Stjerne nyheder
Find roden til logaritmeligningen. Lær at løse simple logaritmiske ligninger
Med denne video begynder jeg en lang række lektioner om logaritmiske ligninger. Nu har du tre eksempler foran dig, som vi lærer at løse mest ud fra simple opgaver, som kaldes så - protozoer.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Lad mig minde dig om, at den enkleste logaritmiske ligning er følgende:
log a f (x) = b
I dette tilfælde er det vigtigt, at variablen x kun er til stede i argumentet, det vil sige kun i funktionen f (x). Og tallene a og b er kun tal, og i intet tilfælde er funktioner, der indeholder variablen x.
Grundlæggende løsningsmetoder
Der er mange måder at løse sådanne strukturer på. For eksempel tilbyder de fleste lærere på skolen denne metode: Udtryk straks funktionen f (x) ved hjælp af formlen f ( x) = a b. Det vil sige, at når du støder på den enkleste konstruktion, kan du straks gå videre til løsningen uden yderligere handlinger og konstruktioner.
Ja, selvfølgelig vil beslutningen være korrekt. Men problemet med denne formel er, at de fleste studerende forstår ikke, hvor det kommer fra, og hvorfor vi hæver bogstavet a til bogstavet b.
Derfor ser jeg ofte meget irriterende fejl, når for eksempel disse bogstaver byttes. Denne formel skal enten forstås eller proppes, og den anden metode fører til fejl på de mest uhensigtsmæssige og mest afgørende tidspunkter: under eksamener, prøver osv.
Derfor foreslår jeg, at alle mine elever opgiver standardskoleformlen og bruger den logaritmiske ligninger den anden tilgang, som, som du sikkert har gættet ud fra navnet, hedder kanonisk form.
Ideen om den kanoniske form er enkel. Lad os se på vores problem igen: til venstre har vi log a, og med bogstavet a mener vi et tal, og i intet tilfælde en funktion, der indeholder variablen x. Følgelig er dette brev underlagt alle de begrænsninger, der er pålagt på basis af logaritmen. nemlig:
1 ≠ a > 0
På den anden side ser vi ud fra samme ligning, at logaritmen skal være lig med tallet b , og der er ingen begrænsninger på dette brev, fordi det kan tage alle værdier - både positive og negative. Det hele afhænger af, hvilke værdier funktionen f(x) tager.
Og her husker vi vores vidunderlige regel om, at ethvert tal b kan repræsenteres som en logaritme til basen a af a i b potens:
b = log a a b
Hvordan husker man denne formel? Ja, meget simpelt. Lad os skrive følgende konstruktion:
b = b 1 = b log a a
Selvfølgelig opstår i dette tilfælde alle de begrænsninger, som vi skrev ned i begyndelsen. Lad os nu bruge logaritmens grundlæggende egenskab og introducere multiplikatoren b som potensen af a. Vi får:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Som følge heraf vil den oprindelige ligning blive omskrevet som følger:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Det er alt. Den nye funktion indeholder ikke længere en logaritme og kan løses ved hjælp af standard algebraiske teknikker.
Selvfølgelig vil nogen nu indvende: hvorfor var det overhovedet nødvendigt at komme med en slags kanonisk formel, hvorfor udføre to ekstra unødvendige trin, hvis det var muligt straks at flytte fra det originale design til den endelige formel? Ja, hvis det kun er fordi de fleste elever ikke forstår, hvor denne formel kommer fra, og som følge heraf regelmæssigt begår fejl, når de anvender den.
Men denne sekvens af handlinger, der består af tre trin, giver dig mulighed for at løse den oprindelige logaritmiske ligning, selvom du ikke forstår, hvor den endelige formel kommer fra. Forresten kaldes denne post den kanoniske formel:
log a f (x) = log a a b
Bekvemmeligheden ved den kanoniske form ligger også i, at den kan bruges til at løse en meget bred klasse af logaritmiske ligninger, og ikke kun de simpleste, som vi overvejer i dag.
Eksempler på løsninger
Lad os nu tage et kig rigtige eksempler. Så lad os beslutte:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Lad os omskrive det sådan her:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Mange studerende har travlt og forsøger straks at hæve tallet 0,5 til den magt, der kom til os fra det oprindelige problem. Faktisk, når du allerede er godt trænet i at løse sådanne problemer, kan du straks udføre dette trin.
Men hvis du nu lige er begyndt at studere dette emne, er det bedre ikke at skynde dig nogen steder for at undgå at begå stødende fejl. Så vi har den kanoniske form. Vi har:
3x − 1 = 0,5 −3
Dette er ikke længere en logaritmisk ligning, men lineær i forhold til variablen x. For at løse det, lad os først se på tallet 0,5 i potensen −3. Bemærk, at 0,5 er 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Alle decimaler konvertere til almindelige, når du løser en logaritmisk ligning.
Vi omskriver og får:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Det er det, vi har svaret. Det første problem er løst.
Anden opgave
Lad os gå videre til den anden opgave:
Som vi ser, er denne ligning ikke længere den enkleste. Om ikke andet fordi der er en forskel til venstre, og ikke en enkelt logaritme til én base.
Derfor skal vi på en eller anden måde slippe af med denne forskel. I dette tilfælde er alt meget enkelt. Lad os se nærmere på baserne: til venstre er tallet under roden:
Generel anbefaling: i alle logaritmiske ligninger, prøv at slippe af med radikaler, dvs. fra indgange med rødder og gå videre til magt funktioner, simpelthen fordi eksponenterne for disse potenser let tages ud af logaritmens fortegn, og i sidste ende forenkler en sådan notation betydeligt og fremskynder beregningerne. Lad os skrive det ned sådan her:
Lad os nu huske den bemærkelsesværdige egenskab ved logaritmen: potenser kan udledes fra argumentet såvel som fra basen. I tilfælde af grunde sker følgende:
log a k b = 1/k loga b
Med andre ord føres det tal, der var i grundpotensen, frem og vendes samtidig om, det vil sige, at det bliver et gensidigt tal. I vores tilfælde var grundgraden 1/2. Derfor kan vi tage den ud som 2/1. Vi får:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Bemærk venligst: under ingen omstændigheder bør du slippe af med logaritmer på dette trin. Husk 4.-5. klasses matematik og rækkefølgen af operationer: multiplikation udføres først, og først derefter addition og subtraktion. I dette tilfælde trækker vi et af de samme elementer fra 10 elementer:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Nu ser vores ligning ud, som den skal. Dette er den enkleste konstruktion, og vi løser den ved hjælp af den kanoniske form:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Det er alt. Det andet problem er løst.
Tredje eksempel
Lad os gå videre til den tredje opgave:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Lad mig minde dig om følgende formel:
log b = log 10 b
Hvis du af en eller anden grund er forvirret over notationen log b, så kan du, når du udfører alle beregningerne, blot skrive log 10 b. Du kan arbejde med decimallogaritmer på samme måde som med andre: tag potenser, addér og repræsentere alle tal i formen lg 10.
Det er disse egenskaber, vi nu vil bruge til at løse problemet, da det ikke er den enkleste, som vi skrev ned helt i begyndelsen af vores lektion.
Bemærk først, at faktoren 2 foran lg 5 kan introduceres og bliver en potens af grundtal 5. Derudover er det frie led 3 også repræsenteret som en logaritme - det er meget let at observere ud fra vores notation.
Vurder selv: ethvert tal kan repræsenteres som log til base 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Lad os omskrive det oprindelige problem under hensyntagen til de opnåede ændringer:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000
Vi har foran os den kanoniske form igen, og vi fik den uden at gå gennem transformationsstadiet, dvs. den enkleste logaritmiske ligning dukkede ingen steder op.
Det er præcis, hvad jeg talte om i begyndelsen af lektionen. Den kanoniske form giver dig mulighed for at løse en bredere klasse af problemer end den standardskoleformel, som de fleste skolelærere giver.
Nå, det er det, vi slipper af med tegnet for decimallogaritmen, og vi får en simpel lineær konstruktion:
x + 3 = 25.000
x = 24.997
Alle! Problemet er løst.
En note om omfang
Her vil jeg gerne komme med en vigtig bemærkning vedrørende definitionens omfang. Nu vil der helt sikkert være elever og lærere, der vil sige: "Når vi løser udtryk med logaritmer, skal vi huske, at argumentet f (x) skal være større end nul!" I denne henseende opstår et logisk spørgsmål: hvorfor krævede vi ikke, at denne ulighed skulle være opfyldt i nogen af de overvejede problemer?
Vær ikke urolig. I disse tilfælde vil der ikke dukke ekstra rødder op. Og dette er endnu et godt trick, der giver dig mulighed for at fremskynde løsningen. Bare ved, at hvis variablen x kun forekommer ét sted i opgaven (eller rettere, i et enkelt argument i en enkelt logaritme), og ingen andre steder i vores tilfælde forekommer variablen x, så skriv definitionsdomænet ned intet behov, fordi det vil blive udført automatisk.
Vurder selv: i den første ligning fik vi at 3x − 1, dvs. argumentet skal være lig med 8. Det betyder automatisk, at 3x − 1 vil være større end nul.
Med samme succes kan vi skrive, at i det andet tilfælde skal x være lig med 5 2, dvs. det er bestemt større end nul. Og i det tredje tilfælde, hvor x + 3 = 25.000, dvs. igen åbenbart større end nul. Med andre ord opfyldes omfanget automatisk, men kun hvis x kun forekommer i argumentet for kun én logaritme.
Det er alt, du behøver at vide for at løse de enkleste problemer. Alene denne regel vil sammen med transformationsreglerne give dig mulighed for at løse en meget bred klasse af problemer.
Men lad os være ærlige: For endelig at forstå denne teknik, for at lære at anvende den kanoniske form af den logaritmiske ligning, er det ikke nok kun at se en videolektion. Så download mulighederne lige nu for selvstændig beslutning, som er knyttet til denne videolektion og begynder at løse mindst ét af disse to selvstændige værker.
