Definition og egenskaber af logaritmer. Egenskaber for logaritmer og eksempler på deres løsninger. The Comprehensive Guide (2019)

I forbindelse med

opgaven med at finde et hvilket som helst af de tre tal fra de to andre givne kan indstilles. Hvis a og derefter N er givet, findes de ved eksponentiering. Hvis N og derefter a er givet ved at tage roden af ​​graden x (eller hæve den til potensen). Overvej nu tilfældet, når vi givet a og N skal finde x.

Lad tallet N være positivt: tallet a være positivt og ikke lig med en:.

Definition. Logaritmen af ​​tallet N til grundtallet a er den eksponent, som a skal hæves til for at opnå tallet N; logaritme er angivet med

I lighed (26.1) findes eksponenten således som logaritmen af ​​N til grundtal a. Indlæg

har samme betydning. Ligestilling (26.1) kaldes undertiden logaritme-teoriens hovedidentitet; i virkeligheden udtrykker det definitionen af ​​begrebet logaritme. Ved denne definition Grundlaget for logaritmen a er altid positiv og forskellig fra enhed; det logaritmiske tal N er positivt. Negative tal og nul har ingen logaritmer. Det kan bevises, at ethvert tal med en given base har en veldefineret logaritme. Derfor medfører ligestilling. Bemærk, at betingelsen er væsentlig her; ellers ville konklusionen ikke være berettiget, da ligheden er sand for alle værdier af x og y.

Eksempel 1. Find

Løsning. For at opnå et tal skal du hæve grundtallet 2 til potensen Derfor.

Du kan lave noter, når du løser sådanne eksempler i følgende form:

Eksempel 2. Find .

Løsning. Vi har

I eksempel 1 og 2 fandt vi let den ønskede logaritme ved at repræsentere logaritmetallet som en potens af grundtallet med en rationel eksponent. I det generelle tilfælde, for eksempel for osv., kan dette ikke lade sig gøre, da logaritmen har en irrationel værdi. Lad os være opmærksomme på et spørgsmål relateret til denne erklæring. I afsnit 12 gav vi konceptet om muligheden for at bestemme en hvilken som helst reel grad af en given positivt tal. Dette var nødvendigt for indførelsen af ​​logaritmer, som generelt set kan være irrationelle tal.

Lad os se på nogle egenskaber ved logaritmer.

Egenskab 1. Hvis tallet og grundtallet er ens, så er logaritmen lig med én, og omvendt, hvis logaritmen er lig med én, så er tallet og grundtallet lig.

Bevis. Lad Ved definitionen af ​​en logaritme har vi og hvorfra

Omvendt, lad derefter per definition

Egenskab 2. Logaritmen af ​​et til enhver grundtal er lig med nul.

Bevis. Ved definition af en logaritme (nulpotensen af ​​enhver positiv base er lig med én, se (10.1)). Herfra

Q.E.D.

Det omvendte udsagn er også sandt: hvis , så N = 1. Vi har faktisk .

Før vi formulerer den næste egenskab for logaritmer, lad os blive enige om at sige, at to tal a og b ligger på samme side af det tredje tal c, hvis de begge er større end c eller mindre end c. Hvis et af disse tal er større end c, og det andet er mindre end c, så vil vi sige, at de ligger langs forskellige sider fra landsbyen

Egenskab 3. Hvis tallet og grundtallet ligger på samme side af én, så er logaritmen positiv; Hvis tallet og grundtallet ligger på modsatte sider af en, så er logaritmen negativ.

Beviset for egenskab 3 er baseret på, at potensen af ​​a er større end én, hvis grundtallet er større end én, og eksponenten er positiv, eller grundfladen er mindre end én, og eksponenten er negativ. En potens er mindre end én, hvis grundtallet er større end én, og eksponenten er negativ, eller basen er mindre end én, og eksponenten er positiv.

Der er fire sager at overveje:

Vi vil begrænse os til at analysere den første af dem; læseren vil overveje resten på egen hånd.

Lad så i lighed eksponenten hverken være negativ eller lig med nul, derfor er den positiv, dvs. som det kræves for at blive bevist.

