Logaritmaya göre ikinci dereceden denklemler ve diğer standart dışı teknikler. Logaritmalar: örnekler ve çözümler

Logaritma nedir?

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Logaritma nedir? Logaritmalar nasıl çözülür? Bu sorular birçok mezunun kafasını karıştırıyor. Geleneksel olarak logaritma konusunun karmaşık, anlaşılmaz ve korkutucu olduğu düşünülür. Özellikle logaritmalı denklemler.

Bu kesinlikle doğru değil. Kesinlikle! Bana inanmıyor musun? İyi. Şimdi sadece 10 - 20 dakika içinde:

1. Anlayacaksınız logaritma nedir.

2. Bütün bir sınıfı çözmeyi öğrenin üstel denklemler. Onlar hakkında hiçbir şey duymamış olsanız bile.

3. Basit logaritmaları hesaplamayı öğrenin.

Üstelik bunun için çarpım tablosunu ve bir sayının üssünü nasıl yükselteceğinizi bilmeniz yeterli...

Şüphelerin varmış gibi hissediyorum... Peki, tamam, zamanı işaretle! Gitmek!

Öncelikle şu denklemi kafanızda çözün:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Pozitif bir b sayısının a tabanına göre logaritması (a>0, a, 1'e eşit değildir), a c = b olacak şekilde bir c sayısıdır: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

Pozitif olmayan bir sayının logaritmasının tanımsız olduğunu unutmayın. Ayrıca logaritmanın tabanı da şu şekilde olmalıdır: pozitif sayı, 1'e eşit değildir. Örneğin -2'nin karesini alırsak 4 sayısını elde ederiz, ancak bu 4'ün -2 tabanının logaritmasının 2'ye eşit olduğu anlamına gelmez.

Temel logaritmik kimlik

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Bu formülün sağ ve sol taraflarının tanım kapsamının farklı olması önemlidir. Sol taraf yalnızca b>0, a>0 ve a ≠ 1 için tanımlanır. Sağ taraf herhangi bir b için tanımlanır ve a'ya hiçbir şekilde bağlı değildir. Bu nedenle, denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken temel logaritmik "özdeşliğin" uygulanması OD'de bir değişikliğe yol açabilir.

Logaritmanın tanımının iki belirgin sonucu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Nitekim a sayısını birinci kuvvetine yükselttiğimizde aynı sayıyı, sıfır kuvvetine yükselttiğimizde ise bir elde ederiz.

Çarpımın logaritması ve bölümün logaritması

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Okul çocuklarını, çözerken bu formülleri düşüncesizce uygulamamaları konusunda uyarmak isterim. logaritmik denklemler ve eşitsizlikler. Bunları "soldan sağa" kullanırken ODZ daralır ve logaritmaların toplamından veya farkından ürünün veya bölümün logaritmasına geçerken ODZ genişler.

Aslında, log a (f (x) g (x)) ifadesi iki durumda tanımlanır: her iki fonksiyon da kesinlikle pozitif olduğunda veya f(x) ve g(x) her ikisi de sıfırdan küçük olduğunda.

Bu ifadeyi log a f (x) + log a g (x) toplamına dönüştürdüğümüzde, kendimizi yalnızca f(x)>0 ve g(x)>0 durumuyla sınırlamak zorunda kalırız. Alan daralması var kabul edilebilir değerler ve bu kategorik olarak kabul edilemez çünkü çözüm kaybına yol açabilir. Benzer bir sorun formül (6) için de mevcuttur.

Derece logaritmanın işaretinden çıkarılabilir

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ve yine doğruluk için çağrıda bulunmak istiyorum. Aşağıdaki örneği düşünün:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Eşitliğin sol tarafı, f(x)'in sıfır dışındaki tüm değerleri için açıkça tanımlanmıştır. Sağ taraf sadece f(x)>0 içindir! Logaritmadan dereceyi çıkararak ODZ'yi tekrar daraltıyoruz. Ters prosedür, kabul edilebilir değerler aralığının genişlemesine yol açar. Bütün bu açıklamalar sadece 2. kuvvet için değil aynı zamanda herhangi bir çift kuvvet için de geçerlidir.

