På denne lektion vi vil se på metoder til løsning af et system af lineære ligninger. I et forløb med højere matematik kræves det, at systemer af lineære ligninger løses både i form af separate opgaver, for eksempel "Løs systemet ved hjælp af Cramers formler," og i løbet af løsningen af ​​andre problemer. Systemer af lineære ligninger skal behandles i næsten alle grene af højere matematik.

Først lidt teori. Hvad i I dette tilfælde står for det matematiske ord "lineær"? Det betyder, at systemets ligninger Alle variable inkluderet i første grad: uden nogen smarte ting som osv., som kun deltagere i matematiske olympiader er glade for.

I højere matematik For at udpege variabler bruges ikke kun bogstaver, der er kendt fra barndommen.
En ret populær mulighed er variabler med indekser: .
Eller begyndelsesbogstaver latinske alfabet, små og store:
Det er ikke så sjældent at finde græske bogstaver: – kendt for mange som "alfa, beta, gamma". Og også et sæt med indekser, for eksempel med bogstavet "mu":

Brugen af ​​et eller andet sæt bogstaver afhænger af det afsnit af højere matematik, hvor vi står over for et system af lineære ligninger. Så for eksempel i systemer af lineære ligninger, man støder på ved løsning af integraler og differentialligninger, er det traditionelt at bruge notationen

Men uanset hvordan variablerne betegnes, ændres principperne, metoderne og metoderne til løsning af et system af lineære ligninger ikke. Så hvis du støder på noget skræmmende som , så skynd dig ikke at lukke problembogen i frygt, du kan trods alt tegne solen i stedet for, en fugl i stedet for og et ansigt (læreren) i stedet for. Og hvor sjovt det end kan virke, kan et system af lineære ligninger med disse notationer også løses.

Jeg har en fornemmelse af, at artiklen bliver ret lang, så en lille indholdsfortegnelse. Så den sekventielle "debriefing" vil være sådan:

– Løsning af et system af lineære ligninger ved hjælp af substitutionsmetoden ("skolemetoden");
– Løsning af systemet ved led-for-led addition (subtraktion) af systemligningerne;
– Løsning af systemet ved hjælp af Cramers formler;
– Løsning af systemet ved hjælp af en invers matrix;
– Løsning af systemet ved hjælp af Gauss-metoden.

Alle kender til systemer af lineære ligninger fra skolematematikkurser. Grundlæggende starter vi med gentagelser.

Løsning af et system af lineære ligninger ved hjælp af substitutionsmetoden

Denne metode kan også kaldes "skolemetoden" eller metoden til at eliminere ukendte. Billedligt talt kan det også kaldes "en ufærdig Gaussisk metode."

Eksempel 1

Her får vi et system af to ligninger med to ubekendte. Bemærk, at de frie led (nummer 5 og 7) er placeret i venstre side af ligningen. Generelt set er det lige meget, hvor de er, til venstre eller til højre, det er bare, at i problemer i højere matematik er de ofte placeret på den måde. Og sådan en optagelse bør ikke føre til forvirring; om nødvendigt kan systemet altid skrives "som sædvanligt": . Glem ikke, at når du flytter et udtryk fra del til del, skal det ændre sit fortegn.

Hvad vil det sige at løse et system af lineære ligninger? At løse et ligningssystem betyder at finde mange af dets løsninger. Løsningen af ​​et system er et sæt værdier af alle variabler inkluderet i det, hvilket gør HVER ligning i systemet til en ægte lighed. Derudover kan systemet være ikke-fælles (har ingen løsninger).Bare rolig, det er det generel definition=) Vi vil kun have én værdi "x" og en værdi "y", som opfylder hver ligning c-we.

Eksisterer grafisk metode løsning af systemet, som kan findes i klassen De enkleste problemer med en linje. Der talte jeg om geometrisk sans systemer af to lineære ligninger med to ubekendte. Men nu er dette algebras æra, og tal-tal, handlinger-handlinger.

Lad os bestemme: fra den første ligning udtrykker vi:
Vi erstatter det resulterende udtryk i den anden ligning:

Vi åbner beslagene og giver lignende vilkår og find værdien:

Dernæst husker vi, hvad vi dansede for:
Vi kender allerede værdien, det eneste der er tilbage er at finde:

Svar:

Efter at ethvert ligningssystem er blevet løst på NOGEN måde, anbefaler jeg kraftigt at tjekke (mundtligt, på en kladde eller på en lommeregner). Dette gøres heldigvis nemt og hurtigt.

1) Erstat det fundne svar i den første ligning:

– den korrekte ligestilling opnås.

2) Erstat det fundne svar med den anden ligning:

– den korrekte ligestilling opnås.

Eller, for at sige det mere enkelt, "alt kom sammen"

Den overvejede løsningsmetode er ikke den eneste; fra den første ligning var det muligt at udtrykke , og ikke .
Du kan gøre det modsatte - udtrykke noget fra den anden ligning og erstatte det med den første ligning. Bemærk i øvrigt, at den mest ugunstige af de fire metoder er at udtrykke fra den anden ligning:

Resultatet er fraktioner, men hvorfor? Der er en mere rationel løsning.

Men i nogle tilfælde kan du stadig ikke undvære fraktioner. I den forbindelse vil jeg gerne henlede din opmærksomhed på, HVORDAN jeg skrev udtrykket ned. Ikke sådan her: og i intet tilfælde sådan her: .