Det vil tage dig bogstaveligt talt et par minutter. Men effekten af en sådan træning vil være meget højere, end hvis du blot så denne videolektion.
Jeg håber, at denne lektion vil hjælpe dig med at forstå logaritmiske ligninger. Brug den kanoniske form, forenkle udtryk ved hjælp af reglerne for arbejde med logaritmer - og du vil ikke være bange for problemer. Det er alt, jeg har for i dag.
Under hensyntagen til definitionsdomænet
Lad os nu tale om definitionsdomænet for den logaritmiske funktion, og hvordan dette påvirker løsningen af logaritmiske ligninger. Overvej en konstruktion af formen
log a f (x) = b
Sådan et udtryk kaldes det simpleste - det indeholder kun én funktion, og tallene a og b er kun tal, og i intet tilfælde en funktion, der afhænger af variablen x. Det kan løses meget enkelt. Du skal blot bruge formlen:
b = log a a b
Denne formel er en af logaritmens nøgleegenskaber, og når vi substituerer i vores oprindelige udtryk får vi følgende:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Dette er en velkendt formel fra skolebøger. Mange elever vil sikkert have et spørgsmål: da funktionen f (x) i det oprindelige udtryk er under logtegnet, er der pålagt følgende begrænsninger:
f(x) > 0
Denne begrænsning gælder, fordi logaritmen af negative tal eksisterer ikke. Så måske, som et resultat af denne begrænsning, bør der indføres kontrol af svar? Måske skal de indsættes i kilden?
Nej, i de enkleste logaritmiske ligninger er yderligere kontrol unødvendig. Og det er derfor. Tag et kig på vores endelige formel:
f (x) = a b
Faktum er, at tallet a under alle omstændigheder er større end 0 - dette krav stilles også af logaritmen. Tallet a er grundtallet. I dette tilfælde er der ingen begrænsninger på tallet b. Men dette er ligegyldigt, for uanset hvilken styrke vi hæver et positivt tal til, vil vi stadig få et positivt tal ved udgangen. Dermed opfyldes kravet f (x) > 0 automatisk.
Det, der virkelig er værd at tjekke, er funktionens domæne under logtegnet. Der kan være en del simple designs, og under beslutningsprocessen skal de overvåges. Lad os tage et kig.
Første opgave:
Første trin: konverter brøken til højre. Vi får:
Vi slipper for logaritmetegnet og får det sædvanlige ir rationel ligning:
Af de opnåede rødder passer kun den første til os, da den anden rod er mindre end nul. Det eneste svar vil være tallet 9. Det er det, problemet er løst. Der kræves ingen yderligere kontrol for at sikre, at udtrykket under logaritmetegnet er større end 0, fordi det ikke bare er større end 0, men ifølge ligningens tilstand er det lig med 2. Derfor er kravet "større end nul ” bliver opfyldt automatisk.
Lad os gå videre til den anden opgave:
Alt er det samme her. Vi omskriver konstruktionen og erstatter det tredobbelte:
Vi slipper for logaritmetegnene og får irrationel ligning:
Vi firkanter begge sider under hensyntagen til begrænsningerne og får:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Vi løser den resulterende ligning gennem diskriminanten:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Men x = −6 passer ikke os, for hvis vi erstatter dette tal i vores ulighed, får vi:
−6 + 4 = −2 < 0
I vores tilfælde kræves det, at det er større end 0 eller i ekstreme tilfælde lig. Men x = −1 passer os:
−1 + 4 = 3 > 0
Det eneste svar i vores tilfælde vil være x = −1. Det er løsningen. Lad os gå tilbage til begyndelsen af vores beregninger.
Det vigtigste ved denne lektion er, at du ikke behøver at kontrollere begrænsninger på en funktion i simple logaritmiske ligninger. For under løsningsprocessen bliver alle begrænsninger opfyldt automatisk.
Dette betyder dog på ingen måde, at du kan glemme alt om at tjekke. I processen med at arbejde med en logaritmisk ligning kan det meget vel blive til en irrationel, som vil have sine egne begrænsninger og krav til højresiden, som vi i dag har set i to forskellige eksempler.
Løs gerne sådanne problemer og vær især forsigtig, hvis der er en rod i argumentationen.
Logaritmiske ligninger med forskellige baser
Vi fortsætter med at studere logaritmiske ligninger og ser på to mere ret interessante teknikker, som det er moderne at løse mere komplekse konstruktioner med. Men lad os først huske, hvordan de enkleste problemer løses:
log a f (x) = b
I denne notation er a og b tal, og i funktionen f (x) skal variablen x være til stede, og kun der, det vil sige, skal x kun være i argumentet. Vi vil transformere sådanne logaritmiske ligninger ved hjælp af den kanoniske form. For at gøre dette skal du bemærke det
b = log a a b
Desuden er a b netop et argument. Lad os omskrive dette udtryk som følger:
log a f (x) = log a a b
Det er præcis det, vi forsøger at opnå, så der er en logaritme til at basere a på både venstre og højre. I dette tilfælde kan vi billedligt talt strege logtegnene over, og ud fra et matematisk synspunkt kan vi sige, at vi blot sidestiller argumenterne:
f (x) = a b
Det resulterer i, at vi får et nyt udtryk, som vil være meget nemmere at løse. Lad os anvende denne regel på vores problemer i dag.
Så det første design:
Først og fremmest bemærker jeg, at til højre er en brøk, hvis nævner er log. Når du ser et udtryk som dette, er det en god idé at huske en vidunderlig egenskab ved logaritmer:
Oversat til russisk betyder det, at enhver logaritme kan repræsenteres som kvotienten af to logaritmer med en hvilken som helst base c. Selvfølgelig 0< с ≠ 1.
Så: denne formel har et vidunderligt specialtilfælde, når variablen c er lig med variablen b. I dette tilfælde får vi en konstruktion som:
Det er præcis den konstruktion, vi ser fra skiltet til højre i vores ligning. Lad os erstatte denne konstruktion med log a b , vi får:
Med andre ord, i sammenligning med den oprindelige opgave, byttede vi argumentet og basen af logaritmen. I stedet måtte vi vende brøken.
Lad os huske, at enhver grad kan udledes af basen i henhold til følgende regel:
Med andre ord er koefficienten k, som er basens potens, udtrykt som en inverteret brøk. Lad os gengive det som en omvendt brøk:
Brøkfaktoren kan ikke stå foran, fordi vi i dette tilfælde ikke vil være i stand til at repræsentere denne notation som en kanonisk form (i den kanoniske form er der trods alt ingen yderligere faktor før den anden logaritme). Lad os derfor tilføje brøkdelen 1/4 til argumentet som en potens:
Nu sætter vi lighedstegn mellem argumenter, hvis baser er de samme (og vores baser er virkelig de samme), og skriver:
x + 5 = 1
x = −4
Det er alt. Vi fik svaret på den første logaritmiske ligning. Bemærk venligst: I den oprindelige opgave optræder variablen x kun i én log, og den vises i dens argument. Derfor er der ingen grund til at tjekke domænet, og vores tal x = −4 er faktisk svaret.
Lad os nu gå videre til det andet udtryk:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Her bliver vi udover de sædvanlige logaritmer nødt til at arbejde med log f (x). Hvordan løser man sådan en ligning? For en uforberedt elev kan det virke som om, det er en slags hård opgave, men faktisk kan alt løses på en elementær måde.
Se nærmere på begrebet lg 2 log 2 7. Hvad kan vi sige om det? Baserne og argumenterne for log og lg er de samme, og det burde give nogle ideer. Lad os endnu en gang huske, hvordan kræfter udtages under logaritmens tegn:
log a b n = nlog a b
Med andre ord, det, der var en potens af b i argumentet, bliver en faktor foran selve log. Lad os anvende denne formel på udtrykket lg 2 log 2 7. Bliv ikke bange for lg 2 - dette er det mest almindelige udtryk. Du kan omskrive det som følger:
Alle de regler, der gælder for enhver anden logaritme, er gyldige for den. Især faktoren foran kan lægges til graden af argumentationen. Lad os skrive det ned:
Meget ofte ser eleverne ikke denne handling direkte, fordi det ikke er godt at indtaste en log under tegnet af en anden. Faktisk er der ikke noget kriminelt i dette. Desuden får vi en formel, der er nem at beregne, hvis du husker en vigtig regel:
Denne formel kan betragtes både som en definition og som en af dens egenskaber. Under alle omstændigheder, hvis du konverterer en logaritmisk ligning, bør du kende denne formel, ligesom du ville kende logrepræsentationen af ethvert tal.
Lad os vende tilbage til vores opgave. Vi omskriver det under hensyntagen til, at det første led til højre for lighedstegnet simpelthen vil være lig med lg 7. Vi har:
lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)
Lad os flytte lg 7 til venstre, vi får:
lg 56 − lg 7 = −3 lg (x + 4)
Vi trækker udtrykkene til venstre fra, fordi de har samme grundtal:
lg (56/7) = −3 lg (x + 4)
Lad os nu se nærmere på den ligning, vi fik. Det er praktisk talt den kanoniske form, men der er en faktor −3 til højre. Lad os tilføje det til det rigtige lg-argument:
log 8 = log (x + 4) −3
Foran os er den kanoniske form af den logaritmiske ligning, så vi krydser lg-tegnene ud og sidestiller argumenterne:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
Det er alt! Vi løste den anden logaritmiske ligning. I dette tilfælde kræves ingen yderligere kontrol, fordi i det oprindelige problem var x kun til stede i ét argument.
Lad mig nævne de vigtigste punkter i denne lektion igen.
Hovedformel, som er studeret i alle lektionerne på denne side, dedikeret til løsningen logaritmiske ligninger er den kanoniske form. Og vær ikke bange for, at de fleste skolebøger lærer dig at løse sådanne problemer anderledes. Dette værktøj fungerer meget effektivt og giver dig mulighed for at løse en meget bredere klasse af problemer end de simpleste, som vi studerede helt i begyndelsen af vores lektion.