Yeni bir temele geçmenin formülü

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

ODZ'nin dönüşüm sırasında değişmediği nadir durum. Eğer c tabanını akıllıca seçtiyseniz (pozitif ve 1'e eşit değil), yeni bir tabana geçme formülü tamamen güvenlidir.

Yeni c tabanı olarak b sayısını seçersek, formül (8)'in önemli bir özel durumunu elde ederiz:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Logaritmalarla ilgili bazı basit örnekler

Örnek 1. Hesaplayın: log2 + log50.
Çözüm. log2 + log50 = log100 = 2. Logaritma toplamı formülünü (5) ve ondalık logaritmanın tanımını kullandık.

Örnek 2. Hesaplayın: lg125/lg5.
Çözüm. log125/log5 = log 5 125 = 3. Yeni bir tabana (8) geçmek için formülü kullandık.

Logaritmalarla ilgili formül tablosu

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimet tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Logaritmanın daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemlerini basit toplama yoluyla basitleştirmeniz gereken hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını anlatacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.

Matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) “b”nin “a” tabanına göre logaritması, “c” kuvveti olarak kabul edilir. ” sonuçta "b" değerini elde etmek için "a" tabanının yükseltilmesi gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.

Logaritma türleri

Pek çok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç ayrı logaritmik ifade türü vardır:

1. Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
2. Tabanı 10 olan ondalık a.
3. Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Her birine karar verildi standart bir şekilde Logaritmik teoremleri kullanarak basitleştirmeyi, indirgemeyi ve ardından bir logaritmaya indirgemeyi içerir. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamanız gerekir.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi negatif sayıların çift kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:

• "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
• a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritmalar nasıl çözülür?

Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik formda gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanına girmenin gerekli olduğu gücü bulmak için tüm eylemler pratik olarak birleşir.

Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak için büyük değerler bir derece tablosuna ihtiyacınız olacak. Karmaşık matematik konuları hakkında hiçbir şey bilmeyen kişiler tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!

Denklemler ve eşitsizlikler

Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifade logaritmik eşitlik olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. İçin negatif güçler kurallar aynı: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazıyoruz, log 2 (1/32) = -5 elde ediyoruz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.

Aşağıdaki ifade verilmiştir: log 2 (x-1) > 3 - bu logaritmik bir eşitsizliktir, çünkü bilinmeyen “x” değeri logaritmik işaretin altındadır. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örneğin logaritma 2 x = √9) bir veya daha fazla spesifik cevabı ima etmesidir. Sayısal değerler eşitsizliği çözerken hem izin verilen değerlerin aralığı hem de bu fonksiyonun kesme noktaları belirlenir. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar dizisi değil, sürekli bir dizi veya sayı dizisidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.

1. Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
2. Çarpımın logaritması şu formülle temsil edilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda önkoşulşu şekildedir: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
3. Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.

Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.

Sorun ve eşitsizlik örnekleri

Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve aynı zamanda matematik sınavlarının da zorunlu bir parçasıdırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri nasıl doğru bir şekilde çözeceğinizi bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini veya sonuçlanabileceğini öğrenmelisiniz. Genel görünüm. Uzun logaritmik ifadeleri, özelliklerini doğru kullanırsanız basitleştirebilirsiniz. Onları hızlıca tanıyalım.

Logaritmik denklemleri çözerken, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.

İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Doğal logaritmanın çözümleri için uygulamanız gerekir logaritmik özdeşlikler veya bunların özellikleri. Çeşitli türlerdeki logaritmik problemleri çözme örneklerine bakalım.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Şimdi logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.

1. Bir ürünün logaritmasının özelliği, genişletilmesi gereken görevlerde kullanılabilir. büyük önem b sayılarını daha basit çarpanlara ayırın. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - görebileceğiniz gibi, logaritmanın kuvvetinin dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.