Hvis du i højere matematik har med at gøre brøktal, så prøv at udføre alle beregninger i almindelige uægte brøker.

Præcis, og ikke eller!

Et komma kan kun bruges nogle gange, især hvis det er det endelige svar på et eller andet problem, og der ikke skal udføres yderligere handlinger med dette nummer.

Mange læsere tænkte sikkert "hvorfor gøre det her? detaljeret forklaring, hvad angår en korrektionsklasse, og så er alt klart." Intet af den slags, det virker som sådan et simpelt skoleeksempel, men der er så mange MEGET vigtige konklusioner! Her er endnu en:

Du bør stræbe efter at udføre enhver opgave efter bedste evne. på en rationel måde . Om ikke andet fordi det sparer tid og nerver, og også mindsker sandsynligheden for at begå en fejl.

Hvis du i en opgave i højere matematik støder på et system af to lineære ligninger med to ubekendte, så kan du altid bruge substitutionsmetoden (medmindre det er angivet, at systemet skal løses ved en anden metode) Ikke en eneste lærer vil tror, ​​at du er en sludder og vil reducere din karakter for at bruge "skolemetoden" "
Desuden er det i nogle tilfælde tilrådeligt at bruge substitutionsmetoden med et større antal variable.

Eksempel 2

Løs et system af lineære ligninger med tre ubekendte

Et lignende ligningssystem opstår ofte ved brug af den såkaldte metode med ubestemte koefficienter, når vi finder integralet af en rationel brøkfunktion. Det pågældende system er taget derfra af mig.

Når man skal finde integralet, er målet hurtig find værdierne af koefficienterne, i stedet for at bruge Cramers formler, den inverse matrixmetode osv. Derfor er substitutionsmetoden i dette tilfælde passende.

Når ethvert ligningssystem er givet, er det først og fremmest ønskeligt at finde ud af, om det er muligt på en eller anden måde at forenkle det STRAKS? Ved at analysere systemets ligninger bemærker vi, at systemets anden ligning kan divideres med 2, hvilket er hvad vi gør:

Reference: det matematiske tegn betyder "af dette følger at" og bruges ofte i problemløsning.

Lad os nu analysere ligningerne; vi skal udtrykke en variabel i form af de andre. Hvilken ligning skal jeg vælge? Du har sikkert allerede gættet, at den nemmeste måde til dette formål er at tage den første ligning af systemet:

Her, uanset hvilken variabel man skal udtrykke, kunne man lige så nemt udtrykke eller .

Dernæst erstatter vi udtrykket i systemets anden og tredje ligning:

Vi åbner parenteserne og præsenterer lignende udtryk:

Divider den tredje ligning med 2:

Fra den anden ligning udtrykker og erstatter vi i den tredje ligning:

Næsten alt er klar, fra den tredje ligning finder vi:
Fra den anden ligning:
Fra den første ligning:

Tjek: Erstat de fundne værdier af variablerne i venstre side af hver ligning i systemet:

1)
2)
3)

De tilsvarende højre sider af ligningerne opnås, og dermed findes løsningen korrekt.

Eksempel 3

Løs et system af lineære ligninger med 4 ubekendte

Dette er et eksempel på selvstændig beslutning(svar i slutningen af ​​lektionen).

Løsning af systemet ved led-for-led addition (subtraktion) af systemligningerne

Når du løser systemer med lineære ligninger, bør du forsøge at bruge ikke "skolemetoden", men metoden til led-for-led addition (subtraktion) af systemets ligninger. Hvorfor? Dette sparer tid og forenkler beregningerne, men nu bliver alt mere klart.

Eksempel 4

Løs et system af lineære ligninger:

Jeg tog det samme system som i det første eksempel.
Ved at analysere ligningssystemet bemærker vi, at koefficienterne for variablen er identiske i størrelse og modsatte i fortegn (–1 og 1). I en sådan situation kan ligningerne tilføjes led for led:

Handlinger cirklet med rødt udføres MENTALT.
Som du kan se, mistede vi variablen som følge af term-for-term addition. Dette er faktisk hvad essensen af ​​metoden er at slippe af med en af ​​variablerne.

Osv., det er logisk at stifte bekendtskab med ligninger af andre typer. Næste i rækken er lineære ligninger, hvis målrettede undersøgelse begynder i algebratimerne i 7. klasse.

Det er klart, at du først skal forklare, hvad en lineær ligning er, give en definition af en lineær ligning, dens koefficienter, vise det generel form. Så kan du regne ud, hvor mange løsninger en lineær ligning har afhængigt af koefficienternes værdier, og hvordan rødderne findes. Dette vil give dig mulighed for at gå videre til at løse eksempler og derved konsolidere den lærte teori. I denne artikel vil vi gøre dette: vi vil dvæle i detaljer ved alle de teoretiske og praktiske punkter vedrørende lineære ligninger og deres løsninger.

Lad os sige med det samme, at vi her kun vil overveje lineære ligninger med en variabel, og i en separat artikel vil vi studere principperne for løsning lineære ligninger med to variable.

Sidenavigation.

Hvad er en lineær ligning?

Definitionen af ​​en lineær ligning er givet ved den måde, den er skrevet på. Desuden, i forskellige matematik- og algebra-lærebøger, har formuleringerne af definitionerne af lineære ligninger nogle forskelle, der ikke påvirker essensen af ​​spørgsmålet.

