lad os gå direkte til opgaverne:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Når man ser på denne ligning, vil nogen spørge: "Hvad har det at gøre med rationel brøkligning? Hvor er brøken i denne ligning? Lad os tage os god tid og se nøje på hvert semester.

Første termin: 4 log 25 (x − 1). Grundlaget for logaritmen er et tal, men argumentet er en funktion af variablen x. Vi kan ikke gøre noget ved det her endnu. Fortsæt.

Det næste led er: log 3 27. Husk at 27 = 3 3. Derfor kan vi omskrive hele logaritmen som følger:

log 3 27 = 3 3 = 3

Så den anden periode er kun en treer. Det tredje led: 2 log x − 1 5. Heller ikke her er alt simpelt: grundtallet er en funktion, argumentet er et almindeligt tal. Jeg foreslår at vende hele logaritmen ved hjælp af følgende formel:

log a b = 1/log b a

En sådan transformation kan kun udføres, hvis b ≠ 1. Ellers vil den logaritme, der viser sig at være i nævneren af ​​den anden brøk, simpelthen ikke eksistere. I vores tilfælde er b = 5, så alt er ok:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Lad os omskrive den oprindelige ligning under hensyntagen til de resulterende transformationer:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

I brøkens nævner har vi log 5 (x − 1), og i første led har vi log 25 (x − 1). Men 25 = 5 2, så vi tager kvadratet fra logaritmens basis i henhold til reglen:

Med andre ord bliver potensen i bunden af ​​logaritmen brøken foran. Og udtrykket vil blive omskrevet sådan:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Vi endte med en lang ligning med en masse identiske logaritmer. Lad os introducere en ny variabel:

log 5 (x - 1) = t;

2t - 4 + 2/t = 0;

Men dette er en brøk-rationel ligning, som kan løses ved hjælp af 8.-9. klasse algebra. Lad os først dividere alt med to:

t - 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

Der er en nøjagtig firkant i parentes. Lad os kollapse det:

(t − 1) 2 /t = 0

En brøk er lig med nul, når dens tæller er nul, og dens nævner er ikke-nul. Glem aldrig dette faktum:

(t − 1) 2 = 0

t = 1

t ≠ 0

Lad os huske, hvad t er:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Vi slipper for log-skiltene, sidestiller deres argumenter og får:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Alle. Problemet er løst. Men lad os gå tilbage til den oprindelige ligning og huske, at der var to logaritmer med variablen x. Derfor er det nødvendigt at nedskrive definitionsdomænet. Da x − 1 er i logaritmens argument, skal dette udtryk være større end nul:

x − 1 > 0

På den anden side er den samme x − 1 også til stede ved basen, så den må afvige fra enhed:

x − 1 ≠ 1

Herfra konkluderer vi:

x > 1; x ≠ 2

Disse krav skal opfyldes samtidigt. Værdien x = 6 opfylder begge krav, så x = 6 er den endelige løsning på den logaritmiske ligning.

Lad os gå videre til den anden opgave:

Lad os tage os tid igen og se på hvert udtryk:

log 4 (x + 1) - basen er fire. Det er et normalt tal, og du behøver ikke røre det. Men sidste gang stødte vi på en nøjagtig firkant ved basen, som skulle tages ud under logaritmetegnet. Lad os gøre det samme nu:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Tricket er, at vi allerede har en logaritme med variablen x, omend i basen - det er den inverse af logaritmen, som vi lige har fundet:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Næste led er log 2 8. Dette er en konstant, da både argumentet og grundtallet indeholder almindelige tal. Lad os finde værdien:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Vi kan gøre det samme med den sidste logaritme:

Lad os nu omskrive den oprindelige ligning:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Lad os bringe alt til en fællesnævner:

Igen har vi en rationel brøkligning. Lad os introducere en ny variabel:

t = log 2 (x + 1)

Lad os omskrive ligningen under hensyntagen til den nye variabel:

Vær forsigtig: I dette trin byttede jeg vilkårene. Brøkens tæller indeholder kvadratet af forskellen:

Som før er en brøk lig nul, når dens tæller er nul, og dens nævner er ikke-nul:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Vi har modtaget én rod, der opfylder alle kravene, så vi vender tilbage til variablen x:

log2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x = 15

Det er det, vi har løst ligningen. Men da der var flere logaritmer i den oprindelige ligning, er det nødvendigt at nedskrive definitionsdomænet.

Så udtrykket x + 1 er i logaritmens argument. Derfor x + 1 > 0. På den anden side er x + 1 også til stede i basen, dvs. x + 1 ≠ 1. I alt:

0 ≠ x > −1

Opfylder den fundne rod disse krav? Utvivlsomt. Derfor er x = 15 en løsning på den oprindelige logaritmiske ligning.

Til sidst vil jeg gerne sige følgende: Hvis du ser på en ligning og forstår, at du skal løse noget komplekst og ikke-standardiseret, så prøv at identificere stabile strukturer, som senere vil blive udpeget af en anden variabel. Hvis nogle led slet ikke indeholder variablen x, kan de ofte blot beregnes.

Det var alt, jeg ville tale om i dag. Jeg håber, at denne lektion hjælper dig med at løse komplekse logaritmiske ligninger. Se andre videotutorials, download og løs selvstændigt arbejde, og vi ses i den næste video!