Birleşik Devlet Sınavından Ödevler

Logaritmalar sıklıkla bulunur Giriş sınavları, özellikle Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik problem. Genellikle bu görevler yalnızca A kısmında (sınavın en kolay test kısmı) değil, aynı zamanda C kısmında da (en karmaşık ve hacimli görevler) mevcuttur. Sınav, “Doğal logaritmalar” konusunda doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.

Sorunlara ilişkin örnekler ve çözümler resmi kaynaklardan alınmıştır. Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.

• Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
• Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, dolayısıyla logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Birçok öğrenci bu tür denklemlere takılıp kalıyor. Aynı zamanda, görevlerin kendisi hiçbir şekilde karmaşık değildir - kararlı ifadeleri tanımlamayı öğrenmeniz gereken yetkin bir değişken değişimini gerçekleştirmek yeterlidir.

Bu derse ek olarak, her biri 6 problem içeren iki seçenekten oluşan oldukça hacimli bağımsız bir çalışma bulacaksınız.

Gruplama yöntemi

Bugün biri hemen çözülemeyen ve özel dönüşümler gerektiren, ikincisi ise iki logaritmik denklemi analiz edeceğiz... Ancak size her şeyi bir anda anlatmayacağım. Videoyu izleyin, bağımsız çalışmayı indirin ve karmaşık sorunları çözmeyi öğrenin.

Yani, ortak faktörleri gruplandırıp parantezlerin dışına çıkarıyoruz. Ek olarak, logaritma tanımı alanının ne gibi tuzaklar içerdiğini ve tanımlar alanına ilişkin küçük açıklamaların hem kökleri hem de çözümün tamamını önemli ölçüde değiştirebileceğini anlatacağım.

Gruplandırmayla başlayalım. Aşağıdaki logaritmik denklemi çözmemiz gerekiyor:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x)

Öncelikle x 2 − 3x'in çarpanlarına ayrılabileceğini unutmayın:

log 2 x (x − 3)

O zaman harika formülü hatırlayın:

log a fg = log a f + log a g

Sadece hızlı bir not: bu formül a, f ve g normal sayılar olduğunda harika çalışır. Ancak bunların yerine işlevler konulduğunda bu ifadeler eşit olmaktan çıkar. Bu varsayımsal durumu hayal edin:

F< 0; g < 0

Bu durumda fg çarpımı pozitif olacağından log a (fg) bulunacaktır ancak log a f ve log a g ayrı ayrı var olmayacak ve böyle bir dönüşümü gerçekleştiremeyeceğiz.

Görmezden geliniyor bu gerçek tanımlama alanının daralmasına ve bunun sonucunda köklerin kaybına yol açacaktır. Bu nedenle böyle bir dönüşümü gerçekleştirmeden önce f ve g fonksiyonlarının pozitif olduğundan önceden emin olmalısınız.

Bizim durumumuzda her şey basit. Orijinal denklem log 2 x fonksiyonunu içerdiğinden, bu durumda x > 0 olur (sonuçta, x değişkeni argümanın içindedir). Ayrıca log 2 (x − 3) de vardır, yani x − 3 > 0.

Bu nedenle log 2 x (x − 3) fonksiyonunda her faktör sıfırdan büyük olacaktır. Bu nedenle ürünü güvenli bir şekilde şu miktara ayırabilirsiniz:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

İlk bakışta işler hiç de kolaylaşmamış gibi görünebilir. Tam tersine terim sayısı arttı! Nasıl ilerleyeceğimizi anlamak için yeni değişkenleri tanıtalım:

log 2 x = a

log 2 (x - 3) = b

a · b + 1 - a - b = 0

Şimdi üçüncü terimi birinciyle gruplayalım:

(a · b - a ) + (1 - b ) = 0

a (1 · b - 1) + (1 - b ) = 0

Hem birinci hem de ikinci parantezlerin b - 1 içerdiğini unutmayın (ikinci durumda, parantezdeki "eksi"yi çıkarmanız gerekecektir). Yapımımızı çarpanlarına ayıralım:

a (1 · b - 1) - (b - 1) = 0

(b − 1)(a 1 − 1) = 0

Şimdi harika kuralımızı hatırlayalım: Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda çarpım sıfıra eşittir:

b - 1 = 0 ⇒ b = 1;

a - 1 = 0 ⇒ a = 1.