For eksempel, i algebra-lærebogen for klasse 7 af Yu. N. Makarychev et al., er en lineær ligning defineret som følger:

Definition.

Formens ligning a x=b, hvor x er en variabel, a og b er nogle tal, kaldes lineær ligning med én variabel.

Lad os give eksempler på lineære ligninger, der opfylder den angivne definition. For eksempel er 5 x = 10 en lineær ligning med én variabel x, her er koefficienten a 5, og tallet b er 10. Et andet eksempel: −2,3·y=0 er også en lineær ligning, men med en variabel y, hvor a=−2,3 og b=0. Og i lineære ligninger er x=−2 og −x=3,33 a ikke til stede eksplicit og er lig med henholdsvis 1 og −1, mens i den første ligning b=−2, og i den anden - b=3,33.

Og et år tidligere, i lærebogen i matematik af N. Ya. Vilenkin, betragtede lineære ligninger med én ukendt, udover ligninger af formen a x = b, også ligninger, der kan bringes til denne form ved at overføre led fra én del af ligningen til en anden med modsat fortegn, samt ved at reducere lignende led. Ifølge denne definition vil ligninger af formen 5 x = 2 x + 6 osv. også lineær.

Til gengæld er følgende definition givet i algebra-lærebogen for klasse 7 af A. G. Mordkovich:

Definition.

Lineær ligning med én variabel x er en ligning på formen a·x+b=0, hvor a og b er nogle tal, der kaldes koefficienter for den lineære ligning.

For eksempel er lineære ligninger af denne type 2 x−12=0, her er koefficienten a 2, og b er lig med −12, og 0,2 y+4,6=0 med koefficienterne a=0,2 og b =4,6. Men samtidig er der eksempler på lineære ligninger, der ikke har formen a·x+b=0, men a·x=b, for eksempel 3·x=12.

Lad os, så vi ikke har nogen uoverensstemmelser i fremtiden, med en lineær ligning med én variabel x og koefficienterne a og b mener vi en ligning på formen a x + b = 0. Denne type lineære ligninger synes at være den mest berettigede, da lineære ligninger er algebraiske ligninger første grad. Og alle de andre ligninger angivet ovenfor, såvel som ligninger, der ved hjælp af ækvivalente transformationer reduceres til formen a x + b = 0, vil vi kalde ligninger, der reducerer til lineære ligninger. Med denne tilgang er ligningen 2 x+6=0 en lineær ligning, og 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 osv. - Det er ligninger, der reducerer til lineære.

Hvordan løser man lineære ligninger?

Nu er det tid til at finde ud af, hvordan lineære ligninger a·x+b=0 løses. Det er med andre ord tid til at finde ud af, om en lineær ligning har rødder, og i så fald, hvor mange af dem og hvordan man finder dem.

Tilstedeværelsen af ​​rødder af en lineær ligning afhænger af værdierne af koefficienterne a og b. I dette tilfælde har den lineære ligning a x+b=0

• den eneste rod til a≠0,
• har ingen rødder til a=0 og b≠0,
• har uendeligt mange rødder for a=0 og b=0, i hvilket tilfælde ethvert tal er en rod af en lineær ligning.

Lad os forklare, hvordan disse resultater blev opnået.

Vi ved, at for at løse ligninger kan vi gå fra den oprindelige ligning til ækvivalente ligninger, det vil sige til ligninger med samme rødder eller, ligesom den oprindelige, uden rødder. For at gøre dette kan du bruge følgende ækvivalente transformationer:

• overføre et led fra den ene side af ligningen til en anden med det modsatte fortegn,
• samt at gange eller dividere begge sider af en ligning med det samme ikke-nul tal.

Så i en lineær ligning med én variabel af formen a·x+b=0, kan vi flytte begrebet b fra venstre side til højre med det modsatte fortegn. I dette tilfælde vil ligningen have formen a·x=−b.

Og så rejser det spørgsmålet om at dividere begge sider af ligningen med tallet a. Men der er én ting: tallet a kan være lig med nul, i hvilket tilfælde en sådan division er umulig. For at håndtere dette problem vil vi først antage, at tallet a er ikke-nul, og vi vil se på tilfældet med a lig med nul separat lidt senere.

Så når a ikke er lig nul, så kan vi dividere begge sider af ligningen a·x=−b med a, hvorefter den vil blive transformeret til formen x=(−b):a, dette resultat kan være skrevet med brøkskråstreg som.

For a≠0 er den lineære ligning a·x+b=0 således ækvivalent med ligningen, hvorfra dens rod er synlig.

Det er let at vise, at denne rod er unik, det vil sige, at den lineære ligning ikke har andre rødder. Dette giver dig mulighed for at gøre den modsatte metode.

Lad os betegne roden som x 1. Lad os antage, at der er en anden rod til den lineære ligning, som vi betegner som x 2, og x 2 ≠x 1, som pga. at bestemme lige tal gennem forskel svarer til betingelsen x 1 −x 2 ≠0. Da x 1 og x 2 er rødder af den lineære ligning a·x+b=0, så gælder de numeriske ligheder a·x 1 +b=0 og a·x 2 +b=0. Vi kan trække de tilsvarende dele af disse ligheder fra, hvilket egenskaberne ved numeriske ligheder tillader os at gøre, vi har a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, hvorfra a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 og derefter a·(x 1 −x 2)=0 . Men denne lighed er umulig, da både a≠0 og x 1 − x 2 ≠0. Så vi kom til en modsigelse, som beviser det unikke ved roden af ​​den lineære ligning a·x+b=0 for a≠0.