For at løse logaritmiske ligninger vil det desuden være nyttigt at kende de grundlæggende egenskaber. Nemlig:
- Formlen for at flytte til én base og det særlige tilfælde, når vi vender log (dette var meget nyttigt for os i det første problem);
- Formel til at addere og trække potenser fra logaritmetegnet. Her går mange studerende i stå og kan ikke se, at den udtagne og indførte grad selv kan indeholde log f (x). Intet galt med det. Vi kan introducere en log i henhold til den andens fortegn og samtidig forenkle løsningen af problemet betydeligt, hvilket er det, vi observerer i det andet tilfælde.
Afslutningsvis vil jeg tilføje, at det ikke er nødvendigt at kontrollere definitionsdomænet i hvert af disse tilfælde, fordi variablen x kun er til stede i ét tegn på log overalt, og samtidig er i sin argumentation. Som en konsekvens heraf opfyldes alle krav i omfanget automatisk.
Problemer med variabel base
I dag skal vi se på logaritmiske ligninger, som for mange elever virker ikke-standardiserede, hvis ikke helt uløselige. Vi taler om udtryk, der ikke er baseret på tal, men på variable og endda funktioner. Vi vil løse sådanne konstruktioner ved hjælp af vores standardteknik, nemlig gennem den kanoniske form.
Lad os først huske, hvordan de enkleste problemer løses, baseret på almindelige tal. Så den enkleste konstruktion kaldes
log a f (x) = b
For at løse sådanne problemer kan vi bruge følgende formel:
b = log a a b
Vi omskriver vores originale udtryk og får:
log a f (x) = log a a b
Derefter sidestiller vi argumenterne, dvs. vi skriver:
f (x) = a b
Dermed slipper vi for logskiltet og løser det sædvanlige problem. I dette tilfælde vil rødderne opnået fra løsningen være rødderne af den oprindelige logaritmiske ligning. Desuden kaldes en post, når både venstre og højre er i samme logaritme med samme grundtal, netop den kanoniske form. Det er til sådan en rekord, at vi vil forsøge at reducere nutidens designs. Så lad os gå.
Første opgave:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Erstat 1 med log x − 2 (x − 2) 1 . Graden, som vi observerer i argumentet, er faktisk tallet b, der stod til højre for lighedstegnet. Lad os derfor omskrive vores udtryk. Vi får:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Hvad ser vi? Foran os er den kanoniske form af den logaritmiske ligning, så vi trygt kan sidestille argumenterne. Vi får:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Men løsningen slutter ikke der, for denne ligning svarer ikke til den oprindelige. Den resulterende konstruktion består jo af funktioner, der er defineret på hele tallinjen, og vores oprindelige logaritmer er ikke defineret alle steder og ikke altid.
Derfor skal vi nedskrive definitionsdomænet separat. Lad os ikke flække hår og først skrive alle kravene ned:
For det første skal argumentet for hver af logaritmerne være større end 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
For det andet skal basen ikke kun være større end 0, men også forskellig fra 1:
x − 2 ≠ 1
Som et resultat får vi systemet:
Men vær ikke foruroliget: Når du behandler logaritmiske ligninger, kan et sådant system forenkles betydeligt.
Vurder selv: på den ene side kræves det, at den andengradsfunktion er større end nul, og på den anden side er denne andengradsfunktion lig med et bestemt lineært udtryk, som også kræves, at den er større end nul.
I dette tilfælde, hvis vi kræver, at x − 2 > 0, så vil kravet 2x 2 − 13x + 18 > 0 automatisk være opfyldt. Derfor kan vi med sikkerhed strege uligheden ud kvadratisk funktion. Således vil antallet af udtryk indeholdt i vores system blive reduceret til tre.
Vi kunne selvfølgelig lige så godt strege ud lineær ulighed, altså streg x − 2 > 0 ud og kræve, at 2x 2 − 13x + 18 > 0. Men du skal være enig i, at løsning af den simpleste lineære ulighed er meget hurtigere og lettere end kvadratisk, selvom det er et resultat af at løse hele dette system vil vi få de samme rødder.
Forsøg generelt at optimere beregninger, når det er muligt. Og i tilfælde af logaritmiske ligninger, streg de sværeste uligheder over.
Lad os omskrive vores system:
Her er et system af tre udtryk, hvoraf to vi faktisk allerede har beskæftiget os med. Lad os skrive det ned separat andengradsligning og løse det:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Givet før os kvadratisk trinomium og derfor kan vi bruge Vietas formler. Vi får:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Nu vender vi tilbage til vores system og finder ud af, at x = 2 ikke passer os, fordi vi er forpligtet til, at x er strengt taget større end 2.
Men x = 5 passer os perfekt: tallet 5 er større end 2, og samtidig er 5 ikke lig med 3. Derfor vil den eneste løsning på dette system være x = 5.
Det er det, problemet er løst, herunder at tage hensyn til ODZ. Lad os gå videre til den anden ligning. Flere interessante og informative beregninger venter os her:
Det første skridt: Ligesom sidste gang bringer vi hele denne sag til kanonisk form. For at gøre dette kan vi skrive tallet 9 som følger:
Du behøver ikke at røre basen med roden, men det er bedre at transformere argumentet. Lad os gå fra roden til potensen med en rationel eksponent. Lad os skrive ned:
Lad mig ikke omskrive hele vores store logaritmiske ligning, men lige straks ligestille argumenterne:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Før os er et nyligt reduceret kvadratisk trinomium, lad os bruge Vietas formler og skrive:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Så vi fik rødderne, men ingen garanterede os, at de ville passe til den oprindelige logaritmiske ligning. Log-skiltene pålægger jo yderligere begrænsninger (her skulle vi have skrevet systemet ned, men på grund af hele strukturens besværlige karakter besluttede jeg at beregne definitionsdomænet separat).
Først og fremmest skal du huske, at argumenterne skal være større end 0, nemlig:
Det er de krav, som definitionsområdet stiller.
Lad os med det samme bemærke, at da vi sætter lighedstegn mellem de to første udtryk af systemet med hinanden, kan vi krydse ethvert af dem ud. Lad os strege den første ud, fordi den ser mere truende ud end den anden.
Bemærk desuden, at løsningen på den anden og tredje ulighed vil være de samme mængder (terningen af et tal er større end nul, hvis dette tal i sig selv er større end nul; på samme måde med en rod af tredje grad - disse uligheder er fuldstændig analoge, så vi kan strege det ud).
Men med den tredje ulighed vil dette ikke fungere. Lad os slippe af med det radikale tegn til venstre ved at hæve begge dele til en terning. Vi får:
Så vi får følgende krav:
− 2 ≠ x > −3
Hvilken af vores rødder: x 1 = −3 eller x 2 = −1 opfylder disse krav? Det er klart, kun x = −1, fordi x = −3 ikke opfylder den første ulighed (da vores ulighed er streng). Så vender vi tilbage til vores problem, får vi én rod: x = −1. Det er det, problemet løst.
Endnu en gang er nøglepunkterne i denne opgave:
- Du er velkommen til at anvende og løse logaritmiske ligninger ved hjælp af kanonisk form. Elever, der laver en sådan notation, i stedet for at gå direkte fra den oprindelige opgave til en konstruktion som log a f (x) = b, laver meget færre fejl end dem, der skynder sig et sted, og springer mellemliggende trin i beregningerne over;
- Så snart en variabel base optræder i en logaritme, ophører problemet med at være det enkleste. Derfor, når man løser det, er det nødvendigt at tage hensyn til definitionsdomænet: argumenterne skal være større end nul, og baserne skal ikke kun være større end 0, men de må heller ikke være lig med 1.
De endelige krav kan anvendes på de endelige besvarelser på forskellige måder. For eksempel kan du løse et helt system, der indeholder alle kravene til definitionsdomænet. På den anden side kan du først løse selve problemet og derefter huske definitionsdomænet, udarbejde det separat i form af et system og anvende det på de opnåede rødder.
Hvilken metode du skal vælge, når du løser en bestemt logaritmisk ligning, er op til dig. Under alle omstændigheder vil svaret være det samme.
De sidste videoer i en lang række lektioner om løsning af logaritmiske ligninger. Denne gang vil vi primært arbejde med ODZ af logaritmen - det er netop på grund af forkert overvejelse (eller endda ignorering) af definitionsdomænet, at de fleste fejl opstår ved løsning af sådanne problemer.
I denne korte videolektion vil vi se på brugen af formler til at addere og subtrahere logaritmer, og desuden beskæftige os med rationelle brøkligninger, som mange elever også har problemer med.
Hvad vil vi tale om? Hovedformlen, jeg gerne vil forstå, ser sådan ud:
log a (f g ) = log a f + log a g
Dette er en standardovergang fra produktet til summen af logaritmer og tilbage. Du kender sikkert denne formel helt fra begyndelsen af at studere logaritmer. Der er dog et problem.
Så længe variablene a, f og g er almindelige tal, opstår der ingen problemer. Denne formel virker fantastisk.
Men så snart funktioner vises i stedet for f og g, opstår problemet med at udvide eller indsnævre definitionsdomænet afhængigt af hvilken retning der skal transformeres. Døm selv: i logaritmen skrevet til venstre er definitionsdomænet som følger:
fg > 0
Men i mængden skrevet til højre er definitionsdomænet allerede noget anderledes:
f > 0
g > 0
Dette sæt krav er strengere end det oprindelige. I det første tilfælde vil vi være tilfredse med mulighed f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 udføres).
Så når man flytter fra venstre konstruktion til højre, sker der en indsnævring af definitionsdomænet. Hvis vi først havde en sum, og vi omskriver den i form af et produkt, så udvides definitionsdomænet.
Med andre ord, i det første tilfælde kunne vi miste rødder, og i det andet kunne vi få ekstra. Dette skal tages i betragtning ved løsning af reelle logaritmiske ligninger.