Eksempel 3. Find ud af, hvilke af logaritmerne nedenfor der er positive og hvilke der er negative:

Løsning, a) da tallet 15 og basen 12 er placeret på samme side af en;

b) da 1000 og 2 er placeret på den ene side af enheden; i dette tilfælde er det ikke vigtigt, at grundtallet er større end det logaritmiske tal;

c) da 3.1 og 0.8 ligger på modsatte sider af enhed;

G); Hvorfor?

d); Hvorfor?

Følgende egenskaber 4-6 kaldes ofte logaritmeringsreglerne: de tillader, ved at kende logaritmerne for nogle tal, at finde logaritmerne for deres produkt, kvotient og grad af hver af dem.

Egenskab 4 (produktlogaritmeregel). Logaritme af produktet af flere positive tal til en given base lig med summen logaritmer af disse tal til samme grundtal.

Bevis. Lad de givne tal være positive.

For logaritmen af ​​deres produkt skriver vi ligheden (26.1), der definerer logaritmen:

Herfra finder vi

Ved at sammenligne eksponenterne for det første og det sidste udtryk får vi den nødvendige lighed:

Bemærk, at betingelsen er væsentlig; logaritmen af ​​produktet af to negative tal giver mening, men i dette tilfælde får vi

Generelt, hvis produktet af flere faktorer er positivt, er dets logaritme lig med summen af ​​logaritmerne af de absolutte værdier af disse faktorer.

Egenskab 5 (regel for at tage logaritmer af kvotienter). Logaritmen af ​​en kvotient af positive tal er lig med forskellen mellem logaritmerne af udbyttet og divisoren taget til samme grundtal. Bevis. Vi finder konsekvent

Q.E.D.

Egenskab 6 (potenslogaritmeregel). Logaritmen af ​​potensen af ​​ethvert positivt tal er lig med logaritmen af ​​dette tal ganget med eksponenten.

Bevis. Lad os igen skrive hovedidentiteten (26.1) for nummeret:

Q.E.D.

Følge. Logaritmen af ​​en rod af et positivt tal er lig med logaritmen af ​​radikalet divideret med eksponenten af ​​roden:

Gyldigheden af ​​denne konsekvens kan bevises ved at forestille sig hvordan og bruge egenskab 6.

Eksempel 4. Tag logaritmen til at basere a:

a) (det antages, at alle værdier b, c, d, e er positive);

b) (det antages, at ).

Løsning, a) Det er praktisk at gå til brøkpotenser i dette udtryk:

Baseret på ligheder (26.5)-(26.7) kan vi nu skrive:

Vi bemærker, at der udføres enklere operationer på tals logaritmer end på selve tallene: når man multiplicerer tal, tilføjes deres logaritmer, når de divideres, trækkes de fra osv.

Det er derfor, der bruges logaritmer i beregningspraksis (se afsnit 29).

Den omvendte handling af logaritmen kaldes potentiering, nemlig: potensering er den handling, hvorved selve tallet findes ud fra en given logaritme af et tal. I bund og grund er potensering ikke nogen speciel handling: det kommer ned til at hæve en base til en potens (lig med logaritmen af ​​et tal). Udtrykket "potentiering" kan betragtes som synonymt med udtrykket "eksponentiering".

Ved potentiering skal du bruge reglerne omvendt til logaritmeringens regler: Erstat summen af ​​logaritmer med logaritmen af ​​produktet, forskellen af ​​logaritmer med logaritmen af ​​kvotienten osv. Især hvis der er en faktor foran af logaritmens fortegn, så skal den under potensering overføres til eksponentgraderne under logaritmens fortegn.

Eksempel 5. Find N, hvis det vides, at

Løsning. I forbindelse med den netop nævnte potentieringsregel vil vi overføre faktorerne 2/3 og 1/3, der står foran logaritmernes fortegn på højre side af denne lighed til eksponenter under disse logaritmers fortegn; vi får

Nu erstatter vi forskellen af ​​logaritmer med logaritmen af ​​kvotienten:

for at opnå den sidste brøk i denne kæde af ligheder, befriede vi den foregående brøk fra irrationalitet i nævneren (klausul 25).