Så vi løste den lineære ligning a·x+b=0 for a≠0. Det første resultat i begyndelsen af ​​dette afsnit er berettiget. Der er to mere tilbage, der opfylder betingelsen a=0.

Når a=0, har den lineære ligning a·x+b=0 formen 0·x+b=0. Af denne ligning og egenskaben ved at multiplicere tal med nul følger det, at uanset hvilket tal vi tager som x, når det substitueres i ligningen 0 x + b=0, vil den numeriske lighed b=0 blive opnået. Denne lighed er sand, når b=0, og i andre tilfælde, når b≠0, er denne lighed falsk.

Som følge heraf, med a=0 og b=0, er ethvert tal roden af ​​den lineære ligning a·x+b=0, da under disse forhold, at substituere et hvilket som helst tal for x giver den korrekte numeriske lighed 0=0. Og når a=0 og b≠0, har den lineære ligning a·x+b=0 ingen rødder, da substitution af et hvilket som helst tal i stedet for x under disse forhold fører til den forkerte numeriske lighed b=0.

De givne begrundelser giver os mulighed for at formulere en sekvens af handlinger, der giver os mulighed for at løse enhver lineær ligning. Så, algoritme til løsning af lineær ligning er:

• Først ved at skrive den lineære ligning finder vi værdierne af koefficienterne a og b.
• Hvis a=0 og b=0, så har denne ligning uendeligt mange rødder, nemlig ethvert tal er en rod af denne lineære ligning.
• Hvis a ikke er nul, så
• koefficienten b overføres til højre side med det modsatte fortegn, og den lineære ligning transformeres til formen a·x=−b,
• hvorefter begge sider af den resulterende ligning divideres med et ikke-nul tal a, hvilket giver den ønskede rod af den oprindelige lineære ligning.

Den skrevne algoritme er et omfattende svar på spørgsmålet om, hvordan man løser lineære ligninger.

Som afslutning på dette punkt er det værd at sige, at en lignende algoritme bruges til at løse ligninger med formen a·x=b. Dens forskel er, at når a≠0, divideres begge sider af ligningen umiddelbart med dette tal; her er b allerede i den påkrævede del af ligningen, og der er ingen grund til at overføre den.

For at løse ligninger af formen a x = b, bruges følgende algoritme:

• Hvis a=0 og b=0, så har ligningen uendeligt mange rødder, som er vilkårlige tal.
• Hvis a=0 og b≠0, har den oprindelige ligning ingen rødder.
• Hvis a er ikke-nul, så divideres begge sider af ligningen med et ikke-nul tal a, hvorfra den eneste rod af ligningen findes, lig med b/a.

Eksempler på løsning af lineære ligninger

Lad os gå videre til praksis. Lad os se på, hvordan algoritmen til løsning af lineære ligninger bruges. Lad os give løsninger på typiske eksempler svarende til forskellige betydninger koefficienter for lineære ligninger.

Eksempel.

Løs den lineære ligning 0·x−0=0.

Løsning.

I denne lineære ligning er a=0 og b=−0 , hvilket er det samme som b=0 . Derfor har denne ligning uendeligt mange rødder; ethvert tal er en rod af denne ligning.

Svar:

x – et hvilket som helst tal.

Eksempel.

Har den lineære ligning 0 x + 2,7 = 0 løsninger?

Løsning.

I dette tilfælde er koefficienten a lig med nul, og koefficienten b i denne lineære ligning er lig med 2,7, det vil sige forskellig fra nul. Derfor har en lineær ligning ingen rødder.

Første niveau

Lineære ligninger. Komplet guide (2019)

Hvad er "lineære ligninger"

eller mundtligt - tre venner fik æbler hver på baggrund af, at Vasya havde alle de æbler, han havde.

Og nu har du allerede besluttet dig lineær ligning
Lad os nu give dette udtryk en matematisk definition.

Lineær ligning - er en algebraisk ligning, hvis fuld grad af dets konstituerende polynomier er lig med. Det ser sådan ud:

Hvor og er eventuelle tal og

For vores sag med Vasya og æbler vil vi skrive:

- "hvis Vasya giver det samme antal æbler til alle tre venner, har han ingen æbler tilbage"

"Skjulte" lineære ligninger, eller vigtigheden af ​​identitetstransformationer

På trods af det faktum, at alt ved første øjekast er ekstremt enkelt, skal du være forsigtig, når du løser ligninger, fordi lineære ligninger kaldes ikke kun ligninger af denne type, men også alle ligninger, der kan reduceres til denne type ved transformationer og forenklinger. For eksempel:

Vi ser, hvad der er til højre, hvilket i teorien allerede indikerer, at ligningen ikke er lineær. Desuden, hvis vi åbner parenteserne, får vi yderligere to termer, hvor det vil være, men skynd dig ikke at drage konklusioner! Inden man vurderer om en ligning er lineær, er det nødvendigt at lave alle transformationerne og dermed forenkle det oprindelige eksempel. I dette tilfælde kan transformationer ændre sig udseende, men ikke selve essensen af ​​ligningen.