Så den første opgave:
[Billedtekst til billedet] Til venstre ser vi summen af logaritmer med samme grundtal. Derfor kan disse logaritmer tilføjes:
[Billedtekst til billedet] Som du kan se, erstattede vi nullet til højre ved hjælp af formlen:
a = log b b a
Lad os omarrangere vores ligning lidt mere:
log 4 (x − 5) 2 = log 4 1
Foran os er den kanoniske form af den logaritmiske ligning, vi kan strege logtegnet ud og sidestille argumenterne:
(x − 5) 2 = 1
|x − 5| = 1
Bemærk venligst: hvor kom modulet fra? Lad mig minde dig om, at roden af et nøjagtigt kvadrat er lig med modulet:
[Billedtekst til billedet] Så løser vi den klassiske ligning med modul:
|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6
Her er to kandidatsvar. Er de en løsning på den oprindelige logaritmiske ligning? Ingen måde!
Vi har ikke ret til at lade alt være sådan og skrive svaret ned. Tag et kig på det trin, hvor vi erstatter summen af logaritmer med én logaritme af produktet af argumenterne. Problemet er, at vi i de oprindelige udtryk har funktioner. Derfor bør du kræve:
x(x - 5) > 0; (x − 5)/x > 0.
Da vi transformerede produktet og opnåede et nøjagtigt kvadrat, ændrede kravene sig:
(x - 5) 2 > 0
Hvornår er dette krav opfyldt? Ja, næsten altid! Bortset fra det tilfælde, hvor x − 5 = 0. Det vil sige uligheden vil blive reduceret til et punkteret punkt:
x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
Som du kan se, er definitionsområdet udvidet, hvilket vi talte om helt i begyndelsen af lektionen. Som følge heraf kan der forekomme ekstra rødder.
Hvordan kan du forhindre disse ekstra rødder i at dukke op? Det er meget enkelt: vi ser på vores opnåede rødder og sammenligner dem med definitionsdomænet for den oprindelige ligning. Lad os tælle:
x (x − 5) > 0
Vi løser ved hjælp af intervalmetoden:
x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5
Vi markerer de resulterende tal på linjen. Alle punkter mangler, fordi uligheden er streng. Tag et hvilket som helst tal større end 5 og erstat:
[Billedtekst til billedet] Vi er interesserede i intervallerne (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Hvis vi markerer vores rødder på segmentet, vil vi se, at x = 4 ikke passer os, fordi denne rod ligger uden for definitionsdomænet for den oprindelige logaritmiske ligning.
Vi vender tilbage til helheden, krydser roden x = 4 ud og skriver svaret ned: x = 6. Dette er det endelige svar på den oprindelige logaritmiske ligning. Det er det, problemet løst.
Lad os gå videre til den anden logaritmiske ligning:
[Billedtekst til billedet] Lad os løse det. Bemærk, at det første led er en brøk, og det andet er den samme brøk, men omvendt. Bliv ikke bange for udtrykket lgx - det er bare en decimallogaritme, vi kan skrive det:
lgx = log 10 x
Da vi har to inverterede brøker, foreslår jeg at introducere en ny variabel:
[Billedtekst til billedet] Derfor kan vores ligning omskrives som følger:
t + 1/t = 2;
t + 1/t - 2 = 0;
(t2 - 2t + 1)/t = 0;
(t − 1) 2 /t = 0.
Som du kan se, er brøkens tæller et nøjagtigt kvadrat. En brøk er lig med nul, når dens tæller er nul, og dens nævner er ikke-nul:
(t - 1) 2 = 0; t ≠ 0
Lad os løse den første ligning:
t - 1 = 0;
t = 1.
Denne værdi opfylder det andet krav. Derfor kan vi sige, at vi helt har løst vores ligning, men kun med hensyn til variablen t. Lad os nu huske, hvad det er:
[Billedtekst til billedet]Vi fik proportionen:
logx = 2 logx + 1
2 logx − logx = −1
logx = −1
Vi bringer denne ligning til sin kanoniske form:
logx = log 10 −1
x = 10 −1 = 0,1
Som et resultat modtog vi en enkelt rod, som i teorien er løsningen på den oprindelige ligning. Lad os dog stadig spille det sikkert og skrive definitionsdomænet for den oprindelige ligning:
[Billedtekst til billedet] Derfor opfylder vores rod alle kravene. Vi har fundet en løsning på den oprindelige logaritmiske ligning. Svar: x = 0,1. Problemet er løst.
Der er kun ét nøglepunkt i dagens lektion: Når du bruger formlen for at flytte fra et produkt til en sum og tilbage, skal du sørge for at tage højde for, at definitionens omfang kan indsnævres eller udvides afhængigt af, hvilken retning overgangen foretages.
Hvordan forstår man, hvad der sker: sammentrækning eller ekspansion? Meget simpelt. Hvis funktionerne tidligere var sammen, men nu er de adskilte, så er definitionsområdet blevet indsnævret (fordi der er flere krav). Hvis funktionerne først stod adskilt, og nu er de sammen, udvides definitionsdomænet (der stilles færre krav til produktet end til individuelle faktorer).
Under hensyntagen til denne bemærkning vil jeg gerne bemærke, at den anden logaritmiske ligning overhovedet ikke kræver disse transformationer, det vil sige, at vi ikke tilføjer eller multiplicerer argumenterne nogen steder. Men her vil jeg gerne henlede din opmærksomhed på en anden vidunderlig teknik, der kan forenkle løsningen markant. Det handler om at erstatte en variabel.
Husk dog, at ingen substitutioner fritager os fra definitionens anvendelsesområde. Det er derfor, efter at alle rødderne var fundet, var vi ikke dovne og vendte tilbage til den oprindelige ligning for at finde dens ODZ.
Ofte, når man udskifter en variabel, opstår der en irriterende fejl, når eleverne finder værdien af t og tror, at løsningen er komplet. Ingen måde!
Når du har fundet værdien af t, skal du gå tilbage til den oprindelige ligning og se, hvad vi præcist mente med dette bogstav. Som følge heraf skal vi løse en ligning mere, som dog vil være meget enklere end den oprindelige.
Det er netop meningen med at indføre en ny variabel. Vi opdeler den oprindelige ligning i to mellemliggende, som hver har en meget enklere løsning.
Sådan løses "indlejrede" logaritmiske ligninger
I dag fortsætter vi med at studere logaritmiske ligninger og vil analysere konstruktioner, når en logaritme er under fortegn af en anden logaritme. Vi løser begge ligninger ved hjælp af den kanoniske form.
I dag fortsætter vi med at studere logaritmiske ligninger og vil analysere konstruktioner, når en logaritme er under fortegn af en anden. Vi vil løse begge ligninger ved hjælp af den kanoniske form. Lad mig minde dig om, at hvis vi har en simpel logaritmisk ligning af formen log a f (x) = b, så udfører vi følgende trin for at løse en sådan ligning. Først og fremmest skal vi erstatte tallet b:
b = log a a b
Bemærk: a b er et argument. Tilsvarende er argumentet i den oprindelige ligning funktionen f(x). Så omskriver vi ligningen og får denne konstruktion:
log a f (x) = log a a b
Så kan vi udføre det tredje trin - slippe af med logaritmetegnet og blot skrive:
f (x) = a b
Som et resultat får vi en ny ligning. I dette tilfælde er der ingen begrænsninger på funktionen f (x). For eksempel kan der i sin plads også være logaritmisk funktion. Og så får vi igen en logaritmisk ligning, som vi igen vil reducere til sin simpleste form og løse gennem den kanoniske form.
Dog nok af teksterne. Lad os løse det virkelige problem. Så opgave nummer 1:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2
Som du kan se, har vi den enkleste logaritmiske ligning foran os. Rollen af f (x) er konstruktionen 1 + 3 log 2 x, og rollen for tallet b er tallet 2 (rollen af a spilles også af to). Lad os omskrive disse to som følger:
Det er vigtigt at forstå, at de to første kom til os fra basis af logaritmen, dvs. hvis der var 5 i den oprindelige ligning, ville vi få, at 2 = log 5 5 2. Generelt afhænger grundtallet udelukkende af den logaritme, der oprindeligt blev givet i opgaven. Og i vores tilfælde er dette nummer 2.
Så lad os omskrive vores logaritmiske ligning under hensyntagen til, at de to til højre faktisk også er en logaritme. Vi får:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4
Lad os gå videre til sidste skridt vores ordning - vi slipper for den kanoniske form. Man kan sige, vi overstreger blot tegnene på log. Men fra et matematisk synspunkt er det umuligt at "strege log" - det ville være mere korrekt at sige, at vi blot sidestiller argumenterne:
1 + 3 log 2 x = 4
Herfra kan vi nemt finde 3 log 2 x:
3 log 2 x = 3
log 2 x = 1
Vi har igen fået den enkleste logaritmiske ligning, lad os bringe den tilbage til den kanoniske form. For at gøre dette skal vi foretage følgende ændringer:
1 = log 2 2 1 = log 2 2
Hvorfor er der en toer ved basen? For i vores kanoniske ligning til venstre er der en logaritme netop til base 2. Vi omskriver problemet under hensyntagen til dette faktum:
log 2 x = log 2 2
Igen slipper vi for logaritmetegnet, det vil sige, at vi blot sidestiller argumenterne. Vi har ret til at gøre dette, fordi baserne er de samme, og der blev ikke udført flere yderligere handlinger hverken til højre eller venstre:
Det er alt! Problemet er løst. Vi har fundet en løsning på den logaritmiske ligning.
Bemærk! Selvom variablen x optræder i argumentet (dvs. der er krav til definitionsdomænet), vil vi ikke stille yderligere krav.
Som jeg sagde ovenfor, er denne kontrol overflødig, hvis variablen kun optræder i ét argument af kun én logaritme. I vores tilfælde optræder x egentlig kun i argumentet og kun under ét logtegn. Der kræves derfor ingen yderligere kontrol.
Men hvis du ikke stoler på denne metode, så kan du nemt kontrollere, at x = 2 faktisk er en rod. Det er nok at erstatte dette tal i den oprindelige ligning.