B ve a'nın ne olduğunu hatırlayalım. Geriye kalan tek şeyin log işaretlerinden kurtulmak ve argümanları eşitlemek olduğu iki basit logaritmik denklem elde ederiz:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

İki kökümüz var, ancak bunlar orijinal logaritmik denklemin çözümleri değil, yalnızca yanıtın adayları. Şimdi tanım alanını kontrol edelim. İlk argüman için:

x > 0

Her iki kök de ilk şartı karşılıyor. Gelelim ikinci iddiaya:

x - 3 > 0 ⇒ x > 3

Ama burada x = 2 bizi tatmin etmiyor ama x = 5 bize oldukça uyuyor. Bu nedenle tek cevap x = 5'tir.

İkinci logaritmik denkleme geçelim. İlk bakışta çok daha basit. Ancak bunu çözme sürecinde, cehaleti yeni başlayan öğrencilerin hayatını önemli ölçüde zorlaştıran tanımın kapsamı ile ilgili ince noktaları dikkate alacağız.

log 0,7 (x 2 − 6x + 2) = log 0,7 (7 − 2x)

Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var. Hiçbir şeyi dönüştürmeye gerek yok; tabanlar bile aynı. Bu nedenle, argümanları basitçe eşitliyoruz:

x 2 − 6x + 2 = 7 − 2x

x 2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0

x 2 − 4x − 5 = 0

Önümüzde olan şey ikinci dereceden denklem Vieta'nın formülleri kullanılarak kolayca çözülebilir:

(x - 5) (x + 1) = 0;

x - 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Ancak bu kökler nihai yanıtlar değildir. Orijinal denklem iki logaritma içerdiğinden tanım tanım kümesini bulmak gereklidir; tanım alanının dikkate alınması kesinlikle gereklidir.

O halde tanım tanım kümesini yazalım. Bir yandan, ilk logaritmanın argümanı sıfırdan büyük olmalıdır:

x 2 − 6x + 2 > 0

Öte yandan ikinci argümanın da sıfırdan büyük olması gerekir:

7 − 2x > 0

Bu gereksinimlerin aynı anda karşılanması gerekir. Ve eğlencenin başladığı yer burasıdır. Elbette bu eşitsizliklerin her birini çözebilir, sonra bunları kesiştirebilir ve tüm denklemin tanım kümesini bulabiliriz. Peki neden hayatı kendiniz için bu kadar zorlaştırasınız ki?

Bir inceliğe dikkat edelim. Log işaretlerini ortadan kaldırarak argümanları eşitliyoruz. Buradan x 2 − 6x + 2 > 0 ve 7 − 2x > 0 gereksinimlerinin eşdeğer olduğu sonucu çıkar. Sonuç olarak iki eşitsizlikten herhangi biri ortadan kaldırılabilir. En zor kısmın üzerini çizelim ve kendimizi olağan doğrusal eşitsizlikle bırakalım:

−2x > −7

X< 3,5

Her iki parçayı da böldüğümüz için negatif bir sayı eşitsizlik işareti değişti.

Böylece ODZ'yi ikinci dereceden eşitsizlikler, ayrımcılar ve kesişimler olmadan bulduk. Şimdi geriye kalan tek şey bu aralıkta yer alan kökleri seçmektir. Açıkçası, yalnızca x = −1 bize uygun olacaktır çünkü x = 5 > 3,5.

Cevabı şöyle yazabiliriz: Orijinal logaritmik denklemin tek çözümü x = 1'dir.