Ejendom 7. Hvis basen er større end én, så større antal har en større logaritme (og et mindre tal har en mindre), hvis grundtallet er mindre end én, så har et større tal en mindre logaritme (og et mindre tal har en større).

Denne egenskab er også formuleret som en regel til at tage logaritmer af uligheder, hvis begge sider er positive:

Når man logaritmerer uligheder til en grundtal større end én, bevares tegnet for ulighed, og når man logaritmer til en grundtal mindre end én, ændres fortegnet for ulighed til det modsatte (se også afsnit 80).

Beviset er baseret på egenskaberne 5 og 3. Overvej det tilfælde, hvor If , then og ved at tage logaritmer får vi

(a og N/M ligger på samme side af enhed). Herfra

Tilfælde a følger, vil læseren selv finde ud af det.

1.1. Bestemmelse af eksponenten for en heltalseksponent

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N gange

1.2. Nul grader.

Per definition er det generelt accepteret, at nulpotensen af ​​ethvert tal er 1:

1.3. Negativ grad.

X -N = 1/X N

1.4. Brøkkraft, rod.

X 1/N = N roden af ​​X.

For eksempel: X 1/2 = √X.

1.5. Formel til at tilføje kræfter.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Formel for at trække potenser fra.

X (N-M) = XN/X M

1.7. Formel til multiplikation af magter.

X N*M = (X N) M

1.8. Formel til at hæve en brøkdel til en magt.

(X/Y) N = X N/Y N

2. Nummer e.

Værdien af ​​tallet e er lig med følgende grænse:

E = lim(1+1/N), som N → ∞.

Med en nøjagtighed på 17 cifre er tallet e 2,71828182845904512.

3. Eulers ligestilling.

Denne lighed forbinder fem tal, der spiller en særlig rolle i matematik: 0, 1, e, pi, imaginær enhed.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Eksponentiel funktion exp(x)

exp(x) = e x

5. Afledt af eksponentiel funktion

Eksponentialfunktionen har en bemærkelsesværdig egenskab: den afledede af funktionen er lig med selve eksponentialfunktionen:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritme.

6.1. Definition af logaritmefunktionen

Hvis x = b y, så er logaritmen funktionen

Y = Log b(x).

Logaritmen viser til hvilken potens et tal skal hæves - logaritmen (b)'s basis for at opnå et givet tal (X). Logaritmefunktionen er defineret for X større end nul.

For eksempel: Log 10 (100) = 2.

6.2. Decimal logaritme

Dette er logaritmen til base 10:

Y = Log 10 (x).

Angivet med Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Et eksempel på brugen af ​​decimallogaritmen er decibel.

6.3. Decibel

Punktet er fremhævet på en separat side Decibel

6.4. Binær logaritme

Dette er basis 2-logaritmen:

Y = Log 2 (x).

Angivet med Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Naturlig logaritme

Dette er logaritmen til base e:

Y = Log e (x) .

Angivet med Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Den naturlige logaritme er den inverse funktion af eksponentialfunktionen exp(X).

6.6. Karakteristiske punkter

Loga(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Produktlogaritmeformel

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formel for logaritme af kvotient

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Formel for magtlogaritme

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formel til konvertering til en logaritme med en anden base

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Eksempel:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formler nyttige i livet

Ofte er der problemer med at konvertere volumen til areal eller længde og det omvendte problem - at konvertere areal til volumen. For eksempel sælges brædder i terninger (kubikmeter), og vi skal beregne, hvor meget vægareal der kan dækkes med brædder indeholdt i et bestemt volumen, se beregning af brædder, hvor mange brædder der er i en terning. Eller hvis væggens dimensioner er kendt, skal du beregne antallet af mursten, se murstensberegning.

Det er tilladt at bruge webstedsmaterialer, forudsat at der er installeret et aktivt link til kilden.

Fokus i denne artikel er logaritme. Her vil vi give definitionen af ​​logaritme, vis accepteret betegnelse, vil vi give eksempler på logaritmer, og tale om naturlige og decimale logaritmer. Herefter vil vi overveje den grundlæggende logaritmiske identitet.

Sidenavigation.

Definition af logaritme

Begrebet logaritme opstår, når man løser et problem i en bestemt omvendt forstand, når man skal finde en eksponent i kendt værdi grad og kendt grundlag.