Lad os gå videre til den anden ligning, den er lidt mere interessant:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1
Betegner vi udtrykket inde i den store logaritme med funktionen f (x), får vi den enkleste logaritmiske ligning, som vi startede dagens videolektion med. Derfor kan du anvende den kanoniske form, for hvilken du skal repræsentere enheden i formen log 2 2 1 = log 2 2.
Lad os omskrive vores store ligning:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2
Lad os komme væk fra logaritmens fortegn og sidestille argumenterne. Det har vi ret til, for både til venstre og til højre er baserne de samme. Bemærk desuden, at log 2 4 = 2:
log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2
log 1/2 (2x − 1) = 0
Foran os igen er den enkleste logaritmiske ligning af formen log a f (x) = b. Lad os gå videre til den kanoniske form, det vil sige, at vi repræsenterer nul i formen log 1/2 (1/2) 0 = log 1/2 1.
Vi omskriver vores ligning og slipper af med logtegnet, og sætter lighedstegn mellem argumenterne:
log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1
2x − 1 = 1
Igen fik vi svar med det samme. Der kræves ingen yderligere kontrol, fordi kun én logaritme i den oprindelige ligning indeholder funktionen som et argument.
Der kræves derfor ingen yderligere kontrol. Vi kan roligt sige, at x = 1 er den eneste rod i denne ligning.
Men hvis der i den anden logaritme var en funktion af x i stedet for fire (eller 2x var ikke i argumentet, men i basen), så ville det være nødvendigt at kontrollere definitionsdomænet. Ellers er der stor chance for at løbe ind i ekstra rødder.
Hvor kommer disse ekstra rødder fra? Dette punkt skal forstås meget klart. Tag et kig på de originale ligninger: overalt er funktionen x under logaritmetegnet. Da vi skrev log 2 x ned, sætter vi derfor automatisk kravet x > 0. Ellers giver denne indtastning simpelthen ikke mening.
Men når vi løser den logaritmiske ligning, slipper vi for alle logtegnene og får simple konstruktioner. Der er ingen begrænsninger sat her, fordi den lineære funktion er defineret for enhver værdi af x.
Det er dette problem, når den endelige funktion er defineret overalt og altid, men den oprindelige ikke er defineret alle steder og ikke altid, der er grunden til, at ekstra rødder meget ofte opstår ved løsning af logaritmiske ligninger.
Men jeg gentager endnu en gang: dette sker kun i en situation, hvor funktionen enten er i flere logaritmer eller i bunden af en af dem. I de problemer, som vi behandler i dag, er der i princippet ingen problemer med at udvide definitionsdomænet.
Sager af forskellig grund
Denne lektion er dedikeret til mere komplekse strukturer. Logaritmer i dagens ligninger vil ikke længere blive løst med det samme. Nogle transformationer skal først udføres.
Vi begynder at løse logaritmiske ligninger med helt forskellige baser, som ikke er nøjagtige potenser af hinanden. Lad ikke sådanne problemer skræmme dig - de er ikke sværere at løse end de enkleste designs, som vi diskuterede ovenfor.
Men før jeg går direkte til problemerne, så lad mig minde dig om formlen til løsning af de enkleste logaritmiske ligninger ved hjælp af den kanoniske form. Overvej et problem som dette:
log a f (x) = b
Det er vigtigt, at funktionen f (x) kun er en funktion, og rollen for tallene a og b skal være tal (uden nogen variable x). Selvfølgelig vil vi bogstaveligt talt om et minut se på sådanne tilfælde, hvor der i stedet for variable a og b er funktioner, men det handler ikke om det nu.
Som vi husker, skal tallet b erstattes af en logaritme til samme grundtal a, som er til venstre. Dette gøres meget enkelt:
b = log a a b
Selvfølgelig betyder ordene "ethvert tal b" og "ethvert tal a" værdier, der opfylder definitionens omfang. Især i denne ligning vi taler om kun basen a > 0 og a ≠ 1.
Dette krav opfyldes dog automatisk, fordi det oprindelige problem allerede indeholder en logaritme til at basere a - den vil helt sikkert være større end 0 og ikke lig med 1. Derfor fortsætter vi med at løse den logaritmiske ligning:
log a f (x) = log a a b
En sådan notation kaldes kanonisk form. Dets bekvemmelighed ligger i, at vi straks kan slippe af med logtegnet ved at sidestille argumenterne:
f (x) = a b
Det er denne teknik, vi nu vil bruge til at løse logaritmiske ligninger med en variabel base. Så lad os gå!
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125
Hvad er det næste? Nogen vil nu sige, at du skal beregne den rigtige logaritme, eller reducere dem til samme grundtal eller noget andet. Og faktisk, nu skal vi bringe begge baser til den samme form - enten 2 eller 0,5. Men lad os lære følgende regel én gang for alle:
Hvis der er decimaler i en logaritmisk ligning, skal du sørge for at konvertere disse brøker fra decimal til almindelig notation. Denne transformation kan i høj grad forenkle løsningen.
En sådan overgang skal udføres straks, selv før der udføres nogen handlinger eller transformationer. Lad os tage et kig:
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8
Hvad giver sådan en plade os? Vi kan repræsentere 1/2 og 1/8 som potenser med en negativ eksponent:
[Billedtekst til billedet] Foran os er den kanoniske form. Vi sidestiller argumenterne og får den klassiske andengradsligning:
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
Vi har foran os følgende andengradsligning, som let kan løses ved hjælp af Vietas formler. I gymnasiet bør du se lignende visninger bogstaveligt talt:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Det er alt! Den oprindelige logaritmiske ligning er blevet løst. Vi har to rødder.
Lad mig minde dig om, at det i dette tilfælde ikke er nødvendigt at bestemme definitionsdomænet, da funktionen med variablen x kun er til stede i ét argument. Derfor udføres definitionen af omfanget automatisk.
Så den første ligning er løst. Lad os gå videre til det andet:
log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9
log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1
Bemærk nu, at argumentet for den første logaritme også kan skrives som en potens med en negativ eksponent: 1/2 = 2 −1. Så kan du tage potenserne ud på begge sider af ligningen og dividere alt med −1:
[Billedtekst til billedet] Og nu har vi nået meget vigtigt skridt ved at løse en logaritmisk ligning. Måske har nogen ikke bemærket noget, så lad mig forklare.
Se på vores ligning: både til venstre og til højre er der et log-tegn, men til venstre er der en logaritme til grundtal 2, og til højre er der en logaritme til grundtal 3. Tre er ikke en heltalspotens af to og omvendt kan du ikke skrive, at 2 er 3 i et heltal grader.
Følgelig er disse logaritmer med forskellige baser, som ikke kan reduceres til hinanden ved blot at tilføje potenser. Den eneste måde at løse sådanne problemer på er at slippe af med en af disse logaritmer. I dette tilfælde, da vi stadig overvejer ret simple problemer, blev logaritmen til højre ganske enkelt beregnet, og vi fik den enkleste ligning - præcis den vi talte om helt i begyndelsen af dagens lektion.
Lad os repræsentere tallet 2, som er til højre, som log 2 2 2 = log 2 4. Og så slipper vi for logaritmetegnet, hvorefter vi blot står tilbage med en andengradsligning:
log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4
5x 2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x − 2 = 0
Vi har foran os en almindelig andengradsligning, men den er ikke reduceret, fordi koefficienten for x 2 er forskellig fra enhed. Derfor vil vi løse det ved hjælp af diskriminanten:
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (−9 − 11)/10 = −2
Det er alt! Vi har fundet begge rødder, hvilket betyder, at vi har fået en løsning på den oprindelige logaritmiske ligning. Faktisk, i den oprindelige opgave er funktionen med variabel x kun til stede i ét argument. Derfor er der ikke behov for yderligere kontrol af definitionsdomænet - begge rødder, som vi fandt, opfylder bestemt alle mulige begrænsninger.
Dette kunne være slutningen på dagens videolektion, men afslutningsvis vil jeg gerne sige igen: Sørg for at konvertere alle decimalbrøker til almindelige brøker, når du løser logaritmiske ligninger. I de fleste tilfælde forenkler dette i høj grad deres løsning.
Sjældent, meget sjældent støder du på problemer, hvor det at komme af med decimalbrøker kun komplicerer beregningerne. Men i sådanne ligninger er det som regel indledningsvis klart, at der ikke er behov for at slippe af med decimalbrøker.
I de fleste andre tilfælde (især hvis du lige er begyndt at øve dig i at løse logaritmiske ligninger), er du velkommen til at slippe af med decimalerne og omregne dem til almindelige. Fordi praksis viser, at du på denne måde vil forenkle den efterfølgende løsning og beregninger markant.
Finesser og tricks i løsningen
I dag går vi videre til mere komplekse problemer og vil løse en logaritmisk ligning, som ikke er baseret på et tal, men på en funktion.
Og selvom denne funktion er lineær, skal der foretages små ændringer i løsningsskemaet, hvis betydning koger ned til yderligere krav, der stilles til logaritmens definitionsdomæne.
Komplekse opgaver
Denne tutorial bliver ret lang. I det vil vi analysere to ret alvorlige logaritmiske ligninger, når vi løser hvilke mange elever laver fejl. Under min praksis som matematikvejleder stødte jeg konstant på to typer fejl:
- Udseendet af ekstra rødder på grund af udvidelsen af definitionsdomænet for logaritmer. For at undgå sådanne stødende fejl, skal du blot overvåge hver transformation nøje;
- Tab af rødder på grund af det faktum, at eleven glemte at overveje nogle "subtile" tilfælde - det er de situationer, vi vil fokusere på i dag.
Dette er den sidste lektion om logaritmiske ligninger. Det vil være langt, vi vil analysere komplekse logaritmiske ligninger. Gør dig godt tilpas, lav en te til dig selv, og lad os komme i gang.
Den første ligning ser ret standard ud:
log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)
Lad os straks bemærke, at begge logaritmer er omvendte kopier af hinanden. Lad os huske den vidunderlige formel:
log a b = 1/log b a
Denne formel har dog en række begrænsninger, der opstår, hvis der i stedet for tallene a og b er funktioner af variablen x:
b > 0
1 ≠ a > 0
Disse krav gælder for basen af logaritmen. På den anden side skal vi i en brøk have 1 ≠ a > 0, da variablen ikke kun er a i logaritmens argument (derfor a > 0), men selve logaritmen er i brøkens nævner . Men log b 1 = 0, og nævneren skal være ikke-nul, så a ≠ 1.
Så restriktionerne for variablen a forbliver. Men hvad sker der med variablen b? På den ene side indebærer grundtallet b > 0, på den anden side variablen b ≠ 1, fordi logaritmen skal være forskellig fra 1. I alt følger det fra højre side af formlen, at 1 ≠ b > 0.
Men her er problemet: det andet krav (b ≠ 1) mangler i den første ulighed, som omhandler den venstre logaritme. Med andre ord, når vi udfører denne transformation, skal vi tjek separat, at argumentet b er forskelligt fra et!
Så lad os tjekke det ud. Lad os anvende vores formel:
[Billedtekst til billedet] 1 ≠ x - 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0
Så vi fik, at allerede fra den oprindelige logaritmiske ligning følger, at både a og b skal være større end 0 og ikke lig med 1. Det betyder, at vi nemt kan invertere den logaritmiske ligning:
Jeg foreslår, at du introducerer en ny variabel:
log x + 1 (x − 0,5) = t
I dette tilfælde vil vores konstruktion blive omskrevet som følger:
(t 2 − 1)/t = 0
Bemærk, at i tælleren har vi forskellen på kvadrater. Vi afslører forskellen på kvadrater ved hjælp af den forkortede multiplikationsformel:
(t − 1)(t + 1)/t = 0
En brøk er lig med nul, når dens tæller er nul, og dens nævner er ikke-nul. Men tælleren indeholder et produkt, så vi sidestiller hver faktor til nul:
ti = 1;
t2 = -1;
t ≠ 0.
Som vi kan se, passer begge værdier af variablen t os. Men løsningen slutter ikke der, for vi skal ikke finde t, men værdien af x. Vi vender tilbage til logaritmen og får:
log x + 1 (x - 0,5) = 1;
log x + 1 (x − 0,5) = −1.
Lad os sætte hver af disse ligninger i kanonisk form:
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1
Vi slipper for logaritmetegnet i det første tilfælde og sidestiller argumenterne:
x - 0,5 = x + 1;
x - x = 1 + 0,5;
En sådan ligning har ingen rødder, derfor har den første logaritmiske ligning heller ingen rødder. Men med den anden ligning er alt meget mere interessant:
(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)
Ved at løse andelen får vi:
(x − 0,5)(x + 1) = 1
Lad mig minde dig om, at når du løser logaritmiske ligninger, er det meget mere praktisk at bruge alle decimalbrøker som almindelige, så lad os omskrive vores ligning som følger:
(x - 1/2)(x + 1) = 1;
x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;
x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.
Vi har foran os den andengradsligning nedenfor, den kan let løses ved hjælp af Vietas formler:
(x + 3/2) (x - 1) = 0;
x 1 = -1,5;
x 2 = 1.
Vi har to rødder - de er kandidater til at løse den oprindelige logaritmiske ligning. For at forstå, hvilke rødder der rent faktisk vil gå ind i svaret, lad os vende tilbage til det oprindelige problem. Nu vil vi tjekke hver af vores rødder for at se, om de passer inden for definitionsdomænet:
1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.
Disse krav er ensbetydende med en dobbelt ulighed:
1 ≠ x > 0,5
Herfra ser vi straks, at roden x = −1,5 ikke passer os, men x = 1 passer os ret godt. Derfor er x = 1 den endelige løsning til den logaritmiske ligning.
Lad os gå videre til den anden opgave:
log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625
Ved første øjekast kan det se ud til, at alle logaritmer forskellige årsager og forskellige argumenter. Hvad skal man gøre med sådanne strukturer? Først og fremmest skal du bemærke, at tallene 25, 5 og 625 er 5 potenser:
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
Lad os nu drage fordel af den vidunderlige egenskab ved logaritmen. Pointen er, at du kan udtrække beføjelser fra et argument i form af faktorer:
log a b n = n ∙ log a b
Denne transformation er også underlagt begrænsninger i det tilfælde, hvor b erstattes af en funktion. Men for os er b blot et tal, og der opstår ingen yderligere begrænsninger. Lad os omskrive vores ligning:
2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5
Vi har fået en ligning med tre led, der indeholder logtegnet. Desuden er argumenterne for alle tre logaritmer ens.
Det er tid til at vende logaritmerne for at bringe dem til samme base - 5. Da variablen b er en konstant, sker der ingen ændringer i definitionsdomænet. Vi omskriver bare:
[Billedtekst til billedet] Som forventet optrådte de samme logaritmer i nævneren. Jeg foreslår at erstatte variablen:
log 5 x = t
I dette tilfælde vil vores ligning blive omskrevet som følger:
Lad os skrive tælleren ud og åbne parenteserne:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12
Lad os vende tilbage til vores fraktion. Tælleren skal være nul:
[Billedtekst til billedet] Og nævneren er forskellig fra nul:
t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2
De sidste krav opfyldes automatisk, da de alle er "bundet" til heltal, og alle svar er irrationelle.
Så, rationel brøkligning løst, findes værdierne af variablen t. Lad os vende tilbage til at løse den logaritmiske ligning og huske, hvad t er:
[Billedtekst til billedet] Vi reducerer denne ligning til kanonisk form og opnår et tal med en irrationel grad. Lad ikke dette forvirre dig - selv sådanne argumenter kan sidestilles:
[Billedtekst til billedet] Vi har to rødder. Mere præcist, to kandidatsvar - lad os tjekke dem for overensstemmelse med definitionsdomænet. Da basen af logaritmen er variablen x, kræver vi følgende:
1 ≠ x > 0;
Med samme succes hævder vi, at x ≠ 1/125, ellers vil bunden af den anden logaritme blive til enhed. Til sidst x ≠ 1/25 for den tredje logaritme.
I alt modtog vi fire begrænsninger:
1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25
Nu er spørgsmålet: opfylder vores rødder disse krav? Selvfølgelig tilfredsstiller de! Fordi 5 til enhver potens vil være større end nul, og kravet x > 0 opfyldes automatisk.
På den anden side er 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, hvilket betyder, at disse begrænsninger for vores rødder (som, lad mig minde dig om, har et irrationelt tal i eksponenten) er også tilfredse, og begge svar er løsninger på problemet.
Så vi har det endelige svar. Der er to hovedpunkter i denne opgave:
- Vær forsigtig, når du spejlvender en logaritme, når argumentet og basen er byttet om. Sådanne transformationer pålægger unødvendige begrænsninger for definitionens omfang.
- Vær ikke bange for at transformere logaritmer: de kan ikke kun vendes, men også udvides ved hjælp af sumformlen og generelt ændres ved hjælp af alle formler, som du har studeret, da du løser logaritmiske udtryk. Husk dog altid: nogle transformationer udvider definitionens omfang, og nogle indsnævrer dem.
Logaritmiske ligninger. Fra simpelt til komplekst.
Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")
Hvad er en logaritmisk ligning?
Dette er en ligning med logaritmer. Jeg er overrasket, ikke?) Så vil jeg præcisere. Dette er en ligning, hvor de ukendte (x'er) og udtryk med dem findes inde i logaritmer. Og kun der! Det er vigtigt.
Her er nogle eksempler logaritmiske ligninger:
log 3 x = log 3 9
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
log x+1 (x 2 +3x-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11 lg(x+1)
Nå, du forstår... )
Bemærk! De mest forskellige udtryk med X'er er lokaliseret udelukkende inden for logaritmer. Hvis der pludselig dukker et X op et sted i ligningen uden for, For eksempel:
log 2 x = 3+x,
dette vil allerede være en ligning af blandet type. Sådanne ligninger har ikke klare regler for løsning af dem. Vi vil ikke overveje dem lige nu. I øvrigt er der ligninger, hvor der er inde i logaritmerne kun tal. For eksempel:
Hvad kan jeg sige? Du er heldig, hvis du støder på dette! Logaritme med tal er et eller andet nummer. Det er alt. Det er nok at kende logaritmers egenskaber for at løse en sådan ligning. Kendskab til særlige regler, teknikker tilpasset specifikt til løsning logaritmiske ligninger, ikke påkrævet her.
Så, hvad er en logaritmisk ligning- fandt ud af det.
Hvordan løser man logaritmiske ligninger?
Løsning logaritmiske ligninger- sagen er faktisk ikke særlig enkel. Så vores sektion er en fire... Der kræves en anstændig mængde viden om alle mulige relaterede emner. Derudover er der et særligt træk i disse ligninger. Og denne funktion er så vigtig, at den sikkert kan kaldes hovedproblemet ved løsning af logaritmiske ligninger. Vi vil behandle dette problem i detaljer i den næste lektion.
For nu, bare rolig. Vi går den rigtige vej fra enkel til kompleks. På konkrete eksempler. Det vigtigste er at dykke ned i simple ting og ikke være doven til at følge linkene, jeg sætter dem der af en grund ... Og alt vil løse sig for dig. Nødvendigvis.
Lad os starte med de mest elementære, enkleste ligninger. For at løse dem er det tilrådeligt at have en idé om logaritmen, men ikke mere. Bare ingen idé logaritme, tage en beslutning logaritmisk ligninger - på en eller anden måde endda akavet... Meget fed, vil jeg sige).
De enkleste logaritmiske ligninger.
Disse er ligninger af formen:
1. log 3 x = log 3 9
2. log 7 (2x-3) = log 7 x
3. log 7 (50x-1) = 2
Løsningsproces enhver logaritmisk ligning består i overgangen fra en ligning med logaritmer til en ligning uden dem. I de enkleste ligninger udføres denne overgang i et trin. Det er derfor, de er de enkleste.)