Bu logaritmik denklemden elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir:

1. Logaritmaları çarpanlara ayırmaktan ve daha sonra çarpanları logaritmaların toplamına göre çarpanlara ayırmaktan korkmayın. Ancak çarpımı iki logaritmanın toplamına bölerek tanımın kapsamını daraltacağınızı unutmayın. Bu nedenle böyle bir dönüşüm gerçekleştirmeden önce kapsam gereksinimlerinin neler olduğunu mutlaka kontrol edin. Ancak çoğu zaman hiçbir sorun ortaya çıkmaz bir kez daha Güvenli tarafta olmanın zararı olmaz.
2. Kanonik formdan kurtulurken hesaplamaları optimize etmeye çalışın. Özellikle, f > 0 ve g > 0 olması gerekiyorsa, ancak denklemin kendisinde f = g varsa, o zaman eşitsizliklerden birinin üstünü güvenli bir şekilde çizebilir ve yalnızca en basit olanı bırakabiliriz. Tanım ve cevap alanı hiçbir şekilde etkilenmeyecek ancak hesaplama miktarı önemli ölçüde azalacaktır.

Grup hakkında kısaca söylemek istediklerim bunlar. :)

Çözerken tipik hatalar

Bugün birçok öğrencinin tökezlediği iki tipik logaritmik denkleme bakacağız. Bu denklemleri örnek olarak kullanarak, orijinal ifadeleri çözme ve dönüştürme sürecinde en sık hangi hataların yapıldığını göreceğiz.

Logaritmalarla kesirli rasyonel denklemler

Bunun oldukça sinsi bir denklem türü olduğu ve paydanın bir yerinde logaritmalı bir kesrin her zaman bulunmadığı unutulmamalıdır. Ancak dönüşüm sürecinde böyle bir kesim mutlaka ortaya çıkacaktır.

Aynı zamanda dikkatli olun: Dönüşüm süreci sırasında logaritmanın orijinal tanım alanı önemli ölçüde değişebilir!

Kesirleri ve temel değişkenleri içeren daha da katı logaritmik denklemlere geçiyoruz. Kısa bir derste daha fazlasını başarmak için size temel teoriyi anlatmayacağım. Hemen görevlere geçelim:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Bu denkleme bakan birisi şunu soracaktır: “Bunun bununla ne ilgisi var? kesirli rasyonel denklem? Bu denklemde kesir nerede? Biraz zaman ayıralım ve her döneme dikkatlice bakalım.

Birinci terim: 4 log 25 (x − 1). Logaritmanın tabanı bir sayıdır, ancak argüman x değişkeninin bir fonksiyonudur. Bu konuda henüz bir şey yapamayız. Devam etmek.

Sonraki terim: log 3 27. 27 = 3 3 olduğunu hatırlayın. Bu nedenle logaritmanın tamamını şu şekilde yeniden yazabiliriz:

günlük 3 27 = 3 3 = 3

Yani ikinci terim sadece üç. Üçüncü terim: 2 log x − 1 5. Burada da her şey basit değil: taban bir fonksiyon, argüman ise sıradan bir sayı. Aşağıdaki formülü kullanarak tüm logaritmayı tersine çevirmeyi öneriyorum:

log a b = 1/log b a

Böyle bir dönüşüm ancak b ≠ 1 ise gerçekleştirilebilir. Aksi takdirde, ikinci kesrin paydasında bulunan logaritma mevcut olmayacaktır. Bizim durumumuzda b = 5, yani her şey yolunda:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Ortaya çıkan dönüşümleri dikkate alarak orijinal denklemi yeniden yazalım:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

Kesrin paydasında log 5 (x - 1) ve ilk terimde log 25 (x - 1) var. Ama 25 = 5 2, dolayısıyla logaritmanın tabanından kareyi kurala göre alıyoruz:

Başka bir deyişle logaritmanın tabanındaki kuvvet öndeki kesir olur. Ve ifade şu şekilde yeniden yazılacaktır:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Bir sürü özdeş logaritmaya sahip uzun bir denklem elde ettik. Yeni bir değişken tanıtalım:

log 5 (x - 1) = t;

2t - 4 + 2/t = 0;

Ancak bu kesirli-rasyonel bir denklemdir ve 8-9. sınıf cebir kullanılarak çözülebilir. Öncelikle her şeyi ikiye bölelim:

t - 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

Parantez içinde tam bir kare var. Bunu daraltalım:

(t - 1) 2 /t = 0

Bir kesrin payı sıfır ve paydası sıfırdan farklı olduğunda kesir sıfıra eşittir. Şu gerçeği asla unutmayın:

(t - 1) 2 = 0

t = 1

t ≠ 0

T'nin ne olduğunu hatırlayalım:

log 5 (x - 1) = 1

günlük 5 (x - 1) = günlük 5 5

Günlük işaretlerinden kurtuluruz, argümanlarını eşitleriz ve şunu elde ederiz:

x - 1 = 5 ⇒ x = 6

Tüm. Problem çözüldü. Ama orijinal denkleme geri dönelim ve x değişkeninin iki logaritmasının olduğunu hatırlayalım. Bu nedenle tanım alanının yazılması gerekmektedir. x − 1 logaritmanın bağımsız değişkeninde olduğundan, bu ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir:

x - 1 > 0

Öte yandan, tabanda da aynı x − 1 mevcut olduğundan birlikten farklı olması gerekir:

x - 1 ≠ 1

Buradan şu sonuca varıyoruz:

x > 1; x ≠ 2

Bu gereksinimlerin aynı anda karşılanması gerekir. X = 6 değeri her iki gereksinimi de karşılar, dolayısıyla x = 6 logaritmik denklemin son çözümüdür.

Gelelim ikinci göreve:

Tekrar zamanımızı ayıralım ve her bir döneme bakalım:

log 4 (x + 1) - taban dörttür. Bu normal bir sayıdır ve ona dokunmanıza gerek yoktur. Ancak geçen sefer tabanda logaritma işaretinin altından çıkarılması gereken tam bir kareyle karşılaştık. Şimdi de aynısını yapalım:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

İşin püf noktası, tabanda da olsa x değişkeniyle zaten bir logaritmaya sahip olmamızdır - bu, az önce bulduğumuz logaritmanın tersidir:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Bir sonraki terim log 2 8'dir. Hem argüman hem de taban sıradan sayılar içerdiğinden bu bir sabittir. Değeri bulalım:

günlük 2 8 = günlük 2 2 3 = 3

Aynısını son logaritmayla da yapabiliriz:

Şimdi orijinal denklemi yeniden yazalım:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Her şeyi ortak bir paydada buluşturalım:

Yine kesirli bir rasyonel denklemimiz var. Yeni bir değişken tanıtalım:

t = log 2 (x + 1)

Yeni değişkeni hesaba katarak denklemi yeniden yazalım:

Dikkatli olun: Bu adımda terimleri değiştirdim. Kesrin payı farkın karesini içerir:

Daha önce olduğu gibi, payı sıfır ve paydası sıfırdan farklı olan bir kesir sıfıra eşittir:

(t - 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Tüm gereksinimleri karşılayan bir kök aldık, bu nedenle x değişkenine geri dönüyoruz:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x = 15

İşte bu, denklemi çözdük. Ancak orijinal denklemde birden fazla logaritma olduğundan tanım tanım kümesini yazmak gerekir.

Yani x + 1 ifadesi logaritmanın argümanındadır. Dolayısıyla x + 1 > 0. Öte yandan tabanda da x + 1 var, yani. x + 1 ≠ 1. Toplam:

0 ≠ x > −1

Bulunan kök bu gereksinimleri karşılıyor mu? Şüphesiz. Dolayısıyla x = 15 orijinal logaritmik denklemin bir çözümüdür.

Son olarak şunu söylemek isterim: Bir denkleme baktığınızda karmaşık ve standart olmayan bir şeyi çözmeniz gerektiğini anlıyorsanız, daha sonra başka bir değişken tarafından tanımlanacak kararlı yapıları belirlemeye çalışın. Bazı terimler x değişkenini hiç içermiyorsa, genellikle basitçe hesaplanabilirler.

Bugün konuşmak istediğim tek şey buydu. Umarım bu ders karmaşık logaritmik denklemleri çözmenize yardımcı olur. Diğer video eğitimlerini izleyin, indirin ve çözün bağımsız iş ve bir sonraki videoda görüşürüz!