Men nok forord, det er tid til at besvare spørgsmålet "hvad er en logaritme"? Lad os give den tilsvarende definition.

Definition.

Logaritme af b til grundtal a, hvor a>0, a≠1 og b>0 er eksponenten, som du skal hæve tallet a til for at få b som et resultat.

På dette stadium bemærker vi, at det talte ord "logaritme" straks bør rejse to opfølgende spørgsmål: "hvilket tal" og "på hvilket grundlag." Med andre ord er der simpelthen ingen logaritme, men kun logaritmen af ​​et tal til en eller anden base.

Lad os gå ind med det samme logaritme notation: logaritmen af ​​et tal b til base a betegnes normalt som log a b. Logaritmen af ​​et tal b til grundtal e og logaritmen til grundtal 10 har deres egne specielle betegnelser henholdsvis lnb og logb, det vil sige, at de ikke skriver log e b, men lnb, og ikke log 10 b, men lgb.

Nu kan vi give:.
Og optegnelserne giver ikke mening, da i den første af dem under tegnet af logaritmen der er et negativt tal, i det andet er der et negativt tal i grundtallet, og i det tredje er der et negativt tal under logaritmetegnet og en enhed i grundtallet.

Lad os nu tale om regler for aflæsning af logaritmer. Log a b læses som "logaritmen af ​​b til base a". For eksempel er log 2 3 logaritmen af ​​tre til grundtallet 2, og er logaritmen af ​​to komma to tredjedele af grundkvadratroden af ​​fem. Logaritmen til grundtallet e kaldes naturlig logaritme, og notationen lnb lyder "naturlig logaritme af b". For eksempel er ln7 den naturlige logaritme af syv, og vi vil læse den som den naturlige logaritme af pi. Basis 10-logaritmen har også et specielt navn - decimallogaritme, og lgb læses som "decimal logaritme af b". For eksempel er lg1 decimallogaritmen af ​​én, og lg2.75 er decimallogaritmen af ​​to komma syv fem hundrededele.

Det er værd at dvæle separat ved betingelserne a>0, a≠1 og b>0, under hvilke definitionen af ​​logaritmen er givet. Lad os forklare, hvor disse begrænsninger kommer fra. En lighed af formen kaldet , som direkte følger af definitionen af ​​logaritme ovenfor, vil hjælpe os med at gøre dette.

Lad os starte med a≠1. Da én til enhver potens er lig med én, kan ligheden kun være sand, når b=1, men log 1 1 kan være enhver reelle tal. For at undgå denne tvetydighed antages a≠1.

Lad os begrunde det hensigtsmæssige i betingelsen a>0. Med a=0, ved definitionen af ​​en logaritme, ville vi have lighed, hvilket kun er muligt med b=0. Men så kan log 0 0 være et hvilket som helst reelt tal, der ikke er nul, da nul til enhver potens, der ikke er nul, er nul. Betingelsen a≠0 giver os mulighed for at undgå denne tvetydighed. Og når en<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Endelig følger betingelsen b>0 af uligheden a>0, da , og værdien af ​​en potens med en positiv base a altid er positiv.

For at konkludere dette punkt, lad os sige, at den angivne definition af logaritmen giver dig mulighed for straks at angive værdien af ​​logaritmen, når tallet under logaritmetegnet er en vis styrke af basen. Faktisk giver definitionen af ​​en logaritme os mulighed for at sige, at hvis b=a p, så er logaritmen af ​​tallet b til grunden a lig med p. Det vil sige, at lighedsloggen a a p =p er sand. For eksempel ved vi, at 2 3 =8, så log 2 8=3. Vi vil tale mere om dette i artiklen.

Instruktioner

Skriv det givne logaritmiske udtryk. Hvis udtrykket bruger logaritmen 10, forkortes dets notation og ser således ud: lg b er decimallogaritmen. Hvis logaritmen har tallet e som grundtal, så skriv udtrykket: ln b – naturlig logaritme. Det er underforstået, at resultatet af enhver er den potens, som basistallet skal hæves til for at opnå tallet b.