Med andre ord skal transformationsdataene være identisk eller tilsvarende. Der er kun to sådanne transformationer, men de spiller meget, MEGET vigtig rolle når man løser problemer. Lad os se på begge transformationer ved hjælp af specifikke eksempler.

Overfør venstre - højre.

Lad os sige, at vi skal løse følgende ligning:

Også i folkeskole Vi fik at vide: "med X'er - til venstre, uden X'er - til højre." Hvilket udtryk med et X er til højre? Det er rigtigt, men ikke hvordan ikke. Og det er vigtigt, for hvis dette tilsyneladende simple spørgsmål bliver misforstået, kommer det forkerte svar frem. Hvilket udtryk med et X er til venstre? Højre, .

Nu hvor vi har fundet ud af det, flytter vi alle led med ukendte til venstre side, og alt hvad der er kendt til højre, idet vi husker, at hvis der f.eks. ikke er et tegn foran tallet, så er tallet positivt , det vil sige, der er et skilt foran " "

Overført? Hvad fik du?

Det eneste, der skal gøres, er at bringe lignende vilkår. Vi præsenterer:

Så vi har med succes analyseret den første identiske transformation, selvom jeg er sikker på, at du vidste den og aktivt brugte den uden mig. Det vigtigste er ikke at glemme tegnene på tal og ændre dem til de modsatte, når du overfører gennem lighedstegnet!

Multiplikation-division.

Lad os starte med det samme med et eksempel

Lad os se og tænke: hvad kan vi ikke lide ved dette eksempel? Det ukendte er alt i én del, det kendte i en anden, men noget stopper os... Og dette noget er en firer, for hvis det ikke var for det, ville alt være perfekt - x lig med tallet- præcis som vi har brug for!

Hvordan kan du slippe af med det? Vi kan ikke flytte den til højre, for så skal vi flytte hele multiplikatoren (vi kan ikke tage den og rive den væk fra den), og at flytte hele multiplikatoren giver heller ingen mening...

Det er tid til at huske om division, så lad os dividere alt med! Alt - dette betyder både venstre og højre side. Denne vej og kun denne vej! Hvad laver vi?

Her er svaret.

Lad os nu se på et andet eksempel:

Kan du gætte, hvad der skal gøres i dette tilfælde? Det er rigtigt, gange venstre og højre side med! Hvilket svar fik du? Højre. .

Du vidste sikkert allerede alt om identitetstransformationer. Overvej, at vi simpelthen har genopfrisket denne viden i din hukommelse, og det er tid til noget mere - For eksempel for at løse vores store eksempel:

Som vi sagde tidligere, når du ser på det, kan du ikke sige, at denne ligning er lineær, men vi skal åbne parenteserne og udføre identiske transformationer. Så lad os komme i gang!

Til at begynde med husker vi formlerne for forkortet multiplikation, især kvadratet af summen og kvadratet af forskellen. Hvis du ikke kan huske, hvad det er, og hvordan parenteserne åbnes, anbefaler jeg stærkt at læse emnet, da disse færdigheder vil være nyttige for dig, når du skal løse næsten alle de eksempler, du støder på i eksamen.
Afsløret? Lad os sammenligne:

Nu er det tid til at bringe lignende udtryk. Kan du huske, hvordan vi var i det samme folkeskole sagde de "vi sætter ikke fluer med koteletter"? Her minder jeg dig om dette. Vi tilføjer alt separat - faktorer, der har, faktorer, der har, og de resterende faktorer, der ikke har ukendte. Når du bringer lignende udtryk, skal du flytte alle ukendte til venstre og alt det kendte til højre. Hvad fik du?

Som du kan se, er X'erne i firkanten forsvundet, og vi ser noget helt normalt. lineær ligning. Det eneste der er tilbage er at finde det!

Og til sidst vil jeg sige en meget vigtig ting mere om identitetstransformationer - identitetstransformationer er anvendelige ikke kun for lineære ligninger, men også for kvadratiske, fraktionelle rationelle og andre. Du skal bare huske, at når vi overfører faktorer gennem lighedstegnet, ændrer vi fortegnet til det modsatte, og når vi dividerer eller multiplicerer med et eller andet tal, gange/dividerer vi begge sider af ligningen med det SAMME tal.

Hvad tog du ellers med fra dette eksempel? At det ved at se på en ligning ikke altid er muligt direkte og præcist at afgøre, om den er lineær eller ej. Det er nødvendigt først at forenkle udtrykket fuldstændigt, og først derefter bedømme, hvad det er.

Lineære ligninger. Eksempler.

Her er et par eksempler mere, som du kan øve dig på selv - afgør, om ligningen er lineær, og find dens rødder i så fald:

Svar:

1. Er.

2. Er ikke.

Lad os åbne parenteserne og præsentere lignende udtryk:

Lad os udføre en identisk transformation - opdel venstre og højre side i:

Vi ser, at ligningen ikke er lineær, så der er ingen grund til at lede efter dens rødder.

3. Er.

Lad os udføre en identisk transformation - gange venstre og højre side med for at slippe af med nævneren.

Tænk over, hvorfor det er så vigtigt? Hvis du kender svaret på dette spørgsmål, så gå videre til yderligere løsning af ligningen; hvis ikke, så sørg for at se nærmere på emnet for ikke at lave fejl i mere komplekse eksempler. Forresten, som du kan se, er situationen umulig. Hvorfor?
Så lad os gå videre og omarrangere ligningen:

Hvis du klarede alt uden problemer, lad os tale om lineære ligninger med to variable.