Og sådanne logaritmiske ligninger er overraskende nemme at løse. Se selv.
Lad os løse det første eksempel:
log 3 x = log 3 9
For at løse dette eksempel behøver du ikke vide næsten noget, ja... Ren intuition!) Hvad har vi brug for især kan du ikke lide dette eksempel? Hvad-hvad... Jeg kan ikke lide logaritmer! Højre. Så lad os slippe af med dem. Vi ser nærmere på eksemplet, og der opstår et naturligt ønske i os... Direkte uimodståeligt! Tag og smid logaritmer helt ud. Og det, der er godt, er det Kan gør! Matematik tillader. Logaritmer forsvinder svaret er:
Fantastisk, ikke? Dette kan (og bør) altid gøres. Eliminering af logaritmer på denne måde er en af de vigtigste måder at løse logaritmiske ligninger og uligheder på. I matematik kaldes denne operation potensering. Selvfølgelig er der regler for en sådan likvidation, men de er få. Husk:
Du kan eliminere logaritmer uden frygt, hvis de har:
a) de samme numeriske grunde
c) logaritmer fra venstre mod højre er rene (uden koefficienter) og er i glimrende isolation.
Lad mig præcisere det sidste punkt. Lad os sige i ligningen
log 3 x = 2 log 3 (3x-1)
Logaritmer kan ikke fjernes. De to til højre tillader det ikke. Koefficienten, du ved... I eksemplet
log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)
Det er også umuligt at potensere ligningen. Der er ingen enlig logaritme på venstre side. Der er to af dem.
Kort sagt kan du fjerne logaritmer, hvis ligningen ser sådan ud og kun sådan her:
log a (.....) = log a (.....)
I parentes, hvor der er en ellipse, kan der være nogen udtryk. Enkel, super kompleks, alle slags. Uanset hvad. Det vigtige er, at efter eliminering af logaritmer står vi tilbage med enklere ligning. Det antages selvfølgelig, at du allerede ved, hvordan man løser lineære, kvadratiske, brøk-, eksponentielle og andre ligninger uden logaritmer.)
Nu kan du nemt løse det andet eksempel:
log 7 (2x-3) = log 7 x
Faktisk er det afgjort i sindet. Vi potenserer, vi får:
Nå, er det meget svært?) Som du kan se, logaritmisk en del af løsningen til ligningen er kun ved at eliminere logaritmer... Og så kommer løsningen af den resterende ligning uden dem. En triviel sag.
Lad os løse det tredje eksempel:
log 7 (50x-1) = 2
Vi ser, at der er en logaritme til venstre:
Lad os huske, at denne logaritme er et tal, som grundtallet skal hæves til (dvs. syv) for at få et sublogaritmisk udtryk, dvs. (50x-1).
Men dette tal er to! Ifølge lign. Det er:
Det er stort set alt. Logaritme forsvundet, Tilbage er en harmløs ligning:
Vi løste denne logaritmiske ligning kun baseret på logaritmens betydning. Er det stadig nemmere at eliminere logaritmer?) Jeg er enig. Forresten, hvis du laver en logaritme fra to, kan du løse dette eksempel gennem eliminering. Ethvert tal kan laves til en logaritme. Desuden måden vi har brug for det. Meget brugbart trick i løsning af logaritmiske ligninger og (især!) uligheder.
Ved du ikke, hvordan man laver en logaritme ud fra et tal!? Det er ok. Afsnit 555 beskriver denne teknik i detaljer. Du kan mestre det og bruge det fuldt ud! Det reducerer antallet af fejl kraftigt.
Den fjerde ligning er løst på en fuldstændig lignende måde (per definition):
Det er det.
Lad os opsummere denne lektion. Vi så på løsningen af de enkleste logaritmiske ligninger ved hjælp af eksempler. Det er meget vigtigt. Og ikke kun fordi sådanne ligninger optræder i prøver og eksamener. Faktum er, at selv de mest onde og komplicerede ligninger nødvendigvis reduceres til de enkleste!
Faktisk er de enkleste ligninger den sidste del af løsningen nogen ligninger. Og denne sidste del skal forstås strengt! Og videre. Sørg for at læse denne side til slutningen. Der er en overraskelse der...)
Nu bestemmer vi selv. Lad os blive bedre, så at sige...)
Find roden (eller summen af rødder, hvis der er flere) af ligningerne:
ln(7x+2) = ln(5x+20)
log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)
log 16 (0,5x-1,5) = 0,25
log 0,2 (3x-1) = -3
ln(e2 +2x-3) = 2
log 2 (14x) = log 2 7 + 2
Svar (i uorden, selvfølgelig): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.
Hvad, ikke alt fungerer? Sker. Bare rolig! Afsnit 555 forklarer løsningen på alle disse eksempler på en klar og detaljeret måde. Du vil helt sikkert finde ud af det der. Du vil også lære nyttige praktiske teknikker.
Alt lykkedes!? Alle eksempler på "én tilbage"?) Tillykke!
Det er tid til at afsløre den bitre sandhed for dig. Vellykket løsning af disse eksempler garanterer ikke succes med at løse alle andre logaritmiske ligninger. Selv de simpleste som disse. Ak.
Faktum er, at løsningen til enhver logaritmisk ligning (selv den mest elementære!) består af to lige store dele. Løsning af ligningen og arbejde med ODZ. Vi har mestret én del - at løse selve ligningen. Det er ikke så svært højre?
Til denne lektion har jeg særligt udvalgt eksempler, hvor DL ikke påvirker svaret på nogen måde. Men ikke alle er lige så venlige som mig, vel?...)
Derfor er det bydende nødvendigt at mestre den anden del. ODZ. Dette er hovedproblemet ved løsning af logaritmiske ligninger. Og ikke fordi det er svært - denne del er endnu nemmere end den første. Men fordi folk simpelthen glemmer ODZ. Eller de ved det ikke. Eller begge). Og de falder ud af det blå...
I den næste lektion vil vi behandle dette problem. Så kan du roligt bestemme nogen simple logaritmiske ligninger og nærmer sig ganske solide opgaver.
Hvis du kan lide denne side...
Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)
Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)
Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.
Instruktioner
Skriv det givne logaritmiske udtryk. Hvis udtrykket bruger logaritmen 10, forkortes dets notation og ser således ud: lg b er decimallogaritmen. Hvis logaritmen har tallet e som grundtal, så skriv udtrykket: ln b – naturlig logaritme. Det er underforstået, at resultatet af enhver er den potens, som basistallet skal hæves til for at opnå tallet b.
Når du finder summen af to funktioner, skal du blot differentiere dem en efter en og tilføje resultaterne: (u+v)" = u"+v";
Når man finder den afledede af produktet af to funktioner, er det nødvendigt at gange den afledede af den første funktion med den anden og tilføje den afledede af den anden funktion ganget med den første funktion: (u*v)" = u"*v +v"*u;
For at finde den afledte af kvotienten af to funktioner, er det nødvendigt at trække produktet af den afledte af divisoren ganget med divisorfunktionen fra produktet af den afledte af divisoren ganget med funktionen af divisoren, og dividere alt dette med divisorfunktionen i anden. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Hvis der er givet en kompleks funktion, så er det nødvendigt at multiplicere den afledede af den interne funktion og den afledte af den eksterne. Lad y=u(v(x)), derefter y"(x)=y"(u)*v"(x).
Ved hjælp af resultaterne opnået ovenfor kan du differentiere næsten enhver funktion. Så lad os se på et par eksempler:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Der er også problemer med at beregne den afledte på et punkt. Lad funktionen y=e^(x^2+6x+5) være givet, du skal finde værdien af funktionen i punktet x=1.
1) Find den afledede af funktionen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Beregn værdien af funktionen i et givet punkt y"(1)=8*e^0=8
Video om emnet
Lær tabellen over elementære derivater. Dette vil spare tid betydeligt.
Kilder:
- afledet af en konstant
Så hvad er forskellen mellem en irrationel ligning og en rationel? Hvis den ukendte variabel er under tegnet kvadrat rod, så betragtes ligningen som irrationel.
Instruktioner
Den vigtigste metode til at løse sådanne ligninger er metoden til at konstruere begge sider ligninger ind i en firkant. Imidlertid. dette er naturligt, det første du skal gøre er at slippe af med skiltet. Denne metode er ikke teknisk vanskelig, men nogle gange kan det føre til problemer. For eksempel er ligningen v(2x-5)=v(4x-7). Ved at kvadrere begge sider får du 2x-5=4x-7. At løse en sådan ligning er ikke svært; x=1. Men tallet 1 vil ikke blive givet ligninger. Hvorfor? Erstat en i ligningen i stedet for værdien af x Og højre og venstre side vil indeholde udtryk, der ikke giver mening, dvs. Denne værdi er ikke gyldig for en kvadratrod. Derfor er 1 en uvedkommende rod, og derfor har denne ligning ingen rødder.
Så en irrationel ligning løses ved at bruge metoden til at kvadrere begge dens sider. Og efter at have løst ligningen, er det nødvendigt at afskære uvedkommende rødder. For at gøre dette skal du erstatte de fundne rødder i den oprindelige ligning.
Overvej en anden.
2х+vх-3=0
Selvfølgelig kan denne ligning løses ved at bruge den samme ligning som den forrige. Flyt forbindelser ligninger, som ikke har en kvadratrod, til højre og brug derefter kvadratmetoden. løse den resulterende rationelle ligning og rødder. Men også en anden, mere elegant. Indtast en ny variabel; vх=y. Derfor vil du modtage en ligning på formen 2y2+y-3=0. Det vil sige en almindelig andengradsligning. Find dens rødder; y1=1 og y2=-3/2. Dernæst løses to ligninger vх=1; vх=-3/2. Den anden ligning har ingen rødder fra den første finder vi, at x=1. Glem ikke at tjekke rødderne.
At løse identiteter er ret simpelt. For at gøre dette er det nødvendigt at udføre identiske transformationer, indtil det fastsatte mål er nået. Altså ved hjælp af de simpleste aritmetiske operationer opgaven bliver løst.
Du får brug for
- - papir;
- - pen.
Instruktioner
Den enkleste af sådanne transformationer er algebraiske forkortede multiplikationer (såsom kvadratet af summen (forskel), kvadratforskellen, sum (forskel), terning af summen (forskel)). Derudover er der mange og trigonometriske formler, som i det væsentlige er de samme identiteter.
Faktisk kvadratet af summen af to led lig med kvadrat det første plus fordobler produktet af det første med det andet og plus kvadratet af det andet, det vil sige (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Forenkle begge dele
Generelle principper for løsningen
Gentag lærebogen om matematisk analyse el højere matematik, hvilket er et bestemt integral. Som bekendt er løsningen til et bestemt integral en funktion, hvis afledede vil give en integrand. Denne funktion kaldes antiderivat. Ud fra dette princip konstrueres hovedintegralerne.Bestem efter typen af integranden, hvilken af tabelintegralerne der er egnet i dette tilfælde. Det er ikke altid muligt at fastslå dette med det samme. Ofte bliver tabelformen først mærkbar efter flere transformationer for at forenkle integranden.
Variabel udskiftningsmetode
Hvis integrand-funktionen er trigonometrisk funktion, hvis argument indeholder et eller andet polynomium, så prøv at bruge variabelerstatningsmetoden. For at gøre dette skal du erstatte polynomiet i integrandens argument med en ny variabel. Baseret på forholdet mellem de nye og gamle variable, bestemme de nye grænser for integration. Ved at differentiere dette udtryk, find den nye differentiale i . Så du får den nye slags af det foregående integral, tæt på eller endda svarende til et hvilket som helst tabelformet.Løsning af integraler af anden art
Hvis integralet er et integral af den anden slags, en vektorform af integranden, så skal du bruge reglerne for overgangen fra disse integraler til skalære. En sådan regel er Ostrogradsky-Gauss-forholdet. Denne lov tillader os at bevæge os fra rotorfluxen af en bestemt vektorfunktion til det tredobbelte integral over divergensen af et givet vektorfelt.Substitution af integrationsgrænser
Efter at have fundet antiderivatet, er det nødvendigt at erstatte grænserne for integration. Først skal du erstatte værdien af den øvre grænse med udtrykket for antiderivatet. Du får et nummer. Træk derefter fra det resulterende tal et andet tal opnået fra den nedre grænse til antiderivatet. Hvis en af grænserne for integration er uendelighed, så når man erstatter det med antiderivative funktion det er nødvendigt at gå til grænsen og finde, hvad udtrykket stræber efter.Hvis integralet er todimensionelt eller tredimensionelt, så bliver du nødt til at repræsentere grænserne for integration geometrisk for at forstå, hvordan man vurderer integralet. Faktisk, i tilfældet med f.eks. et tredimensionelt integral, kan grænserne for integration være hele planer, der begrænser det volumen, der integreres.
Introduktion
Logaritmer blev opfundet for at fremskynde og forenkle beregninger. Ideen om en logaritme, det vil sige ideen om at udtrykke tal som magter af samme base, tilhører Mikhail Stiefel. Men på Stiefels tid var matematik ikke så udviklet, og ideen om logaritmen blev ikke udviklet. Logaritmer blev senere opfundet samtidigt og uafhængigt af hinanden af den skotske videnskabsmand John Napier (1550-1617) og schweizeren Jobst Burgi (1552-1632) var den første til at udgive værket i 1614. under titlen "Beskrivelse af en fantastisk tabel over logaritmer" blev Napiers teori om logaritmer givet i et ret komplet bind, metoden til at beregne logaritmer blev angivet som den enkleste, derfor var Napiers fordele ved opfindelsen af logaritmer større end Bürgis. . Burgi arbejdede på bordene samtidig med Napier, men holdt dem hemmelige i lang tid og udgav dem først i 1620. Napier mestrede ideen om logaritmen omkring 1594. selvom tabellerne blev offentliggjort 20 år senere. Først kaldte han sine logaritmer "kunstige tal" og foreslog først derefter at kalde disse "kunstige tal" i ét ord "logaritme", som oversat fra græsk betyder "korrelerede tal", taget det ene fra en aritmetisk progression og det andet fra en geometrisk progression specielt udvalgt til det. De første tabeller på russisk blev offentliggjort i 1703. med deltagelse af en vidunderlig lærer fra det 18. århundrede. L. F. Magnitsky. I udviklingen af teorien om logaritmer stor betydning havde værker af Sankt Petersborg-akademikeren Leonhard Euler. Han var den første til at betragte logaritmer som det omvendte af at hæve til en potens, han introducerede begreberne "logaritmebase" og "mantisse" kompilerede tabeller med logaritmer med basis 10. Decimaltabeller er mere praktiske til praktisk brug. enklere end Napiers logaritmer. Derfor kaldes decimallogaritmer undertiden Briggs logaritmer. Udtrykket "karakterisering" blev introduceret af Briggs.
I de fjerne tider, hvor vismændene først begyndte at tænke på ligheder, der indeholdt ukendte mængder, var der sandsynligvis ingen mønter eller tegnebøger. Men der var dynger, såvel som gryder og kurve, som var perfekte til rollen som opbevaringscaches, der kunne rumme et ukendt antal genstande. I de gamle matematiske problemer i Mesopotamien, Indien, Kina, Grækenland udtrykte ukendte mængder antallet af påfugle i haven, antallet af tyre i flokken og helheden af ting, der blev taget i betragtning ved opdeling af ejendom. Skrivere, embedsmænd og indviede veluddannede i videnskaben om regnskaber hemmelig viden Præsterne klarede sådanne opgaver ganske med held.
Kilder, der har nået os, indikerer, at gamle videnskabsmænd ejede nogle generelle teknikker løse problemer med ukendte mængder. Men ikke en eneste papyrus- eller lertablet indeholder en beskrivelse af disse teknikker. Forfatterne forsynede kun lejlighedsvis deres numeriske beregninger med sparsomme kommentarer som: "Se!", "Gør det her!", "Du fandt den rigtige." I denne forstand er undtagelsen "aritmetikken" af den græske matematiker Diophantus fra Alexandria (III århundrede) - en samling af problemer til at komponere ligninger med en systematisk præsentation af deres løsninger.
Den første manual til løsning af problemer, der blev almindeligt kendt, var imidlertid Bagdad-forskeren fra det 9. århundrede. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Ordet "al-jabr" fra det arabiske navn på denne afhandling - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Bog om restaurering og opposition") - blev med tiden til det velkendte ord "algebra", og al- Khwarizmis arbejde i sig selv tjente udgangspunktet i udviklingen af videnskaben om at løse ligninger.
Logaritmiske ligninger og uligheder
1. Logaritmiske ligninger
En ligning, der indeholder en ukendt under logaritmetegnet eller ved sin base, kaldes en logaritmisk ligning.
Den enkleste logaritmiske ligning er en ligning af formen
log -en x = b . (1)
Udtalelse 1. Hvis -en > 0, -en≠ 1, ligning (1) for enhver reel b har en unik løsning x = a b .
Eksempel 1. Løs ligningerne:
a) log 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)
Løsning. Ved at bruge erklæring 1 får vi en) x= 2 3 eller x= 8; b) x= 3 -1 eller x= 1/3; c)
eller x = 1.Lad os præsentere logaritmens grundlæggende egenskaber.
P1. Grundlæggende logaritmisk identitet:
Hvor -en > 0, -en≠ 1 og b > 0.
P2. Logaritmen af produktet af positive faktorer er lig med summen af logaritmerne af disse faktorer:
log -en N 1 · N 2 = log -en N 1 + log -en N 2 (-en > 0, -en ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
Kommentar. Hvis N 1 · N 2 > 0, så har egenskaben P2 formen
log -en N 1 · N 2 = log -en |N 1 | + log -en |N 2 | (-en > 0, -en ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).
P3. Logaritmen af kvotienten af to positive tal er lig med forskellen mellem logaritmerne af dividenden og divisoren
(-en
> 0, -en
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Kommentar. Hvis
, (hvilket svarer til N 1 N 2 > 0) så antager egenskaben P3 formen
(-en
> 0, -en
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
P4. Logaritme af grad positivt tal er lig med produktet af eksponenten og logaritmen af dette tal:
log -en N k = k log -en N (-en > 0, -en ≠ 1, N > 0).
Kommentar. Hvis k- lige tal ( k = 2s), At
log -en N 2s = 2s log -en |N | (-en > 0, -en ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Formel for at flytte til en anden base:
(-en
> 0, -en
≠ 1, b
> 0, b
≠ 1, N
> 0),
især hvis N = b, vi får
(-en > 0, -en ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)Ved at bruge egenskaberne P4 og P5 er det nemt at opnå følgende egenskaber
(-en
> 0, -en
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (3)
(-en
> 0, -en
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (4)
(-en
> 0, -en
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (5)
og, hvis i (5) c- lige tal ( c = 2n), opstår
(b
> 0, -en
≠ 0, |-en
| ≠ 1). (6)
Lad os liste hovedegenskaberne for den logaritmiske funktion f (x) = log -en x :
1. Definitionsdomænet for en logaritmisk funktion er mængden af positive tal.
2. Værdiområdet for den logaritmiske funktion er mængden af reelle tal.
3. Hvornår -en> 1 logaritmisk funktion er strengt stigende (0< x 1 < x 2 log -en x 1 < log-en x 2), og ved 0< -en < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log -en x 1 > log -en x 2).
4. log -en 1 = 0 og log -en -en = 1 (-en > 0, -en ≠ 1).
5. Hvis -en> 1, så er den logaritmiske funktion negativ når x(0;1) og positiv kl x(1;+∞), og hvis 0< -en < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) og negativ kl x (1;+∞).
6. Hvis -en> 1, så er den logaritmiske funktion konveks opad, og hvis -en(0;1) - konveks nedad.
Følgende udsagn (se f.eks.) bruges ved løsning af logaritmiske ligninger.