Når du finder summen af ​​to funktioner, skal du blot differentiere dem en efter en og tilføje resultaterne: (u+v)" = u"+v";

Når man finder den afledede af produktet af to funktioner, er det nødvendigt at gange den afledede af den første funktion med den anden og tilføje den afledede af den anden funktion ganget med den første funktion: (u*v)" = u"*v +v"*u;

For at finde den afledte af kvotienten af ​​to funktioner, er det nødvendigt at trække produktet af den afledte af divisoren ganget med divisorfunktionen fra produktet af den afledte af divisoren ganget med funktionen af ​​divisoren, og dividere alt dette med divisorfunktionen i anden. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Hvis givet kompleks funktion, så er det nødvendigt at gange den afledte af den indre funktion og den afledede af den eksterne. Lad y=u(v(x)), derefter y"(x)=y"(u)*v"(x).

Ved hjælp af resultaterne opnået ovenfor kan du differentiere næsten enhver funktion. Så lad os se på et par eksempler:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Der er også problemer med at beregne den afledte på et punkt. Lad funktionen y=e^(x^2+6x+5) være givet, du skal finde værdien af ​​funktionen i punktet x=1.
1) Find den afledede af funktionen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Beregn værdien af ​​funktionen i et givet punkt y"(1)=8*e^0=8

Video om emnet

Nyttige råd

Lær tabellen over elementære derivater. Dette vil spare tid betydeligt.

Kilder:

• afledet af en konstant

Så hvad er forskellen? ir rationel ligning fra det rationelle? Hvis den ukendte variabel er under tegnet kvadrat rod, så betragtes ligningen som irrationel.

Instruktioner

Den vigtigste metode til at løse sådanne ligninger er metoden til at konstruere begge sider ligninger ind i en firkant. Imidlertid. dette er naturligt, det første du skal gøre er at slippe af med skiltet. Denne metode er ikke teknisk vanskelig, men nogle gange kan det føre til problemer. For eksempel er ligningen v(2x-5)=v(4x-7). Ved at kvadrere begge sider får du 2x-5=4x-7. At løse en sådan ligning er ikke svært; x=1. Men tallet 1 vil ikke blive givet ligninger. Hvorfor? Erstat en i ligningen i stedet for værdien af ​​x. Og højre og venstre side vil indeholde udtryk, der ikke giver mening, dvs. Denne værdi er ikke gyldig for en kvadratrod. Derfor er 1 en uvedkommende rod, og derfor har denne ligning ingen rødder.

Så en irrationel ligning løses ved at bruge metoden til at kvadrere begge dens sider. Og efter at have løst ligningen, er det nødvendigt at afskære uvedkommende rødder. For at gøre dette skal du erstatte de fundne rødder i den oprindelige ligning.

Overvej en anden.
2х+vх-3=0
Selvfølgelig kan denne ligning løses ved hjælp af den samme ligning som den forrige. Flyt forbindelser ligninger, som ikke har en kvadratrod, til højre og brug derefter kvadratmetoden. løse den resulterende rationelle ligning og rødder. Men også en anden, mere elegant. Indtast en ny variabel; vх=y. Derfor vil du modtage en ligning på formen 2y2+y-3=0. Altså det sædvanlige andengradsligning. Find dens rødder; y1=1 og y2=-3/2. Løs derefter to ligninger vх=1; vх=-3/2. Den anden ligning har ingen rødder; fra den første finder vi, at x=1. Glem ikke at tjekke rødderne.

At løse identiteter er ret simpelt. For at gøre dette er det nødvendigt at udføre identiske transformationer, indtil det fastsatte mål er nået. Altså ved hjælp af de simpleste aritmetiske operationer opgaven bliver løst.

Du får brug for

• - papir;
• - pen.

Instruktioner

Den enkleste af sådanne transformationer er algebraiske forkortede multiplikationer (såsom kvadratet af summen (forskel), kvadratforskellen, sum (forskel), terning af summen (forskel)). Derudover er der mange og trigonometriske formler, som i det væsentlige er de samme identiteter.