Lineære ligninger i to variable

Lad os nu gå videre til lidt mere komplekse - lineære ligninger med to variable.

Lineære ligninger med to variable har formen:

Hvor, og - eventuelle tal og.

Som du kan se, er den eneste forskel, at der tilføjes en anden variabel til ligningen. Og så er alt det samme - der er ingen x i kvadrat, ingen division med en variabel osv. og så videre.

Hvilken en skal jeg tage med? livseksempel... Lad os tage den samme Vasya. Lad os sige, at han besluttede, at han ville give hver af 3 venner det samme antal æbler og beholde æblerne for sig selv. Hvor mange æbler skal Vasya købe, hvis han giver hver ven et æble? Hvad med? Hvad hvis inden?

Forholdet mellem antallet af æbler, som hver person vil modtage, og det samlede antal æbler, der skal købes, vil blive udtrykt ved ligningen:

• - antallet af æbler, som en person vil modtage (, eller, eller);
• - antallet af æbler, som Vasya vil tage for sig selv;
• - hvor mange æbler skal Vasya købe, under hensyntagen til antallet af æbler pr. person?

Når vi løser dette problem, får vi, at hvis Vasya giver en ven et æble, så skal han købe stykker, hvis han giver æbler osv.

Og generelt set. Vi har to variable. Hvorfor ikke plotte dette forhold på en graf? Vi bygger og markerer værdien af ​​vores, det vil sige punkter, med koordinater, og!

Som du kan se, er de afhængige af hinanden lineær, deraf navnet på ligningerne - " lineær».

Lad os abstrahere fra æbler og se på forskellige ligninger grafisk. Se omhyggeligt på de to konstruerede grafer - en ret linje og en parabel, specificeret af vilkårlige funktioner:

Find og marker de tilsvarende punkter på begge billeder.
Hvad fik du?

Det ser du på grafen for den første funktion alene svarer en, det vil sige, at de også er lineært afhængige af hinanden, hvilket ikke kan siges om den anden funktion. Selvfølgelig kan man argumentere for, at i den anden graf svarer x - også, men dette er kun ét punkt, altså et specialtilfælde, da man stadig kan finde et, der svarer til mere end blot ét. Og den konstruerede graf ligner ikke på nogen måde en linje, men er en parabel.

Jeg gentager en gang til: grafen for en lineær ligning skal være en LIGE linje.

Med det faktum, at ligningen ikke vil være lineær, hvis vi går i nogen grad - det er tydeligt ved at bruge eksemplet med en parabel, selvom du kan bygge et par mere simple grafer for dig selv, for eksempel eller. Men jeg forsikrer dig - ingen af ​​dem vil være en LIGE LINIE.

Tror ikke? Byg den og sammenlign den med det, jeg fik:

Hvad sker der, hvis vi dividerer noget med for eksempel et eller andet tal? Vil der være en lineær sammenhæng og? Lad os ikke skændes, men lad os bygge! Lad os for eksempel bygge en graf over en funktion.

På en eller anden måde ser det ikke ud som om det er konstrueret som en lige linje ... følgelig er ligningen ikke lineær.
Lad os opsummere:

1. Lineær ligning - er en algebraisk ligning, hvor den samlede grad af dets konstituerende polynomier er lig.
2. Lineær ligning med en variabel har formen:
   , hvor og er eventuelle tal;
   Lineær ligning med to variable:
   , hvor og er eventuelle tal.
3. Det er ikke altid muligt umiddelbart at afgøre, om en ligning er lineær eller ej. Nogle gange, for at forstå dette, er det nødvendigt at udføre identiske transformationer, flytte lignende udtryk til venstre/højre, ikke at glemme at ændre tegnet, eller gange/dividere begge sider af ligningen med det samme tal.

LINEÆRE LIGNINGER. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

1. Lineær ligning

Dette er en algebraisk ligning, hvor den samlede grad af dets konstituerende polynomier er lig.

2. Lineær ligning med én variabel har formen:

Hvor og er eventuelle tal;

3. Lineær ligning med to variable har formen:

Hvor, og - eventuelle tal.

4. Identitetstransformationer

For at bestemme, om en ligning er lineær eller ej, er det nødvendigt at udføre identiske transformationer:

• flyt lignende udtryk til venstre/højre, og glem ikke at ændre tegnet;
• gange/divider begge sider af ligningen med det samme tal.

At lære at løse ligninger er en af ​​de vigtigste opgaver, som algebra stiller til elever. Starter med det enkleste, når det består af en ukendt, og går videre til flere og mere komplekse. Hvis du ikke har styr på de handlinger, der skal udføres med ligninger fra den første gruppe, vil det være svært at forstå de andre.

For at fortsætte samtalen skal du blive enige om notation.

Generel form for en lineær ligning med en ukendt og princippet om dens løsning

Enhver ligning, der kan skrives sådan:

a * x = b,

hedder lineær. Det her generel formel. Men ofte i opgaver skrives lineære ligninger i implicit form. Så er det nødvendigt at udføre identiske transformationer for at opnå en generelt accepteret notation. Disse handlinger omfatter:

• åbne parenteser;
• at flytte alle led med en variabel værdi til venstre side af ligheden, og resten til højre;
• reduktion af lignende vilkår.

