Eksempler med negative grader. Talmagt: definitioner, notation, eksempler

Eksponentiering er en operation, der er tæt forbundet med multiplikation; denne operation er resultatet af gentagne gange at gange et tal med sig selv. Lad os repræsentere det med formlen: a1 * a2 * … * an = an.

For eksempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Generelt bruges eksponentiering ofte i forskellige formler i matematik og fysik. Denne funktion har et mere videnskabeligt formål end de fire vigtigste: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

At hæve et tal til en magt

At hæve et tal til en magt er ikke en kompliceret operation. Det er relateret til multiplikation på samme måde som forholdet mellem multiplikation og addition. Notationen an er en kort notation af det n'te antal tal "a" ganget med hinanden.

Overvej højst eksponentiering simple eksempler, går videre til komplekse.

For eksempel 42. 42 = 4 * 4 = 16. Fire i kvadrat (til anden potens) er lig med seksten. Hvis du ikke forstår multiplikation 4 * 4, så læs vores artikel om multiplikation.

Lad os se på et andet eksempel: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Fem terninger (til tredje potens) er lig med hundrede og femogtyve.

Et andet eksempel: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Ni terninger er lig med syv hundrede niogtyve.

Eksponentieringsformler

For korrekt at hæve til en potens skal du huske og kende formlerne nedenfor. Der er ikke noget ekstra naturligt i dette, det vigtigste er at forstå essensen og så vil de ikke kun blive husket, men vil også virke nemme.

At hæve en monomial til en magt

Hvad er et monomial? Dette er et produkt af tal og variable i enhver mængde. For eksempel er to et monomial. Og denne artikel handler netop om at hæve sådanne monomer til magter.

Ved at bruge formlerne for eksponentiering vil det ikke være svært at beregne eksponentieringen af ​​et monomial.

For eksempel, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Hvis du hæver en monomial til en potens, så hæves hver komponent af monomial til en potens.

Ved at hæve en variabel, der allerede har en potens, til en potens, ganges potenserne. For eksempel, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Hæve til en negativ magt

Negativ grad– gensidigt nummer. Hvad er det gensidige tal? Den reciproke af ethvert tal X er 1/X. Det vil sige X-1=1/X. Dette er essensen af ​​den negative grad.

Overvej eksemplet (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Hvorfor det? Da der er et minus i graden, overfører vi blot dette udtryk til nævneren og hæver det så til tredje potens. Simpelt er det ikke?

Hæve til en brøkdel magt

Lad os begynde at overveje spørgsmålet kl konkret eksempel. 43/2. Hvad betyder grad 3/2? 3 – tæller, betyder at hæve et tal (i dette tilfælde 4) til en terning. Tallet 2 er nævneren; det er udtrækningen af ​​den anden rod af et tal (i dette tilfælde 4).

Så får vi kvadratroden af ​​43 = 2^3 = 8. Svar: 8.

Så nævneren for en brøkgrad kan enten være 3 eller 4 eller et hvilket som helst tal til uendeligt, og dette tal bestemmer graden kvadrat rod, udtrukket fra et givet nummer. Selvfølgelig kan nævneren ikke være nul.

At hæve en rod til en magt

Hvis roden hæves til en grad, der svarer til graden af ​​selve roden, så vil svaret være et radikalt udtryk. For eksempel, (√x)2 = x. Og så under alle omstændigheder er graden af ​​roden og graden af ​​at hæve roden lige store.

Hvis (√x)^4. Derefter (√x)^4=x^2. For at kontrollere løsningen konverterer vi udtrykket til et udtryk med en brøkpotens. Da roden er kvadratisk, er nævneren 2. Og hvis roden hæves til fjerde potens, så er tælleren 4. Vi får 4/2=2. Svar: x = 2.

Alligevel den bedste mulighed konverter blot udtrykket til et udtryk med en brøkstyrke. Hvis brøken ikke annullerer, så er dette svaret, forudsat at roden af ​​det givne tal ikke er isoleret.

Hæver et komplekst tal til magten

Hvad er et komplekst tal? Et komplekst tal er et udtryk, der har formlen a + b * i; a, b – reelle tal. i er et tal, der, når det kvadreres, giver tallet -1.