Faktisk er kvadratet af summen af ​​to led lig med kvadratet af det første plus to gange produktet af det første med det andet og plus kvadratet af det andet, det vil sige (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Forenkle begge dele

Generelle principper for løsningen

Gentag lærebogen om matematisk analyse el højere matematik, hvilket er et bestemt integral. Som bekendt er løsningen til et bestemt integral en funktion, hvis afledede vil give en integrand. Denne funktion kaldes antiderivat. Ud fra dette princip konstrueres hovedintegralerne.
Bestem ved integrandens form, hvilken af ​​tabelintegralerne der passer ind I dette tilfælde. Det er ikke altid muligt at fastslå dette med det samme. Ofte bliver tabelformen først mærkbar efter flere transformationer for at forenkle integranden.

Variabel udskiftningsmetode

Hvis integrand-funktionen er trigonometrisk funktion, hvis argument indeholder et eller andet polynomium, så prøv at bruge variabelerstatningsmetoden. For at gøre dette skal du erstatte polynomiet i integrandens argument med en ny variabel. Baseret på forholdet mellem de nye og gamle variable, bestemme de nye grænser for integration. Ved at differentiere dette udtryk, find den nye differentiale i . Så du får den nye slags af det foregående integral, tæt på eller endda svarende til et hvilket som helst tabelformet.

Løsning af integraler af anden art

Hvis integralet er et integral af den anden slags, en vektorform af integranden, så skal du bruge reglerne for overgangen fra disse integraler til skalære. En sådan regel er Ostrogradsky-Gauss-forholdet. Denne lov tillader os at bevæge os fra rotorfluxen af ​​en bestemt vektorfunktion til det tredobbelte integral over divergensen af ​​et givet vektorfelt.

Substitution af integrationsgrænser

Efter at have fundet antiderivatet, er det nødvendigt at erstatte grænserne for integration. Først skal du erstatte værdien af ​​den øvre grænse med udtrykket for antiderivatet. Du får et nummer. Derefter trækkes et andet tal fra den nedre grænse fra det resulterende tal til antiderivatet. Hvis en af ​​grænserne for integration er uendelighed, så når man erstatter den med antiderivat funktion det er nødvendigt at gå til grænsen og finde, hvad udtrykket stræber efter.
Hvis integralet er todimensionelt eller tredimensionelt, så bliver du nødt til at repræsentere grænserne for integration geometrisk for at forstå, hvordan man vurderer integralet. Faktisk, i tilfældet med f.eks. et tredimensionelt integral, kan grænserne for integration være hele planer, der begrænser det volumen, der integreres.

Vi fortsætter med at studere logaritmer. I denne artikel vil vi tale om udregning af logaritmer, kaldes denne proces logaritme. Først vil vi forstå beregningen af ​​logaritmer pr. definition. Lad os derefter se på, hvordan værdierne af logaritmer findes ved hjælp af deres egenskaber. Herefter vil vi fokusere på at beregne logaritmer gennem de oprindeligt specificerede værdier af andre logaritmer. Lad os endelig lære at bruge logaritmetabeller. Hele teorien er forsynet med eksempler med detaljerede løsninger.

Sidenavigation.

Beregning af logaritmer pr. definition

I de enkleste tilfælde er det muligt at udføre ret hurtigt og nemt at finde logaritmen per definition. Lad os se nærmere på, hvordan denne proces foregår.

Dens essens er at repræsentere tallet b i formen a c, hvorfra, ved definitionen af ​​en logaritme, tallet c er værdien af ​​logaritmen. Det vil sige, per definition svarer følgende kæde af ligheder til at finde logaritmen: log a b=log a a c =c.

Så at beregne en logaritme per definition kommer ned til at finde et tal c, således at a c = b, og selve tallet c er den ønskede værdi af logaritmen.

Under hensyntagen til oplysningerne i de foregående afsnit, når tallet under logaritmetegnet er givet af en vis potens af logaritmebasen, kan du straks angive, hvad logaritmen er lig med - det lig med indikatoren grader. Lad os vise løsninger på eksempler.

Eksempel.

Find log 2 2 −3, og beregn også den naturlige logaritme af tallet e 5,3.

Løsning.

Definitionen af ​​logaritmen giver os mulighed for straks at sige, at log 2 2 −3 =−3. Faktisk er tallet under logaritmetegnet lig med base 2 i potensen -3.

På samme måde finder vi den anden logaritme: lne 5.3 =5.3.