I det tilfælde, hvor en ukendt mængde er i nævneren af ​​en brøk, skal du bestemme dens værdier, hvor udtrykket ikke giver mening. Med andre ord skal du kende ligningens definitionsdomæne.

Princippet, hvorved alle lineære ligninger løses, går ud på at dividere værdien på højre side af ligningen med koefficienten foran variablen. Det vil sige, "x" vil være lig med b/a.

Særlige tilfælde af lineære ligninger og deres løsninger

Under ræsonnementet kan der opstå momenter, hvor lineære ligninger antager en af ​​de specielle former. Hver af dem har en specifik løsning.

I den første situation:

a * x = 0, og a ≠ 0.

Løsningen til en sådan ligning vil altid være x = 0.

I det andet tilfælde tager "a" værdien lig med nul:

0 * x = 0.

Svaret på en sådan ligning vil være et hvilket som helst tal. Det vil sige, at den har et uendeligt antal rødder.

Den tredje situation ser således ud:

0 * x = in, hvor i ≠ 0.

Denne ligning giver ikke mening. For der er ingen rødder, der tilfredsstiller det.

Generelt billede af en lineær ligning med to variable

Fra dets navn bliver det klart, at der allerede er to ukendte mængder i det. Lineære ligninger i to variable se sådan her ud:

a * x + b * y = c.

Da der er to ubekendte i posten, vil svaret ligne et par tal. Det vil sige, at det ikke er nok kun at angive én værdi. Dette vil være et ufuldstændigt svar. Et par størrelser, for hvilke ligningen bliver en identitet, er en løsning på ligningen. Desuden er den variabel, der kommer først i alfabetet i svaret, altid skrevet ned først. Nogle gange siger de, at disse tal tilfredsstiller ham. Desuden kan der være et uendeligt antal af sådanne par.

Hvordan løser man en lineær ligning med to ubekendte?

For at gøre dette skal du blot vælge et par tal, der viser sig at være korrekte. For nemheds skyld kan du tage en af ​​de ukendte lig med et eller andet primtal og derefter finde det andet.

Når du løser, skal du ofte udføre trin for at forenkle ligningen. De kaldes identitetstransformationer. Desuden gælder følgende egenskaber altid for ligninger:

• hvert led kan flyttes til den modsatte del af ligheden ved at erstatte dets tegn med det modsatte;
• Venstre og højre side af enhver ligning må divideres med det samme tal, så længe det ikke er lig med nul.

Eksempler på opgaver med lineære ligninger

Første opgave. Løs lineære ligninger: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

I den ligning, der kommer først på denne liste, skal du blot dividere 20 med 4. Resultatet bliver 5. Dette er svaret: x = 5.

Den tredje ligning kræver, at der udføres en identitetstransformation. Det vil bestå i at åbne parenteserne og bringe lignende udtryk. Efter det første trin vil ligningen have formen: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Så skal du flytte alle de ukendte til venstre side af ligningen, og resten til højre. Ligningen vil se sådan ud: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Efter tilføjelse af lignende udtryk: 14x = 16. Nu ser den ud som den første, og dens løsning er let at finde. Svaret bliver x=8/7. Men i matematik er det meningen, at du skal isolere hele delen fra en uægte brøk. Derefter vil resultatet blive transformeret, og "x" vil være lig med en hel og en syvendedel.

I de resterende eksempler er variablerne i nævneren. Det betyder, at du først skal finde ud af, ved hvilke værdier ligningerne er defineret. For at gøre dette skal du udelukke tal, hvor nævnerne går til nul. I det første eksempel er det "-4", i det andet er det "-3". Det vil sige, at disse værdier skal udelukkes fra svaret. Herefter skal du gange begge sider af ligheden med udtrykkene i nævneren.

Åbner parenteserne og bringer lignende udtryk, i den første af disse ligninger får vi: 5x + 15 = 4x + 16, og i den anden 5x + 15 = 4x + 12. Efter transformationer vil løsningen til den første ligning være x = -1. Den anden viser sig at være lig med "-3", hvilket betyder, at sidstnævnte ikke har nogen løsninger.

Anden opgave. Løs ligningen: -7x + 2y = 5.

Antag, at den første ukendte x = 1, så vil ligningen have formen -7 * 1 + 2y = 5. Flytter faktoren "-7" til højre side af ligheden og ændrer dens fortegn til plus, viser det sig, at 2y = 12. Dette betyder y =6. Svar: en af ​​løsningerne til ligningen x = 1, y = 6.

Generel form for ulighed med én variabel

Alle mulige situationer for uligheder er præsenteret her:

• a * x > b;
• en * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

Generelt ser det ud som en simpel lineær ligning, kun lighedstegnet er erstattet af en ulighed.

Regler for identitetstransformationer af uligheder

Ligesom lineære ligninger kan uligheder modificeres iflg visse love. De koger ned til følgende:

1. til venstre og højre side af uligheden kan du tilføje et hvilket som helst bogstav eller numerisk udtryk, og ulighedstegnet vil forblive det samme;
2. Du kan også gange eller dividere med det samme positivt tal, dette ændrer igen ikke tegnet;
3. når man multiplicerer eller dividerer med det samme et negativt tal lighed vil forblive sand, forudsat at ulighedstegnet er omvendt.