Lad os se på et eksempel. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Tilmeld dig kurset "Fremskynd hovedregning, IKKE hovedregning"at lære, hvordan man hurtigt og korrekt adderer, subtraherer, multiplicerer, dividerer, kvadrattal og endda slår rødder. På 30 dage lærer du, hvordan du bruger lette tricks til at forenkle regneoperationer. Hver lektion indeholder nye teknikker, klare eksempler og nyttige opgaver.

Eksponentiering online

Ved hjælp af vores lommeregner kan du beregne hævningen af ​​et tal til en potens:

Eksponentiering 7. klasse

Skolebørn begynder først at få magt i syvende klasse.

Eksponentiering er en operation, der er tæt forbundet med multiplikation; denne operation er resultatet af gentagne gange at gange et tal med sig selv. Lad os repræsentere det med formlen: a1 * a2 * … * an=an.

For eksempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Eksempler på løsning:

Præsentation af eksponentiering

Præsentation om at hæve til magten, designet til syvende klasser. Præsentationen kan afklare nogle uklare punkter, men disse punkter bliver nok ikke opklaret takket være vores artikel.

Bundlinie

Vi har kun set på toppen af ​​isbjerget, for at forstå matematik bedre - tilmeld dig vores kursus: Accelererende hovedregning - IKKE hovedregning.

Fra kurset lærer du ikke kun snesevis af teknikker til forenklet og hurtig multiplikation, addition, multiplikation, division og udregning af procenter, men du vil også øve dem i specielle opgaver og pædagogiske spil! Hovedregning kræver også meget opmærksomhed og koncentration, som trænes aktivt, når man løser interessante problemer.

kan findes ved hjælp af multiplikation. For eksempel: 5+5+5+5+5+5=5x6. Et sådant udtryk siges at være, at summen af ​​lige led er foldet til et produkt. Og omvendt, hvis vi læser denne lighed fra højre mod venstre, finder vi ud af, at vi har udvidet summen af ​​lige led. På samme måde kan du kollapse produktet af flere lige store faktorer 5x5x5x5x5x5=5 6.

Det vil sige, i stedet for at gange seks identiske faktorer 5x5x5x5x5x5, skriver de 5 6 og siger "fem til sjette potens."

Udtrykket 5 6 er en potens af et tal, hvor:

5 - grad base;

6 - eksponent.

Handlinger, hvorved produktet af lige faktorer reduceres til en potens kaldes hæve til en magt.

Generelt skrives en grad med basis "a" og eksponent "n" som følger

At hæve tallet a til potensen n betyder at finde produktet af n faktorer, som hver er lig med en

Hvis grundtallet for graden "a" er lig med 1, så vil værdien af ​​graden for ethvert naturligt tal n være lig med 1. For eksempel, 1 5 =1, 1 256 =1

Hvis du hæver tallet "a" til første grad, så får vi selve tallet a: a 1 = a

Hvis du hæver et tal til nul grader, så får vi som et resultat af beregninger en. a 0 = 1

Anden og tredje potens af et tal betragtes som specielle. De fandt på navne til dem: anden grad kaldes kvadrat tallet, tredje - terning dette nummer.

Ethvert tal kan hæves til en potens - positiv, negativ eller nul. I dette tilfælde gælder følgende regler ikke:

Når man finder styrken af ​​et positivt tal, er resultatet et positivt tal.

Når man beregner nul i naturlig grad vi får nul.

x m · x n = x m + n

for eksempel: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Til dividere potenser med samme grundled Vi ændrer ikke grundtallet, men trækker eksponenterne fra:

x m / x n = x m - n , Hvor, m > n,

for eksempel: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Ved beregning at hæve en magt til en magt Vi ændrer ikke grundtallet, men multiplicerer eksponenterne med hinanden.

(ved m ) n = y m n

for eksempel: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

for eksempel:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Ved udførelse af beregninger iflg hæve en brøkdel til en magt vi hæver brøkens tæller og nævner til en given potens

(x/y)n = x n / y n

for eksempel: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Beregningsrækkefølgen, når man arbejder med udtryk, der indeholder en grad.

Når de udfører beregninger af udtryk uden parentes, men indeholder potenser, udfører de først og fremmest eksponentiering, derefter multiplikation og division, og først derefter additions- og subtraktionsoperationer.

Hvis du skal beregne et udtryk, der indeholder parenteser, så lav først beregningerne i parentes i den rækkefølge, der er angivet ovenfor, og derefter de resterende handlinger i samme rækkefølge fra venstre mod højre.

Meget udbredt i praktiske beregninger bruges færdige tabeller over potenser til at forenkle beregninger.

Magten bruges til at forenkle operationen med at gange et tal med sig selv. For eksempel, i stedet for at skrive, kan du skrive 4 5 (\displaystyle 4^(5))(en forklaring på denne overgang er givet i første afsnit af denne artikel). Grader gør det lettere at skrive lange eller komplekse udtryk eller ligninger; potenser er også nemme at tilføje og trække fra, hvilket resulterer i et forenklet udtryk eller ligning (f.eks. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Bemærk: hvis du skal beslutte dig eksponentiel ligning(i sådan en ligning er det ukendte i eksponenten), læs.

Trin

Løsning af simple problemer med grader

Multiplicer bunden af ​​potensen med sig selv med antallet af gange lig med indikatoren grader. Hvis du skal løse et potensproblem i hånden, skal du omskrive potensen som en multiplikationsoperation, hvor bunden af ​​potensen ganges med sig selv. For eksempel givet en grad 3 4 (\displaystyle 3^(4)). I dette tilfælde skal basen for potens 3 ganges med sig selv 4 gange: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Her er andre eksempler:

Først skal du gange de første to tal. For eksempel, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Bare rolig – beregningsprocessen er ikke så kompliceret, som den ser ud ved første øjekast. Gang først de første to firere og erstat dem derefter med resultatet. Sådan her:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Gang resultatet (16 i vores eksempel) med det næste tal. Hvert efterfølgende resultat vil stige proportionalt. I vores eksempel skal du gange 16 med 4. Sådan:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Fortsæt med at gange resultatet af de to første tal med det næste tal, indtil du får dit endelige svar. For at gøre dette skal du gange de første to tal og derefter gange det resulterende resultat med det næste tal i rækkefølgen. Denne metode er gyldig for enhver grad. I vores eksempel skal du få: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Løs følgende problemer. Tjek dit svar ved hjælp af en lommeregner.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. På din lommeregner skal du se efter nøglen mærket "exp" eller " x n (\displaystyle x^(n))", eller "^". Ved at bruge denne tast hæver du et tal til en potens. Det er næsten umuligt at beregne en grad med en stor indikator manuelt (for eksempel graden 9 15 (\displaystyle 9^(15))), men lommeregneren kan sagtens klare denne opgave. I Windows 7 kan standardberegneren skiftes til ingeniørtilstand; For at gøre dette skal du klikke på "Vis" -> "Engineering". For at skifte til normal tilstand skal du klikke på "Vis" -> "Normal".

   • Tjek dit svar vha søgemaskine(Google eller Yandex). Brug "^"-tasten på dit computertastatur til at indtaste udtrykket i søgemaskinen, som øjeblikkeligt vil vise det rigtige svar (og muligvis foreslå lignende udtryk, som du kan studere).

   Addition, subtraktion, multiplikation af potenser

   1. Du kan kun tilføje og trække grader fra, hvis de har de samme grunde. Hvis du skal tilføje potenser med de samme grundtal og eksponenter, kan du erstatte additionsoperationen med multiplikationsoperationen. For eksempel givet udtrykket 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Husk at graden 4 5 (\displaystyle 4^(5)) kan repræsenteres i formen 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Dermed, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(hvor 1+1 =2). Det vil sige, tæl antallet af lignende grader, og gange derefter den grad og dette tal. I vores eksempel skal du hæve 4 til femte potens, og derefter gange det resulterende resultat med 2. Husk at additionsoperationen kan erstattes af multiplikationsoperationen, f.eks. 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Her er andre eksempler:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Når potenser ganges med samme grundtal, lægges deres eksponenter sammen (grundlaget ændres ikke). For eksempel givet udtrykket x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). I dette tilfælde skal du bare tilføje indikatorerne og lade basen være uændret. Dermed, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Her er en visuel forklaring af denne regel:

      Når man hæver en potens til en potens, ganges eksponenterne. Der gives fx en grad. Da eksponenter ganges, altså (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Pointen med denne regel er, at du multiplicerer med potenser (x 2) (\displaystyle (x^(2))) på sig selv fem gange. Sådan her:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Da basen er den samme, summeres eksponenterne ganske enkelt: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. En potens med negativ eksponent skal konverteres til en brøk (omvendt potens). Det er lige meget, hvis du ikke ved, hvad en gensidig grad er. Hvis du får en grad med negativ eksponent, f.eks. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), skriv denne grad i brøkens nævner (sæt 1 i tælleren), og gør eksponenten positiv. I vores eksempel: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Her er andre eksempler:

      Når man dividerer grader med samme grundtal, trækkes deres eksponenter fra (grundlaget ændres ikke). Divisionsoperationen er det modsatte af multiplikationsoperationen. For eksempel givet udtrykket 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Træk eksponenten i nævneren fra eksponenten i tælleren (ændr ikke grundtallet). Dermed, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Potensen i nævneren kan skrives som følger: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Husk, at en brøk er et tal (potens, udtryk) med en negativ eksponent.

   4. Nedenfor er nogle udtryk, der vil hjælpe dig med at lære at løse problemer med eksponenter. De angivne udtryk dækker det materiale, der præsenteres i dette afsnit. For at se svaret skal du blot fremhæve tomt rum efter lighedstegnet.

   Løsning af problemer med brøkeksponenter

   En potens med en brøkeksponent (f.eks. ) konverteres til en rodoperation. I vores eksempel: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Her er det lige meget, hvilket tal der er i nævneren af ​​brøkeksponenten. For eksempel, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- er den fjerde rod af "x", dvs x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Hvis eksponenten er ukorrekt fraktion, så kan en sådan grad dekomponeres i to grader for at forenkle løsningen af ​​problemet. Der er ikke noget kompliceret ved dette - husk blot reglen om multiplikation af magter. Der gives fx en grad. Konverter en sådan potens til en rod, hvis potens er lig med nævneren af ​​brøkeksponenten, og hæv derefter denne rod til en potens lig med tælleren for brøkeksponenten. For at gøre dette, husk det 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). I vores eksempel:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Nogle lommeregnere har en knap til at beregne eksponenter (du skal først indtaste grundtallet, derefter trykke på knappen og derefter indtaste eksponenten). Det er angivet som ^ eller x^y.
   3. Husk at ethvert tal i første potens er lig med sig selv, f.eks. 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Desuden er ethvert tal ganget eller divideret med én lig med sig selv, f.eks. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Og 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Vid, at potensen 0 0 ikke eksisterer (en sådan potens har ingen løsning). Hvis du forsøger at løse en sådan grad på en lommeregner eller på en computer, får du en fejl. Men husk, at ethvert tal i nulpotensen er 1, f.eks. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. I højere matematik, som opererer med imaginære tal: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Hvor i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e er en konstant omtrent lig med 2,7; a er en vilkårlig konstant. Beviset for denne lighed kan findes i enhver lærebog om højere matematik.

   Advarsler

   • Når eksponenten stiger, stiger dens værdi meget. Så hvis svaret virker forkert for dig, kan det faktisk være korrekt. Du kan tjekke dette ved at plotte evt eksponentiel funktion fx 2 x.

At hæve til en negativ magt er et af de grundlæggende elementer i matematik, som man ofte støder på ved løsning af algebraiske problemer. Nedenfor er detaljerede instruktioner.

Hvordan man hæver til en negativ magt - teori

Når vi hæver et tal til en almindelig potens, multiplicerer vi dets værdi flere gange. For eksempel, 3 3 = 3×3×3 = 27. Med en negativ brøk er det modsatte sandt. Generel form ifølge formlen vil det se sådan ud: a -n = 1/a n. For at hæve et tal til en negativ potens, skal du altså dividere et med det givne tal, men til en positiv potens.

Hvordan man hæver til en negativ magt - eksempler på almindelige tal

Med ovenstående regel i tankerne, lad os løse et par eksempler.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Svar: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Svar -4 -2 = 1/16.

Men hvorfor er svarene i det første og andet eksempel de samme? Faktum er, at når et negativt tal hæves til en lige potens (2, 4, 6 osv.), bliver tegnet positivt. Hvis graden var lige, ville minus forblive:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Hvordan man hæver til en negativ potens - tal fra 0 til 1

Husk på, at når et tal mellem 0 og 1 hæves til en positiv potens, falder værdien, når potensen stiger. Så for eksempel, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Eksempel 3: Beregn 0,5 -2
Løsning: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Svar: 0,5 -2 = 4

Analyse (handlingssekvens):

• Vi oversætter decimal 0,5 til brøkdel 1/2. Det er nemmere på den måde.
  Hæv 1/2 til en negativ styrke. 1/(2) -2. Divider 1 med 1/(2) 2, vi får 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Eksempel 4: Beregn 0,5 -3
Løsning: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Eksempel 5: Beregn -0,5 -3
Løsning: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Svar: -0,5 -3 = -8

Baseret på det 4. og 5. eksempel kan vi drage flere konklusioner:

• For et positivt tal i intervallet fra 0 til 1 (eksempel 4), hævet til en negativ potens, er om potensen er lige eller ulige ikke vigtigt, vil værdien af ​​udtrykket være positiv. På samme tid end mere grad, jo større værdi.
• For et negativt tal i intervallet fra 0 til 1 (eksempel 5), hævet til en negativ potens, er om potensen er lige eller ulige ikke vigtigt, vil værdien af ​​udtrykket være negativ. I dette tilfælde, jo højere grad, jo lavere værdi.

Hvordan man hæver til en negativ potens - en potens i form af et brøktal

Udtryk af denne type har følgende form: a -m/n, hvor a er et regulært tal, m er gradens tæller, n er nævneren for graden.

Lad os se på et eksempel:
Beregn: 8 -1/3

Løsning (handlingssekvens):

• Lad os huske reglen for at hæve et tal til en negativ styrke. Vi får: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Bemærk, at nævneren har tallet 8 i en brøkpotens. Den generelle form for beregning af en brøkpotens er som følger: a m/n = n √8 m.
• Således er 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Vi får terningroden af ​​otte, som er lig med 2. Herfra er 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Svar: 8 -1/3 = 2

Fra skolen kender vi alle reglen om eksponentiering: ethvert tal med eksponent N er lig med resultatet af at gange dette tal med sig selv N antal gange. Med andre ord, 7 i potens af 3 er 7 ganget med sig selv tre gange, det vil sige 343. En anden regel er, at hvis man hæver en hvilken som helst mængde til 0, får man én, og at hæve en negativ størrelse er resultatet af almindelig hævning til styrken, hvis den er lige, og samme resultat med et minustegn, hvis den er ulige.

Reglerne giver også svaret på, hvordan man hæver et tal til en negativ potens. For at gøre dette skal du bygge på sædvanlig måde den nødvendige værdi pr. modul af indikatoren, og divider derefter enheden med resultatet.

Af disse regler bliver det klart, at udførelse af reelle opgaver, der involverer store mængder, vil kræve tilstedeværelse af tekniske midler. Manuelt kan du gange med dig selv et maksimalt antal tal op til tyve til tredive, og derefter ikke mere end tre eller fire gange. Dette er ikke for at nævne at dividere en med resultatet. Derfor, for dem, der ikke har en speciel teknisk lommeregner ved hånden, vil vi fortælle dig, hvordan du hæver et tal til en negativ potens i Excel.

Løsning af problemer i Excel

For at løse problemer, der involverer eksponentiering, giver Excel dig mulighed for at bruge en af ​​to muligheder.

Den første er brugen af ​​en formel med et standard "låg"-tegn. Indtast følgende data i regnearkets celler:

På samme måde kan du hæve den ønskede værdi til enhver potens - negativ, brøkdel. Lad os udføre følgende trin og besvare spørgsmålet om, hvordan man hæver et tal til en negativ styrke. Eksempel:

Du kan rette =B2^-C2 direkte i formlen.

Den anden mulighed er at bruge den færdige "Grad" funktion, som tager to nødvendige argumenter - et tal og en eksponent. For at begynde at bruge det, skal du bare sætte lighedstegnet (=) i en hvilken som helst fri celle, der angiver begyndelsen af ​​formlen, og indtaste ovenstående ord. Det eneste, der er tilbage, er at vælge to celler, der vil deltage i operationen (eller angive specifikke tal manuelt) og trykke på Enter-tasten. Lad os se på et par enkle eksempler.

Som du kan se, er der ikke noget kompliceret ved, hvordan man hæver et tal til en negativ potens og til en almindelig potens ved hjælp af Excel. For at løse dette problem kan du trods alt bruge både det velkendte "låg"-symbol og programmets indbyggede funktion, som er nem at huske. Dette er et klart plus!

Lad os gå videre til mere komplekse eksempler. Lad os huske reglen om, hvordan man hæver et tal til en negativ brøkpotens, og vi vil se, at dette problem er meget let at løse i Excel.

Fraktionelle indikatorer

Kort sagt er algoritmen til at beregne et tal med en brøkeksponent som følger.

1. Konverter en brøk til en rigtig eller uægte brøk.
2. Hæv vores tal til tælleren for den resulterende konverterede brøk.
3. Ud fra det tal, der er opnået i det foregående afsnit, beregnes roden med den betingelse, at rodens eksponent vil være nævneren for den brøk, der blev opnået i det første trin.

Enig i, at selv når der arbejdes med små tal og egenbrøker, kan sådanne beregninger tage meget tid. Det er godt, at Excel-regnearksprocessoren er ligeglad med, hvilket tal der hæves til hvilken effekt. Prøv at løse det på arbejdet Excel ark følgende eksempel:

Ved hjælp af ovenstående regler kan du kontrollere og sikre dig, at beregningen er udført korrekt.

I slutningen af ​​vores artikel vil vi præsentere i form af en tabel med formler og resultater flere eksempler på, hvordan man hæver et tal til en negativ potens, samt flere eksempler på drift brøktal og grader.

Eksempel tabel

Se følgende eksempler i dit Excel-regneark. For at alt fungerer korrekt, skal du bruge en blandet reference, når du kopierer formlen. Fastgør nummeret på den kolonne, der indeholder det tal, der hæves, og nummeret på den række, der indeholder indikatoren. Din formel skulle se sådan ud: "=$B4^C$3."

Bemærk venligst, at positive tal (selv ikke-heltal) kan beregnes uden problemer for enhver eksponent. Der er ingen problemer med at hæve nogen tal til heltal. Men at hæve et negativt tal til en brøkpotens vil vise sig at være en fejl for dig, da det er umuligt at følge reglen angivet i begyndelsen af ​​vores artikel om at hæve negative tal, fordi paritet udelukkende er en karakteristik af et HELE tal.

Et tal hævet til en magt De ringer til et nummer, der ganges med sig selv flere gange.

Potens for et tal med en negativ værdi (a - n) kan bestemmes på samme måde som, hvordan styrken af ​​det samme tal med en positiv eksponent bestemmes (a n) . Det kræver dog også yderligere definition. Formlen er defineret som:

a-n = (1/a n)

Egenskaberne for negative talpotenser svarer til potenser med en positiv eksponent. Fremlagt ligning -en m/a n= en m-n kan være fair som

« Ingen steder, som i matematik, tillader klarheden og nøjagtigheden af ​​konklusionen en person at vriste sig ud af et svar ved at tale rundt om spørgsmålet».

A. D. Alexandrov

på n mere m , og med m mere n . Lad os se på et eksempel: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Først skal du bestemme det tal, der fungerer som en definition af graden. b=a(-n) . I dette eksempel -n er en eksponent b - den ønskede numeriske værdi, -en - grundlaget for graden i form af en naturlig numerisk værdi. Bestem derefter modulet, det vil sige den absolutte værdi af et negativt tal, der fungerer som en eksponent. Beregn graden af ​​et givet tal i forhold til et absolut tal, som en indikator. Gradens værdi findes ved at dividere en med det resulterende tal.

Ris. 1

Overvej styrken af ​​et tal med en negativ brøkeksponent. Lad os forestille os, at tallet a er et hvilket som helst positivt tal, numre n Og m - heltal. Ifølge definitionen -en , som hæves til magten - er lig med en divideret med det samme tal med en positiv potens (Figur 1). Når potensen af ​​et tal er en brøk, så bruges i sådanne tilfælde kun tal med positive eksponenter.

Værd at huske at nul aldrig kan være en eksponent for et tal (reglen om division med nul).

Udbredelsen af ​​et sådant koncept som et antal blev sådanne manipulationer som måleberegninger såvel som udviklingen af ​​matematik som en videnskab. Indførelsen af ​​negative værdier skyldtes udviklingen af ​​algebra, som gav generelle løsninger på aritmetiske problemer, uanset deres specifikke betydning og de originale numeriske data. I Indien, tilbage i det 6.-11. århundrede, blev negative tal systematisk brugt til at løse problemer og blev fortolket på samme måde som i dag. I europæisk videnskab begyndte negative tal at blive brugt i vid udstrækning takket være R. Descartes, som gav en geometrisk fortolkning af negative tal som retninger af segmenter. Det var Descartes, der foreslog betegnelsen af ​​et tal hævet til en magt, der skulle vises som en to-etagers formel en n .

Det er indlysende, at tal med potenser kan tilføjes ligesom andre størrelser , ved at tilføje dem en efter en med deres tegn.

Så summen af ​​a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen af ​​a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds samme magt af identiske variabler kan lægges til eller trækkes fra.

Så summen af ​​2a 2 og 3a 2 er lig med 5a 2.

Det er også indlysende, at hvis du tager to felter a, eller tre felter a, eller fem felter a.

Men grader forskellige variabler Og forskellige grader identiske variabler, skal sammensættes ved at tilføje dem med deres tegn.

Så summen af ​​en 2'er og en 3'er er summen af ​​en 2'er + en 3'er.

Det er indlysende, at kvadratet af a, og terningen af ​​a, ikke er lig med to gange kvadratet af a, men to gange terningen af ​​a.

Summen af ​​a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraktion beføjelser udføres på samme måde som addition, bortset fra at subtrahendernes fortegn skal ændres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplikation af magter

Tal med potenser kan ganges, ligesom andre størrelser, ved at skrive dem efter hinanden, med eller uden et multiplikationstegn mellem dem.

Resultatet af at gange a 3 med b 2 er således a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det sidste eksempel kan bestilles ved at tilføje identiske variabler.
Udtrykket vil have formen: a 5 b 5 y 3.

Ved at sammenligne flere tal (variable) med potenser, kan vi se, at hvis to af dem ganges, så er resultatet et tal (variabel) med en potens lig med beløb grader af vilkår.

Så a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen af ​​resultatet af multiplikationen, lig med 2 + 3, summen af ​​potenserne af led.

Så a n.am = a m+n.

For a n tages a som en faktor lige så mange gange som potensen af ​​n;

Og en m tages som en faktor lige så mange gange som graden m er lig med;

Derfor, potenser med samme grundtal kan ganges ved at lægge potensernes eksponenter sammen.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplicer (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multiplicer (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regel gælder også for tal, hvis eksponenter er negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

Hvis a + b ganges med a - b, bliver resultatet a 2 - b 2: dvs

Resultatet af at gange summen eller forskellen af ​​to tal lig med summen eller forskellen på deres kvadrater.

Hvis du gange summen og forskellen af ​​to tal hævet til firkant, vil resultatet være lig med summen eller forskellen af ​​disse tal i fjerde grader.

Altså (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Inddeling af grader

Tal med potenser kan divideres som andre tal, ved at trække fra udbyttet eller ved at placere dem i brøkform.

Således er a 3 b 2 divideret med b 2 lig med a 3.

Eller:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

At skrive en 5 divideret med en 3 ser ud som $\frac(a^5)(a^3)$. Men dette er lig med en 2'er. I en række tal
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
ethvert tal kan divideres med et andet, og eksponenten vil være lig med forskel indikatorer for delelige tal.

Når man dividerer grader med samme grundtal, trækkes deres eksponenter fra..

Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil sige $\frac(yyy)(yy) = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil sige $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Reglen gælder også for tal med negativ værdier af grader.
Resultatet af at dividere en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Det er nødvendigt at mestre multiplikation og division af potenser meget godt, da sådanne operationer er meget udbredt i algebra.

Eksempler på løsning af eksempler med brøker indeholdende tal med potenser

1. Reducer eksponenterne med $\frac(5a^4)(3a^2)$ Svar: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Formindsk eksponenterne med $\frac(6x^6)(3x^5)$. Svar: $\frac(2x)(1)$ eller 2x.

3. Reducer eksponenterne a 2 /a 3 og a -3 /a -4 og bring dem til en fællesnævner.
a 2 .a -4 er a -2 den første tæller.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den anden tæller.
a 3 .a -4 er en -1 , den fælles tæller.
Efter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reducer eksponenterne 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og bring dem til en fællesnævner.
Svar: 2a 3 /5a 7 og 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 og 5/5a 2.

5. Gang (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Gang (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Gang b4/a-2 med h-3/x og a n/y-3.

8. Divider a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

9. Divider (h 3 - 1)/d 4 med (d n + 1)/h.