Svar:

log 2 2 −3 =−3 og lne 5,3 =5,3.

Hvis tallet b under logaritmetegnet ikke er angivet som en potens af logaritmens basis, så skal du nøje se efter, om det er muligt at komme med en repræsentation af tallet b i formen a c . Ofte er denne repræsentation ret indlysende, især når tallet under logaritmetegnet er lig med basen i potensen 1, eller 2 eller 3, ...

Eksempel.

Beregn logaritmerne log 5 25 , og .

Løsning.

Det er let at se, at 25=5 2, dette giver dig mulighed for at beregne den første logaritme: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Lad os gå videre til at beregne den anden logaritme. Tallet kan repræsenteres som en potens af 7: (se evt.). Derfor, .

Lad os omskrive den tredje logaritme i følgende form. Nu kan du se det , hvoraf vi konkluderer . Derfor ved definitionen af ​​logaritme .

Kort fortalt kunne løsningen skrives som følger: .

Svar:

log 5 25=2 , Og .

Når under fortegn af logaritmen er der en tilstrækkelig stor naturligt tal, så ville det ikke skade at indregne det i primære faktorer. Det hjælper ofte at repræsentere et sådant tal som en potens af logaritmens basis, og derfor beregne denne logaritme per definition.

Eksempel.

Find værdien af ​​logaritmen.

Løsning.

Nogle egenskaber ved logaritmer giver dig mulighed for straks at angive værdien af ​​logaritmer. Disse egenskaber omfatter egenskaben af ​​logaritmen af ​​en og egenskaben af ​​logaritmen af ​​et tal lig med grundtallet: log 1 1=log a a 0 =0 og log a a=log a a 1 =1. Det vil sige, at når der under logaritmens fortegn er et tal 1 eller et tal a lig med logaritmen, så er logaritmerne i disse tilfælde lig med henholdsvis 0 og 1.

Eksempel.

Hvad er logaritmer og log10 lig med?

Løsning.

Siden , så følger det fra definitionen af ​​logaritme .

I det andet eksempel falder tallet 10 under logaritmetegnet sammen med dets grundtal, så decimallogaritmen på ti er lig med en, det vil sige lg10=lg10 1 =1.

Svar:

OG lg10=1.

Bemærk, at beregningen af ​​logaritmer per definition (som vi diskuterede i det foregående afsnit) indebærer brugen af ​​lighedslog a a p =p, som er en af ​​egenskaberne ved logaritmer.

I praksis, når et tal under logaritmetegnet og basen af ​​logaritmen let repræsenteres som en potens af et bestemt tal, er det meget praktisk at bruge formlen , hvilket svarer til en af ​​logaritmers egenskaber. Lad os se på et eksempel på at finde en logaritme, der illustrerer brugen af ​​denne formel.

Eksempel.

Beregn logaritmen.

Løsning.

Svar:

.

Egenskaber for logaritmer, der ikke er nævnt ovenfor, bruges også i beregninger, men vi vil tale om dette i de følgende afsnit.

Finde logaritmer gennem andre kendte logaritmer

Oplysningerne i dette afsnit fortsætter emnet om at bruge logaritmers egenskaber, når de beregnes. Men her er den største forskel, at logaritmers egenskaber bruges til at udtrykke den oprindelige logaritme i form af en anden logaritme, hvis værdi er kendt. Lad os give et eksempel til afklaring. Lad os sige, at vi ved, at log 2 3≈1.584963, så kan vi finde f.eks. log 2 6 ved at lave en lille transformation ved at bruge logaritmens egenskaber: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

I ovenstående eksempel var det nok for os at bruge egenskaben til logaritmen af ​​et produkt. Men meget oftere er det nødvendigt at bruge et bredere arsenal af egenskaber ved logaritmer for at beregne den oprindelige logaritme gennem de givne.

Eksempel.

Beregn logaritmen af ​​27 til grundtal 60, hvis du ved, at log 60 2=a og log 60 5=b.

Løsning.

Så vi skal finde log 60 27 . Det er let at se, at 27 = 3 3, og den oprindelige logaritme, på grund af egenskaben for potensens logaritme, kan omskrives til 3·log 60 3 .