Generelt syn på dobbelte uligheder

Følgende uligheder kan præsenteres i problemer:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Det kaldes dobbelt, fordi det er begrænset af ulighedstegn på begge sider. Det løses ved at bruge de samme regler som almindelige uligheder. Og at finde svaret kommer ned til en række identiske transformationer. Indtil det enkleste er opnået.

Funktioner ved at løse dobbelte uligheder

Den første af dem er dens billede på koordinataksen. Brug denne metode til simple uligheder ikke nødvendigt. Men i svære tilfælde kan det simpelthen være nødvendigt.

For at skildre en ulighed skal du markere på aksen alle de punkter, der blev opnået under ræsonnementet. Disse er ugyldige værdier, som er angivet med punkterede prikker, og værdier fra uligheder opnået efter transformationer. Også her er det vigtigt at tegne prikkerne rigtigt. Hvis uligheden er streng, dvs< или >, så er disse værdier udstanset. Ved ikke-strenge uligheder skal punkterne skygges.

Så er det nødvendigt at angive betydningen af ​​ulighederne. Dette kan gøres ved hjælp af skygge eller buer. Deres skæringspunkt vil indikere svaret.

Den anden funktion er relateret til dens optagelse. Der tilbydes to muligheder her. Den første er den ultimative ulighed. Den anden er i form af intervaller. Det sker med ham, at der opstår vanskeligheder. Svaret i mellemrum ligner altid en variabel med et medlemstegn og parentes med tal. Nogle gange er der flere mellemrum, så skal du skrive "og"-symbolet mellem parenteserne. Disse tegn ser således ud: ∈ og ∩. Afstandsbeslag spiller også en rolle. Den runde placeres, når punktet er udelukket fra svaret, og den rektangulære inkluderer denne værdi. Uendelighedstegnet står altid i parentes.

Eksempler på løsning af uligheder

1. Løs uligheden 7 - 5x ≥ 37.

Efter simple transformationer får vi: -5x ≥ 30. Ved at dividere med "-5" kan vi få følgende udtryk: x ≤ -6. Dette er allerede svaret, men det kan skrives på en anden måde: x ∈ (-∞; -6].

2. Beslut dig dobbelt ulighed -4 < 2x + 6 ≤ 8.

Først skal du trække 6 fra overalt. Du får: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Ligninger. For at sige det på en anden måde, så begynder løsningen af ​​alle ligninger med disse transformationer. Ved løsning af lineære ligninger er den (løsningen) baseret på identitetstransformationer og ender med det endelige svar.

Tilfældet med en koefficient, der ikke er nul for en ukendt variabel.

ax+b=0, a ≠ 0

Vi flytter led med X til den ene side og tal til den anden side. Sørg for at huske det, når du overfører vilkårene til den modsatte side ligninger, skal du ændre tegnet:

axe:(a)=-b:(a)

Lad os forkorte EN på x og vi får:

x=-b:(a)

Dette er svaret. Hvis du skal tjekke om et nummer er -b:(a) roden af ​​vores ligning, så skal vi erstatte i den indledende ligning i stedet for x dette er nummeret:

a(-b:(a))+b=0 ( de der. 0=0)

Fordi denne ligestilling er altså korrekt -b:(a) og sandheden er roden til ligningen.

Svar: x=-b:(a), a ≠ 0.

Første eksempel:

5x+2=7x-6

Vi flytter medlemmer med til den ene side x, og på den anden side tallene:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

For en ukendt faktor reducerede vi koefficienten og fik svaret:

Dette er svaret. Hvis du skal kontrollere, om tallet 4 virkelig er roden af ​​vores ligning, erstatter vi dette tal i stedet for X i den oprindelige ligning:

5*4+2=7*4-6 ( de der. 22=22)

Fordi denne lighed er sand, så er 4 roden af ​​ligningen.

Andet eksempel:

Løs ligningen:

5x+14=x-49

Ved at overføre de ukendte og tal til forskellige sider, fik:

Divider ligningens dele med koefficienten ved x(ved 4) og vi får:

Tredje eksempel:

Løs ligningen:

Først slipper vi af med irrationaliteten i koefficienten for det ukendte ved at gange alle led med:

Denne formular anses for at være forenklet, fordi tallet har roden af ​​tallet i nævneren. Vi skal forenkle svaret ved at gange tælleren og nævneren med samme nummer, vi har dette:

Sagen om ingen løsninger.

Løs ligningen:

2x+3=2x+7

Foran alle x vores ligning bliver ikke en sand lighed. Det vil sige, at vores ligning ikke har nogen rødder.

Svar: Der er ingen løsninger.

Et specialtilfælde er et uendeligt antal løsninger.

Løs ligningen:

2x+3=2x+3

Flytter vi x'erne og tallene i forskellige retninger og tilføjer lignende udtryk, får vi ligningen:

Her er det heller ikke muligt at dividere begge dele med 0, pga det er forbudt. Dog at sætte på plads x et hvilket som helst tal, får vi den korrekte lighed. Det vil sige, at hvert tal er en løsning på sådan en ligning. Der er således et uendeligt antal løsninger.

Svar: et uendeligt antal løsninger.

Sagen om lighed mellem to komplette formularer.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Svar: x=(d-b):(a-c), hvis d≠b og a≠c, ellers er der uendeligt mange løsninger, men hvis a=c, A d≠b, så er der ingen løsninger.