Lad os nu se, hvordan man udtrykker log 60 3 i form af kendte logaritmer. Egenskaben for logaritmen af ​​et tal lig med grundtallet giver os mulighed for at skrive lighedslog 60 60=1. På den anden side, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Dermed, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Derfor, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Til sidst beregner vi den oprindelige logaritme: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Svar:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Separat er det værd at nævne betydningen af ​​formlen for overgang til en ny base af formens logaritme . Det giver dig mulighed for at flytte fra logaritmer med en hvilken som helst base til logaritmer med en specifik base, hvis værdier er kendt, eller det er muligt at finde dem. Normalt, fra den oprindelige logaritme, ved hjælp af overgangsformlen, flytter de til logaritmer i en af ​​baserne 2, e eller 10, da der for disse baser er tabeller over logaritmer, der tillader deres værdier at blive beregnet med en vis grad af nøjagtighed. I næste afsnit vil vi vise, hvordan dette gøres.

Logaritmetabeller og deres anvendelser

Til omtrentlig beregning af logaritmeværdier kan bruges logaritmetabeller. Den mest almindeligt anvendte base 2 logaritmetabel, naturlig logaritmetabel og decimallogaritmer. Når man arbejder i decimalsystem Til beregning er det praktisk at bruge en tabel med logaritmer baseret på basis ti. Med dens hjælp vil vi lære at finde værdierne af logaritmer.

Den præsenterede tabel giver dig mulighed for at finde værdierne af decimallogaritmerne af tal fra 1.000 til 9.999 (med tre decimaler) med en nøjagtighed på en ti tusindedel. Vi vil analysere princippet om at finde værdien af ​​en logaritme ved hjælp af en tabel med decimallogaritmer i konkret eksempel- det er tydeligere på den måde. Lad os finde log1.256.

I venstre kolonne i tabellen med decimallogaritmer finder vi de to første cifre i tallet 1,256, det vil sige, vi finder 1,2 (dette tal er cirklet med blåt for tydelighedens skyld). Det tredje ciffer af tallet 1.256 (ciffer 5) findes i den første eller sidste linje til venstre for den dobbelte linje (dette tal er cirklet med rødt). Det fjerde ciffer i det oprindelige nummer 1.256 (ciffer 6) findes i den første eller sidste linje til højre for den dobbelte linje (dette tal er omkranset med en grøn linje). Nu finder vi tallene i cellerne i logaritmetabellen i skæringspunktet mellem den markerede række og markerede kolonner (disse tal er fremhævet orange). Summen af ​​de markerede tal giver den ønskede værdi af decimallogaritmen nøjagtig med den fjerde decimal, dvs. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Er det muligt ved hjælp af tabellen ovenfor at finde værdierne af decimallogaritmer af tal, der har mere end tre cifre efter decimalkommaet, såvel som dem, der går ud over området fra 1 til 9,999? Ja du kan. Lad os vise, hvordan dette gøres med et eksempel.

Lad os beregne lg102.76332. Først skal du skrive ned nummer ind standard formular : 102,76332=1,0276332·10 2. Efter dette skal mantissen afrundes til den tredje decimal, vi har 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, mens den oprindelige decimallogaritme er omtrent lig med logaritmen af ​​det resulterende tal, det vil sige, vi tager log102.76332≈lg1.028·10 2. Nu anvender vi egenskaberne for logaritmen: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Til sidst finder vi værdien af ​​logaritmen lg1.028 fra tabellen over decimallogaritmer lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Som et resultat ser hele processen med at beregne logaritmen sådan ud: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Afslutningsvis er det værd at bemærke, at ved hjælp af en tabel med decimallogaritmer kan du beregne den omtrentlige værdi af enhver logaritme. For at gøre dette er det nok at bruge overgangsformlen til at gå til decimallogaritmer, finde deres værdier i tabellen og udføre de resterende beregninger.

Lad os f.eks. beregne log 2 3 . Ifølge formlen for overgang til en ny basis af logaritmen har vi . Fra tabellen med decimallogaritmer finder vi log3≈0,4771 og log2≈0,3010. Dermed, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begyndelsen af ​​analyse: Lærebog for klasse 10 - 11 af almene uddannelsesinstitutioner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler).